Exrcícios d quilíbrio gral Robrto Guna d Olivira 7 d abril d 05 Qustõs Qustão Dtrmin a curva d contrato d uma conomia d troca com dois bns, bm bm, dois indivíduos, A B, sabndo qu a dotação inicial total do bm é d 00 unidads, a dotação inicial do bm é d 0 unidads qu as funçõs d utilidad dos consumidors são: a. u A (x A, xa )= xa x A ub (x B, x B )= x B x B ; b. u A (x A, xa )= xa + xa ub (x B, x B )= x + x B ; c. u A (x A, xa )=min{xa, xa } ub (x B, x B )= x B + x B ; d. u A (x A, xa )=min{xa, xa } ub (x B, x B )=min{xa, x B };. u A (x A, xa )= xa + xa ub (x B, x B )=x B + x B ; f. u A (x A, xa )=ln xa + xa ub (x B, x B )=ln x B + x B ; g. u A (x A, xa )=ln xa + xa ub (x B, x B )= x B x B ; h. u A (x A, xa )= xa xa ub (x B, x B )= x B + x B. i. u A (x A, xa )= xa xa ub (x B, x B )=min{x B, x B }. Qustão
Dois indivíduos vivm isolados m uma ilha na qual há apnas a possibilidad d consumo d dois bns os quais ls são incapazs d produzir. Suas funçõs d utilidad são U (x, y )= x 4 y6 U (x, y )= x 3 y nas quais U i é a utilidad do indivíduo i x i y i são as quantidads consumidas dos dois únicos bns consumidos x y. O indivíduo possui uma dotação inicial d 4 unidads do bm x unidads do bm y o indivíduo possui uma dotação inicial d unidads do bm x 4 unidads do bm y. Dtrmin o prço rlativo, xprsso como a razão ntr o prço do bm x o prço do bm y, a alocação d quilíbrio comptitivo para ssa conomia. Qustão 3 Considr uma conomia d trocas com apnas 3 bns, os bns, 3. Quando os prços dsss bns são, rspctivamnt, R$ 4,00, R$ 3,00 R$,00, o xcsso d dmanda plo bm é igual a 3 o xcsso d dmanda plo bm é igual a 4. Dtrmin o xcsso d dmanda plo bm 3. Qustão 4 Dois indivíduos vivm m uma ilha possum funçõs d utilidad U (x, y )= x y U (x, y )=min{x, y } nas quais U i é a utilidad do indivíduo i(i= ; ) x i y i são as quantidads consumidas dos dois únicos bns dssa conomia x y. O indivíduo possui uma dotação inicial d 4 unidads do bm x unidads do bm y o indivíduo possui uma dotação inicial d unidads do bm x 4 unidads do bm y. Dtrmin o prço rlativo a alocação d quilíbrio comptitivo para ssa conomia. Qustão 5 A li d Walras diz qu, dsd qu os consumidors dmandm cstas d consumo sobr suas linhas d rstrição orçamntária, a soma dos valors dos xcssos d dmanda agrgada d todos os mrcados d uma conomia é idnticamnt igual a zro. Dmonstr ssa li para uma conomia d trocas com dois consumidors dois bns. Qustão 6 Suponha uma conomia com dois consumidors dois produtos, os bns x y. A função d utilidad do consumidor é U (x, y )= x 3 y. A função d utilidad do consumidor é U (x, y )= x y3. Os dois produtos são produzidos por uma firma qu mprga quantidads fixas d fators d produção, sndo qu a frontira d possibilidads d produção para ssa firma é dada pla xprssão y + x = 8. A firma scolh a combinação d produto qu maximiza o su lucro. Cada
produto é ntão distribuído m quantidads iguais ntr os dois consumidors qu podm, após ssa distribuição, trocar os bns ao prço rlativo p(= p x p y ). Em outras palavras, sndo x(p) y(p) as quantidads produzidas dos bns x y qu maximizam o lucro da mprsa, cada consumidor rcbrá uma quantidad x(p) do bm x uma quantidad igual a y(p) do bm y pod trocar sss bns com o outro consumidor conform o prço rlativo p.. Dtrmin as funçõs d ofrta x(p) y(p).. Suponha, por um momnto, qu cada consumidor tnha uma quantidad x do bm x uma quantidad ȳ do bm y, possa trocar sss bns com o outro consumidor ao prço rlativo p. Dtrmin, m função d x d ȳ, o prço rlativo qu fará com qu os xcssos d dmanda agrgados plos dois bns sjam nulos, isto é, o prço rlativo d quilíbrio na troca ntr os dois consumidors. 3. Na rsposta qu você ncontrou para o itm antrior, substitua x ȳ plas funçõs qu você ncontrou no itm (a) x(p) y(p) rspctivamnt dtrmin o prço rlativo, as quantidads produzidas d cada bm as quantidads consumidas por consumidor d cada bm dssa conomia. Qustão 7 Considr uma conomia com.000 consumidors idênticos.000 firmas idênticas na qual há apnas dois bns: tmpo disponívl para lazr bm d consumo. O bm d consumo pod sr produzido plas firmas idênticas d acordo com a função d produção y(h)=7h h na qual y(h) é o produto da mprsa h é o númro d horas d trabalho contratadas pla mprsa. Cada consumidor tm uma quota d /.000 d participação acionária m cada uma das.000 mprsas. Todos os consumidors são iguais, possuindo uma dotação inicial d tmpo d horas qu podm ofrtar no mrcado d trabalho ou consumir como tmpo disponívl para lazr. A função d utilidad d cada um dsss consumidors é dada por U(c, t)= 3 ln c+t na qual c é o consumo do bm d consumo t é o consumo d tmpo na forma d lazr.. Dtrmin quanto uma firma típica dv produzir m função da taxa ral d salário.. Dtrmin, para um consumidor típico, a função d dmanda plo bm d consumo m função d. 3. Com bas nos rsultados dos itms antriors, dtrmin qual a taxa d salário d quilíbrio gral nssa conomia. Qustão 8 3
Considr uma conomia com apnas um indivíduo uma firma. O indivíduo consom dois bns cujas quantidads são notadas por x y. O prço do bm x é p o bm y tm prço unitário. A função d utilidad dss indivíduo é U(x, y)= x y. O indivíduo não possui dotação inicial alguma dos bns qu l consom, mas possui uma quantidad H do único fator d produção ncssário à produção dsss bns. Ess fator d produção é dmandado pla firma, da qual o indivído é o único acionista, para sr mprgado na produção d x y. A função d produção d x é f x (h x )=ln(h x + ) a função d produção d y é f x (h y )=ln(h y + ), sndo h x h y as quantidads mprgadas do único fator d produção na produção d x y, rspctivamnt. Encontr, m função d H, as quantidads produzidas d cada bm no quilíbrio gral concorrncial os prços p do bm x do fator d produção. 4
Soluçõs Qustão Qustão Sja p o prço do bm x xprsso m unidads do bm y, isto é, p= p x /p y. Notmos as funçõs d dmanda do indivídio i (i=,) plos bns x y, rspctivamnt, por x i (p) y i (p). Sabmos qu, caso um indivíduo tnha suas prfrências rprsntadas por uma função d utilidad do tipo Cobb-Douglas, U(x, y)= x a y b, assumindo qu os valors são mdidos m unidads do bm y (p y = ), suas funçõs d dmanda plos bns x y srão, rspctivamnt, x= a m a+ b p b a+ b m. Sndo m o valor da rnda montária do consumidor, no caso m qu l possu uma rnda montária dada, ou d sua dotação incial, no caso m qu l possui uma dotação inicial d bns. No prsnt xrcício o valor da dotação inicial do consumidor, xprsso m unidads d y, visto qu l possu inicialmnt 4 unidad d x unidad d y, é m x = 4p+, o valor da dotação inicial do consumidor, visto qu l possu unidad d x 4 unidad d y, é m y = p+4. Dss modo as funçõs d dmanda do consumidor plos bns x y srão dadas por, rspctivamnt x (p)= 4p+ 5 p y (p)= 3 5 (4p+) as funçõs d dmanda do consumidor por sss bns srão x (p)= 3 p+4 5 p y (p)= (p+ 4). 5 O quilíbrio srá atingido quando a soma das quantidads dmandadas plo bm x for igual à soma das dotaçõs iniciais dss bm, o msmo acontcndo com o bm y. Assim, a condição d quilíbrio no mrcado do bm x é 4p+ + 3 p+4 = 6 5 p 5 p 4p+ 6=30 p= Pla li d Walras, sabmos qu obtrmos o msmo prço d quilíbrio analisando o mrcado do bm y. Substituindo ss prço nas funçõs d dmanda, ncontramos a alocação d quilíbrio dssa conomia: x = /5, y = 8/5, x = 8/5 y = /5. 5
Qustão 3 Pla li d Walras, a soma dos valors dos xcssos d dmanda agrgada é idnticamnt igual a zro. Aplicando ssa li aos dados informados pla qustão, obtmos p z + p z + p 3 z 3 = 0 3 +3 ( 4)+ z = 0 z = 6 Qustão 4 Pla li d Walras, sabmos qu, caso um mrcado stja m quilíbrio, o outro mrcado também stará m quilíbrio. Olhmos, portanto o mrcado. O indivíduo aprsnta uma função d dmanda do tipo Cobb-Douglas, portanto a sua função d dmanda plo bm srá dada por x (p, p )= 4p + p p O indivíduo considra os dois bns complmntos prfitos, portanto dvrá aprsntar uma função d dmanda com a forma x (p, p )= p + 4p p + p A condição d quilíbrio rqur qu a soma das quantidads dmandadas d um bm sja igual à soma d suas dotaçõs iniciais, ou sja x (p, p )+ x (p, p )=6 4p + p p + p + 4p p + p = 6 Rsolvndo ssa quação para o prço rlativo, ncontramos p p = Dss modo, trmos, na alocação d quilíbrio x = x = 3 x = x = 3 Qustão 5 6
Sjam A B os dois consumidors,(ω A,ωA ) (ωb,ωb ) as dotaçõs iniciais dos bns possuídas plos consumidors A B (x A, xa ) (x B, x B ) as rspctivas quantidads dmandadas dsss bns por sss consumidors. Sjam também p > 0 p > 0 os prços dos bns, rspctivamnt. Qurmos mostrar qu p [(x A + x B ) (ωa +ωb )]+ p [(x A + x B ) (ωa +ωb )]=0 dada a hipóts d qu os consumidors dmandam cstas sobr suas linhas d rstrição orçamntárias, isto é, supondo qu p x A + p x A = p ω A + p ω A p x B + p x B = p ω B + p ω B. A dmonstração é imdiata: basta somar as duas igualdads acima (vrdadiras por hipóts) para obtr: p (x A + x B )+ p (x A + x B )= p (ω A +ωb )+ p (ω A +ωb ) subtrair p (ω A +ωb )+ p (ω A +ωb ) dos dois lados, chgando, assim, à igualdad procurada: p [(x A + x B ) (ωa +ωb )]+ p [(x A + x B ) (ωa +ωb )]=0 Qustão 6. Sabmos qu a firma scolh as quantidads produzidas dos dois bns d modo a igualar o módulo da taxa marginal d transformação ao prço rlativo(p=p x /p y ). A xprssão da frontira d possibilidads d produção pod sr rscrita para obtrmos y= 8 x. Drivando m rlação a x, obtmos a taxa marginal d transformação x T M T= = x 8 x y Ao igualarmos o módulo dssa taxa marginal d transformação ao prço rlativo p= p x /p y, obtmos x = p x= 9p 8 x + p Substituindo ss rsultado na xprssão da frontira d possibilidads d produção, obtmos 9 y= + p Assim, as funçõs d ofrta são x(p)= 9p +p y(p)= 9 +p. (x A + x B ) (ωa +ωb ) é o xcsso d dmanda agrgada plo bm (z ) (x A + x B ) (ωa +ωb ) é o xcsso d dmanda agrgada plo bm, z. 7
. As duas funçõs d utilidad são do tipo Coob-Douglas. As funçõs d dmanda associadas a ssas funçõs d utilidad nos são conhcidas. Sabmos qu, dadas as dotaçõs iniciais x do bm x ȳ do bm y para cada um dos consumidors, as quantidads dmandadas srão dadas por x (p x, p y )= 3 x+ p y ȳ = 3 x+ ȳ p x p x (p x, p y )= x+ p y ȳ p x y (p x, p y )= px x+ ȳ p y = x+ ȳ p = (p x+ ȳ) y (p x, p y )= 3 px x+ ȳ = 3 (p x+ ȳ) p y No quilíbrio, trmos x (p x, p y )+x (p x, p y )= x y (p x, p y )+ y (p x, p y )= ȳ. Sabmos, pla li d Walras, qu, quando uma dssas condiçõs for obtida a outra stará automaticamnt garantida. Usando ntão a sgunda condição, obtmos y (p x, p y )+ y (p x, p y )= ȳ (p x+ ȳ)+ 3 (p x+ ȳ)= ȳ p= ȳ x 3. S substituirmos x ȳ por x(p)= 9p y(p)= 9, obtmos a condi- +p +p ção d quilíbrio gral da conomia 9 +p 9p +p = p = p p= p Aplicando ss rsultado nas funçõs d ofrta obtidas no itm (a) nas funçõs d dmanda obtidas no itm (b), obtmos as quantidads d quilíbrio x= 9 y= 9 x = 7 y = 8 x = 8 y = 7 8
Qustão 7. Cada mprsa dvrá dmandar trabalho até o ponto m qu a produtividad marginal dss fator d produção s igual à sua rmunração ral, ou sja até qu - 7 h= Rsolvndo ssa igualdad para h obtmos a função d dmanda plo fator trabalho por part d uma firma típica, h()= 7 Substituindo ss rsultado na função d produção, obtém-s o produto da firma m função do salário ral, qual sja y(h())=7 7 7 = 49 4. Sabmos qu, no quilíbrio, o consumidor dv igualar sua taxa marginal d substituição ao prço rlativo. Assim, a condição d maximização d utilidad para um consumidor típico é U(c,t) c U(c,t) t = 3c = Rsolvndo para c, obtmos a sguint função d dmanda por bns d consumo por part do consumidor típico c()= 3 3. Pla li d Walras, sabmos qu, s o mrcado do bm d consumo stivr m quilíbrio, ntão o outro mrcado dssa conomia, o d trabalho, também stará m quilíbrio. A ofrta agrgada d bns d consumo (Y()) é obtida multiplicando-s por 00, o númro d firmas, a ofrta qu já dtrminamos d uma firma típica: Y()=50 49 A dmanda agrgada (C()) é obtida multiplicando-s a dmanda obtida para um consumidor típico plo númro d consumidors, ou sja,.000: C()=.000 3 Igualando-s a ofrta agrgada à dmanda agrgada, obtmos a condição d quilíbrio gral da conomia: 50 49 =.000 3 9
Rsolvndo para dscartando a raiz ngativa, obtmos o salário qu forma o quilíbrio gral dssa conomia, qual sja, =3. Qustão 8 Solução plas condiçõs d quilíbrio. Nssa conomia há três mrcados: o mrcado do bm x, o mrcado do bm y o mrcado do fator d produção. Sjam, x(p, ) y(p, ) as funçõs qu dscrvm a dmanda do consumidor plos bns x y, rspctivamnt. Sjam também h x (p, ) h y (p, ) as funçõs d dmanda plo fator d produção por part da mprsa para a produção dos bns x y, rspctivamnt x s (p, ) y s (p, ) as funçõs d ofrta dsss dois bns. Considrando qu a ofrta do fator d produção é constant igual a H, o quilíbrio gral dssa conomia srá stablcido quando: x(p, )= x s (p, ) y(p, )= y x (p, ) () h x (p, )+h y (p, )= H Para rsolvr ss sistma d quaçõs, prcisamos, primiramnt, dtrminar as funçõs d dmanda ofrta. Para tal, comcmos ncontrando as condiçõs d maximização d lucro da mprsa. Visto qu as funçõs d produção são côncavas, sabmos qu a mprsa maximiza su lucro ao contratar o fator d produção até o ponto m qu o valor d sua produtividad marginal iguala-s a su prço. Dss modo dtrminamos a dmanda do fator d produção plo bm x fazndo p f x (h x)= p h x + = h x(p, )= p. () Já a dmanda para a produção do bm y é obtida fazndo f y (h y)= h y + = h y(p, )= (3) Admais, dado qu as quantidads do fator d produção mprgadas na produção d x y são dadas plas funçõs d dmanda h x (p, ) h y (p, ) tais como aparcm m () (3), as funçõs d ofrta dsss bns srão dadas por p x s (p, )=ln + = ln(p) ln (4) y s ()=ln + = ln (5)
O lucro da mprsa srá dado por UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO π(p, )= px s (p, )+ y s (p, ) [h x (p, )+h y (p, )] p = p ln + ln p+ (6) Dtrminmos agora as dmandas plos bns x y. Como nosso consumidor tm função d utilidad Cobb-Douglas com coficints unitários, sabmos qu suas dmandas por sss bns srão dadas por x(p, )= m p y(p, )= m nas quais m é o valor d sua rnda montária dada pla soma do valor d sua dotação inicial H mais o lucro obtido pla mprsa,π(p, ): m(p, )= H+π(p, ) = H+p ln p + ln p = p ln + ln [h x (p, )+h y (p, )] [h x (p, )+h y (p, ) H] (7) Substituindo (7) nas funçõs d dmanda plos bns x y ficamos com x(p, )= p ln p + ln p+ p (8) y(p, )= p ln p + ln p+ H (9) Substituindo agora, (), (3), (4), (5), (8) (9) m (), ficamos com o sguint sistma d quaçõs: p ln p + ln p p ln p + ln p+ = H p+ p+ = ln p ln H = ln ()
Substituindo a última quação nas duas primiras, ficamos com p(ln p ln ) ln = ln p p(ln p ln ) ln = ln Simplificando a primira quação, ficamos com p ln p=(p ) ln. () O msmo rsultado é obtido ao simplificarmos a sgunda quação. A quação () tm uma solução óbvia m p=, caso m qu os dois lados da quação igualam-s a zro. No nosso caso, ssa solução é única. Isso porqu, como o consumidor gasta mtad d sua rnda com a aquisição do bm y, como m condiçõs d quilíbrio o consumo dss bm dv igualar-s à sua ofrta y s = ln, concluímos qu y> 0, portanto, ln <0. Rscrvamos, portanto, a () como ln p= p ln. p Como ln <0, os dois lados dssa quação não podm igualar-s caso p>, pois, nss caso, o lado squrdo da quação srá positivo, o lado dirito, ngativo. Porém, ls tampouco podm igualar-s com p<, visto qu, nss caso, o lado squrdo da quação srá ngativo, o lado dirito, positivo. Concluímos, assim, qu, no quilíbrio gral, o prço do bm x dv sr p=. Substituindo, assim p=na trcira quação d (), isto é na condição d quilíbrio no mrcado do fator d produção, ficamos com = H = H+ Finalmnt, substituindo, p= =/(H+ ) m (), m (3), m (4) m (5), ncontramos o mprgo d quilíbrio do fator d produção: h x = h y = H as quantidads d quilíbrio dos bns d consumo: x= y= ln(h+ ) ln. Solução plas propridads do quilíbrio gral. Há um modo mnos trabalhoso d s rsolvr ss xrcício. Para tal, lmbrmos qu, ao maximizar sua utilidad, o consumidor iguala o módulo d sua taxa marginal d substituição, T MS, ao prço rlativo dos dois bns p. Lmbrmos também Isso não é surprsa, pois sabmos qu, havndo n mrcados, as condiçõs d quilíbrio provêm apnas n quaçõs indpndnts.
qu a firma, a fim d maximizar su lucro, dv igualar o módulo da taxa marginal d transformação, T M T ao prço rlativo p. Portanto, quando quilíbrio gral é obtido, dvmos tr T MS = T M T. A taxa marginal d substituição é dada pla razão ntr as utilidads marginais dos bns x y: T MS = U M g x U M g y = y x. A taxa marginal d transformação é dada pla razão ntr as produtividads marginais do fator d produção na produção d y x: T M T = f y (h y) f x (h x) = h x+ h y +. No quilíbrio gral, a quantidad produzida dos bns x y dvm igualar-s às quantidads consumidas dsss bns, isto é, x= f x (h x )=ln(h x +) y= f y (h y )= ln(h y + ). Dss modo, a condição d igualdad ntr a taxa marginal d substituição a taxa marginal d transformação passa a sr ou ou ainda ln(h y + ) ln(h x + ) = h x+ h y + (h x + ) ln(h x + )=(h y + ) ln(h y + ) φ(h x )=φ(h y ) () sndoφ a função dfinida porφ(x)=(x+ ) ln(x+ ). Not qu, para x 0, φ (x)=ln(x+ )+>0. Consquntmnt,φ(x) é monotonamnt crscnt para x 0. Como h x,h y 0, concluímos qu a igualdad () só pod sr obtida quando h x = h y. Assim, a mprsa dv mprgar iguais quantidads do fator d produção na produção do bm x na produção do bm y. Como, m quilíbrio gral, a soma dssas quantidad dv igualar-s à ofrta do fator d produção, h x + h y = H, concluímos qu, no quilíbrio gral h x = h y = H/. Sndo h x = h y, podmos ainda concluir qu, no quilíbrio gral p= T M T = (h x + )/(h y + )=. Além disso, substituindo h x = h y = H/ nas funçõs d produção, obtmos, as quantidads d quilíbrio gral dos bns d consumo: x= ln( H + )=ln(h+ ) ln y= ln( H + )=ln(h+ ) ln. Rsta-nos apnas dtrminar o prço d quilíbrio do fator d produção. Para isso, lmbrmo-nos qu, no quilíbrio, a mprsa iguala, para cada produto, o valor do produto marginal do fator d produção do fator d produção a su prço. Assim, por xmplo, para o produto x, dvmos tr p f x (h x)= = H+. 3