Números Reais. Simplifique as seguintes epressões (definidas nos respectivos domínios): a), b) + +, c) + + +, d), e) ( ), f) 4 4, g) ( ), h) 3 6, i) +, j) +, k) log ( ) + log ( ), l) log ( + ) + log ( + ).. Escreva as epressões seguintes sem usar módulos: (a) +, (b) 4, (c) + 3 + 3. 3. Resolva as seguintes equações e inequações: a) ( 3 + )( ) 0, b), c) 4, d) 3 +, 3 e) + =, 3 f) =, g), h) =, i) <, j) <, k) +, l), m), n) 4 6 0, 4
CDI-I o S 0/ o) e 3 <, p) e e, q) log ( ) 0, r) log( 3) 0. 4. Escreva cada um dos seguintes conjuntos como intervalos ou reuniões de intervalos: a) : +, b) : 4 3, c) : 3 4, d) : ( 4) 0, e) : ( )( 4) 0, f) : +, g) : 0, h) : 0, i) : 3 0, 5. (a) Escreva com quantificadores: i. Para qualquer a R, a equação a + = 0 tem solução. ii. Eiste um número real maior do que todos os outros. iii. Se a distância de a é maior do que então a distância de a 0 é maior do que. iv. Para, y R, com y 0, y > se, e só se, > y. (b) As afirmações são verdadeiras? (c) Escreva a negação das afirmações acima (com e sem quantificadores). 6. Indique justificando quais das proposições seguintes são verdadeiras: a),, 3 b),, 3 c),, 3 d) R e) = N : = + f) 0 g) 0 h) R > 0 > 0 i) R > < j),y R < y y < k) 0 > 0 l),y R < y < y m),y R < y < 0 > y n) R =. 7. Indique o maior ε > 0 tal que A contem uma vizinhança-ε de 0 : (a) A = [0, ], 0 = ; (b) A = [0, ], 0 = 3 ; (c) A = [ 0, + [, 0 = 0; (d) A = [, 3] ]4, + [, 0 = 3. 8. (E..7,.8 e.9 de []) Demonstre pelo princípio de indução matemática que: 5
CDI-I o S 0/ a) + 3 + + (n ) = n, n N. b) + 3 +... + n(n+) = n, para todo o natural n. n+ c) (n!) > n n, para todo o natural n 4. d) n! n, para todo o natural n. 9. Demonstre pelo princípio de indução matemática que: a) + + 3 + + n = n(n+), para qualquer n N. b) Para a R, (a )( + a + + a n ) = a n+, para qualquer n N. c) + + + n =, para qualquer n N.! 3! (n+)! (n+)! d) 3 + 3 + 3 3 + + n 3 = ( n(n+) ), para qualquer n N. e) + + + n n, para qualquer n N. 0. Demonstre pelo princípio de indução matemática que: a) (n + )! n, para qualquer n N. b) n 3 < n, para todo o natural n 5. c) 7 n é múltiplo de 6 para qualquer n N. d) n + é múltiplo de 3 para qualquer n N.. Prove por indução matemática que para quaisquer n N e a, a n R, a + + a n a + + a n. (Sugestão: use a Desigualdade Triangular.). Demonstre a desigualdade de Bernoulli: Sendo a > e n N, ( + a) n + na. 3. Seja P(n) a condição n + 3n + é par. a) Mostre que P(n) P(n + ). b) Pode concluir que n + 3n + é par, para qualquer n N? c) Mostre que, para qualquer n N, n + 3n + é ímpar. 4. Seja f : N N tal que f (0) = e f (n + ) = (n + )(n + ) f (n). Mostre por indução matemática que, para qualquer n N, f (n) = (n)! Esta epressão pode ser escrita na forma n k= (k ) = n. Um número é múltiplo de 6 sse é da forma 6k, para algum k N. 6
CDI-I o S 0/ 5. Considere a sucessão real (u n ) dada por: u = 3, u n+ = 3u n (n+). Mostre, usando indução matemática, que u n = 3n (n!), para qualquer n N. 6. (Teste de 9/4/006) Considere a sucessão real (u n ) dada por: u =, u n+ = u n +. Mostre, usando indução matemática, que u n = n, para qualquer n N. 7. Verifique que se n N é ímpar, então n é também ímpar. O que pode concluir de n N sabendo que n é par? 8. Verifique que se, y são números racionais, então + y, y,, (para 0) são também números racionais. 3 9. (E. I.3 de []) Verifique que, se é um número racional diferente de zero e y um número irracional, então + y, y, y e y/ são irracionais; mostre também que, sendo e y irracionais, a sua soma, diferença, produto e quociente podem ser ou não ser irracionais. 0. (E.. de []) Considere os seguintes subconjuntos de R: A = R : +, B = [ 3, 4], C = R \ Q. a) Mostre que A B = [ 3, 4 3] 4. b) Indique, se eistirem em R, sup A, min(a B), ma(a B), inf(a B C), sup(a B C) e min(a B C).. (Eame de 9//000) Considere os conjuntos A e B definidos por A = R : log > 0, B = R : = n, n N. Mostre que o conjunto A é igual a R + \. Determine, caso eistam, ou justifique que não eistem, o supremo, o ínfimo, o máimo e o mínimo dos conjuntos A e A B. 3 Ou seja, Q é fechado para a adição e multiplicação e contem os simétricos e inversos de todos os seus elementos. Mostra-se assim, uma vez que também os elementos neutros 0 e são racionais, que Q é um corpo. É fácil ver que também verifica as propriedades de ordem, ou seja, Q é um corpo ordenado. 7
CDI-I o S 0/. (E..8 de []) Considere os conjuntos A = R : log, B = ( )n n, n N. Para cada um dos conjuntos A e B, indique o conjunto dos majorantes, o conjunto dos minorantes e, no caso de eistirem (em R), o supremo, o ínfimo, o máimo e o mínimo. 3. Sejam A, B e C os seguintes subconjuntos de R: A = R : + > 3, B = ] 0, ], C = n : n N. a) Calcule A sob a forma de uma reunião de intervalos. b) Indique, caso eista, inf A, min A B, ma A B, ma A B Q, inf A B Q, ma C, ma B \ C. 4. (Eame de 000) Sejam A e B os subconjuntos de R definidos por A = R :, B = [, ]. a) Determine A sob a forma de reunião de intervalos. b) Determine, se eistirem em R, o máimo e o mínimo de A B e o supremo, ínfimo, máimo e mínimo de (A B) \ Q. 5. (Eame de 30//00) Considere os seguintes conjuntos de R: A = : +, B = Q, C = k : k N. a) Mostre que A = [ +, 3 ]. b) Determine, se eistirem, o supremo, ínfimo, máimo e mínimo de A B, C. 6. (Eame de 6//004) Considere os seguintes conjuntos de números reais: A = :, B = : sen = 0, C = Q. a) Mostre que A = [, 0[ [, + [. b) Escreva os conjuntos dos majorantes e minorantes de A C e B C. Calcule ou conclua da não eistência de sup A, inf A C, min A C, min B, sup B C. 8
CDI-I o S 0/ 7. (Teste de //005) Considere os seguintes conjuntos de R: A = : 0 4 4 0, B = : 0 k N k Q. a) Mostre que A = [ 0, ] \ e justifique que B = [0, + [\Q. b) Determine, ou mostre que não eistem, o supremo, ínfimo, máimo e mínimo de cada um dos conjuntos A e A \ B. 8. (Teste de 9/4/006) Considere os seguintes subconjuntos de R: A = : 0, B = n/ : n N. a) Mostre que A = [, [ ], ]. b) Determine ou justifique que não eistem, os supremo, máimo, ínfimo e mínimo de cada um dos conjuntos A Q, B e B Q. 9. Para A R, A, definimos A = : A. Justifique que A é minorado se e só se A é majorado e nesse caso temos inf A = sup( A). 30. Seja A R e s = sup A. Se eiste ε 0 > 0 tal que (V ε0 (s) \ s) A =, então A tem máimo. 3. (E..0 de []) Seja A um subconjunto de R, majorado e não vazio, e seja m um majorante de A, distinto do supremo desse conjunto. Mostre que eiste ɛ > 0 tal que V ɛ (m) A =. 3. (E. I.5 de []) Sejam A e B dois subconjuntos de R tais que A B e suponha que A é não vazio e B é majorado. Justifique que eistem os supremos de A e B e prove que se verifica sup A sup B. 33. (E.. de []) Sendo U e V dois subconjuntos majorados e não vazios de R, tais que sup U < sup V, justifique (de forma precisa e abreviada) as afirmações seguintes: a) Se U, então < sup V. b) Eiste pelo menos um y V tal que y > sup U. 34. (E..4 de []) Sejam A e B dois subconjuntos de R. a) Prove que, se sup A < inf B, A e B são disjuntos. b) Mostre, por meio de eemplos, que se for sup A > inf B sup B > inf A, A e B podem ser ou não disjuntos. 9