UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Funções Trigonométricas Prof.: Rogério Dias Dalla Riva
Funções Trigonométricas 1.Funções Trigonométricas.Identidades Trigonométricas 3.Cálculo de Funções Trigonométricas 4.Resolução de Equações Trigonométricas
1. Funções trigonométricas Há duas maneiras usuais de encarar o estudo da trigonometria. Em uma delas, definem-se as funções trigonométricas como razões de dois lados de um triângulo retângulo. Em outra, tais funções são definidas em termos de um ponto no lado terminal de um ângulo arbitrário. Definem-se a seguir, de ambos os pontos de vista, as seis funções trigonométricas. 3
1. Funções trigonométricas Definição pelo Triângulo Retângulo: 0 <θ<π/ cat. op. hip. sen θ = csc θ = hip. cat. op. cat. adj. hip. cos θ = sec θ = hip. cat. adj. cat. op. cat. adj. tg θ = cot θ = cat. adj. cat. op. 4
1. Funções trigonométricas Definição como Função Circular: θ é um ângulo arbitrário em posição padrão e (x, y) é um ponto no lado terminal do ângulo. y r sen θ = csc θ = r y x r cos θ = sec θ = r x y x tg θ = cot θ = x y 5
. Identidades trigonométricas Na segunda definição das seis funções trigonométricas, o valor de r é sempre positivo. Decorre daí que os sinais das funções trigonométricas são determinados a partir dos sinais de x e y. tg θ = sen θ cos θ cos θ 1 cot θ = sec θ = sen θ cos θ 1 1 cot θ = csc θ = tg θ sen θ 6
. Identidades trigonométricas Além disso, como y x x + y r sen θ + cos θ = + = = = 1 r r r r obtemos a Identidade de Pitágoras. Nota: Usa-se o símbolo sen θ para representar (sen θ). 7
. Identidades trigonométricas Identidades Pitagóricas sen + cos = 1 tg cot θ θ + 1= sec θ θ + 1= csc θ θ 8
. Identidades trigonométricas Soma ou Diferença de Dois Ângulos sen ( θ ± φ) = sen θ cos φ ± cos θ sen φ cos ( θ ± φ) = cos θ cos φ sen φ sen θ tg θ ± tg φ tg ( θ ± φ) = 1 tg θ tg φ 9
. Identidades trigonométricas Ângulo Duplo sen θ = sen θ cos θ cos θ = cos θ sen θ θ = θ = sen θ cos cos 1 1 10
. Identidades trigonométricas Fórmulas de Redução sen ( θ ) cos ( θ ) = cos θ tg( θ ) = sen θ = tg θ sen θ = sen ( θ π ) cos θ = cos ( θ π ) tg θ = tg ( θ π ) 11
. Identidades trigonométricas Ângulo Metade 1 1 sen θ = (1 cos θ ) cos θ = (1+ cos θ ) 1
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 1: Calcule o seno, o cosseno e a tangente de π/3. Inicialmente, tracemos o ângulo θ = π/3 em posição padrão, conforme a figura ao lado. 13
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 1: Calcule o seno, o cosseno e a tangente de π/3. Como π/3 radianos correspondem a 60 o, podemos imaginar um triângulo equilátero com lados de comprimento 1 e θ como um de seus ângulos. Como a altura do triângulo bissecciona sua base, sabemos que x = ½. Assim, pelo Teorema de Pitágoras, temos 14
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 1: Calcule o seno, o cosseno e a tangente de π/3. 1 3 3 y = r x = 1 = = 4 Portanto: 3 π y 3 sen = = = 3 r 1 1 π x 1 cos = = = 3 r 1 3 π y tg = = = 3 3 x 1 15
A seguir são apresentados os senos, cossenos e tangentes de vários ângulos usuais. Medida em graus de θ 0 30 o 45 o 60 o 90 o Medida em radianos de θ 0 π/6 π/4 π/3 π/ sen θ 0 1/ 3 1 cos θ 1 3 1/ 0 tg θ 0 3 1 3 3 3. Cálculo de funções trigonométricas nãodefinido 16
3. Cálculo de funções trigonométricas Para entender a utilização dos valores da tabela anterior a ângulos em quadrantes que não o primeiro, valemo-nos do conceito de ângulo de referência, conforme a figura acima, juntamente com o sinal adequado do quadrante. 17
3. Cálculo de funções trigonométricas O ângulo de referência para um ângulo θ é o menor ângulo positivo entre o lado terminal de θ e o eixo x. Por exemplo, o ângulo de referência para 135 o é 45 o, e o ângulo de referência para 10 o é 30 o. 18
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo : Calcule: (a) sen 3π/4, (b) tg 330 o (c) cos 7π/6. e Como o ângulo de referência para 3π/4 é π/4 e o seno é positivo no segundo quadrante, podemos escrever 3π π sen = sen = 4 4 19
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo : Calcule: (a) sen 3π/4, (b) tg 330 o (c) cos 7π/6. e Como o ângulo de referência para 330 o é 30 o e a tangente é negativa no quarto quadrante, podemos escrever tg o o 330 = tg 30 = 3 3 0
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo : Calcule: (a) sen 3π/4, (b) tg 330 o (c) cos 7π/6. e Como o ângulo de referência para 7π/6 é π/6 e o cosseno é negativo no terceiro quadrante, podemos escrever 7π π 3 cos = cos = 6 6 1
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 3: Calcule: (a) sen (-π/3), (b) sec 60 o, (c) cos 15 o, (d) sen π, (e) cot 0 o e (f) tg (9π/4). (a) Pela fórmula de redução sen (-θ) = - sen θ. π π 3 sen sen 3 = = 3 (b) Pela fórmula do inverso, sec θ = 1/cosθ. o 1 1 sec 60 = = = o cos60 1/
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 3: Calcule: (a) sen (-π/3), (b) sec 60 o, (c) cos 15 o, (d) sen π, (e) cot 0 o e (f) tg (9π/4). (c) Pela fórmula da diferença cos (θ - φ) = cos θ cos φ + sen θ sen φ. ( ) o o o o o o o cos15 = cos 45 30 = cos 45 cos30 + sen 45 sen30 = 3 1 6 + = + = 4 (d) Como o ângulo de referência para π é 0, sen π = sen 0 = 0 3
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 3: Calcule: (a) sen (-π/3), (b) sec 60 o, (c) cos 15 o, (d) sen π, (e) cot 0 o e (f) tg (9π/4). (e) Utilizando a fórmula do inverso, cotg θ = 1/tg θ e o fato de que tg 0 = 0, concluímos que cotg 0 não é definida. (f) Como o ângulo de referência para 9π/4 é π/4 e a tangente é positiva no primeiro quadrante tg 9π π = tg = 1 4 4 4
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 4: Um agrimensor de pé, está a 50 pés de distância da base de uma grande árvore. Ele mede o ângulo de elevação em relação ao topo da árvore e obtém 71,5 o. Qual é a altura da árvore? o y tg 71,5 = x y = x tg 71,5 y 50,98868 y 149,4 pés o 5
3. Cálculo de funções trigonométricas Exemplo 5: Para medir a extensão de sua visão periférica, fique em pé, à distância de 1 pé do canto de uma sala, olhando para o canto. Faça com que outra pessoa mova um objeto ao longo da parede, até que você mal possa vê-lo. Se o objeto está a pés do canto, conforme a figura seguinte, qual é o ângulo total de sua visão periférica? 6
3. Cálculo de funções trigonométricas Seja α o ângulo total de sua visão periférica. Conforme a figura abaixo, podemos modelar a situação física com um triângulo retângulo isósceles cujos catetos têm 1/ pés cada um e cuja hipotenusa tem pés. No triângulo, o ângulo θ é dado por y tg θ = x tg θ = 1 tg θ 3,414 7
3. Cálculo de funções trigonométricas Utilizando a função inversa da tangente em uma calculadora, podemos determinar θ 73,7 o Assim, α/ 180 o - 73,7 o = 106,3 o, o que implica que α 1,6 o. Em outras palavras, o ângulo total de sua visão periférica é da ordem de 1,6 o. 8
4. Resolução de equações trigonométricas Considere, por exemplo, a equação sen θ = 0. Sabemos que θ = 0 é uma solução. Por outro lado, no Exemplo 3d, vimos que θ = π é outra solução. Mas estas não são as únicas soluções. Na verdade, esta equação tem um número infinito de soluções. Qualquer um dos valores seguintes de θ serve:, 3 π, π, π, 0, π, π, 3 π, Para simplificar a situação, costumamos restringir a busca de soluções ao intervalo 0 θ π. 9
4. Resolução de equações trigonométricas Exemplo 6: Resolva cada equação em relação a θ. Suponha 0 θ π. ( a) sen θ = 3 ( b) cos θ = 1 ( c) tg θ = 1 30
4. Resolução de equações trigonométricas, notemos pri- (a) Para resolver a equação meiro que sen θ = 3 3 sen π = 3 Como o seno é negativo no terceiro e quarto quadrantes, devemos procurar valores de θ nesses quadrantes que tenham ângulo de referência de π/3. Os dois ângulos que satisfazem estes critérios são: θ = π + π/3 = 4π/3 e θ = π - π/3 = 5π/3. 31
4. Resolução de equações trigonométricas (b) Para resolver cos θ = 1, notemos que cos 0 = 1 e que, no intervalo [0, π], os únicos ângulos cujos ângulos de referência são 0 são os ângulos 0, π e π. Destes, 0 e π têm cosseno 1. (O cosseno de π é -1). Assim, a equação tem duas soluções: θ = 0 e θ = π 3
4. Resolução de equações trigonométricas (c) Como tg π/4 = 1 e a tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes, temos que as duas soluções são: θ = π/4 e θ = π + π/4 = 5π/4 33
4. Resolução de equações trigonométricas Exemplo 7: Resolva, em relação a θ, a equação cos θ = 3 sen θ, 0 θ π Podemos utilizar a identidade do ângulo duplo cos θ = 1 sen θ Para escrever a equação como segue: cos θ = 3sen θ 1 sen θ 3 = sen sen θ sen θ 3 + 1= 0 θ (sen θ 1) ( sen θ 1) = 0 34
4. Resolução de equações trigonométricas Para sen θ - 1 = 0, temos sen θ = 1/, que tem as soluções θ = π/6 e θ = 5π/6. Para sen θ - 1 = 0, temos sen θ = 1, que tem a solução θ= π/ Assim, para 0 θ π, as três soluções são θ = π/6, π/ e 5π/6 35