Fundamentos de Matemática Aula 1 Antonio Nascimento
Plano de Ensino Conteúdos Teoria dos Conjuntos; Noções de Potenciação, Radiciação; Intervalos Numéricos; Fatoração, Equações e Inequações; Razão, Proporção, Porcentagem; Funções (1º. e 2º. grau) Função Exponencial Função Logarítmica
Teoria dos Conjuntos Conceito Primitivo A ideia de conjunto é a mesma de coleção; Coleção de elementos. Exemplo: Um time de futebol é um conjunto; onde cada jogador do time é um elemento desse conjunto.
Teoria dos Conjuntos Representação de um Conjunto Representação Tabular; Através de Propriedade Caraterística; Representação Gráfica (Diagrama de Venn).
Teoria dos Conjuntos Representação Tabular Podemos representar um conjunto sob forma de tabela, escrevendo seus elementos entre chaves { } e separados por vírgula. É usual representarmos os conjuntos por letras maiúsculas A, B, C, D,... A = {a, e, i, o, u} B = {1, 2, 3, 4}
Teoria dos Conjuntos Propriedade Característica 1/2 Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, então o conjunto A pode ser descrito por: A = { x x tem a propriedade p }. "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que x tem a propriedade p".
Teoria dos Conjuntos Propriedade Característica 2/2 Exemplos: A = {x x é país da Europa} - o conjunto A é formado por todos os países da Europa. B = {x x é cor da bandeira Brasileira} - o conjunto B é formado por verde, amarelo, azul e branco.
Teoria dos Conjuntos Representação Gráfica (Diagrama de Venn) Os elementos de um conjunto são representados por pontos interiores a uma região plana, limitada por uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não se entrelaça.
Teoria dos Conjuntos Relação de pertinência Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, i}. Note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do conjunto B. u A (lê-se "u pertence a A ) u B (lê-se "u não pertence a B")
Teoria dos Conjuntos Relação de continência Dados os conjuntos A = {a, e, i, o, u} e B = {a, e, i}. Note que A contém todos os elementos do conjunto B, mas B não contém os elementos de A. A B (o conjunto A contém o conjunto B) B A (o conjunto B está contido em A) A B (o conjunto A não está contido em B) B A (o conjunto B não contém A)
Tipos de Conjuntos Conjunto unitário Conjunto vazio Conjunto finito Conjunto infinito Conjuntos iguais Conjunto universo Conjuntos disjuntos Tipos de Conjuntos
Tipos de Conjuntos Conjunto Unitário Conjunto unitário é aquele formado por um único elemento. Exemplos: C = { 5 } B = { x x N x<1 } = { 0 }
Tipos de Conjuntos Conjunto Vazio Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento algum. Representa-se o vazio por Ø ou { }. Exemplo: D = {x x é um número ímpar múltiplo de 4} = Ø
Tipos de Conjuntos Conjunto Finito Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao "fim" da contagem de seus elementos. Exemplos: B = {1, 2, 3, 4} H = {x x é estado brasileiro}
Tipos de Conjuntos Conjunto Infinito Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus elementos um a um, jamais chegaremos ao "fim" da contagem. Exemplos: N = { 0, 1, 2, 3, 4,... } A = { x N x é par } = { 2, 4, 6,... }
Tipos de Conjuntos Conjuntos Iguais Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os mesmos elementos. Exemplo: A = {a, r, t, e} e B = {r, e, t, a}, temos A = B Pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não importando a ordem em que os elementos foram escritos.
Tipos de Conjuntos Conjunto Universo É um conjunto ao qual pertencem todos os elementos de um estudo, ou seja, é o conjunto que possui todos os elementos com os quais se deseja trabalhar. Exemplo: Quais são os números menores que 5? Se o conjunto universo for N = {0, 1, 2, 3, 4} Se o conjunto universo for Z = {..., -1, 0, 1, 2, 3, 4}
Tipos de Conjuntos Conjuntos Disjuntos São conjuntos que não possuem nenhum elemento em comum. Exemplo: Sendo os conjuntos A = {x x é par} e B = {x x é ímpar} A e B são conjuntos disjuntos.
Subconjuntos Subconjuntos Sendo A e B, diz-se que A é subconjunto de B se, e somente se, todo elemento de A pertence a B. A B (lê-se "A está contido em B") B A (lê-se "B contém A ) Exemplos: {2, 5, 3} {2, 5, 3, 8, 9} {6, 9, 8, 5} {9, 6}
Subconjuntos Conjunto das Partes Sendo A = {a, b}. Vamos determinar os subconjuntos de A: P(A) = { Ø, {a}, {b}, {a, b} } Chamamos conjunto das partes de um conjunto A ao conjunto cujos elementos são todos os subconjuntos de A. Notação: P(A) (lê-se P de A)
Subconjuntos Número de elementos de P(A) De um modo geral, se um conjunto A tem n elementos, os números de elementos (subconjuntos) de P(A) = 2 n. Exemplos: A = {a, b} P(A) = 2 2 = 4 subconjuntos. B = {a, b, c} P(B) = 2 3 = 8 subconjuntos.
Operações com Conjuntos União Interseção Diferença Complementar Operações com Conjuntos
Operações com Conjuntos União de conjuntos ( ) A união de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos que pertencem a A ou a B ou a ambos. A B A B = { x x A ou x B }
Operações com Conjuntos Exemplos de União ( ) Dados os conjuntos A={ 2,3,5,6,8 } e B={ 3,5,8,9 } AUB = { 2, 3, 5, 6, 8, 9 } Dados os conjuntos A={ 3,5 } e B={ 2,3,4,5,6 } AUB = { 2, 3, 4, 5, 6 } = B
Operações com Conjuntos Interseção de conjuntos ( ) A interseção de dois conjuntos A e B é um conjunto que contém os elementos de A que também são elementos de B. A B A B = { x x A e x B }
Operações com Conjuntos Exemplos de Interseção ( ) Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9} A B = {3, 5, 8} Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6} A B = {3,5} = A
Operações com Conjuntos Diferença de conjuntos ( ) A diferença de dois conjuntos A e B, nessa ordem, é um conjunto que contém os elementos de A que não pertencem a B. A B A B = { x x A e x B }
Operações com Conjuntos Exemplo de Diferença ( ) Dados os conjuntos A={2,3,5,6,8} e B={3,5,8,9} A B = {2, 6} B A = {9} Dados os conjuntos A={3,5} e B={2,3,4,5,6} A B = { } = Ø B A = {2, 4, 6}
Operações com Conjuntos Complementar de um conjunto O conjunto complementar de A (denotado por C A ) é o conjunto que contém todos os elementos do conjunto universo U que não pertencem a A. C A = U A = { x x U e x A } A U
Operações com Conjuntos Exemplo de Complementar Dados os conjuntos A={3, 5} e B={2,3,4,5,6}. Existe o complementar C " #, pois A B. C B A = B A = {2, 4, 6}.
Conjuntos Numéricos Números Naturais Números Inteiros Números Racionais Números Irracionais Números Reais Conjuntos Numéricos
Conjuntos Numéricos Números Naturais (N) N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...} Operações em N: Adição Multiplicação N
Conjuntos Numéricos Números Inteiros (Z) Z = {... -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...} Z* = {... -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...} Z + = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,...} Operações em Z: Adição Multiplicação Divisão (* 1/3) N Z
Conjuntos Numéricos Números Racionais (Q) São todos aqueles que podem ser expressos na forma de fração: Q = { a b, onde a Z e b Z* } N Z Q
Conjuntos Numéricos Números Irracionais (I) Conjunto de números que não podem ser expressos na forma de uma fração de dois inteiros. Decimais infinitos não-periódicos. p = 3,14159265358979... Raiz quadrada de números primos: 2 = 1,4142 N Z Q I
Conjuntos Numéricos Números Reais (R) Conjunto numérico que é a união do conjunto dos racionais (Q) com os irracionais (I) R = Q U I Operações em R: Adição e Subtração Multiplicação e Divisão N Z Q R I
Intervalos Numéricos Números Reais (R) Pode-se representar o conjunto dos números reais associando cada número x R a um ponto de uma reta r. N Z Q R I
Representação de Intervalos Intervalos Fechados Intervalo fechado pelos números reais a e b: [ a, b ] { x R a x b } Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais que a e menores ou iguais que b.
Representação de Intervalos Intervalos Abertos Intervalo aberto pelos números reais a e b: ] a, b [ { x R a < x < b } Estão definidos todos os números reais que são maiores que a e menores que b.
Representação de Intervalos Intervalo Misto Intervalo semiaberto à esquerda (ou semifechado à direita) definido pelos números reais a e b: ] a, b ] { x R a < x b } Estão definidos todos os números reais que são maiores que a e menores ou iguais a b.
Representação de Intervalos Intervalo Misto Intervalo semiaberto à direita (ou semifechado à esquerda) definido pelos números reais a e b: [ a, b [ { x R a x < b } Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a e menores que b.
Representação de Intervalos Intervalo envolvendo o infinito Intervalo fechado à esquerda, definido pelos número real a: [ a, [ { x R x a } Estão definidos todos os números reais que são maiores ou iguais a a.
Representação de Intervalos Intervalo envolvendo o infinito Intervalo fechado à direita, definido pelo número real b: ], a ] { x R x b } Estão definidos todos os números reais que são menores ou iguais a b.
Exemplos de Intervalos Numéricos Considere os conjuntos de números reais A={x R 0<x<2} e B={x R 3<x<1}. Usando a reta dos R, determine os conjuntos: AUB e A B. AUB = ] -3, 2 [ A B = ] 0, 1 [
Exemplos de Intervalos Numéricos Represente os seguintes subconjuntos de R na reta numérica: a) A = {x R x> 3/2} b) B = {x R 2<x<5}
Exemplo de aplicação Exemplo de problema envolvendo conjuntos 1) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de 3 embalagens A, B e C para o lançamento de um novo produto. O resultado está abaixo: 160 indicaram a embalagem A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C;
Exemplo de aplicação 30 indicaram as embalagens A e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C;? 10 indicaram as 3 embalagens. Pergunta-se: a) Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das 3 embalagens? b) Quantos não indicaram somente a embalagem C?
Exemplo de aplicação A = 160 A B = 30 B = 120 A C = 40 A B U C = 90 B C = 50 -- A B C = 10 C
Exemplo de aplicação 2) Dados os conjuntos A={1,2}, B={2,3}, C={1,3,4} e D={1,2,3,4}. Classifique as sentenças abaixo em V ou F: [ [ [ [ [ ] A Ì D ] A Ì B ] B Ì C ] D É B ] C = D
Exemplo de aplicação 3) Sendo o conjunto A={ a, b, c }. Determine P(A):
Exemplo de aplicação 4) Pinte no diagrama abaixo o resultado da seguinte sentença: C U A B A B U