Simuações. No presente capítuo são apresentadas simuações referentes ao comportamento de parâmetros importantes para o desenvovimento do transdutor de pressão. As simuações foram eaboradas com o objetivo de obter base e eperiência úteis para a reaiação e anáise das medições... Simuações para o Campo Magnético Gerado por um Ímã Permanente. A fim de se mostrar o comportamento das componentes e (coordenadas cartesianas do campo magnético gerado por um ímã permanente são apresentadas as equações físicas que descrevem o fenômeno; estas foram ajustadas da mehor forma à nossa situação eperimenta e em seguida foi eaborada uma rotina de simuação em MatLab. Por simpificação vamos considerar que o ímã usado como fonte de campo magnético eterno no transdutor em desenvovimento esteja situado na origem dos eios e e esteja orientado na direção do eio como mostra a figura. Figura - Esquema da posição do ima nos eios cartesianos. Para modear o campo supõe-se que o ímã seja uniformemente magnetiado ao ongo do eio. Deve-se ainda considerar que o ímã seja composto por uma infinidade de dipoos magnéticos unitários orientados na
. 6 direção. Desta forma cacua-se o campo de cada dipoo por meio da Lei de iot-savart e integra-se os dipoos ao ongo do comprimento do ímã. O campo de um dipoo magnético é descrito pea equação [] ( r m π r r r r [ m ( r r ]( r r ( 8 Onde m m( é o momento de dipoo magnético r ( e r ( onde ( é a posição de medida do campo magnético peo magnetômetro utiiado (posição do observador e é a posição do dipoo unitário sobre o eio. Logo pode-se escrever r r ( ( 9 e m ( r r m ( Obtendo separadamente as componentes do campo magnético têm-se: ( ( π ( π ( π ( [ ( ] m ( [ ( ] m m ( [ ( ] ( ( ( Para integrar ao ongo do comprimento do ímã usa-se a reação entre o momento de dipoo magnético e a magnetiação ( M para estabeecer o eemento de integração. O momento de dipoo pode ser definido como m MdAd onde A é a área da seção reta do ímã também constante. Dessa forma determina-se dm MAd onde M e A são uniformes e constantes podendo sair de dentro da integra como mostrado a seguir.
. 6 [ ] ( d MA π [ ] ( d MA π [ ] ( d MA π 6 Após a integração ao ongo do comprimento do ímã vota-se a considerar o momento de dipoo magnético substituindo-se m MA para se obter: [ ] [ ] ( m π 7 [ ] [ ] ( m π 8 [ ] [ ] ( m π 9 De posse das eqs. 7 8 e 9 pode-se traçar os mapas das componentes e. Mais adiante no capítuo 6 iremos utiiar a eq. 7 para se estimar juntamente com aguns dados eperimentais a magnetiação do ímã gerador do campo eterno no transdutor em desenvovimento.
. 6... Mapas e. Utiiando as equações eqs. 7 8 e 9 foi possíve eecutar simuações a respeito do comportamento das componentes do campo em uma região panar simiar à da membrana no sensor do transdutor quando em repouso. Para essa simuação supõe-se um ímã de magnetiação igua a m 9 A m situado a uma distância igua a mm da origem no eio e na origem dos eios e como representado na figura. Figura - Locaiação do ímã na simuação Assim na figura tem-se demonstrado três gráficos do campo magnético gerado peo ímã cada um representando uma componente do sistema cartesiano.
. 6 Figura - Componentes e do campo magnético gerado por um ímã permanente... Simuações de vibração da membrana de estetoscópios. A equação da onda gerada pea vibração de uma membrana eástica com amortecimento é representada [] da seguinte forma: u u a u b ku ( onde u u( rθ t é a função de vibração da membrana (ampitude b é a constante de amortecimento k é a constante de easticidade da membrana e a tração densidade é veocidade de propagação da onda de vibração. Escrevendo o operador naba ( em coordenadas poares e assumindo que não há variações anguares a eq. fica: u u u u u a b ku r r r r θ (
. 66 Nesse ponto é conveniente se faer uma simpificação do presente estudo considerando que a vibração da membrana não tem dependência anguar ou seja a função u u( r t. Dessa forma a eq. pode ser escrita da seguinte forma: u u u u a b ku r r r ( Resovendo essa equação diferencia tem-se a ampitude da vibração da membrana ao ongo do tempo. Como a função u é uma função tanto do espaço quanto do tempo pode-se escrevê-a como o produto de duas outras funções que dependam ecusivamente de r e t u u( r t R( r T ( t. Assim a eq. fica: ( T t R( T t R( r T ( t R( r T ( t R a b kr r r r ( T t ( Dividindo a eq. por ( r T ( t eementos chega-se a: R e reagrupando convenientemente seus ( r ( t T ( t a R R T b k R( r r rr( r r T ( t t t ( Como cada ado da eq. só depende de r ou t respectivamente a única forma desta iguadade ser váida é se ambos os termos forem iguais a uma constante quaquer. Chamando essa constante de λ tem-se R R rr R a T ( t T ( t T ( t b k λ ( Assim obtêm-se as duas equações diferenciais abaio:
. 67 e R R ( r rr R ( r λ ( 6 T ( b a T t Reescrevendo as eqs. 6 e 7 chega-se a: e ( t T ( t k λ ( 7 R( r R( r r r λ r R ( 8 T ( t T ( t ( b λ a k ( 9 A eq. 8 é uma equação diferencia paramétrica de esse e a eq. 9 é uma equação diferencia de segunda ordem com coeficientes constantes. Como as duas equações acima têm soução anaítica foi possíve determiná-a e depois escrever uma rotina em MatLab que simuasse o comportamento de uma membrana quando submetida a uma defeão inicia. Pode-se observar na figura a simuação da osciação de uma faia estreita de uma membrana eástica com uma densidade média de g cm comprimento igua a mm constante eástica de k N m presa nas suas etremidades por uma tração de N e amortecida por uma constante de amortecimento de b. A Figura é composta por nove gráficos cada um representando a posição da faia da membrana em determinado instante de tempo.
. 68 Figura - Cada gráfico representa uma posição de uma fatia da membrana em um instante de tempo. O eio corresponde à distância em metros e o eio corresponde à ampitude da vibração também em metros... Simuação da distância ótima entre o ímã e as fitas MIG no transdutor. Um importante dado que deve ser obtido para um mehor desempenho do transdutor é a determinação da distância que o ímã deve ficar das fitas MIG. Esse dado é importante uma ve que para se obter uma maior sensibiidade do transdutor deve-se procurar uma posição em que o campo magnético ongitudina nas fitas apresente maior variação possíve. Como ponto de partida para essa busca toma-se por base a premissa de que a região mais sensíve das fitas coincide com a região de campos magnéticos mais intensos. Assim o ímã deve ser posto a uma distância que indua nas fitas um campo magnético de ata intensidade e que ao mesmo tempo apresente uma maior variação possíve a pequenos desocamentos. Na figura a podemos ter uma idéia de como o campo ongitudina da fita se reaciona com a componente do campo magnético e com o co-seno do ânguo formado entre a posição da fita em repouso e dea desocada.
. 69 Figura - Desenho esquemático de parte da fita MIG desocada da sua posição de repouso. Pode-se escrever que o campo magnético ongitudina à fita é L H cos( θ H sin( θ ( H X Z e observando a figura b pode-se escrever θ arctan[ u ( r ] ( i i Logo podemos concuir que o campo magnético ongitudina à fita pode ser descrito como H L X cos ( arctan[ u ( r ] H sin( [ u ( r ] ( H arctan i i Z i i componente Fica bastante caro que o campo ongitudina será máimo quando a é máima. Assim de posse dessas informações foi possíve escrever uma rotina em MatLab que procurasse a eistência ou não de uma posição otimiada para o ímã. (Figura 6. Figura 6 - Gráfico de otimiação da posição do ímã no transdutor.
. 7.. Simuação do campo magnético sentido peo transdutor. Para se estimar o vaor médio do campo magnético ongitudina às fitas MIG no transdutor é necessário que seja feita uma combinação das simuações feitas nos itens anteriores. Foi simuada a vibração da fita sobre a membrana e determinada a sua posição reativa no tempo (admitindo-se que a posição da membrana só variou na direção do eio. A partir desses dados foi simuada a variação da componente ongitudina do campo magnético (a uma distância igua a mm posição ótima do ímã e a ampitude de osciação da membrana (e por conseguinte da fita. Obtivemos agumas curvas de campo com o tempo de osciação onde fiemos variar a constante de amortecimento da vibração. Na figura 7 é apresentada a variação do campo magnético com o tempo gerado por um ímã de m.9 A m para uma defeão inicia igua a m para constantes de amortecimento distintas. Figura 7 - Simuação do campo magnético sentido peas fitas MIG quando postas a vibrar sob infuência de uma defeão inicia.