Matemática Financeira Aula 1 1 Profa. Msc. Érica Siqueira
Mini Currículo Professora: Érica Siqueira Formação: Doutoranda em Administração pela FGV. Mestre em Administração pela FEA USP (2014), Especialista em Administração pela FGV (2011) e Bacharel em Sistemas de Informação pelo Mackenzie. Professora nos cursos de Administração nas faculdades Unisant anna e Estácio. Professora convidada para cursos de pós graduação. Consultora de empresas para elaboração/análise de viabilidade de projetos de inovação. Atua há 17 anos implantando e desenhando sistemas para gestão empresarial, gestão pública, gestão financeira, cadeia de suprimentos, etc.. Profaª Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira Objetivos de aprendizagem: Depois de ler e discutir este tópico você será capaz entender Fazer contas utilizando a regra de três e porcentagens Entender os princípios de Matemática Financeira Calcular valores futuros e presente em juros simples Entender operação de desconto de duplicata Profaª Msc. Érica Siqueira
Agenda do Curso Data Horário Grande Tema Detalhado Apresentação da Disciplina 8:30 até 10:15 Revisão de Porcentagens Exercícios Juros Simples Juros Simples HP12C Desconto de Duplicata 05/05/2018 10:30 até 12:30 Taxas Equivalentes e Proporcionais em Juros Simples Exercícios 13:30 até 15:00 Juros Compostos e Juros Compostos Taxas HP12C Taxa Equivalente em Juros Compostos 15:20 até 17:00 Exercícios 12/05/2018 8:30 até 10:15 Inflação, Taxa Real e Taxa Aparente Taxa Acumulada, Taxa Nominal e Taxa Efetiva Exercícios Fluxo de Caixa e 10:30 até 12:30 Pagamentos e Depósitos Constantes Investimentos. Fluxo de Caixa HP12C e EXCEL 13:30 até 15:00 Fórmulas Matemática Financeira Excel 15:20 até 17:00 Payback Simples e Descontado, VPL, TIR Sistema de Amortização: SAC e PRICE 4 Profa. Msc. Érica Siqueira
Usar HP12C Para estudar: Observações Slides como grandes tópicos Livros indicados na bibliografia Lista de Exercícios 5 Profa. Msc. Érica Siqueira
Gestão Financeira Planejamento Financeiro Investimentos Finanças Pessoais Aplicações 6 Profa. Msc. Érica Siqueira
Revisão: Início 7 Profa. Msc. Érica Siqueira
Regra de Três Simples Resolução de problemas, usando igualdade de frações, sobre as quais conhece-se 3 valores dos 4 valores possíveis. A partir desses 3 valores é possível montar uma equação, de primeiro grau, com uma incógnita. Os valores conhecidos podem ser diretamente proporcionais, ou seja, a medida que um valor aumenta, espera-se que o outro também aumente, mantendo a proporção Ou, podem ser inversamente proporcionais: a medida que um aumenta o outro diminui. 8 Profa. Msc. Érica Siqueira
Porcentagens com Regra de Três Se um produto custa R$ 400,00 e teve um desconto de R$ 30,00 representa que percentual de desconto? Reais (R$) Porcentagem 400,00 100% 30,00 X 9 Profa. Msc. Érica Siqueira
Diretamente Proporcional (SóMatemática) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m 2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m 2, qual será a energia produzida? Área 1,2 400 1,5 X Energia 10 Profa. Msc. Érica Siqueira
Inversamente Proporcionais (Globo) Um atleta, com velocidade constante de 8km/h, leva 50 minutos para percorrer um quarteirão. Se sua velocidade passar a ser de 16km/h, de forma constante, quanto tempo ele levará para percorrer esse mesmo quarteirão? Velocidade (km/h) 8 50 16 X Tempo (minutos) 11 Profa. Msc. Érica Siqueira
Regra de Três Composta Enquanto a regra de três simples envolve até 2 grandezas, velocidade e tempo, por exemplo, a regra de três composta envolve 3 ou mais grandezas direta ou indiretamente. A forma de resolução é montar uma série de regra de três simples 12 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo Regra de Três Composta (Globo) Doze pedreiros fizeram 5 barracões em 30 dias, trabalhando 6 horas por dia. Calcule o número de horas por dia que deverão trabalhar 18 pedreiros para fazer 10 barracões em 20 dias. 13 Profa. Msc. Érica Siqueira
Revisão de Porcentagem A porcentagem é uma maneira de expressar um número como parte de um todo. Para calculá-la, damos ao todo o valor de 100%. Por exemplo, digamos que você tenha 10 reais (=100%). Se você gastar 2, então você gastou 2/10 100% = 20% dos seus 10 reais, e ficou com apenas 80% 14 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxas Unitárias e Percentuais Taxa Unitária Corresponde à Taxa Percentual 0,05 = 5% 0,5 = 50% 0,8 = 80% 1 = 100% 15 Profa. Msc. Érica Siqueira
O percentual de um valor Dessa forma, 20% = 0,20 ou 30% = 0,3 e 5%=0,05 Para achar o valor correspondente, basta multiplicar pela porcentagem, sem necessidade de usar a regra de 3 Por exemplo: 10% de R$ 1.000 0,10 * 1000 = R$ 100,00 16 Profa. Msc. Érica Siqueira
Para calcular o percentual Por outro lado, para achar o percentual, basta dividir a parte pelo todo, também sem necessidade de usar regra de três. Exemplo: Se há um grupo de 1000 pessoas, das quais 485 são universitárias, qual o percentual de universitários? Parte = 485 Todo = 1000 O primeiro passo é dividir a parte pelo todo 485 / 1000 = 0,485 Depois multiplicar por 100 para achar o valor em percentual 0,485 x 100 = 48,5% 48,5% das pessoas desse grupo são universitárias 17 Profa. Msc. Érica Siqueira
Acrescentar um Percentual Para somar uma porcentagem ao número original, por exemplo 200 + 40%, basta utilizar a fórmula 200 x (1 + 0.40) = 280 Exemplos: acrescentar ao preço original um valor de lucro, comissão ou taxas 18 Profa. Msc. Érica Siqueira
Subtrair um Percentual Ex: Achar valor final após conceder descontos Para retirar um porcentagem basta multiplicar pela porcentagem restante, por exemplo: Se temos 100 caixas, sendo que 40 delas estão cheias de areia, dizemos que 40% estão cheias, e que as restantes estão vazias (60 caixas, ou 60% nesse caso). Fórmula = 100 * 0,6 = 60 caixas vazias 19 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exercícios de Porcentagem Calcule as porcentagens correspondentes: 2% de R$ 700 40% de 48 m 38% de 200 Kg 6% de R$ 50 37,6% de R$200 22,5% de R$60 20 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exercício de Porcentagem a) A quantia de R$ 1143,00 representa qual porcentagem de R$ 2540,00? b) Sabe-se que 37,5% de uma distância x corresponde a 600 m. Qual a distância x? c) Uma escola tem 25 professores, dos quais 24% ensinam Matemática. Quantos professores ensinam Matemática nessa escola? d) Na compra de um aparelho obtive desconto de 15% por ter feito o pagamento à vista. Se paguei R$ 102,00 reais pelo aparelho, qual era seu o preço original? e) 30% da população de uma cidade litorânea mora na área insular e os demais 337.799 habitantes moram na área continental. Quantas pessoas moram na ilha? 21 Profa. Msc. Érica Siqueira
Matemática Financeira 22 Profa. Msc. Érica Siqueira
Observações Estudar o valor do dinheiro no tempo Conceitos de juro, capital e tempo Habilidades matemáticas prévias: Porcentagem Frações, Potências, Raiz, Log 23 Profa. Msc. Érica Siqueira
Dinheiro no Tempo Receber uma quantia hoje, equivale a receber uma quantia maior amanhã (Valor Futuro); Receber uma quantia amanhã, equivale a receber uma quantia menor hoje (Valor Presente). E assim surge o estudo do "dinheiro no tempo", cuja "taxa de juros" representa o fator de correção no tempo. 24 Profa. Msc. Érica Siqueira
Capital O Capital é o valor, na data ZERO, aplicado ou emprestado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras). Excel: Valor Presente 25 Profa. Msc. Érica Siqueira
Juro Remuneração do Capital O juro existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros. Representação nas calculadoras financeiras: i 26 Profa. Msc. Érica Siqueira
Tempo Tempo decorrido entre a aplicação inicial e o resgate, também chamado de prazo ou período de capitalização Utiliza-se calendário comercial, na marioria das vezes, sendo os meses de 30 dias, e anos de 360 dias (12 meses de 30 dias). Notação nas calculadoras financeiras: n a. a. = ao ano a. b. = ao bimestre a. q. = ao quadrimestre a. p. = ao período a. m. = ao mês a. t. = ao trimestre a. s. = ao semestre Conversão? Pode? 27 Profa. Msc. Érica Siqueira
Montante É a soma do Capital inicial com juro produzido em determinado tempo O montante é calculado apenas no fim da capitalização. Outras representações: S (de Saldo); VF (de Valor Futuro); FV (de Future Value) VF = VP + J 28 Profa. Msc. Érica Siqueira
Juro Simples e Composto Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos. JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado. JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também. A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas. 29 Profa. Msc. Érica Siqueira
Calculando Juros Simples J = C * i * n Quanto rende um capital inicial (principal) de $100,00 aplicado à taxa de 5% ao semestre e por um prazo de 2 anos? Qual o montante ao final de 2 anos? 30 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Montante em Juros Simples Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples. Solução: P = R$ 6.000,00 i = 4% a.m. n = 5 meses S = P(1 + in) S = 6.000 (1 + 0,04 5) S = R$ 7.200,00 31 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Valor Atual Juros Simples Para o cálculo do valor atual (P) que produzirá o montante (S) daqui a n períodos a uma taxa (i) de juros simples basta inverter a relação anterior, isto é: P = S/(1+ in) 32 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo da Taxa em Juros Simples 33 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Tempo em Juro Simples 34 Profa. Msc. Érica Siqueira
Taxas Proporcionais e Equivalente em JS Duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com os tempos a elas referidos, reduzidos à mesma unidade No regime de juros simples, Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes são consideradas a mesma coi sa, sendo indiferente a classificação de duas taxas de juros como proporcionais ou equivalentes. Este conceito diz mais a respeito ao regime de juros compostos. 35 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo 1 36 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo 2 37 Profa. Msc. Érica Siqueira
Desconto de Duplicata Operação conhecida no Brasil como Desconto comercial ou bancário (por fora). Diferentemente do cálculo de juros, que incide sobre um Capital ou Valor Presente, a taxa de desconto incide sobre o valor futuro. O valor futuro, nesse caso, é conhecido como valor de face ou valor nominal Abate-se o desconto para conhecer o valor presente, ou, o quanto será pago pelo desconto da duplicata (antecipação de recebíveis) 38 Profa. Msc. Érica Siqueira
Desconto de Duplicata Juros Simples Fórmulas para cálculo: Valor do Desconto (D): D = VF.d.n Valor presente, abatendo o desconto VP = VF * (1 d *n) onde d é a taxa de desconto Exemplo: Qual o valor do desconto comercial simples de um título de R$ 1.600,00, com vencimento para 120 dias, á taxa de 3% ao mês? 39 Profa. Msc. Érica Siqueira
Resolução Dados retirados do problema VF = 1.600,00 n = 120 dias = 4 meses (pois a taxa está em mês) d = 2,5% ao mês Valor do Desconto (D) =? Solução: Fórmula D = VF. d. n D = 1.600,00. 0,03. 4 = 192,00 40 Profa. Msc. Érica Siqueira
Juros Compostos Fonte: http://excelplanilhasprontas.com.br/ 41 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Montante em Juros Compostos 42 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo Comparativo Determinar o montante, ao fim de 5 meses, correspondente a uma aplicação no valor de R$ 6.000,00, à taxa de 4% ao mês, no regime de juros simples e compostos. 43 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exemplo Comparativo 44 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Valor Atual Juros Compostos 45 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo da Taxa em Juros Compostos 46 Profa. Msc. Érica Siqueira
Cálculo do Tempo em Juro Compostos O LOG pode ser substituído, nesse caso, pelo LN 47 Profa. Msc. Érica Siqueira
Convenção Linear Trata-se de aplicar o sistema de juros compostos para a parte inteira do período e juros simples para a parte fracionada. Exemplo: 48 Profa. Msc. Érica Siqueira
Convenção Linear Convenção Exponencial Convenção Linear 49 Profa. Msc. Érica Siqueira
Exercício (MathFinanceira) -Seja o capital de R$100.000,00 emprestado à taxa de 18% ao ano pelo prazo de 4 anos e 9 meses. Calcular o montante deste empréstimo pela convenção linear. Resultados para Conferência: FV (Conv. Linear) = R$ 220.051,30 FV (Conv. Exponencial) = R$ 219.502,50 50 Profa. Msc. Érica Siqueira
Convenção Linear na HP A HP 12C resolve problemas em ambas as convenções. Quando o período n é um número fracionário, é necessário verificar a letra C está aparecendo no visor A letra C pode ser colocada ou retirada pressionando-se as teclas STO EEX. Se a letra C estiver aparecendo no visor, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção exponencial. Caso contrário, a HP 12C está realizando os cálculos segundo a convenção linear. Para o uso da HP 12C, no regime de juros compostos ou simples, a unidade de referência do período deve ser a mesma da taxa de juros 51 Profa. Msc. Érica Siqueira