Capítulo 3 - Derivada e Diferencial

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1 Caítulo 3 - Derivada e Diferencial f( + h) f(). Para as funções dadas abaio calcule lim : h!0 h (a) f() = (b) f() = (e) f() = cos (c) f() = (f) f() = tan() (g) f() = log a (); a R + (d) f() = sin(3) (h) f() = a ; a R + fg fg. Use a de nição ara encontrar a rimeira derivada de cada uma das funções abaio. (a) f () = (c) f () = e + 3 (b) f () = 3 (d) f () = ln ( + ) + (e) f () = sinh (a) ; a R Nos eercícios 3 a 5 use a de nição de derivada ara encontrar o coe - ciente angular da reta tangente 3. Seja f () = : (a) Determine o coe ciente angular da reta tangente ao grá co de y = f(); no onto de abscissa =. (b) Determine a equação da reta tangente no onto mencionado. (c) Determine os ontos da curva y = f() em que a reta tangente tem inclinação de 60 : 4. Seja f () = : Se ossível, determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y = f() no onto P ; 3 : 5. Caso eista, determine a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva f () = + ln ( + ) que é(são) erendicular(es) a reta r : 3y + 3 = 6: 6. Determine as coordenadas dos ontos da curva f () = 3 + em que a reta tangente é aralela ao eio : 7. Mostre que as retas tangentes à curva f () = sin intercetam-se formando um ângulo reto. em = e =, 8. Determine a equação da reta normal a curva f () = r : y = 0: + que é aralela a reta 9. Considere a curva dada or f () = 4 3. Caso eista, escreva a equação da reta tangente a esta curva que é aralela a reta r : + y = 0: 0. Seja f() = e : Determine a equação da reta tangente e da reta normal a curva y = f() no onto cuja abscissa é = :. Determine as abscissas dos ontos do grá co de y = 3 cos () ; nos quais as retas tangentes são erendiculares a reta r : + 4y = 5:

2 . Dada a curva f () = : Determine a equação da reta normal a esta curva no onto em que a reta tangente é aralela à reta r : + y 5 = 0: 3. Dada a curva f () = determine, se ossível: (a) o(s) onto(s) da curva onde a reta tangente é aralela a reta y = : (b) a(s) equação(ões) da(s) reta(s) tangente(s) a curva no(s) onto(s) onde a inclinação é 45 : 4. Em cada item, veri que se a função dada é derivável nos ontos referidos, justi - cando sua resosta. 3 ; se < (a) f () = ; em = : 3 7; se (b) f () = j 3j; em = 3: (c) f () = 3 3 ; em = 9 : ; se < (d) f () = ; em = : ; se 4; se < (e) f () = ; em = : ; se + 4; se (f) f () = 3 3 ; em = : + 4; se > 3 5. Seja f a função de nida or f() = ; se : Determine, se ossível, a + b; se > os valores das constantes a e b ara que f seja uma função derivável em = : Obs: Lembre que se f é derivável em um onto, então f também deve ser contínua neste onto. 6. Determine os ontos onde a função f () = jj + j + j não é derivável. 7. Determine a derivada das funções a seguir da forma mais simles. (a) f() = (3 + 4)( 4 (i) f() = e e 5) (b) f() = ( + ) 3 (c) f(t) = t + t (d) f() = ( + )3 3 (e) f() = ( + 3 ) 3 (f) f() = ln (9 + 4) (g) f() = ln(sin ()) (h) f() = sinh( ) (j) f() = ( ) (k) f() = 3 + log (4 ) (l) f() = ln( ) (m) f() = ln (n) f() = ln( ) + ln! + (o) f() = ln (9 4) () f() = csc( ) (q) f() = e ln (r) f() = e ln() (s) f() = sec( ) (t) f() = 4 e cos() (u) f() = cot( 3 sin( )) (v) f() = ln() + ln(ln()) (w) f() = sech () () f() = (y) f() = 3 tan(5) (z) f() = e

3 3 8. Determine y 0 = f 0 (); com as simli cações ossíveis, sendo y = f() a eressão dada. (a) y = ( ) 3 (b) y = e ln (c) y = ln(( 3) 5 ) e + (d) y = ln 3 (5 (n) y = ln + ) e (e) y = tg( 3 ) (f) y = (g) y = ( ) 0 (h) y = ln + ln 3 (i) y = (j) y = ln 3 r + (k) y = ln(ln(sec())) (l) y = (sin(5) cos(5)) 5 (m) y = csc(3) 3 + (o) ln y y ln = () e y 3 + 3y = (q) 8 + y = 0 (r) y = sin y (s) = sin y (t) y = 3 arcsin(3 ) (u) (y 9) 4 = (4 + 3 ) (v) cos (3y) ln(y) = 0 (w) y = ( + arccos(3)) 3 () y = ln(arctan( )) (y) y = e 3 tan( ) (z) y = arctan(3 5) 9. Seja + y + y = 3 uma curva, se eistir determine a(s) equação(s) da(s) reta(s) tangente(s) a esta curva e que seja(m) aralela(s) a reta(s) r : + y =. 0. Se eistir, escreva a equação da reta normal a curva ( + 4) y = 4 3 e que asse ela origem do sistema cartesiano.. Mostre que as retas tangentes às curvas 4y 3 y +5y = 0 e 4 4y 3 +5+y = 0, na origem, são erendiculares.. A reta = a interceta a curva y = num onto P e a curva y = 3 + num onto Q. Para que valor(es) de a as retas tangentes a essas curvas são aralelas? Encontre a(s) equação(ões) da(s) referida(s) reta(s). 3. Determine a equação da reta normal à curva C : y + y 3 = y + no onto em que a abscissa e a ordenada tem o mesmo valor. 4. Seja P o onto de interseção das curvas C : + 3y = 5 e C : y = 3. Mostre que as retas tangentes às curvas C e C são erendiculares no onto P. 5. Se f() = ; obtenha uma fórmula ara f (n) () onde n é um inteiro ositivo. Quanto é f (n) ()? 6. Determine a eressão da derivada n-ésima em cada caso: (a) f() = e a ; com a R : (b) f() = (a + b) m ; com a; b R e m N

4 4 (c) f() = + (d) f() = ln( 3) 7. Determine f (0) () f (00) () ara as funções dadas a seguir: (a) f() = log () (b) f() = Sejam f : R! R uma função diferenciável duas vezes e g : R! R dada or g() = f( + cos(3)): (a) Determine g 00 (): (b) Se f 0 () = e f 00 () = 8; calcule g 00 (0): 9. Considere a função g () = cos : [f ()] ;, onde f : R! R é duas vezes diferenciável. Se f (0) = e f 0 (0) = f" (0) = ; determine g 00 (0) : 30. Determine: (a) f 0 (0) sabendo que f sin 3 = f (3 ) + 3 : (b) a função g sabendo que (f g) 0 () = ; f () = 3 e g 0 () = : (c) (g f h) 0 () ; sabendo que f (0) = ; h () = 0; g 0 () = 5 e f 0 (0) = h 0 () = : 3. Determine o valor das constantes A e B ara que a função y = A sin() + B cos() seja solução da equação diferencial y 00 + y 0 y = sin(): 3. Seja C uma circunferência com centro na origem e raio igual a. Mostre que a tangente a C no onto P (; 3) é ortogonal a reta r que assa ela origem e elo onto P: 33. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando regras de derivação já estudadas. (a) y = sinh(u) ) y 0 = u 0 cosh(u); (b) y = cosh(u) ) y 0 = u 0 sinh(u); (c) y = tanh(u) ) y 0 = u 0 sech (u); (d) y = coth(u) ) y 0 = u 0 cossech (u); (e) y = sech(u) ) y 0 = u 0 tanh(u)sech(u); (f) y = cossech(u) ) y 0 = u 0 coth(u)cossech(u); Obs. algumas identidades hierbólicas: cosh () sinh () = ; coth () tanh () = sech (); = cossech():

5 5 34. Prove as seguintes fórmulas de derivadas usando derivação imlícita. (a) y = arcsin(u) ) y 0 = u 0 u (b) y = arccos(u) ) y 0 = u 0 u (c) y = arctan(u) ) y 0 = u0 + u (d) y = arccot(u) ) y 0 = (e) y = arcsec(u) ) y 0 = (f) y = arccsc(u) ) y 0 = u 0 + u u 0 juj u u 0 juj u 35. Calcule a área do triângulo retângulo ABC na Figura, sabendo-se que n é a reta normal a f() = e no onto o = Figura : Eercício Um forno industrial coze a temeratura constante de 608 graus centígrados. A temeratura do forno, desde o início em que é ligado até atingir a temeratura de cozedura, é dada or: T (t) = 0t + 5t + 3 ; t em minutos e T (t) em C. t + Determine: (a) a temeratura inicial do forno? (b) a variação da temeratura no intervalo de temo [; 0]: (c) a variação instantânea da temeratura ara t = O valor de um automóvel ao m de t anos é dado or V (t) = 50000e 0:t ; sendo V dado em reais e t em anos. (a) Por qual reço foi comrado o automóvel? (b) Reresente gra camente a função e determine o valor aroimado do automóvel daqui a 5 anos. (c) A taa de variação é negativa ara qualquer valor de t: Justi que esta a rmação e interrete este fato no conteto da situação. (d) Em que momento a taa de variação é -500 reais ao ano?

6 6 (e) Mostre que o grá co V 0 tem uma assíntota horizontal. Qual o seu signi cado relativo à situação? 38. Seja y = a equação do movimento de uma artícula, determine: (a) a velocidade da artícula quando transcorridos s: (b) a aceleração da artícula quando transcorridos s: 39. Um carro está a s = horas. Pergunta-se: 6t 3 4t + 6 km a leste de uma arada no instante t (a) Qual é a velocidade no instante t = h e qual é o sentido que ele se move? 4 (b) Qual a osição do carro quando sua velocidade é nula? 40. Dois coros têm movimento em uma mesma reta segundo as equações s = t 3 + 4t + t e s = t 3 5t + t + : Determine a velocidade e as osições desses dois coros no instante em que as suas acelerações são iguais. Considere s e s em metros e t em segundos. 4. Dois ontos artem da origem do eio no instante t = 0 e se movem ao longo desse eio de acordo com as equações = t t e = 8t t ; com e em metros e t em segundos. (a) Em que instante os dois têm mesma velocidade? (b) Qual a velocidade desses ontos no instante em que eles têm a mesma osição? 4. A osição de uma artícula que se desloca ao longo do eio y varia com o temo segundo a equação y = v 0 e c, 0, onde v 0 e c são constantes ositivas. c Use a DEFINIÇÃO de derivadas ara determinar a velocidade da artícula no instante : 43. Uma esfera aumenta de modo que seu raio cresce a razão de ; 5 cm/s. Qual a variação do volume no instante em que o raio é de 5; cm? 44. Dois carros, um dirigindo-se ara leste com velocidade de 80 km/h, o outro dirigindo-se ara sul com velocidade de 50 km/h, estão viajando em direção ao encontro das rodovias. A que velocidade os carros se aroimam um do outro, no momento em que o rimeiro carro está a 400 m e o segundo está a 300 m da interseção das rodovias? 45. Um tanque de forma cônica invertido tem altura de 8 m, raio da base m. O mesmo se enche de água à razão de 7 m 3 /min. Com que velocidade sobe o nível da água quando este se encontra a 4 m de rofundidade? 46. Uma iscina tem 8 m de largura, 8 m de comrimento, m de rofundidade em um etremo e 8 m no outro, o fundo tem forma de um lano inclinado. Se a água está sendo bombeada ara a iscina à razão de 0; 8 m 3 /min, com que velocidade se eleva o nível da água no instante em que ele esta a ; 8 m na etremidade mais rofunda?

7 7 47. Em que ontos da arábola y 8 = 0 a ordenada y cresce duas vezes mais deressa que a abscissa? 48. Uma criança esta eminando uma ia e movendo-se horizontalmente a 4 m/s. Suondo que a ia ermaneça semre a 80 m de altura, sobre o nível do solo, qual é a velocidade com que a criança está soltando a corda da ia quando esta corda medir 00 m? Obs: Desreze a altura da criança. 49. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto com raio da base de 5 m e altura de 0 m. Se instante t = 0s, a água começa a uir no tanque à razão de 5 m 3 /h, determine: (a) com que velocidade sobe o nível da água? (b) quanto temo levará ara encher o tanque? 50. Um balão está subindo verticalmente acima de uma estrada a uma velocidade constante de m/s. Quando ele está a 7 m acima do solo, uma bicicleta que se 3 desloca a uma velocidade constante de 5 m/s assa or baio dele. A que taa a distância entre a bicicleta e o balão aumentará 3s deois? 5. O nível de café que escoa de um ltro cônico, de diâmetro e altura 5 cm, ara uma cafeteira cilíndrica, de diâmetro e altura 5 cm, varia a uma taa de 0 4 cm/min. A que taa o nível do café, na cafeteira, aumentará quando a altura de café no ltro for 5 cm? 5. Um cabo de cobre tem diâmetro de cm a 0 C. Suonha que seu comrimento é de m e não se altera com a variação da temeratura. Se seu diâmetro aumenta a uma velocidade de 0; 0cm= C; Calcule a taa de variação do volume desse cabo quando a temeratura está a 0 C. 53. Numa granja de frangos, o abastecimento de ração é automático. A ração está num reservatório que tem a forma de uma irâmide de base quadrada com m de lado e 6 m de altura, cujo vértice está voltado ara baio. Se o consumo de ração é de 0; 05 m 3 =h, com que velocidade desce o nível de ração quando este está a m do vértice? 54. A altura de um triângulo cresce a razão de cm= min e sua área aumenta a razão de cm = min. Qual a taa de variação da base do triângulo quando sua altura for 0cm e sua área 00cm. 55. Uma iscina tem 4m de comrimento e seus etremos são traézios isósceles com altura de 6m, uma base menor 6m e uma base maior de 8m. A água está sendo bombeada ara a iscina à razão de 0m 3 =mim. Com que velocidade o nível de água está subindo quando a rofundidade da água é de m? 56. Um avião (A) voa a 4 m/s, aralelamente ao solo, a uma altitude de 0 m no sentido oeste, tomando como referência um holofote (H), ado no solo, que o focaliza e que se encontra à esquerda da rojeção vertical (P) do avião e sabendo que a luz do holofote deverá ermanecer iluminando o avião, qual será a velocidade com que estará variando quando a distância entre o holofote e a rojeção vertical do avião for de 60 m?

8 8 57. Às 7 : 00 horas dois navios artem de um onto O em rotas que formam um ângulo de 0 : Os navios A e B deslocam-se a 0 km/h e 5km/h, resectivamente. Determine qual é a velocidade de afastamento desses navios às 9 : 00 horas. 58. Use aroimações lineares ara estimar o valor de (a) 4 7 (g) 3 (b) (8; 06) 3 30 (c) tan(44 ) (h) e 0;3 (d) ln(; 05) (e) (i) arctan(; 0) 99; 8 (j) (; 0) 6 (f) (; ) ; (k) Suonha que não temos uma fórmula ara g(); mas sabemos que g() = 4 e g 0 () = + 5 ara todo : Use uma aroimação linear ara estimar g(; 95) e g(; 05): 60. A aresta de um cubo tem 30cm, com um ossível erro de medida de 0,cm. Use diferenciais ara estimar o erro ossível no cálculo (a) do volume do cubo. (b) da área da suerfície do cubo. 6. Por meio de diferenciais obtenha uma fórmula aroimada do volume de uma na coroa cilíndrica de altura h; raio interior r e esessura r: Qual o erro decorrente do uso desta fórmula? 6. Estima-se em cm o raio de uma esfera com erro máimo de 0,05cm. Estime o erro máimo ara no cálculo do volume da esfera. 63. Uma janela tem o formato de um quadrado com um semicírculo em cima. A base da janela mede 60cm com um ossível erro na medida de mm. Use diferenciais ara estimar o maior erro ossível no cálculo da área desta janela. 64. Na medida que a areia escoa de um reciiente, vai formando uma ilha cônica cuja altura é semre igual ao raio. Se, num dado instante, o raio é 0cm, use diferenciais ara aroimar a variação do raio que ocasiona um aumento de cm 3 no volume da ilha. 65. A área de um quadrado de lado s é dada or s : Para um acréscimo s de s; ilustre geometricamente da e A da: 66. Aroime, or meio de diferenciais, N = (; 0) 4 3(; 0) 3 + 4(; 0) 5: Qual o valor eato de N? 67. Uma caia em forma de cubo deve ter um revestimento eterno com esessura de /4 cm. Se o lado da caia é de m, usando diferencial, encontre a quantidade de revestimento necessária. Resostas:

9 9.. (a) f 0 () = (b) f 0 () = (c) f 0 () = (d) f 0 () = 3 cos(3) (e) f 0 () = sin (f) f 0 () = sec () (g) f 0 () = log a(e) ; a R + fg (h) f 0 () = a ln(a); a R + fg.. (a) f 0 () = (b) f 0 () = 5 ( + 3) 3 3 ( + ) (c) f 0 () = e (d) f 0 () = + (e) f 0 () = a cosh (a) ; a R 3. (a) (b) y + = 3 (c) não eiste 4. Reta tangente: y = 4 ; Reta normal: y = y = e y = ln() 6. Não eistem. 7. Mostre que o roduto dos coe cientes angulares é y = 9. y = 4 0. Reta tangente: y = e ( + 3); Reta normal: y = e. = 7 + k ou = + k; k Z. y = 5 e + e 3. (a) não eiste; (b) y = e y = (a) Não é derivável. (b) Não é derivável. (c) Não é derivável. (d) Não é derivável. (e) Não é derivável. (f) f 0 () = 3: 5. a = e b = : 6. = 0 e = :

10 0 7.. (m) f 0 () = + ln (a) f 0 () = (b) f 0 () = ( ) (n) f 0 () = + ln (c) f 0 4 (t) = t t 3 (o) f () = (d) f 0 () = 3( + ) ( ) (9 4)( + ) () f 0 () = ln()cotg ( )cossec ( ) 3 (e) f 0 () = ( + 3 ) (q) f 3 0 () = e ln (f) f 0 () = 9 (r) f 0 () = (ln() + ) (s) f 0 () = tan( ) sec( ) (g) f 0 () = cotg () (h) f 0 () = cosh( ) (t) f 0 () = 6 e cos() (ln(6) sin()) (i) f 0 () = e (u) f 0 () = (cos( ) 3)cossec ( 3 sin( )) (j) f 0 () = (v) f 0 () = ln () ln() + ln() 8.. (k) f 0 () = 9 ln(9) + log (e) (l) f 0 () = (w) f 0 () = tanh()sech () () f 0 () = + ( ln() + ) (y) f 0 () = 5 ln(3)3 tan(5) sec (5) (z) f 0 () = e (ln() + )

11 (a) y 0 = 6(6 5 + )( ) (b) y 0 = (c) y 0 = 5 3 (d) y 0 = 30 ln (5 + ) 5 + (e) y 0 = (3 )sec ( 3 ) (f) y 0 = 8(4 )( 4 + ) 3 9 (g) y 0 = 404 (8 3 5) ( ) (h) y 0 = ln (i) y 0 = 6( ) ( ) (3 4 3 ) 4 (j) y 0 4 = 3( 4 ) (k) y 0 = tan() ln(sec()) (l) y 0 = 5(sin(5) cos(5)) 4 (sin(5) + cos(5)) (m) y 0 = 3cossec(3)[cotg(3)(3 + ) + ] ( 3 + ) 9. y = e y = + (n) y 0 e = e (o) y 0 y(y ln y) = ( y ln ) ye y () y 0 = 3 6y + e y (q) y 0 = 8 y (r) y 0 sin y = cos y (s) y 0 = y sec y (t) y 0 = 3 ln(3)3 arcsin(3 ) 6 (u) y 0 = (4 + 3 )(8 + 3) 4(y 9) 3 (v) y 0 = y (w) y 0 = () y 0 = 9( + arccos(3)) 9 arctan( )( + 4 ) (y) y 0 = e 3 [ 6 tan( ) + sec ( ) 4y (z) y 0 3 = y =. m = 5 e m = 5. Para a = : y = e y = 5 ; ara a = 3 : y = 3 5 e y = 3 8: 3. y = m = 3 e m = 3 5. f (n) () = ( )n n! n+ e f (n) () = ( ) n n! 6.. (a) f (n) () = a n e a (b) f (n) () = m(m )(m ) (m (n ))(a + b) m n b n ; se n m e f (n) () = 0; se n > m

12 (c) f (n) () = ( )n+ n! ( + ) n+ (d) f (n) () = ( )n n (n )! ( 3) n 7. (a) log e(00! + 99!) (b) 00! 8. (a) g 00 () = ( 6 sin (3)) f 00 ( + cos(3)) 8 cos(3)f 0 ( + cos(3)) (b) g 00 (0) = 0 9. g 00 (0) = (a) f 0 (0) = 6 5 (b) g() = + 3 (c) 0 3. A = 3 0 e B = 0 3. m t = e m r = 3: 35. A = e3 u.a (a) 6 C. (b) 7,875 C. (c) 9,9 C or minuto. (a) reais. d. 7,3 anos. 38. (a) v() = 4 u.c./s (b) a() = 6 u.c./s 39. (a) v(=4) = km/h e está indo na direção oeste (b) s() = 8km 40. t = 3s; v (3) = 5m/s; v (3) = 5m/s; s (3) = 65m; s (3) = 4m 4. (a),5s (b) t = 0s ) v = m/s e v = 8m/s; t = 5s ) v = 8m/s e v = m/s 4. v 0 e c u.c./u.t cm 3 /s

13 km/h m/min 46. 0,005m/min ou 0,05m/min, deendendo da interretação da iscina ; 9 48.,4m/s 49. (a) m/h (b) 3,4h ; 46m/s cm/min 9 5. ; 4cm 3 / C ,5m/h 54. -,6cm/min 55. 0,065m/min 56. 0,08rad/s km/h 58.. (a) 65 = ; (b) 4; 0 (c) 90 0; (d) 0; 05 (e) 9; 99 (f) ; (g) 6 0; (h) 0; 87 (i) 4 + 0; (j) ; 06 (k) 93 4; g(; 95) 4; 5 e g(; 05) 3; dv = 70cm 3 e da = 36cm 6. V = rhr =(Área lateral do cilindro interior)(esessura) e E = h(r) 6. dv = 8; 8cm da = 6; 763cm 64. dr = 50 cm

14 4 65. A região sombreada corresonde a da e A da está indicado 66. N 3; e N = 3; cm 3