Cetro de Cêcas Agráras e Ambetas da UFBA Departameto de Egehara Agrícola Dscpla: AGR Boestatístca Professor: Celso Luz Borges de Olvera Assuto: Estatístca TEMA: Somatóro RESUMO E NOTAS DA AULA Nº 0 Seja X uma varável aleatóra, ou seja, uma característca quatfcável de uma udade expermetal ou parcela. Os valores assumdos por essa varável ós deomamos varate (x, x, x... x N ; em que,,,...,n represeta a ordem da varate). Mutos dos processos estatístcos exgem o cálculo da soma dessas varates, ou seja, x +x +x +... +x N. Para smplfcar a represetação da operação da adção as expressões algébrcas, utlza-se a otação Σ, letra grega sgma maúsculo, correspodete à letra S o alfabeto lato. Cosderado a segute soma: x +x +x +... +x N Exste uma forma abrevada de represetar esta soma, recorredo ao símbolo Σ e pode-se represetar a soma ateror por; x + x + x +... + x N N x Que se lê: somatóro de x ídce, com varado de até N, em que: N, é a ordem da últma parcela ou lmte superor (LS) do somatóro;, é a ordem da prmera parcela da soma ou lmte feror (LI) do somatóro;, é o ídce que está dexado os valores da varável X ( outras letras que ão terveham a soma, como j,k,l podem ser utlzadas. Exemplo: Sedo X varável altura de platas de mlho, em (m) x +x +x +... +x N, e assumdo que os valores dos dados de X são: N x,5+,8+,+...+, N etão, N º de udades da população º de udades da amostra
Propredades dos Somatóro As propredades facltam o desevolvmeto das expressões algébrcas com a otação do somatóro. O objetvo é desevolver as expressões até chegar às somas smples e/ou somas de quadrados. ª Propredade: O somatóro de uma costate k é gual ao produto do úmero de termos pela costate. k k + k +... + k k ª Propredade: O somatóro do produto de uma costate por uma varável é gual ao produto da costate pelo somatóro da varável. kx k x Demostrado: kx k x + k x +...+ k x k (x + x +... + x ) x k ª Propredade: O somatóro de um polômo é o somatóro de cada termo do polômo, ou o somatóro de uma soma ou subtração é gual à soma ou subtração dos somatóros dessas varáves. Sem perda de geeraldade, para três varáves X, Y e W, têm-se: x y w (x + y w ) + - (propredade dstrbutva) Demostrado: (x + y w ) (x + y w ) + (x + y w ) +... + (x + y w ) (x + x +... + x ) + (y + y +... + y ) - (w + w +... +wx ) x y + - w
Número de termos (parcelas) do Somatóro (NT) O úmero de termos ou parcelas de um somatóro (NT) pode ser obtdo por: NT (LS LI) + Se o somatóro está sujeto a r restrções, basta fazer: NT (LS LI) + r Exemplos: Obter o úmero de termos para os segutes somatóros: 8 5 x, NT (8 ) + k 9, x, NT (5 ) + - x Prcpas represetações do Somatóro ) x + x + x +... + x, soma smples x ) x + x +... + x, soma dos quadrados (SQ) ) x ( x + x + x +... + x), quadrado da soma 4) x y x y + x y +... + x y, soma dos produtos m 5) x y j ( x + x +... + x). ( y + y +... + y m ), produto das somas j
Exercícos Propostos. Calcule utlzado as propredades do Somatóro. Cosdere as varáves X e Y que represetam, respectvamete, os pesos de dos grupos de ses amas. Calcule: X {90,95,97,98,00,0} Y {0,70,80,0,90,75} a) x b) x c) x d) x y e) x y j j 4
Soluções.. a) 540 b) 4978 c) 900 d) 990 e) 4900 5
GLOSSÁRIO Amostra Dados Estatístca Parcela População Varável - parte reduzda da população a dmesões meores, sem perda das característcas essecas. Represetada pela letra. - são formações obtdas, seja com base os elemetos que costtuem a população ou a amostra. - é uma parte da Matemátca Aplcada que forece métodos para a coleta, orgazação, descrção, aálse e terpretação de dados e para utlzação dos mesmos a tomada de decsões; cojuto de métodos especalmete aproprados ao tratameto de dados umércos afetados por multplcdade de causas.. - ou, udade expermetal, é o local ode se coleta ou observa os dados a serem utlzados em determado estudo. - é cojuto de todos os elemetos aos quas estão assocadas determadas característcas que se gostara de detfcar, cohecer ou mesurar. Represetada pela letra N. - é, covecoalmete, o cojuto de resultados possíves de um feômeo; qualquer característca quatfcável em uma udade expermetal. Represetada pelas letras W, X, Y, Z. Uma varável pode ser: Qualtatva (Nomal e Ordal) ou Quattatva (Cotíua ou Dscreta). Varável Qualtatva apreseta como possível resultado uma qualdade ou atrbuto (categora) do elemeto pesqusa; pode ser dstrbuída em determado úmero de categoras mutuamete exclusvas. Ex: sexo (masculo e femo), educação (º grau, º grau, superor), etc. Varável Qualtatva Nomal ão exste ehuma ordeação os possíves resultados. Refere-se apeas a ome (local ou regão de procedêca, aturaldade, etc.) Ex: a pesqusa socoecoômca etre moradores da cdade A. Varável Qualtatva Ordal exste certa ordem ou sére os possíves resultados. Ex: ível educacoalº grau, º grau, superor; Classe socal A, B, C, etc. Varável Quattatva quado é mesurável, sto é, quado é expressa umercamete. Ex: dade, peso, altura, etc. Varável Quattatva Cotíua é aquela que pode assumr teorcamete, qualquer valor etre dos lmtes. Ex: redmeto de uma cultura, pos pode assumr valores teros, 0 t/ha, como valores cotíuos, 0,7 t/ha, 0,8 t/ha, 0,9 t/ha. Varável Quattatva Dscreta ou Descotíua quado a varável só pode assumr valores pertecetes a cojutos eumeráves. Ex: º de frutos por plata. Varate - valores assumdos pela varável.
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