Centro de Ciências Técnológicas - CCT Deartamento de Matemática - DMAT Eercícios da Aostila de Home age: htt://www.joinville.udesc.br/ortal/rofessores/eliane/ Aostila editada ela Profa. Eliane Bihuna de Azevedo, com contribuições dos Profs. Dario Noli e Elisandra Bar de Figueiredo. Joinville, fevereiro de 05.
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Formulário Círculo Trigonométrico: Adatado de: htt://tio0.blogsot.com/008/09/crculo-trigonomtrico.html Acesso: 5//0. Funções trigonométricas: Hi CO θ CA. Seno: sen() = CO Hi ;. Tangente: tg() = CO CA = sen () cos () : CA. Cosseno: cos () = Hi ;
4 Relações Trigonométricas:. sen () + cos () = ;. tg () + = sec () ;. +cotg () =cossec () ; 4. sen(a b) = sen(a) cos (b) sen(b) cos (a) ; 5. cos(a b) = cos (a) cos (b) sen(a) sen(b) ; 6. sen() = sen() cos () ; 7. cos () = cos () sen (); 8. sen () = cos (); 9. cos () = + cos (); Proriedades de Logarítmos:. log a (a) = ;. log a = 0; b. log a (bc) = log a b + log a c; 4. log a = log c a b log a c; 5. log a (b c ) = c log a b; 6. log b a = log c a log c b ; Proriedades de Eonenciais:. a b+c = a b :a c ;. a bc = a b c = (a c ) b ; c. ab = a b c ; 4. n ab = n r a: n b; n a n a 5. b = n ; 6. a log a b = b: b Funções Hierbólicas:. Seno Hierbólico: senh() = e e ;. Cosseno Hierbólico: cosh () = e + e : Relações ara Funções Hierbólicas:. cosh () senh () = ;. senh() + cosh () = e ;. cosh () senh() = e ;
5 4. tgh () = sech () ; 5. cotgh () =cossech () ; 6. senh( + y) = senh() cosh (y) + cosh () senh(y) ; 7. cosh ( + y) = cosh () cosh (y) +senh() senh(y) ; 8. senh() = senh() cosh () ; 9. cosh () = cosh +sinh () ; 0. senh =. cosh = cosh () ; cosh () + : Função Par: f () = f ( ) Função ímar: f ( ) = f () Função Periódica: f ( + T ) = f () Limites Notáveis: sen (u) cos (u). = ;. = 0; u!0 u u!0 u. + u a = e; 4. u! u u = ln a: u!0 u Formas Indeterminadas ou Indeterminações: 0 0,, 0, +, 00, e 0 : De nição de Derivada: f 0 f ( + ) () =!0 f () : Aroimação Linear Local: f ( 0 + ) ' f ( 0 ) + f 0 ( 0 ) :
6 Tabela de Derivadas Sejam u = u () e v = v () funções deriváveis e n R. Função Derivada. y = u n y 0 = nu n u 0 ;. y = uv y 0 = u 0 v + v 0 u; y 0 = vu0 uv 0 v ;. y = u v 4. y = a u, a > 0 e a 6= y 0 = u 0 :a u ln a; 5. y = e u y 0 = u 0 e u ; 6. y = log a u, a > 0 e a 6= y 0 = u0 u a e; 7. y = ln u y 0 = u0 8. y = sen(u) y 0 = u 0 cos u; 9. y = cos u y 0 = u 0 sen(u); 0. y = tg(u) y 0 = u 0 sec (u);. y = cotg(u) y 0 = u 0 cossec (u);. y = sec (u) y 0 = u 0 tg(u) sec (u);. y = cossec(u) y 0 = u 0 cossec(u)cotg(u); 4. y = senh(u) y 0 = u 0 cosh (u); 5. y = cosh u y 0 = u 0 senh(u); 6. y = tgh(u) y 0 = u 0 sech (u); 7. y = cotgh(u) y 0 = u 0 cossech (u); 8. y = sech(u) y 0 = u 0 sech(u)tgh(u); 9. y = cossech(u) y 0 = u 0 cossech(u)cotgh(u) ; 0. y = arcsen(u) y 0 =. y = arccos u y 0 = u 0 u ; u 0 u. y =arctg(u) y 0 = u0 + u ;. y =arccotg(u) y 0 = 4. y = arcsec u, juj y 0 = u 0 + u ; u 0 juj, juj > ; u 5. y =arccossec(u), juj y 0 = juj, juj > ; u 6: y =argsenh(u) y 0 u 0 = u + ; 7. y =argcosh(u) y 0 = u 0 u 0 u, u > ; 8. y =argtgh(u) y 0 = u0, juj < ; u 9. y =argcotgh(u) y 0 = u0, juj > ; u 0. y = argsech(u) y 0 =. y = argcossech(u) y 0 = u 0 u u, 0 < u < ; u 0 juj, u 6= 0: + u
7 Tabela de Integrais Imediatas. R u n du = un+ + c, n 6= ; n +. R du u = ln juj + c;. R a u du = au + c, a > 0 e a 6= ; ln a 4. R e u du = e u + c; 5. R sin (u) du = cos u + c; 6. R cos (u) du = sin u + c; 7. R sec (u) du = tg(u) + c; 8. R cossec (u) du = cotg(u) + c; 9. R sec (u) du = ln jsec (u) + tg (u)j + c; 0. R cossec(u) du = ln jcossec (u) cotg (u)j + c;. R du u + a = u a arctg + c. a
8 Caítulo : Números Reais, Intervalos e Funções. Determine o domínio e construa o grá co das seguintes funções. A seguir identi- que como estão relacionados os grá cos das funções do mesmo tio. (a) f() = 4 (b) g() = 4 + (c) h() = 4 ( ) (d) () = 6 ( ) (e) f() = (f) g() = ( + ) (g) h() = ( + ) + (h) () = 4 (i) q() = (j) f() = (k) g() = + (l) h() = + (m) f() = log (n) g() = log( ) (o) h() = log () () = ln (q) f() = (r) g() = (s) h() = (t) () = + (u) q() = e (v) f() = (w) h() = () () = (y) f() = sin() (z) h() = sin. Resolva as inequações e aresente seus resultados usando a notação de intervalos. (a) + 7 > (b) + (c) > + (d) < (e) 0 < < (f) 4 + > 0 4 (g) j + 4j j 6j (h) 6 5 + (i) jj + < 0 (j) 5 < j4 j < jj (k) > jj (l) jj + < (m) j + jj + j 5. Seja f() = : Determine os valores indicados sendo a um número real. + 4 (e) f( a) (a) f(=a) (b) =f(a) (c) f(a ) (d) [f(a)] (f) f(a) f(a + h) (g) f(a) h 4. Determine quais das funções abaio, de R em R; são injetoras e quais são sobrejetoras. Justi que suas resostas. (a) y = + (b) y = 5 + 6 (c) y = ( (d) y = ; se 6= 0 0; se = 0 ; com h 6= 0
9 5. Seja f() = determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. + (a) g() = f (b) h() = (f f)() + 6. Sejam f() = ln e g() = determine a lei das seguintes funções e o seu domínio. (a) h() = (f g)() (b) u() = (g f)() 7. Use a de nição de módulo ara reescrever as funções abaio e a seguir esboce seu grá co. (a) f() = jj + j j + j j (b) f() = j9 j 8. Sejam f e g duas funções de R em R assim de nidas: f() = + ; se 0 + ; se < 0 e g() = : Determine f g e g f: 9. Sendo f : R! R de nida or: f() = + ; se 0 ; se > 0 : Determine f f: 0. Determine quais das funções abaio são ares ou ímares. (a) f() = 5 (b) f() = + + (c) f() = jj (d) f() = a + a (e) f() = ln( + + ) + (f) f() = ln. Mostre que se f e g são funções ímares, então (f + g) e (f g) também são funções ímares.. Mostre que se f e g são funções ímares, então f g e f g são funções ares.. Mostre que a função [f() + f( )] é ar e que a função [f() f( )] é ímar. 4. Prove que qualquer função f : R! R ode ser eressa como a soma de uma função ar com uma função ímar. 5. Se f() = ; mostre que f( + ) f( ) = 5 f(): 6. Se f() = e ; veri que que f()f(y) = f( + y): 7. Se f() = ln ; veri que que: (a) f() + f(y) = f(y) (b) f( ) = f() (c) f( u v ) + f(v u ) = 0
0 8. Determine o domínio das seguintes funções. s (a) f() = e + (f) f() = cosh + 5 j 5j + s + 5 (g) f() = sinh( (b) f() = ( e j 5j ) )( + ) r s jj (c) f() = (h) f() = ln + jj + (d) f() = ln( ) (i) f() = e j j (e) f() = e sinh( ) ln(sin ) (j) f() = arcsin ln( ) 9. Nos itens abaio determine a função inversa e construa o grá co de f e f : (a) f() = ; (b) f() = + (c) f() = + ; 0. Determine a função f() de rimeiro grau que satisfaz f() = e f( ) = 7:. Seja f() = cos e g() = + : Classi que a função h() = g () (g f)() como função ar ou ímar.. Sejam f e g as funções de nidas or f() = e g() = (a) Veri que se a função h() = (g f)() é ar ou ímar. (b) Determine todos os valores reais de que satisfazem a inequação j + g()j f() :. Seja g a função de nida or g() = ln( ): Determine a inversa da função g() e o domínio e imagem desta. 8 < ; se > 4. Considere a função de nida or f() = ; se = : : ; se < (a) Construa o grá co de f(): (b) f : R! R é bijetora? Justi que. (c) Determine f (); restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu grá co. : 5. Considere a função de nida or f() = ln( + ); se 0 e ; se < 0 :
(a) Construa o grá co de f(): (b) f : R! R é bijetora? Justi que. (c) Determine f (); restringindo domínio e contradomínio se necessário, e construa o seu grá co. 6. Seja f() = cos(): Determine: (a) o eríodo de f(): (b) f () com restrição de domínio e imagem. (c) o grá co de f() e f (): 7. Seja f() = sin(): Determine: (a) o eríodo de f(): (b) f () com restrição de domínio e imagem. (c) o grá co de f() e f (): 8. Considere as funções f e f g de nidas or f() = ln( ) e (f g)() = + : Determine as funções g e g : A seguir determine o domínio e a imagem de g : 9. Seja f() = e e : (a) Prove que se f(a) = f(b); então a = b: (b) Prove que dado y R eiste R tal que f() = y: (c) Determine D(f ); Im(f ) e a lei de f :
Resostas:. Resostas em gruo. (a) - (d): Df = R (e) - (i): (j) - (l): Df = Dg = [0; +); Dh = [ ; +) De (m)-(): Df = Dg = D = (0; +) ; Dh = ( ; +) (q) - (u): Df = Dg = Dq = D = Dh = R (v) - (): Df = Dh = R ; D = (0; +)
(y) e (z): Df = Dg = Dh = R.. (a) S = ( ; 8) [ ( 7; +) (b) S = ( ; ) [ (0; +) (c) S = [; +) (d) S = (0; ) (e) S = ( ; ) [ (; +) (f) S = ( ; 0) [ (; ) [ (4; +) (g) S = ( ; ] [ [0; +) (h) S = [ 9 5.. 4.. a (a) + 4a (b) a + 4 (c) a 4 + 4 (d) (a + 4) (e) a + 4 (i) S = ( ; 0) (j) S = ( 4; ] [ (; 4) (k) S = (; +) (l) S = [0; 5 ) (m) S = ( ; +) f ; g (f) (g) a + 4 a + h [(a + h) + 4](a + 4) (a) Bijetora (b) Nem -, nem sobrejetora (c) - (d) Bijetora 5.. (a) g() = + e D g = R f ; g (b) h() = e D h = R f g 6.. (a) h() = ln e D h = R + (b) u() = ln e D u = R + 7.. 8 >< (a) f() = >: 4 + ; se < 0 + ; se 0 < ; se < 4 ; se (b) f() = 9 ; se [ ; ] 9; se ( ; ) [ (; +)
4 8. 8 >< 9. (f f)() = >: ; se (f g)() = + ; se < + ; se 0 (g f)() = + ; se < 0 + ; se ; se < 0 + 4; se 0 < < ; se : 0. Função Par: (c) e (d); Função Ímar: (a) e (f). Use a de nição.. Use a de nição.. Use a de nição. 4. Use o eercício. 5. - 6. - 7. - 8.. (a) D f = R (b) D f = R f ; 0g (c) D f = ( ; +) (d) D f = R [ ; ] (e) D f = (0; ] (f) D f = R f5g (g) D f = f0g [ [; +) f5g (h) D f = ( ; ) [ [ ; +) (i) D f = [; +) (j) D f = (; ) 9.. (a) f : [0; +)! [; +) de nida or f () = +
5 (b) f : Rnfg! Rnfg de nida or f () = (+) (c) f : [ ; +)! ( ; ] de nida or f () = + 0. f() = 4. h é uma função ar.. (a) h é uma função ímar. (b) S = (0; +) fg. g () = e ; D g = R e Im(g ) = ( ; ): 4. Temos que f é injetora, orém não é sobrejetora (Justi que!), 8 < + ; se > f () = ; se = : + ; se < 0
6 5. Temos que f é injetora, orém não é sobrejetora (Justi que!), f e () = ; se 0 ln( ); se < < 0 Figura : Eercício 4 Figura : Eercício 5 6. T = ; f : [ ; ]! [0; ] dada or f () = arccos : 7. T = ; f : [ ; ]! ; 4 4 dada or f () = arcsin() : ++ 8. g() = e ; g () = ( ln() ) ; g : [e ; +)! [ ; +): Figura : Eercício 8 Figura 4: Eercício 9 9. f : R! R e f () = ln( + + ):
7 Caítulo : Limite e Continuidade de uma Função. Considere a função f() dada na Figura e determine: (a) f() (c) f()!! (b) f() (d) f()! + (e) f()! (f) f()!+ Figura : Eercício Figura : Eercício. Considere a função f() dada na Figura e determine: (a) f() (e) f()! (b) f()! + (c) f()! (d) f( ) (f)! f()! + (g)! f() (h) f() (i) f()! (j) f()!+. Considere a função f() dada na Figura?? e determine: (a) f()!0 (b) (c) f()!0 (d) f(0) (e) (f)!0 + f() f()! f()!+ Figura : Eercício Figura 4: Eercício 4 4. Considere a função f() dada na Figura 4 e determine: (a) f() (c) f()!! (b) f() (d) f()! + (e) f()! (f) f()!+ 5. Considere a função f() dada na Figura 5 e determine:
8 (a) (b)! f() f()! + (c) f()! (d) f( ) (e) f()! (f) f()!+ Figura 5: Eercício 5 Figura 6: Eercícios 0 e. 6. Em cada item determine o valor de que satisfaz a relação 0 < j aj < ) jf() Lj < ; dados: (a) f() = + ; a = ; L = 5 e = 0; (b) f() = + ; a = ; L = e = 0; (c) f() = ln( + ); a = 0; L = 0 e = 0; 5 (d) f() = + + ; a = ; L = 0 e = 0; 6 (e) f() = + + ; a = 0; L = e = (f) f() = + ; a = ; L = e = 7. Use a de nição de ite ara rovar que: 5 + 6 (a) =! 6 (b) 4 6 + 6 = 0! (c) + =! (d) ln( + ) = 0!0 (e) ( + + ) =!0 (f)! + = (g) =!5 (h) (i) (j)!! +!+ = 0 = + + = 0: 8. Seja f uma função de nida em R e tal que, ara todo ; é válida a inequação jf() j j j: Determine! e justi que sua resosta usando a de nição de ite.
9 9. Seja f uma função de nida ara R; com f() = e tal que, ara todo ; jf() j < j j : 4 Use a de nição de ite ara rovar que f é contínua em = : 0. Considere a função f() dada na Figura 6. (a) Para quais valores de 0 R eiste!0 f()? Justi que. (b) Para quais valores de 0 R f() é contínua? Justi que.. Seja f() a função reresentada na Figura 6 e g() reresentada na Figura 7. Determine: (a) (f + g)()! 9 (b) (f + g)( 9) g (c) ()! 9 f g (d) ( 9) f (e) (f g)() (f) (g)! 4! 4 +(f g)() (f g)()! 4 Figura 7: Eercícios. (h) (i)!0 (f + g)()!0 +(f + g)() (j) (f + g)()!0 (k) (f + g)(0) (l) (m) (n) g () f g ()!0 + f g (0) f!0 (o) ()!4 (f + g)()!4 +(f + g)() (q) (f + g)()!4 (r) (f + g)(4) (s) (t) (u) (v) (w)!+!!+!! (f + g)() (f + g)() (f g)() (f g)() g () f. Dados f() = ; g() = 4 e h() = 0: Obtenha os ites abaio!a!a!a justi cando seu raciocínio usando as roriedades de ites. 7g() (a) [f() + g()] (c) [g()] (e)!a!a (b) [h() g() + ]!a (d)!a f() + g() 6 + f() f() 8g()!a (f)!a h()
0. Determine ara quais valores de R a função f() dada a seguir é contínua. ( 5 ; se 6= 4 ( (a) f() = 4 + 6 ; se = 4 (d) f() = ; se 6= ( + + ; se ; se = (b) f() = ; se < < ; se (e) f() = ( ; se < 0 (c) f() = 0; se = 0 (f) f() = j + j ; se > 0 4. Determine o(s) valor(es) da constante k; se eistir(em), ara que a função 8 >< k; se f() = ; se < < >: k ; se seja contínua em R: ( + a + b + 5; se < 5. Considere a função f de nida or f() = 5; se = b a ; se > Determine os valores de a e b ara que a função f() seja contínua em R: : 6. Considere 8 as funções g e h de nidas or g() = ; ara todo R; e < ; se 6= 0 h() = : jj : a + ; se = 0 (a) Determine f() = (g h)(): (b) Determine o valor de a ara que a função f() seja contínua em = 0:
7. Calcule os ites. 5 + 6 4 6. ;.!!. t! t + 8 t + 4.! + 6 + 5 4 5.! 4 + 4 + 6 7. [ln ( + ) ln ] 8.!+ s 6 s 5s + 6. s! 4s 4 s y! y y + y + 9. u!+. u! r u 4u 5 u 7 + u 8 u4 + u s 6. s!6 s 6 + 4 5.!0 7 + 0 7.!4 4 5 + 6 0. y! 5y y + + 8.! + 4.!4 4 8 6. +!0 0 ( + h) 4 6 8. h!0 h + 9. t!0 a + bt t a + a, a > 0 0. a + b b, a, b > 0!a 8 + h.. h!0 h! 4 +.! ( ) 4. 5 +!4 5 5. + + 0 6.!+!+ + + 7. 8.!+ +! + 9.!+ + + 0. y!+ y 5 + 4y. y 5 +. y! 5+4y! 4 + +.! + 5 4.!4 j + j 6
8. Calcule os seguintes ites, usando os ites notáveis semre que for ossível. sen ( ) (n)! + sin sin (a)! sen (a + ) sen (a ) (b)!0 sin :cotg () (c)!0 (d)! + sen (e)! cos (f)! sen tg () sen (g)!0 ln ( + a) (h)!0 e a e b (i)!0 ln ln (j)! (k) ( + tg ()) cotg ()!0 e e (l)! ln ( ) (m)! (o)! ()! + 7 + tg (q)!0 q +4 (r) ( + 5)! 4 (s) 5 + +!+ e a (t)! e ( ) (u)! e (5 5) (v)!0 sen cos 5 (w)!0 sen() sen ()!+ + (y) [ (ln ( ) ln )]!+ " (z) 0 + + # +5! 9. Calcule os seguintes ites, usando os ites notáveis semre que for ossível. sen (a)!0 tg () (b)!0 cos + cos () (c) ln! + (d)!0 e sen sin () e e (e)!0 sen () sen 4! (f) sin [5 ( )] (g)! 4 (h)! cos + sin (i) (sen + cos ) sec! (j) [ ( e )]! (k) cos (l) ( ) tg!!0 0. Sejam f e g duas funções de nidas or g () = e f () = Determine!6 h () :, sendo h () = (f g) () : ( 4) cosec ( 4) : e e4
. Sejam f () = ln + c, ara todo < ; e k = : Encontre, se!+ c ossível, o valor da constante c ara que f (0) = k: ( a sin () + ( + ) b, se < 0. Considere a função f () de nida or f () = : a ( + ) + b, se 0 Encontre, se ossível, uma relação entre as constantes a e b de tal forma que a função f () seja contínua em 0.. Obtenha F (), sabendo que F () = h (f (g ())) com f () = e, g () =! e cos ( ) e h () = 4. Sejam f () = ln ( + j j) e g () = e : (a) Determine o domínio da função f: (b) Estude a continuidade da função h (), sabendo que 8 >< g (f ()), se Df 0, se = 0 h () = >: sin (), se R fdfg Caso a função h não seja contínua em todos os ontos, classi que a(s) descontinuidade(s). 5. Use a de nição de continuidade ara decidir se a função 8 e sin >< sin (), se 0 f () = >: + +, se > 0!+ é contínua em = 0. Caso conclua que a função não é contínua em 0 classi que essa descontinuidade. 6. Sejam f () = sin(5), g () = e h () = ln ( ) : Determine F (),! f (g ()) sabendo que F () = g () :h (h ( )). 8 e b 5 5 cos, se < 0 >< 7. Considere a função f, de nida or f () = a, se = 0 >: ( + ) (ln 5)=, se > 0 Encontre, se ossível, o valor das constante a e b ara que a função f () seja contínua em 0. 8. Determine o valor dos seguintes ites, justi cando sua resosta. : :
4 (a) + cos()!+ (b)!0 q(); sendo q() = (c)! e sin() ; se Q ; se R Q 9. Temos que h sin() tan() ara todo 0; i tan() sin() ara todo ; 0 Use o Teorema do confronto ara rovar que!0 sin() = : 0. Seja f de nida em R tal que ara todo 6= tem-se que + f() : Calcule! f() justi cando sua resosta.
5 Resostas:.. (a) (b)! f() = f() = 0! + (c)! f() não eiste (d) f() = 0 (e) f() = 0! (f) f() = +!+.. (a)! f() = 5 (b) f() = 5! + (c) f() = 5! (d) f( ) = 5 (e) (f)! f() = 5 f() = 5! + (g)! f() = 5 (h) f() = 4 (i) (j) f() = +! f() = +!+.. (a) (b)!0 f() = + f() = +!0 + (c)!0 f() = + (d) f(0) não eiste (e) (f) f() não eiste! f() não eiste!+ 4.. (a) (b)! f() = f() = +! + (c)! f() não eiste (d) f() = 0 (e) f() =! (f) f() = +!+ 5.. (a) (b)! f() = f() =! + 6.. (a) = 0; (b) = 0; 04 (c) = 0; 4 7.. (c) f() não eiste! (d) f( ) = (d) = 0; 4 (e) = 0; 4 (f) = (e) f() =! (f) f() =!+ (a) = (b) = (c) = minfj j; + g; (0; ) (d) = minfje j; e g (e) = minfj j; + g; (0; ) (f) = minfj( ) 4j; ( + ) 4g; (0; )
6 ( ) (g) = min 4; 4 ; (0; =) + (h) N = (i) = M ; (0; =) ou N ode ser qualquer número negativo se > (j) N = + 8. Use a de nição de ite e mostre que dado > 0 basta escolher = = ara rovar que! f() = : 9. Use a de nição de continuidade num onto e a de nição de ite. 0. (a) 0 R f 4; 0g (b) 0 R f 9; 4; 0g.. (a) 0 (b) (c) 0 0 (indeterminação) (d) 0 (e) 4 (f) (g) não eiste (h) 6 (i) + (j) não eiste (k) 6 (l) (m) 0 (n) (o) () (q) (r) 0; 5 (s) + (t) + (indeterminação) (u) + (v) (w) +. (a) 6 (b) (c) 6 (d) (e) (f). (a) R f4g (b) R f ; g (c) R f0g (d) R fg (e) R f0; g (f) R f0g 4. Não eiste valor ara k ara que f seja contínua. 5. a = e b = 7 6. (a) f() = 4 ; se 6= 0 a + a ; se = 0 (b) a = 7.... 4. 4. 5 5. 0 6. + 7. 0 8. 0 9. 0 0. 5... 4. 6
7 8.. 5. 6. 0 4 7. 8. b 9. 0. a.. 4. 9 4. 5. 0 6. 0 7. 8. a( ) b a +b 9. + 0... 0. 5 4., se! 4 e 5, se! 4+ 8 8 8 (a) cos (b) cos a (c) (d) e (e) (f) (g) (h) a (i) a (j) (k) e (l) e (m) b (n) (o) 7 ln () (q) e (r) e (s) (e + 5) (t) (u) 5 (v) (w) ln ln a 5 () (y) (z) e + 0 9.. (a) (b) (c) 0 0. e 4 (d) (e) (f) 0 ln. c = ln( ). a = b. 0 (g) (h) e 4 (i) e (j) (k), se! 0 + ; (l), se! 0
8 4. (a) (0; +) (b) h() é contínua ara todo R 5.!0 +f () = ;!0 +f () = ; descontinuidade essencial em = 0. 6. 5 7. a = 5 e b = 5 8. Todos os ites dão zero. 9. - 0.! f() =
9 Caítulo : Derivada e Diferencial f( + h) f(). Para as funções dadas abaio calcule : h!0 h (a) f() = (b) f() = (e) f() = cos (c) f() = (f) f() = tan() (g) f() = log a (); a R + (d) f() = sin() (h) f() = a ; a R + fg fg. Use a de nição ara encontrar a rimeira derivada de cada uma das funções abaio. (a) f () = (c) f () = e + (b) f () = (d) f () = ln ( + ) + (e) f () = sinh (a) ; a R Nos eercícios a 5 use a de nição de derivada ara encontrar o coe - ciente angular da reta tangente. Seja f () = : (a) Determine o coe ciente angular da reta tangente ao grá co de y = f(); no onto de abscissa =. (b) Determine a equação da reta tangente no onto mencionado. (c) Determine os ontos da curva y = f() em que a reta tangente tem inclinação de 60 : 4. Seja f () = : Se ossível, determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y = f() no onto P ; : 5. Caso eista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva f () = + ln ( + ) que é(são) erendicular(es) a reta r : y + = 6: 6. Determine as coordenadas dos ontos da curva f () = + em que a reta tangente é aralela ao eio : 7. Mostre que as retas tangentes à curva f () = sin intercetam-se formando um ângulo reto. 8. Determine a equação da reta normal a curva f () = r : y + + = 0: em = e =, + que é aralela a reta 9. Considere a curva dada or f () = 4. Caso eista, escreva a equação da reta tangente a esta curva que é aralela a reta r : + y = 0: 0. Seja f() = e : Determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y = f() no onto cuja abscissa é = :. Determine as abscissas dos ontos do grá co de y = cos () ; nos quais as retas tangentes são erendiculares a reta r : + 4y = 5:
0. Dada a curva f () = : Determine a equação da reta normal a esta curva no onto em que a reta tangente é aralela à reta r : + y 5 = 0:. Dada a curva f () = + determine, se ossível: (a) o(s) onto(s) da curva onde a reta tangente é aralela a reta y = : (b) a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva no(s) onto(s) onde a inclinação é 45 : 4. Em cada item, veri que se a função dada é derivável nos ontos referidos, justi - cando sua resosta. ; se < (a) f () = ; em = : 7; se (b) f () = j j; em = : (c) f () = ; em = 9 : ; se < (d) f () = ; em = : ; se 4; se < (e) f () = ; em = : ; se + 4; se (f) f () = ; em = : + 4; se > 5. Seja f a função de nida or f() = ; se : Determine, se ossível, a + b; se > os valores das constantes a e b ara que f seja uma função derivável em = : Obs: Lembre que se f é derivável em um onto, então f também deve ser contínua neste onto. 6. Determine os ontos onde a função f () = jj + j + j não é derivável. 7. Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simles. (a) f() = ( + 4)( 4 (i) f() = e e 5) (b) f() = ( + ) (j) f() = ( ) (c) f(t) = t + t (d) f() = ( + ) (e) f() = ( + ) (f) f() = ln (9 + 4) (g) f() = ln(sin ()) (h) f() = sinh( ) (k) f() = + log (4 ) (l) f() = ln( 4 + 7) (m) f() = ln (n) f() = ln( ) + ln! + (o) f() = ln (9 4) () f() = csc( ) (q) f() = e ln (r) f() = e ln() (s) f() = sec( ) (t) f() = 4 e cos() (u) f() = cot( sin( ) (v) f() = ln() + ln(ln()) (w) f() = sech () () f() = (y) f() = tan(5) (z) f() = e
8. Determine y 0 = f 0 (); com as simli cações ossíveis, sendo y = f() a eressão dada. (a) y = (4 5 + + ) (b) y = e ln (c) y = ln(( ) 5 ) e + (d) y = ln (5 (n) y = ln + ) e (e) y = tg( ) (f) y = + 4 4 (g) y = ( 8 5 + 6) 0 (h) y = ln + ln (i) y = 4 (j) y = ln r + (k) y = ln(ln(sec())) (l) y = (sin(5) cos(5)) 5 (m) y = csc() + (o) ln y y ln = () e y + y = (q) 8 + y = 0 (r) y = sin y (s) = sin y (t) y = arcsin( ) (u) (y 9) 4 = (4 + ) (v) cos (y) ln(y) = 0 (w) y = ( + arccos()) () y = ln(arctan( )) (y) y = e tan( ) (z) y = arctan( 5) 9. Seja + y + y = uma curva, se eistir determine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva e que seja(m) aralela(s) a reta(s) r : + y =. 0. Se eistir, escreva a equação da reta normal a curva ( + 4) y = 4 e que asse ela origem do sistema cartesiano.. Mostre que as retas tangentes às curvas 4y y +5y = 0 e 4 4y +5+y = 0, na origem, são erendiculares.. A reta = a interceta a curva y = +4+ num onto P e a curva y = + num onto Q. Para que valor(es) de a as retas tangentes a essas curvas são aralelas? Encontre a(s) equação(ões) da(s) referida(s) reta(s).. Determine a equação da reta normal à curva C : y + y = y + no onto em que a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor. 4. Seja P o onto de interseção das curvas C : + y = 5 e C : y =. Mostre que as retas tangentes às curvas C e C são erendiculares no onto P. 5. Se f() = ; obtenha uma fórmula ara f (n) () onde n é um inteiro ositivo. Quanto é f (n) ()? 6. Determine a eressão da derivada n-ésima em cada caso: (a) f() = e a ; com a R : (b) f() = (a + b) m ; com a; b R e m N
(c) f() = + (d) f() = ln( ) 7. Determine f (0) () f (00) () ara as funções dadas a seguir: (a) f() = log () (b) f() = 00 8. Sejam f : R! R uma função diferenciável duas vezes e g : R! R dada or g() = f( + cos()): (a) Determine g 00 (): (b) Se f 0 () = e f 00 () = 8; calcule g 00 (0): 9. Considere a função g () = cos : [f ()] ;, onde f : R! R é duas vezes diferenciável. Se f (0) = e f 0 (0) = f" (0) = ; determine g 00 (0) : 0. Determine: (a) f 0 (0) sabendo que f sin = f ( ) + : (b) a função g sabendo que (f g) 0 () = 4 + 4; f () = e g 0 () = : (c) (g f h) 0 () ; sabendo que f (0) = ; h () = 0; g 0 () = 5 e f 0 (0) = h 0 () = :. Determine o valor das constantes A e B ara que a função y = A sin() + B cos() seja solução da equação diferencial y 00 + y 0 y = sin():. Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual a. Mostre que a tangente a C no onto P (; ) é ortogonal a reta r que assa ela origem e elo onto P:. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando regras de derivação já estudadas. (a) y = sinh(u) ) y 0 = u 0 cosh(u); (b) y = cosh(u) ) y 0 = u 0 sinh(u); (c) y = tanh(u) ) y 0 = u 0 sech (u); (d) y = coth(u) ) y 0 = u 0 cossech (u); (e) y = sech(u) ) y 0 = u 0 tanh(u)sech(u); (f) y = cossech(u) ) y 0 = u 0 coth(u)cossech(u); Obs. algumas identidades hierbólicas: cosh () sinh () = ; coth () tanh () = sech (); = cossech():
4. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando derivação imlícita. (a) y = arcsin(u) ) y 0 = u 0 u (b) y = arccos(u) ) y 0 = u 0 u (c) y = arctan(u) ) y 0 = u0 + u (d) y = arccot(u) ) y 0 = (e) y = arcsec(u) ) y 0 = (f) y = arccsc(u) ) y 0 = u 0 + u u 0 juj u u 0 juj u 5. Calcule a área do triângulo retângulo ABC na Figura, sabendo-se que n é a reta normal a f() = e no onto o = Figura : Eercício 5. 6. Um forno industrial coze a temeratura constante de 608 graus centígrados. A temeratura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temeratura de cozedura, é dada or: T (t) = 0t + 5t + ; t em minutos e T (t) em C. t + Determine: (a) a temeratura inicial do forno? (b) a variação da temeratura no intervalo de temo [; 0]: (c) a variação instantânea da temeratura ara t = 0. 7. O valor de um automóvel ao m de t anos é dado or V (t) = 50000e 0:t ; sendo V dado em reais e t em anos. (a) Por qual reço foi comrado o automóvel? (b) Reresente gra camente a função e determine o valor aroimado do automóvel daqui a 5 anos. (c) A taa de variação é negativa ara qualquer valor de t: Justi que esta a rmação e interrete este fato no conteto da situação. (d) Em que momento a taa de variação é -500 reais ao ano?
4 (e) Mostre que o grá co V 0 tem uma assíntota horizontal. Qual o seu signi cado relativo à situação? 8. Seja y = + a equação do movimento de uma artícula, determine: (a) a velocidade da artícula quando transcorridos s: (b) a aceleração da artícula quando transcorridos s: 9. Um carro está a s = horas. Pergunta-se: 6t 4t + 6 km a leste de uma arada no instante t (a) Qual é a velocidade no instante t = h e qual é o sentido que ele se move? 4 (b) Qual a osição do carro quando sua velocidade é nula? 40. Dois coros têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s = t + 4t + t e s = t 5t + t + : Determine a velocidade e as osições desses dois coros no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere s e s em metros e t em segundos. 4. Dois ontos artem da origem do eio no instante t = 0 e se movem ao longo desse eio de acordo com as equações = t t e = 8t t ; com e em metros e t em segundos. (a) Em que instante os dois têm mesma velocidade? (b) Qual a velocidade desses ontos no instante em que eles têm a mesma osição? 4. A osição de uma artícula que se desloca ao longo do eio y varia com o temo segundo a equação y = v 0 e c, 0, onde v 0 e c são constantes ositivas. c Use a DEFINIÇÃO de derivadas ara determinar a velocidade da artícula no instante : 4. Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce a razão de ; 5 cm/s. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 5; cm? 44. Dois carros, um dirigindo-se ara leste com velocidade de 80 km/h, o outro dirigindo-se ara sul com velocidade de 50 km/h, estão viajando em direção ao encontro das rodovias. A que velocidade os carros se aroimam um do outro, no momento em que o rimeiro carro está a 400 m e o segundo está a 00 m da interseção das rodovias? 45. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base m. O mesmo se enche de água à razão de 7 m /min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de rofundidade? 46. Uma iscina tem 8 m de largura, 8 m de comrimento, m de rofundidade em um etremo e 8 m no outro, o fundo tem forma de um lano inclinado. Se a água está sendo bombeada ara a iscina à razão de 0; 8 m /min, com que velocidade se eleva o nível da água no instante em que ele esta a ; 8 m na etremidade mais rofunda?
5 47. Em que ontos da arábola y 8 = 0 a ordenada y cresce duas vezes mais deressa que a abscissa? 48. Uma criança esta eminando uma ia e movendo-se horizontalmente a 4 m/s. Suondo que a ia ermaneça semre a 80 m de altura, sobre o nível do solo, qual é a velocidade com que a criança está soltando a corda da ia quando esta corda medir 00 m? Obs: Desreze a altura da criança. 49. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base de 5 m e altura de 0 m. Se instante t = 0s, a água começa a uir no tanque à razão de 5 m /h, determine: (a) com que velocidade sobe o nível da água? (b) quanto temo levará ara encher o tanque? 50. Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de m/s. Quando ele está a 7 m acima do solo, uma bicicleta que se desloca a uma velocidade constante de 5 m/s assa or baio dele. A que taa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará s deois? 5. O nível de café que escoa de um ltro cônico, de diâmetro e altura 5 cm, ara uma cafeteira cilíndrica, de diâmetro e altura 5 cm, varia a uma taa de 0 4 cm/min. A que taa o nível do café, na cafeteira, aumentará quando a altura de café no ltro for 5 cm? 5. Um cabo de cobre tem diâmetro de cm a 0 C. Suonha que seu comrimento é de m e não se altera com a variação da temeratura. Se seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0; 0cm= C; Calcule a taa de variação do volume desse cabo quando a temeratura está a 0 C. 5. Numa granja de frangos, o abastecimento de ração é automático. A ração está num reservatório que tem a forma de uma irâmide de base quadrada com m de lado e 6 m de altura, cujo vértice está voltado ara baio. Se o consumo de ração é de 0; 05 m =h, com que velocidade desce o nível de ração quando este está a m do vértice? 54. A altura de um triângulo cresce a razão de cm= min e sua área aumenta a razão de cm = min. Qual a taa de variação da base do triângulo quando sua altura for 0cm e sua área 00cm. 55. Uma iscina tem 4m de comrimento e seus etremos são traézios isósceles com altura de 6m, uma base menor 6m e uma base maior de 8m. A água está sendo bombeada ara a iscina à razão de 0m =mim. Com que velocidade o nível de água está subindo quando a rofundidade da água é de m? 56. Um avião (A) voa a 4 m/s, aralelamente ao solo, a uma altitude de 0 m no sentido oeste, tomando como referência um holofote (H), ado no solo, que o focaliza e que se encontra à esquerda da rojeção vertical (P) do avião e sabendo que a luz do holofote deverá ermanecer iluminando o avião, qual será a velocidade com que estará variando quando a distância entre o holofote e a rojeção vertical do avião for de 60 m?
6 57. Às 7 : 00 horas dois navios artem de um onto O em rotas que formam um ângulo de 0 : Os navios A e B deslocam-se a 0 km/h e 5km/h, resectivamente. Determine qual é a velocidade de afastamento desses navios às 9 : 00 horas. 58. Use aroimações lineares ara estimar o valor de (a) 4 7 (g) (b) (8; 06) 0 (c) tan(44 ) (h) e 0; (d) ln(; 05) (e) (i) arctan(; 0) 99; 8 (j) (; 0) 6 (f) (; ) ; (k) 65 59. Suonha que não temos uma fórmula ara g(); mas sabemos que g() = 4 e g 0 () = + 5 ara todo : Use uma aroimação linear ara estimar g(; 95) e g(; 05): 60. A aresta de um cubo tem 0cm, com um ossível erro de medida de 0,cm. Use diferenciais ara estimar o erro ossível no cálculo (a) do volume do cubo. (b) da área da suerfície do cubo. 6. Por meio de diferenciais obtenha uma fórmula aroimada do volume de uma na coroa cilíndrica de altura h; raio interior r e esessura r: Qual o erro decorrente do uso desta fórmula? 6. Estima-se em cm o raio de uma esfera com erro máimo de 0,05cm. Estime o erro máimo ara no cálculo do volume da esfera. 6. Uma janela tem o formato de um quadrado com um semicírculo em cima. A base da janela mede 60cm com um ossível erro na medida de mm. Use diferenciais ara estimar o maior erro ossível no cálculo da área desta janela. 64. Na medida que a areia escoa de um reciiente, vai formando uma ilha cônica cuja altura é semre igual ao raio. Se, num dado instante, o raio é 0cm, use diferenciais ara aroimar a variação do raio que ocasiona um aumento de cm no volume da ilha. 65. A área de um quadrado de lado s é dada or s : Para um acréscimo s de s; ilustre geometricamente da e A da: 66. Aroime, or meio de diferenciais, N = (; 0) 4 (; 0) + 4(; 0) 5: Qual o valor eato de N? 67. Uma caia em forma de cubo deve ter um revestimento eterno com esessura de /4 cm. Se o lado da caia é de m, usando diferencial, encontre a quantidade de revestimento necessária. 68. Um material está sendo escoado de um reciiente, formando uma ilha cônica cuja altura é semre igual ao raio da base. Se em dado instante o raio é cm, use diferenciais ara obter a variação do raio que origina um aumento de cm no volume da ilha.
7 Resostas:.. (a) f 0 () = (b) f 0 () = (c) f 0 () = (d) f 0 () = cos() (e) f 0 () = sin (f) f 0 () = sec () (g) f 0 () = log a(e) ; a R + fg (h) f 0 () = a ln(a); a R + fg.. (a) f 0 () = (b) f 0 () = 5 ( + ) ( + ) (c) f 0 () = e (d) f 0 () = + (e) f 0 () = a cosh (a) ; a R. (a) (b) y + = (c) não eiste 4. Reta tangente: y = 4 ; Reta normal: y = 9 + 56 9 5. y = e y = + 4 ln() 6. Não eistem. 7. Mostre que o roduto dos coe cientes angulares é -. 8. y = 9. y = 4 0. Reta tangente: y = e ( + ); Reta normal: y = e. = 7 ou = ; k. y = 5 e + e. (a) não eiste; (b) y = e y = + 4 4.. (a) Não é derivável. (b) Não é derivável. (c) Não é derivável. (d) Não é derivável. (e) Não é derivável. (f) f 0 () = : 5. a = e b = : 6. = 0 e = :
8 7.. (m) f 0 () = + ln (a) f 0 () = 8 5 + 0 4 6 0 0 (b) f 0 () = ( ) (n) f 0 () = + ln (c) f 0 4 (t) = t t (o) f 0 9 + 4 + 8 () = (d) f 0 () = ( + ) ( ) (9 4)( + ) () f 0 () = ln()cotg ( )cossec ( ) (e) f 0 () = ( + ) (q) f 0 () = e ln (f) f 0 () = 9 (r) f 0 () = (ln() + ) 9 + 4 (s) f 0 () = tan( ) sec( ) (g) f 0 () = cotg () (h) f 0 () = cosh( ) (t) f 0 () = 6 e cos() (ln(6) sin()) (i) f 0 () = e (u) f 0 () = (cos( ) )cossec ( sin( )) (j) f 0 () = (v) f 0 () = ln () ln() + ln() 8.. (k) f 0 () = 9 ln(9) + log (e) (l) f 0 () = 8 + 7 + (w) f 0 () = tanh()sech () () f 0 () = + ( ln() + ) (y) f 0 () = 5 ln() tan(5) sec (5) (z) f 0 () = e (ln() + )
9 (a) y 0 = 6(6 5 + )(4 5 + + ) (b) y 0 = (c) y 0 = 5 (d) y 0 = 0 ln (5 + ) 5 + (e) y 0 = ( )sec ( ) (f) y 0 = 8(4 )( 4 + ) 9 (g) y 0 = 404 (8 5) ( 8 5 + 6) (h) y 0 = ln (i) y 0 = 6( ) ( 4 8 + ) ( 4 ) 4 (j) y 0 4 = ( 4 ) (k) y 0 = tan() ln(sec()) (l) y 0 = 5(sin(5) cos(5)) 4 (sin(5) + cos(5)) (m) y 0 = cossec()[cotg()( + ) + ] ( + ) 9. y = e y = + (n) y 0 e = e (o) y 0 y(y ln y) = ( y ln ) ye y () y 0 = 6y + e y (q) y 0 = 8 y (r) y 0 sin y = cos y (s) y 0 = y sec y (t) y 0 = ln() arcsin( ) 6 (u) y 0 = (4 + )(8 + ) 4(y 9) (v) y 0 = y (w) y 0 = () y 0 = 9( + arccos()) 9 arctan( )( + 4 ) (y) y 0 = e [ 6 tan( ) + sec ( ) 4y (z) y 0 = 9 0 + 6 0. y =. m = 5 e m = 5. Para a = : y = 5+ 7 e y = 5 ; ara a = : y = 5 e y = 8:. y = 7 + 8 4. m = e m = 5. f (n) () = ( )n n! n+ e f (n) () = ( ) n n! 6.. (a) f (n) () = a n e a (b) f (n) () = m(m )(m ) (m (n ))(a + b) m n b n ; se n m e f (n) () = 0; se n > m
40 (c) f (n) () = ( )n+ n! ( + ) n+ (d) f (n) () = ( )n n (n )! ( ) n 7. (a) log e(00! + 99!) (b) 00! 8. (a) g 00 () = ( 6 sin ()) f 00 ( + cos()) 8 cos()f 0 ( + cos()) (b) g 00 (0) = 0 9. g 00 (0) = 0. (a) f 0 (0) = 6 5 (b) g() = + (c) 0. A = 0 e B = 0. m t =. - 4. - e m r = : 5. A = e u.a. 6. - 7.. (a) 6 C. (b) 7,875 C. (c) 9,9 C or minuto. (a) 50000 reais. d. 7, anos. 8. (a) v() = 4 u.c./s (b) a() = 6 u.c./s 9. (a) v(=4) = km/h e está indo na direção oeste (b) s() = 8km 40. t = s; v () = 5m/s; v () = 5m/s; s () = 65m; s () = 4m 4. (a),5s (b) t = 0s ) v = m/s e v = 8m/s; t = 5s ) v = 8m/s e v = m/s 4. v 0 e c u.c./u.t. 4. 55cm /s
4 44. 94km/h 45. 7 m/min 46. 0,005m/min ou 0,05m/min, deendendo da interretação da iscina. 9 47. 8 ; 9 48.,4m/s 49. (a) m/h (b),4h 50. 7 6 ; 46m/s 0 4 5. cm/min 9 5. ; 4cm / C 5. -0,5m/h 54. -,6cm/min 55. 0,065m/min 56. 0,08rad/s 57. 5 6km/h 58.. (a) 65 = ; 05 (b) 4; 0 (c) 90 0; 965 90 (d) 0; 05 (e) 9; 99 (f) ; (g) 6 0; 099 8 (h) 0; 87 (i) 4 + 0; 7954 00 (j) ; 06 (k) 9 4; 008 48 59. g(; 95) 4; 5 e g(; 05) ; 85 60. dv = 70cm e da = 6cm 6. V = rhr =(Área lateral do cilindro interior)(esessura) e E = h(r) 6. dv = 8; 8cm 6. da = 6; 76cm 64. dr = 50 cm
4 65. A região sombreada corresonde a da e A da está indicado 66. N ; e N = ; 0050 67. 60000 cm 68. 0,004409 cm
4 Caítulo 4: Regra de L Hôital. Calcule os ites, alicando a regra de L Hoital, quando ossível: arcsen sen sen y..!0!y y e sen sec. 4.!0 ln ( + )! sec () ln n 5. 6., ara n N!0 cossec! e tg () ln 7. 8.! tg ()!+, ara n N n cotg () 9.!0 cotg () 0. ( ) cos( )! e + ln ln (sen)..!0 + cotg ()!0 + ln (sen ). [ ln (sin tg () )] 4.!0 +!0 a 5. sin ) tg ()]! 6. [(!!a h a i 7. [( tg) sec ()] 8. (a ) tg! 4 9. ; 0. cos ( )!+! tg( )..!0 sen cos! ln. 4.!0 sen!0 tg () 4 5. 6. tg!0 4 (e + )!0 4 7. e + e 8. cos!! 9.! + 0.!. ( + sen ) cotg(). (e + )!0!0. (e + ) 4 4. ( + )ln!0!0 + sen tg( 5. 6. tg )!0! 4 tg 7.! 4 sen sen 9.!0 tg cos ln 4.! + 8.!0 + (e + ) ln 40.!0 sen cotg () ln(e )!0 4.
44 tg( 4. a ) 44.!a a ln (cotg ()) tg!0 e 45. 46.! arctg ( )!0 + 47. (e + ) 48. ( + ) 4 4!0! 49. 5.!! 5.! 4 50. ( )!4 arccos 5.!0 e ln (e + ) 54.! + a = 4. a. Determine o valor da constante a ara que!+. Determine todos os valores das constantes a e b ara que!0 a + cos (b) = 8: + e a= 4. Determine o valor da constante a ara que = e:!+ 5. Determine, se ossível, o valor da constante a ara que ln(+) sen () + a ln ( + ) =!0 +!0 tg () cos () : 6. Se f 0 é contínua e f (0) = determine, se ossível, o valor da constante m e o valor de f 0 (0) ara que m f (e 4 ) + [f (sin ())]!0 = :
45 Resostas:... 0. cos y. 0 4. 9, ara! 5. 0 6. 7. 8. 0 0, ara! + 9. 0.. +.. 0 4. 4a 7. 8.. 5. 8. 5. a 6. 9. 0 0. 6. 4. 6. 7. e 8. e 9. e 0. e. e. e. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 40. 4. 4. 4. e 44. 0 45. 46. 47. 48. 0 49. 50. e 8 5. 5. 0 5. 0 54. e. c = ln. a = e b = 4. a = 4 5. a = ln 6. m = e f 0 (0) = :
46 Caítulo 5: Análise da Variação das Funções. Seja f() = 5 + + : Justi que a a rmação: f tem elo menos uma raiz no intervalo [ ; 0]: Determine um intervalo de amlitude 0,5 que contenha a raiz.. Prove que a equação = 0 admite ao menos uma raiz real. Determine 4 + um intervalo de amlitude 0,5 que contenha a raiz.. Prove que cada um dos conjuntos abaio admite máimo e mínimo absolutos. (a) A = + = + (b) A = + = 4. Seja f : [ ; ]! R dada or f() = + + : (a) Prove que f() é o valor máimo de f: (b) Prove que eiste c ( f: ; 0) tal que f(c) seja o valor de mínimo absoluto de 5. Prove que a equação + 6 = 0 admite uma única raiz real. Determine o intervalo de amlitude que contenha a raiz. 6. Prove que a equação + 5+ = 0 admite três raízes reais distintas. Localize intervalos de amlitude que contenham tais raízes. 7. Determine condições sobre a R ara que a equação + 9+a = 0 admita: (a) uma única raiz real. (b) duas raízes reais distintas. (c) três raízes reais distintas. 8. Considere f() = : Eiste c [ ; ] tal que f(c) = 0? Justi que. + 9. Considere f() = : Podemos usar o Teorema de Rolle ara concluir que eiste c [ ; ] tal que f 0 (c) = 0? Justi que. 0. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e veri cam o Teorema de Rolle e justi que sua resosta. (a) f () = + sobre o intervalo ; ; (b) f () = sobre o intervalo [ ; ]; (c) f () = tan () sobre o intervalo [0; ]; (d) f () = ( ) ( ) ( ) sobre o intervalo [; ];
47 (e) f () = sin () sobre o intervalo [0; ].. Sabendo que f () = 4 4 + tem raízes e, elo teorema de Rolle é ossível a rmar que a derivada tem alguma raiz entre e? Justi que.. Em cada caso, eamine se as funções satisfazem as condições e veri cam o Teorema do Valor Médio (de Lagrange). Justi que. (a) f () = 5 + 6 sobre o intervalo [ ; 4]; 5 (b) f () = 4 sobre o intervalo [0; ]; (c) f () = 4 sobre o intervalo [ ; ]; (d) f () = sin sobre o intervalo [0; ]; (e) f () = sobre o intervalo [ ; ]; (f) f () = sobre o intervalo [0; ]. ( ). Através do teorema de Rolle é ossível a rmar que a função f () = j j ossui um onto crítico no intervalo [; 5]? Justi que. 4. Use algum dos teoremas estudados ara determinar em que onto da curva f () = a reta normal a esta curva é erendicular a reta que assa elos ontos A (; ) e B (0; ). 5. Utilize o Teorema de Lagrange ara demonstrar as desigualdades: (a) e +, ara 0; (b) arctan () <, ara > 0; (c) b n a n nb n (b a), ara b > a, n N (d) jsin sin j j j, ara e R. (, se = 0 6. Para que valores de a, m e b a função f () = + + a, 0 < < m + b, se o teorema do Valor Médio no intervalo [0; ]? Justi que. satisfaz 7. Em que onto da curva f () = n a tangente a curva é aralela a corda que une os ontos A (0; 0) e B (a; a n )? 8. Seja g a função de nida or g () = 4. (a) Usando um dos teoremas estudados, determine o onto em que a reta normal à curva y = g () também é normal a reta que assa elos ontos A ( ; 0) e B (0; ). (b) A função y = f () = 6 4 :g 0 (), veri ca o teorema de Rolle entre as raízes da função g? Justi que.
48 9. Seja () = A + B + C, onde A, B e C são constante reais e A 6= 0. Mostre que ara qualquer intervalo [a; b], o valor de c cuja eistência é garantida elo Teorema de Lagrange, é o onto médio do intervalo. 0. A rma-se que f (0) = e f 0 () 5, ara todo real, então elo Teorema do Valor Médio (ou de Lagrange) o maior valor ossível ara f () é 7. Pergunta-se: é verdade? Justi que.. Em cada caso, determine os intervalos onde f () é crescente e decrescente bem como todos os ontos de máimo e mínimo: 6 (a) f () = (e) f () = ( 8)( + ) (4 ) (b) f () = + sin ( ) (8 ) (f) f () = (c) f () = ln (d) f () = e (g) f () =. Em cada caso, determine todos os intervalos de concavidade ara baio e ara cima bem como os ontos de in eão. 6 (c) f () = (a) f () = (4 ( 8)( + ) ) (b) f () = e (d) f () =. Em cada caso, determine a equação de todas as assíntotas. 6 (a) f () = (4 ) (c) f() = sin (b) f () = (d) f() = cos( ) 4. Faça a análise e construa o grá co de cada uma das funções: (a) f () = ln (i) f () = e (b) f () = 6 4 9 (c) f () = 4 4 (d) f () = (e) f () = e (f) f () = e + (g) f () = e (h) f () = ( ) (j) f () = + (k) f () = + + e (l) f () = e (m) f () = + (n) f () = (o) f () = + () f () = 6 + (q) f () = ( ) e (r) f () = + (s) f () = (t) f () = ln( ) (u) f () = e (v) f () = + ln (w) f () = cot () ; 8 ( ; ) () f () = sec () 8 ( ; ) (y) f () = ln (cos ()) ; 8 (0; ) 5. Dada a função f () = ln ( + ), elique, usando o Teorema de Rolle, orque é ossível a rmar que eiste um ossível onto de in eão no grá co da curva de y = f (), no intervalo ;.
49 6. Seja f () = a + b c + d uma função. (a) Determine uma relação entre as constantes a, b, c e d ara que f () tenha ontos críticos em = 0 e =. (b) Se a > 0 em qual dos ontos críticos a função terá máimo e/ou mínimo? 7. Considere a função f () = 8 + 7 8 6 + 5 4 + + 4. A rma-se que no intervalo (0; ) esta função tem elo menos um onto crítico. Pergunta-se: é verdade? Justi que sua resosta. 8. Determinar os coe cientes a e b de forma que a função f () = + a + b tenha um etremo relativo no onto ( ; ). 9. Esboce o grá co da função f () que satisfaz as seguintes condições: i. f (0) = ; ii. y = é uma assíntota horizontal de f; iii. f não ossui assíntota vertical. iv. f 0 () > 0 ara todo ( ; ) [ (; +) ; v. f 0 () < 0 ara todo ( ; ) ; vi. f 00 () > 0 ara todo ; [ 0; ; vii. f 00 () < 0 ara todo ; 0 [ ; + : Determine os ontos de máimo(s) e/ou mínimo(s) e o(s) onto(s) de in eão. Justi que cada um desses itens. 0. Construa o grá co de uma função que satisfaz as seguintes condições: f 0 ( ) = f 0 () = 0; f 0 () < 0 se jj < ; f 0 () > 0 se < jj < ; f 0 () = se jj > ; f 00 () < 0 se < < 0; o onto P (0; ) é um onto de in eão.. Construa o grá co de uma função contínua em R que satisfaz as seguintes condições: i. f 0 () > 0 se jj < ; f 0 () < 0 se jj > ; f 0 () = 0; ii. f () = e f ( ) = f () ;!+ iii. f 00 () < 0 se 0 < < ; iv. P (; f ()) é onto de in eão.. Seja f a função cujo grá co está reresentado na gura a seguir.
50 Faça a análise grá ca de f, observando, se eistir(em), assíntota(s) vertical(is) e assíntota(s) horizontal(is), os intervalos em que f 0 () > 0 e f 0 () < 0, os intervalos em que f 00 () > 0 e f 00 () < 0, ontos de máimo(s) e/ ou mínimo(s) relativos, o(s) onto(s) de in eão, descontinuidades e raízes. Justi que cada item.. Sabe-se que f é uma função contínua em R. Construa o grá co de f de tal forma que sua rimeira derivada aresente o comortamento abaio ilustrado. Além disso, descreva o que ode ser concluído sobre o grá co de f 00 (): Justi que suas conclusões. 4. Esboce o grá co da função f, contínua em R; sabendo que o grá co da rimeira derivada de f está reresentado na gura a seguir e as raízes de f estão em = ; = 0 e = :
5 5. Sabendo que h é uma função contínua em R, h () =, h () = e!+! que o grá co de h 0 está ilustrado na gura abaio, faça um esboço do grá co da função h. Além disso, argumete de forma consistente se eiste(m) ou não onto(s) crítico(s), onto(s) etremo(s), onto(s) de in eão e assíntotas. 6. Sabendo que f é uma função contínua em R, (f () + ) =, f (0) =! f (6) = 0 e que o grá co da rimeira derivada de f está abaio ilustrado, esboce o grá co da função f. Justi que seu raciocínio com argumentos consistentes.
5 y 5 4 4 6 8 5 y = f 0 () 7. Quer-se construir uma sala retangular que tenha 6 m de área. Quais devem ser as dimensões ara que seu erímetro seja o menor ossível? 8. Tem-se um terreno retangular de 48 m de área. Pretende-se murá-lo e sabe-se que o vizinho de um dos lados aga a metade do muro que faz ite com sua roriedade. Para tanto, quais devem ser as dimensões deste terreno ara que se gaste o mínimo ossível ao murá-lo? 9. Dentre todos os retângulos de área 49 cm, qual tem erímetro mínimo? 40. Um fazendeiro tem 4 m de cerca ara construir três galões retangulares adjacentes (de mesma área), conforme a gura a seguir. Quais devem ser as dimensões totais dos galões de modo a maimizar sua área total? 4. Um sólido será construído acolando-se a um cilindro circular reto de altura h e raio r uma semi-esfera também de raio r. Deseja-se que a área da suerfície do sólido seja de 5cm : Determine os valores de r e h ara que o sólido tenha volume máimo. 4. Um arame de comrimento m é cortado em dois edaços, sendo que um edaço é dobrado em forma de quadrado cujo lado é l; e o outro edaço é dobrado em forma de círculo cujo raio é R: Como devemos cortar o arame ara que a soma das áreas englobadas elos dois edaços seja máima? 4. Há várias semanas o Deartamento de Estradas vem registrando velocidade do tráfego uindo numa rodovia aós uma saída. Os dados sugerem que a velocidade do tráfego na saída é aroimadamente f (t) = t 0; 5t + 0t + 0 km/h, onde t é o número de horas aós o meio dia. A que horas entre 5 e 8 horas, o tráfego se move mais ráido e a que horas ele se move mais lentamente? 44. Considere três números ositivos tais que sua soma é 5. Sabendo-se que o dobro do rimeiro mais três vezes o segundo, mais quatro vezes o terceiro é 45, determine então esses números de modo que o roduto dos três seja o maior ossível.
5 45. Considere o retângulo, da gura a seguir, cujo erímetro é 6cm. Determine os lados do retângulo ara que a área do trângulo ABC seja a maior ossível. 46. Determine, se eistir, um número ositivo tal que a soma de seu cubo com 4 vezes o inverso de seu quadrado seja o menor ossível. 47. Considere um semicírculo de raio. Determine: (a) as dimensões do retângulo com máima área que seja inscrito neste semicírculo; (b) a área deste retângulo. 48. Um reciiente com a forma de um araleleíedo de base quadrada tem um volume de :000 cm. Sabendo-se que o custo da base e da tama é o trilo do custo dos lados, determine as dimensões do reciiente de menor custo ossível. 49. Duas cidades estão localizadas ao sul de um rio conforme a gura a seguir. Uma estação bombeadora de água será instalada ara servir as duas cidades. A tubulação seguirá as retas que ligam cada cidade à estação. De na o onto onde a estação bombeadora deve ser instalada ara minimizar o custo da tubulação. 50. Determine as dimensões de um cilindro reto inscrito em uma esfera de raio R ara que este tenha o maior volume ossível. 5. Uma ista de atletismo com comrimento total 400m, consiste em semicírculos e dois segmentos retos, conforme a gura a seguir. Determine as dimensões da ista de tal forma que a área retangular, demarcada na gura, seja máima.
54 5. Uma folha de aelão quadrada com 6 cm é usada ara fazer uma caia aberta, retirando quadrados do mesmo tamanho dos quatro cantos e dobrando-se os lados. Qual é o tamanho dos quadrados que resulta na caia com o maior volume ossível? 5. Pretende-se estender um cabo de uma usina de força à margem de um rio, de 900m de largura, até uma fábrica situada do outro lado do rio, 000m rio abaio. O custo ara estender um cabo elo rio é de R$5; 00 or metro, enquanto que ara estendê-lo or terra custa R$4; 00 o metro. Qual é o ercurso mais econômico ara o cabo? 54. Considere um traézio isósceles de área 50cm : Sabendo que = 0 é um dos ângulos da base, determine a medida da lateral l ara que o erímetro seja mínimo. 55. Uma bateria de voltagem a V e resistência interna a r está ligada a um circuito de resistência variável R: Pela Lei de Ohm, a corrente I no circuito é I = V R + r : Se a otência é dada or P = I R; mostre que a otência máima ocorre quando R = r: 56. No rojeto de aviões, uma característica imortante é o chamado "fator de arraste", isto é, a força de freagem eercida elo ar sobre o avião. Um modelo mede o arraste or uma função da forma F (v) = Av + B ; onde A e B são v constantes ositivas. Descobre-se eerimentalmente que o arraste é minimizado quando v = 60 mh. Use esta informação ara encontrar a razão B A : 57. A carga transmitida através de um circuito varia de acordo com a equação q = t 4 4t coulombs. Determine o instante t quando a corrente i = dq atinge um dt mínimo. 58. O trabalho realizado or um solenóide ao mover um induzido varia de acordo com W = t t 4 joules. Determine a maior otência desenvolvida. (Potência: P = dw dt :) 59. Determine a maior corrente num caacitor com caacitância C igual a 4 0 6 farads, se a voltagem alicada for dada or V = 50t 00t volts (i = C dv dt ). 60. Um gerador roduz uma tensão V in = 0 Volt ara aentar uma carga resistiva R: A linha de transmissão de energia ossui uma resistência r 0 = 0; 8k/km e 5000km de etensão entre a fonte e a carga. Sabendo que a otência sobre uma carga é dada or P = V R ; calcule o valor de R ara que a otência (R + r) transmitida elo gerador seja máima. 6. Um circuito RLC aralelo sobreamortecido com o caacitor de caacitância C = ; 8mF = F, inicialmente descarregado, e o indutor de indutância L = 7H, 4 inicialmente carregado com corrente de -0A, gera uma tensão de saída no resistor de resistência R = 6 regida ela Equação. Calcule o temo ara que a corrente que assa elo resistor seja máima. Calcule também o valor da tensão e da
55 corrente no resistor nesse instante e esboce o grá co da tensão de saída do circuito. Dados: K = K = 84V s =! 0 s = +! 0 = RC! 0 = LC V = K e st + K e s t () V = RI () Resostas:. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c ( ; 0:75) Observação: O teorema de Bolzano está enunciado no caítulo.. Use o TVM ou o Teorema Bolzano; c (0:75; ). Use o Teorema de Weiertrass. 4. Use o Teorema de Weiertrass. 5. Use o Teorema de Bolzano; [ ; ] 6. Use o Teorema de Bolzano; [ ; ]; [0; ]; [; ] 7.. (a) a < 7 ou a > 5: (b) a = 7 ou a = 5: (c) 7 < a < 5: 8. Não. 9. Não. 0. (a) não; (b) não; (c) não; (d) sim; (e) sim.. Sim.
56. (a) não; (b) sim; (c) sim; (d) sim; (e) não; (f) sim.. Não. f 0 não eiste em =. 4. ; 7 5. Dica: Primeiro encontre a função e o intervalo ara alicar o TVM. 6. a =, b = 4 e m =. a 7. n n ; a n n n n 8. (a) ; ; (b) não. 9. - 0. A a rmação é verdadeira....... (a) Decrescente no domínio (b) Crescente no domínio (c) Decrescente em (0; e ] e crescente em [e ; +) (d) Decrescente em [; +) e crescente em ( ; ] (e) Crescente em ; [ ; + e decrescente em ; (f) Decrescente em ( ; 0) [ [:; +) e crescente em (0; :) (g) Decrescente em ( ; ) [ (; ) e crescente em ( ; ) [ ( ; +): (a) Côncava ara cima em ( ; 0][(8; +) e côncava ara baio em ( ; )[ (0; 8) (b) Côncava ara baio em ( ; ] e côncava ara cima em [; +) (c) Côncava ara cima em ( ; ) [ (0; ) e côncava ara baio em ( ; 0) [ (; +) (d) Côncava ara cima em todo seu domínio (a) y = 0; = ; = 0 e = (b) y = ; y = ; = e = (c) y = 0 e = 0 (d) y = e = 4. No nal do gabarito. 5. Sugestão: Alique o Teorema de Rolle ara a função g () = f 0 () :
57 6. (a) b = a, c = 0 e d R. (b) P (0; f (0)) e P (; f ()) são ontos de máimo e mínimo relativo, resectivamente. 7. A rmação verdadeira. 8. a = e b =. 9. - 0. -. -.. Assíntotas verticais: = e = 0 Assíntotas Horizontais: não tem f 0 () < 0 ) ( ; ] [ [ ; 0) f 0 () > 0 ) [ ; ) [ ( ; ] [ (0; +) f 00 () < 0 ) ( ; :] [ [ ; 0) [ (0; +) f 00 () > 0 ) [ :; ) Ponto de mínimo: ( ; f( )) Ponto de máimo: ( =; f( =)) Ponto de in eão: ( :; f( :)) Descontinuidades: = e = 0 Raiz: = 5=4. Pelo grá co de f 0 () ode-se concluir que f() tem um mínimo em = 0 e ontos de in eão em ( ; f( )) e (; f()): Sendo côncava ara baio em ( ; ] [ [; +) e côncava ara cima em [ ; ]: Também odemos concluir que as únicas raízes de f 00 () são = e = ; sendo f 00 () < 0 se ( ; ) [ (; +) e f 00 () > 0 se ( ; ): 4. - 5. - f( ) = f(0) = f( ) = 0 Ponto de mínimo: (:5; f(:5)) Ponto de máimo: ( ; f( )) Pontos de in eão: (0; 0); (; 0) e (; f()) f() tem um "ico"em = 0 e uma tangente vertical em = Domínio de f : Df = R; P (0; f (0)) é um onto de máimo e A é um onto de mínimo; A, B e P (4; f (4)) são ontos de in eão; Assintotas horizontais: y = ara! + e y = ara! :
58 6. - Domínio de f : Df = R; a reta y = + é assíntota oblíqua ara! ; P (0; 0) é um onto de mínimo e P (4; f (4)) é um onto de máimo. P (6; 0) é um onto de in eão. f() tem um "ico"em P e uma tangente vertical em P : 7. = y = 59m 8. Aroimadamente 76m or 57m. 9. O quadrado de lado 7cm. 40. m e m. 4. r = h = cm 4. R = 6 4 + e l = 4 + 4. Mais ráido 5h, mais lento às 7h. 44. = y = z = 5 45. = y = 4cm 46. r 5 8 47. (a) ; (b) 4u.a. 48. 5 44cm e 49. 50. 0 0 m aós o onto N: 7 6R e R 5. 0m e 00 m 5. m 5. 00m elo rio e 800m or terra. 54. l = 0cm 55. - 56. B A = (60)4
59 57. t = s 58. 0; 5W 59. i = 4 5 0 A 8 60. R = 4M 6. t = ln 6 70 s; V = 5 5 V ; I = 5 6 5 6 A 5. -. f () = ln. f () = 6 4 9 y y 0 4 6 4 4. f () = 4 4. f () = 4 4 y 00 y 0. 4 4 00 4 4 0. 5. f () = 6. f () = e y y 4 4 7. f () = e + 8. f () = e y y 0 4 0 4 4 0 4
60 9. f () = sin 0. f () = ( ) y y 4 4 5 0 5. f () = e. f () = + y 0 y 5 4 4 0 4 4 5. f () = cosh 4. f () = + + e y 5 y 0 4 0 4 4 0 4 5. f () = e 6. f () = + y 0 y 0 0 4 6 4 4 0 7. f () = 8. f () = + y y 0 4 5 5 9. f () = 6 + 0. f () = ( ) e y 0 y 6 0 4 0
6. f () = +. f () = y 0.4 0. 0.0 0 4 y 5 4 4 5. f () = e 4. f () = + ( + ) 5 y 0 4 0 4 4 5. f () = e 6. f () = + ln y 4 4 y y 5 0 5 0 4 7. f () = ln 8. f () =cotg() y 0 0 0 4 y 5 5 9. f () = sec () 0. f () =arctg() y 5 y 5 5 5. f () = ln (cos ()) 4 4 y 0 0 4 6 8
6 Caítulo 6: Integral Inde nida. Calcule as integrais inde nidas abaio usando integração imediata ou o método da substituição. (a) + e d (j) + e d d (b) e + ( + ) (k) d (c) d arctan (l) ( + ) d (d) + d sec tg (m) d ln (e) d e 4 (n) ( + e 4 ) d (f) d d (o) sin + cos (g) cos d ln () sin + 4 ln d (h) d + cos (q) sinh () d 7 (i) 6 4 d (r) tanh (ln (cos )) tan d. Use o método de integração or artes ara calcular as integrais inde nidas abaio. (a) cos d (f) sec d (b) d (g) n ln d, n N e (c) e a cos (b) d, onde a e b R (h) arcsin () d (d) ln + + d (i) arctan d (e) sin ( ) d (j) cos (ln ) d. Resolva as integrais de funções trigonométricas abaio. (e) ( sin ()) d (a) sin 4 (a) d, a R (f) cot () csc () d (b) sin cos 5 d (g) tan () sec 4 () d (c) sin cos d sin (d) () + cos() (h) cot () d d (i) tan sec d
6 4. Calcule as integrais inde nidas a seguir elo método da substituição trigonométrica. (a) + d 4 + 4 (f) 9 4 + 5 d (b) d d (g) (c) a d, a R a sin + b cos d (h) d (d) ( + ) 5 d d (i) (e) 4 + ln 4 5. Resolva as integrais inde nidas elementares que contém um trinômio quadrado abaio. + (a) 5 d d ( ) (f) (b) + + 4 d + + e + (g) 5 + (c) + 4 + 0 d e 5 d + e (h) d (d) ( + + ) d 6 cos (i) (e) ( + ) + d sen 6 sin + d 6. Use o método da decomosição em frações arciais ara resolver as integrais inde nidas abaio. 5 (a) 4 d + 4 (g) (b) + 6 d ( + + ) d 5 + 9 + (h) d 4 (c) d + 9 e + e d (i) d (d) e + + 4 (j) (e) ( + 4) ( ) d ( + ) d + + (f) ( ) ( + ) d (k) ( ) ( 4 + ) d 7. Use alguma das técnicas de integração estudadas ara rovar que: du (a) u + a = u a arctan a du u (b) u a = ln + u a
64 8. Resolva as integrais inde nidas abaio elo método que julgar conveniente. ln (a) + ln d d (n) + e sin (b) cos + ln ( + ) d (o) d + + e ln (c) e + d () d (d) d (q) sin 4 e cos e e d sec ( + ) (e) d (r) d (tan + 9) (f) cos sin sin 4 d (s) (ln (cos )) tan d d (g) + e d (t) + ln (h) + + (u) ln ln d + d e sec tan (i) + d (v) d cos d e (j) (w) e + d d arcsin (k) () d + e ln [ln (ln )] (l) (ln ) d (y) d ln ln (ln ) tan (m) ln d (z) d 9. Resolva as integrais inde nidas abaio elo método que julgar conveniente.
65 (a) + 4 + d ln ( + ) (b) d + cot (4) cot (4) (c) csc (4) d cot (4) d (d) csc 8 sec tan () sec (e) cos + 9 d ln ln + 0 (f) d (g) sin (4) e cos d (h) (i) (j) (k) (l) (m) (n) ( cos ) sin cos cos + cos d e cos e d 5 + 9 + d + 9 (sin ( ) + cos ( )) d e + e ln ( + e ) d 4 d + tan cos e +sec d
66 Resostas: Ao resolver essas questões você oderá obter resultados equivalentes... (a) 6 ln 6 + (b) ( + ) (c) 5 ( + ) ( ).. (d) 5 (e) ln4 4 (f) ln (g) sin (h) ln cos (i) 4 7 5 + + (j) e e (k) e + (l) arctan ( ) (m) sec( ) (n) 6e 4 + (o) cos sin () 8 ln ln + 4 (q) cosh () (r) ln jcosh (ln (cos ))j (a) sin sin + cos (b) 8 e 4 + 6 + 6 + (c) a (cos b) ea + be a sin b a + b (d) ln + + + (e) 9 sin ( ) cos ( ) (f) tan() + ln j cos()j (g) n+ (ln + ln + n ln + n ln ) (n + ) (h) 4 + arcsin() (i) + arctan (j) (cos (ln ) + sin (ln )).. (a) sin(4a) 8 sin(a) + a a
67 4.. (b) sin7 sin 5 + sin 7 5 (c) sin() 8 6 (d) 7 8 + sin () + sin(6) sin () cos() 9 48 (e) 9 + 4 cos sin() 4 (f) csc() csc () 6 (g) tan6 + tan4 (h) 6 cot () 4 4 ln(sin()) (i) tan sec tan sec ln(tan + sec ) 8 (a) arctan( ) 9 + (b) ln 6 + 9 (c) a ln + a a (d) ln + 5 (e) ln arctan (f) 8 ln + 5 + 5 4 5 arctan! 5 5 a tan (g) ab arctan b (h) 4( + ) + (i) 4 8 6 arctan 4 5.. (a) ln ( 5) + 6 ln! 6 + 5 (b) 5 ln ( + + 4) + 9 7 + 7 arctan 7
68 (c) 5 + 4 + 0 7 ln + + + 4 + 0 6! (d) (e) ( + + ) + + + arctan 4 (f) + + ln( + 4 + 8( + + )) + ln 8 (g) ln e + e 5! 6 + ln e + 6 + e 6 + (h) arcsin ( 6)! sin (i) arctan 6.. 7. (a) ln ( ) + ln ( + ) 4 ln ( ) 9 ln ( + ) (b) + 5 5 (c) ln ( ) ln ( + ) ( ln ln ( + ) + ) (d) 9 (e) ln + 4 ln ln ( + ) arctan + ln ( ) + arctan ln ( ) + ln ( + ) + (f) + ( ) k [7 4 arctan ( + ) 5 ln ( + + ) + 0 ln + 8] (g) 4 (h) ln ln ( + 9) + 9 8 (i) ln (e + e + ) ln (e ) + arctan e +! (j) 4 ln 6 ln ( + ) + arctan ln ( + ) + 4 ln + arctan + 4 ( + ) k (k) 6 ln ( ) 6 arctan + ln ( + ) 8 ln 4 4
69 8.. (a) ln ln + (b) + (c) ln e + ln + + + sec () (d) 6( ) 5 4( ) 5 tan() (e) 9 tan () + 9 (f) arcsin(sin ) + sin sin 4 4 (g) e + e + + ln e + + (h) ln + ln 4 9 (i) arctan( ) (j) + ln j j e + (k) ln e + + (l) ln ln + 4 (m) ln (ln ) (n) ln (e + ) (o) ln4 ( + ) () (ln ) (q) sin5 (e ) 0 (r) ( + ) 4 ln (cos()) (s) (t) + ln( + + ) (u) arctan (v) e cos (w) ln(e + e + ) + ln +
70 9.. () arcsin() (y) ln (ln ) [ln (ln (ln )) (z) tan ( ) (a) ( + ) (b) (ln ( + ) ] + ln(cos( )) + 4( + ) 5 4 5 ) + (c) 6 cot 5 6 (4) 5 cot(4) 0 (d) sin sin 9 8 (e) sec arctan( sec ) 9 7 + 4( + ) 4 + (f) (ln ) ln ln + 0 + 9 ln(ln + ln ln + 0) (g) e cos [ cos() 4] ou e cos 4 cos + 6 5 ln (cos + ) 5 arctan (cos ) ln jcos (h) 4 e [cos (6e ) e + 6 sin (6e ) e + 8] (i) 7 (j) 7 6 + arctan( ) 54 ln (k) + sin ( ) ln (l) (e + ) [ ln (e + ) ] 9 (m) 6 ln j + j 4 ln jj + arctan( ) (n) etan (tan ) j
Referências Bibliográ cas [] ANTON, H. Cálculo, um novo horizonte. Porto Alegre: Bookman, vol., 6 a ed.., 000. [] ÁVILA, Geraldo S. S. Análise matemática ara licenciatura..ed. rev. e aml. São Paulo: E. Blücher, 006. 46. [] FLEMING, D. M.; GONÇALVES, M. B. Cálculo A. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 6 a ed. rev. e aml., 006. [4] LEITHOLD, L. O Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo. Editora HARBRA ltda, a ed., 994. [5] NOLLI, Dario. Aostila utilizada nos semestres anteriores a 007/. (base desta). [6] PISKOUNOV, N. Cálculo Diferencial e Integral. Moscu, Editorial Mir, 4 a ed., 977. [7] SWOKOWSKI, E. W. Cálculo com Geometria Analítica. São Paulo. Makron Books Ltda, a ed., 994. [8] THOMAS, G. E. Cálculo. São Paulo. Pearson Addison Wesley, São Paulo, vol., 0 a ed, 00. [9] KÜHLKAMP, N. Cálculo. Florianóolis. Editora UFSC, a ed. rev. e aml. 006. [0] SAMPAIO, J. C. V. Cálculo : Integração or Partes. UFSCAR. [Acesso: 06/0/0]. htt://www.dm.ufscar.br/~samaio/calculo_aula6.df