INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 007/008 Semestre 1 o Apontamentos Teóricos: Função Eponencial e Função Logarítmica Autores: Maria Cristina Peioto Matos Nuno Conceição Joana Fialho Paula Sarabando 1
1.1. Função Eponencial Comecemos por relembrar as propriedades das potências: Propriedades das Potências: Sejam a e b números positivos: a) a 0 = 1 b) a a...a vezes = a c) a a = a + d) a a = a e) (a ) = a f) (ab) = a b g) ( a b) = a b h) a = 1 a i) a / = a Eercício 1. Aplicação de Propriedades das Potências a) 3 b) 3 c) (3 ) 3 d) ( ) 1 e) 3 f) 1/ 3 1/ 3 3 3 Eemplo 1. Um investidor decide depositar 100 000 euros num depósito a prazo(anual), na modalidade de juro composto, em determinado banco. A taa de juro aplicada é 0, 05. Determine a função que permite calcular o montante que o investidor obtém em função do prazo.
Resolução: Temos, Final do 1 o ano 100000 + 100000 0, 05 = 100000 (1 + 0, 05) = = 100000 1, 05 Final do o ano 100000 1, 05 + (100000 1, 05) 0, 05 = 100000 1, 05 (1 + 0, 05) = = 100000 (1, 05) Final do 3 o ano 100000 (1, 05) + ( 100000(1, 05) ) 0, 05 = 100000(1, 05) (1 + 0, 05) = = 100000 (1, 05) 3. Final de anos 100000 (1, 05) Desta forma a função que permite calcular o montante que o investidor obtém em função do prazo é f() = 100000 (1, 05) (1) A função (1) pertence a uma importante classe de funções chamadas funções eponenciais. Alguns eemplos simples são: f() =, g() = = 3 = 9, h() = ( ) 1 10 3
Em geral, qualquer número positivo a 1 pode servir como base de uma função eponencial. Definição 1 Seja a IR + \{1}. A função f : IR IR () f() = a chama-se função eponencial de base a. Nota: Observemos que a função eponencial é definida através da potência da base fia e epoente variável. Os seguintes eemplos permitem-nos caracterizar a função eponencial: f : IR IR f() = g : IR IR g() = Graficamente temos, g() 6 f() 4 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 4
Da observação do gráfico podemos concluir que: f() = g() = Domínio IR IR Contradomínio IR + IR + Injectiva Sim Sim Sobrejectiva Não Não Monotonia Crescente Decrescente Intersecção com Eio dos XX Não tem Não tem Eio dos Y Y (0, 1) (0, 1) é muito grande f() é muito grande g() aproima-se de 0 é muito pequeno f() aproima-se de 0 g() é muito grande Em resumo, podemos definir as seguintes propriedades para a função eponencial: Propriedades da Função Eponencial: Seja f() = a, a IR + \{1} D f = IR, D f = IR+ f é injectiva, não sobrejectiva, não tem zeros O gráfico de f intersecta o eio dos Y Y em (0, 1) 5
f é estritamente crescente quando a > 1 e estritamente decrescente quando 0 < a < 1 a > 1 = lim f() = + + = lim f() = 0 0 < a < 1 = lim + f() = 0 = lim f() = + O gráfico de f tem uma assímptota horizontal = 0 Eemplo. a) Esboce o gráfico da função f() = 1 3 na máquina de calcular. b) Calcule o domínio e o contradomínio da função f. c) Resolva a equação f() > 0. Resolução: f() 4 4 6 8 6
Eemplo 3. Determine, em IR, o conjunto solução da equação 5 + 4 3 = 0. 1.. Função Eponencial Natural Introduzimos as funções eponenciais utilizando uma base genérica a, no entanto iremos dar ênfase especial às funções eponenciais que têm como base o número irracional e. Definição O número irracional e é definido como o limite lim (1 + 0 )1/ = e, 718818846 (3) Na figura seguinte podemos observar o gráfico da função f : IR IR f() = e 6 e 4 4 3 1 1 3 Obviamente, esta função goza de todas as propriedades anteriormente referidas. 7
1.3. Logaritmo de um Número Definição 3 Chamamos logaritmo de um número positivo na base a, (a IR + \{1}) ao número real tal que a = log a = (4) Nota: Quando a = e escrevemos ln = e = Da definição resulta que: log a a = 1 pois a 1 = a ln e = 1 pois e 1 = e log a 1 = 0 pois a 0 = 1 ln 1 = 0 pois e 0 = 1 ( ) 1 log a = 1 pois a 1 = 1 ( ) 1 ln = 1 pois e 1 = 1 a a e e log a a = pois a = a ln e = pois e = e a log a = pois log a = log a e ln = pois ln = ln Eemplo 4. a) log 16 = 4 pois 4 = 16. b) log 5 5 = pois 5 = 5. c) log 3/ 1 = 0 pois ( ) 0 3 = 1. d) log 14 14 = pois ( 14) = 14. 8
Propriedades dos Logaritmos: Sejam a, b IR + \{1}: 1. log a = log a + log a. ln = ln + ln 3. log a = log a log a 4. ln = ln ln 5. log a n = n log a 6. ln n = n ln Eemplo 5. Supondo > 0 e > 0, aplique as propriedades dos logaritmos, cada uma das epressões seguintes: a) ln e b) 4 log 43 c) ln 10 9 d) log 6 + 1 e) ln f) log 5 3 ( + 1) + log 3 ( + ) 3log 3 g) ln + ln h) ln 6 3 Resolução: a) ln e = b)4 log 43 = 3 c) ln 10 9 = ln 10 ln 9 d) log 6 + 1 = log 6 ( + 1) 1/ = 1 ln ( + 1) e) ln 5 = ln () ln 5 = ln + ln ln 5 9
f) ln 6 3 = ln ln 6 3 = = ln (ln 6 + ln 3 ) = = ln ln 6 3ln g) ln + ln = ln + ln = ln h) log 3 ( + 1) + log 3 ( + ) 3log 3 = log 3 ( + 1)( + ) 3log 3 = = log 3 ( + 3 + ) log 3 3 = = log 3 + 3 + 3 Eemplo 6. Resolva as seguintes equações: a) e = 5 b) ln = 5 c) 10 + 3e 0,1t = 14 d) 3 + ln = 7 Resolução: a) e = 5 = ln 5 b) ln = 5 = e 5 c) 10 + 3e0,1t = 14 3e 0,1t = 4 e 0,1t = 4 3 0, 1t = ln 4 3 t = 10ln 4 3 d) 3 + ln = 7 = ln = 4 l n = = e = ±e 10
1.4. Função Logarítmica Relembrando o problema eposto na secção.1 como poderemos determinar ao fim de quantos anos o investidor obterá 0 000 euros? Ora, o que pretendemos é a solução da equação: 100 000 (1, 05) = 00 000 (1, 05) = = log 1,05 Como pudemos observar, no eemplo anterior introduzimos uma nova função, a função logarítmica. Definição 4 Chamamos função logaritmo à função tal que log a = a = (5) Se a = e representamos a função logaritmo por ln = e = (6) Esta definição implica que a função logaritmo e a função eponencial sejam inversas uma da outra isto é: f : IR IR + f() = a f 1 : IR + IR f 1 () = log a 11
Como as funções f() = a e g() = log a são inversas uma da outra, os seus gráficos são refleões um do outro em relação à recta =. 6 = a 4 = = log a 7 6 5 4 3 1 1 3 4 5 6 7 4 6 Propriedades da Função Logarítmica: Seja f() = log a, a IR + \{1} D f = IR +, D f = IR f é injectiva, é sobrejectiva O gráfico de f intersecta o eio dos XX em (1, 0) 1
f é estritamente crescente quando a > 1 e estritamente decrescente quando 0 < a < 1 a > 1 = lim f() = + + = lim 0 +f() = 0 < a < 1 = lim + f() = 0 = lim 0 +f() = + O gráfico de f tem uma assímptota vertical = 0 Eemplo 7. Partindo do gráfico de = ln, obtenha uma representação gráfica das seguintes funções: a) = ln b) = ln c) = ln d) = ln ( ) 4 = ln( ) = ln 6 4 4 6 = ln 4 13
4 = ln 6 4 4 6 4 4 = ln 6 4 4 6 4 14
INSTITUTO POLITÉCNICO DE VISEU ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DE VISEU Departamento Matemática Disciplina Matemática I Curso Gestão de Empresas Ano 1 o Ano Lectivo 007/008 Semestre 1 o Caderno de Eercícios: Função Eponencial e Função Logarítmica Autores: Maria Cristina Peioto Matos Nuno Conceição Joana Fialho Paula Sarabando 15
1. Calcule o valor numérico das epressões: ( ) 3 (a) 5(5 3 ) (b) 64 3 (c) 81 1 (d) 3 1 5 (e) 5 ( ) 1 ( ) 1 3 (f) (g) 64 5 3 (h) (i) 100 3 (j) 4 5 8 8. Aplique as propriedades das potências para simplificar as epressões: (a) (5 )(5 3 ) (b) ( 5 ) ( ) (c) 53 1 ( )( ) (d) (e) 8 1 5 6 1 5 ( ) ( )3 (f) 3 3 1 5 3 ( ) ( ) (g) (h) 9 5 3 (3) 3 3 (i) (8 )(4 3 ) (j) ( 4 6)1 [ ] 3 (k) (8 1 )(8 3 ) (l) ( e 3) ( ) ( ) 1 (m) e 0 e 5 1 (n) (o) e e 3. Associe cada uma das funções seguintes ao respectivo gráfico: (1) f() = 3 () f() = 3 (3) f() = 3 (4) f() = 3 (5) f() = 3 1 (6) f() = 3 + (a) (b) (c) (d) (e) (f) 16
( ) 4. (a) Encontre b > 1 tal que = 3 possa ser epresso como = 3 (b ). 5 (b) Estas funções são de crescimento os decrescimento eponencial? justifique. (c) Verifique o seu resultado traçando o gráfico das duas funções. 5. (a) Esboce o gráfico da função = (1, 5). ( ) 4 (b) Esboce o gráfico da função =, 5. 13 (c) Mostre algebricamente que estes dois gráficos são idênticos. 6. Resolva as equações seguintes: (a) 3 = 81 (b) ( ) 1 1 = 7 (c) 4 = ( + ) (d) ( + 3) 4 3 = 16 3 (e) e 3 = e (f) e 1 = e (g) 3 = 3 e (h) = e 7. Suponha que a função c(t) = 5 10000 t + 1 t + 0, 5 traduz a produção necessária no ano 1000 t para pagar todas as despesas de eploração. (a) Esboce o gráfico deste modelo (b) Estime qual ano a partir do qual a produção será suficiente para cobrir as despesas de eploração. (c) Qual o ano em que haverá lucro máimo? 8. O preço de um determinado produto no mercado, ( dependendo da ) quantidade disponível, 4 segue o modelo dado pela função p() = 5000 1. Considere [0; 800] 4 + e 0,00 com a quantidade disponível do produto no mercado. (a) Faça um esboço do gráfico da função. p() é crescente? E decrescente? (b) Determine o preço unitário do produto quando estão disponíveis 100 e 700 unidades no mercado. (c) Determine a quantidade máima de produtos no mercado de modo a que o preço unitário não desça abaio de 100. (d) Qual o limite do preço se a quantidade aumentar indefinidamente? 17
9. Num determinado teste aplicado por uma empresa de recursos humanos, a proporção de 0, 97 respostas certas é modelada pela função P(n) = 1 + e 0,n, em que n representa o número de tentativas de completar o teste. (a) Esboce o gráfico desta função e diga se ela é crescente ou decrescente. (b) Estime graficamente a proporção de respostas correctas após 8 tentativas. Confirme, analiticamente, esse resultado. (c) Estime o número de tentativas necessário para que a proporção de respostas certas seja superior a 0, 9. (d) A proporção de respostas certas tem limite quando n cresce indefinidamente? Justifique. 10. (a) Escreva 64 = 4 3 na forma logarítmica. ( ) 1 (b) Escreva log 4 = 3 na forma eponencial. 64 (c) Se 4 =log, determine. 11. Escreva cada equação na forma eponencial. ) (a) 4 =log 16 (b) 4 =log 3 81 (c) 1 =log 4 (d) =log 3 ( 1 9 1. Determine escrevendo as equações na forma eponencial. (a) log = 3 (b) log 4 = (c) log 8 = 1 3 (d) log 5 = 1 13. Escreva cada equação na forma logarítmica. (a) 5 = 3 (b) 5 3 = 15 (c) 4 1 = 1 4 (d) 9 1/ = 3 14. Calcule: ) (a) log 8 (b) log 3 9 (c) log 5 ( 1 5 18
15. Associe cada uma das funções seguintes ao respectivo gráfico: (1) f() = + ln() () f() = ln() (3) f() = ln( + ) (4) f() = ln( 1) (a) (b) 1 1 1 4 1 (c) 3 (d) 1 1 1 4 1 16. Use as propriedades dos logaritmos ou a definição para simplificar cada epressão. (a) Se f() = ln, determine f(e ). (b) Se f() = ln, determine f( e). (c) Se f() = e, determine f(ln 3). (d) Se f() = 10, determine f(log ). 17. Aplique as propriedades das funções eponencial e logarítmica para simplificar as epressões: (a) log 3 (3 ) (b) 1 + ln(e ) (c) e ln( ) (d) 8 + e ln(3 ) 18. Sabendo que ln() 0, 6931 e que ln(3) 1, 0986, utilize propriedades dos logaritmos para calcular valores aproimados de ( ) 3 (a) ln(6) (b) ln (c) ln(81) (d) ln(4) (e) ln( 3 1) (f) ln ( ) 1 7 19
19. Escreva como logaritmo de um único número: (a) ln( ) ln( + ) (b) ln( + 1) + ln( 1) (c) 1 3 [ ln( + 3) + ln() ln( 1) ] (d) ln(3) 1 ln( + 1) (e) ln() + 1 ln( + 1) (f) 1 ln( ) + 3 ln( + ) 0. Aplique as propriedades dos logaritmos para escrever as epressões como uma soma, diferença ou múltiplo de logaritmos. ( ) ( ) (a) ln (b) ln + 1 3 (c) ln ( ) 1 e (d) ln ( z(z 1) ) 1. Verifique analítica e graficamente que os pares de funções seguintes são equivalentes para > 0 : ( ) (a) f() = ln 4 ) (b) f() = ln( ( + 1) g() = ln() ln(4) g() = 1 [ ln() + ln( + 1) ]. Resolva as equações seguintes: (a) e 0,0174 = 0, 5 (b) e ln() = 4 (c) ln() = 4 (d) e +1 = 4 (e) 500(1, 07) = 1000 (f) e ln() 9 = 0 (g) 400(1, 06) = 1300 (h) 45 = 4 1 + e t 3. Verifique analítica e graficamente que os pares de funções seguintes são inversas para > 0 : (a) f() = e 1 (b) f() = e 3 g() = 1 + ln ( ) g() = ln ( 3) 0
4. Os alunos de uma turma foram submetidos a uma prova no início do ano lectivo e no fim de cada um dos 10 meses seguintes com provas de dificuldade equivalente. A classificação média admite o modelo S(t) = 53 + 5 ln(t + 1). (a) Esboce o gráfico da função e classifique-a quanto à monotonia. (b) Qual foi a média das classificações na primeira prova? E na prova no final do 4 o mês? (c) Após quantos meses foi ultrapassada a média de 60? 5. Um automóvel percorre 5km com um litro de combustível se mantiver uma velocidade média de 60km/h. Os kms percorridos decrescem cerca de 7% por cada 10km/h a mais na média. Sendo s a velocidade e o número de kms percorridos por litro, um bom modelo para o número de kms percorridos com 1 litro de combustível em função da velocidade média é = 5e 0,4 0,007s, s 60. Determine a quantidade de combustível gasta por esse automóvel numa viagem de 150kms às médias de 60km/h, 80km/h e 100km/h. Juros Compostos: Se P euros forem investidos a uma taa de juros r por ano, capitalizando anualmente, o valor futuro S no fim do enésimo ano é dado pelo modelo: S = P(1 + r) n 6. Aplicam-se 1000 euros numa conta que rende juros à taa anual de 4%. Qual o tempo necessário para a duplicação desta quantia se o juro é composto (a) anualmente (b) mensalmente (c) diariamente (d) continuamente 1
Modelos de Decrescimento Eponencial: f() = Ca com a > 1 e C > 0 Modelos de Crescimento Eponencial: f() = Ca com a > 1 e C > 0 7. A população de uma cidade de 1970 a 1990 tem como modelo P(t) = 43000e 0,01737t, onde t = 0 corresponde a 1970. Segundo este modelo, em que ano a população foi de 400000? 8. Uma empresa descobre que as suas vendas começam a decair depois do fim de uma campanha publicitária e o declínio é tal que o número de vendas é S = 000. 0,1, onde é o número de dias após o fim da campanha. (a) Quantas vendas serão efectuadas 10 dias após o fim da campanha? (b) Se a empresa não quiser que as vendas caiam abaio de 500 vendas diárias, quando deveria iniciar uma nova campanha? 9. A produção V de uma floresta com t anos de idade tem o seguinte modelo matemático: V (t) = 6, 7e 48 t. (a) Determine a produção após 0 e 50 anos. (b) Esboce o gráfico deste modelo. (c) A produção tem um limite quando t cresce indefinidamente?