1 Capítulo 1 - Coceitos Básicos. 1.1 - Itrodução Em ossas atividades, ecotramos sempre varias alterativas para solucioar um problema, e devemos escolher a melhor, de acordo com um ou mais critérios. Um critério sempre presete é o ecoômico, em que temos de comparar as alterativas com base em valores moetários. A Egeharia Ecoômica os forece os istrumetos para estas comparações. O ome Egeharia Ecoômica vem do fato de terem sido os egeheiros, o fim do século XIX, os primeiros a tratar, de forma sistemática, dos problemas de alterativas de ivestimeto, ieretes aos grades projetos de egeharia. Ates de etrar o assuto, cosideramos importate recordar o coceito de modelo, idispesável em qualquer tratameto cietifico. O cohecimeto da atureza e do papel dos modelos é essecial para um raciocíio claro e preciso. Os coceitos básicos da Matemática Fiaceira são fudametais, e deles também trataremos este capítulo. 1.2 - Coceito de Modelo. Defiimos modelo como sedo uma represetação simplificada de uma certa realidade, visado a uma fialidade específica. A realidade é extremamete complexa e, para estudá-la, costruímos em ossa mete, istitivamete, um modelo desta realidade, deixado de cosiderar aqueles aspectos que são irrelevates para o osso problema.. Todo modelo é, por atureza simplificado, e esta simplificação está ligada à fialidade do modelo. A mesma realidade pode ser represetada por diferetes modelos, e o mesmo modelo pode represetar diferetes realidades. Podemos ter duas grades categorias de modelos: os materiais e os abstratos. Os materiais, ou icôicos, coservam a forma: uma fotografia, uma maqueta, são modelos deste tipo. A fotografia de uma pessoa, por exemplo, tem uma simplificação drástica ao elimiar uma das dimesões, mas se o objetivo é idetificar esta pessoa a simplificação é geralmete aceitável. Os abstratos compreedem os modelos metais (detro de ossa cabeça) e os simbólicos, que represetam a realidade por símbolos. Nestes últimos temos a liguagem falada (realidade descrita pelas palavras), a liguagem escrita (alfabetos que permitem compor as palavras, ou os ideogramas chieses), e os modelos matemáticos, que são os que os iteressam particularmete. Sedo modelos simbólicos, exigem prelimiarmete uma defiição precisa do que cada símbolo represeta. A vatagem é que o mesmo modelo matemático pode represetar realidades diversas, mas que, de certa forma, se comportam de maeira aáloga, bastado mudar a defiição dos símbolos. Por exemplo, a mesma formula matemática M = P(1+j) t pode represetar juros compostos, o crescimeto de uma população, a iflação, a atualização de valores, etc., depededo do sigificado que dermos aos símbolos M, P, j, t. Em tudo que fazemos está subjacete o uso de modelos, embora a quase totalidade dos casos em percebamos este fato. O problema ão é usar ou deixar de usar um modelo, por que usamos sempre, mas sim se vamos explicitá-lo ou ão. A vatagem de
2 explicitar o modelo é que podemos ver mais claramete as hipóteses feitas, podemos discuti-lo com outras pessoas, etc. Devemos partir sempre de um modelo o mais simples possível, cotrariado a ossa tedêcia atural de ter um modelo o mais realista possível. Apeas se ele ão for satisfatório é que devemos acrescetar ovos detalhes. O teste do modelo é a sua adequação para descrever o que acotece a realidade. Para mais detalhes sobre modelos, recomedamos Churchma, Ackoff e Aroff (1957) e Bross (1953) 1.3 - Fluxo de Caixa Como a maioria dos problemas da Egeharia Ecoômica evolve receitas e despesas que ocorrem em istates de tempo diferetes, é coveiete adotarmos uma represetação que permita visualizar cada situação. A represetação que usaremos é o fluxo de caixa, que pode ser modelado por um diagrama ou por uma tabela ( plailha). Na Matemática Fiaceira clássica os valores são sempre absolutos, mas a Egeharia Ecoômica as etradas de caixa são cosideradas positivas e as saídas egativas, coforme a coveção de siais usualmete adotada. Evidetemete ada impede que também se use esta coveção de sial a matemática fiaceira, como fazem automaticamete algumas calculadoras fiaceiras. 1.3.1 - Diagrama de fluxo de caixa. No diagrama são obedecidas as seguites coveções: a ) A liha horizotal represeta itervalos (períodos) de tempo (meses, trimestres, aos, etc. ). Os potos da reta correspodem aos istates (datas). Vemos que o mesmo poto (istate) represeta o fim de um período ou o iicio do período seguite. O período 1 começa o istate 0 e termia o istate 1, ode começa o período 2, e assim por diate. b ) As despesas e receitas são cosideradas como ocorredo o fim do período, mesmo que ormalmete sejam distribuídas ao logo dele. Esta simplificação do modelo afeta muito pouco as comparações das alterativas, uma vez que todas estão sujeitas à mesma regra. Se quisermos maior precisão basta cosiderar períodos meores. c ) Os valores são represetados por flechas. As flechas para cima ( positivas ) sigificam etradas de caixa ( receitas ). As flechas para baixo (egativas) correspodem a saídas de caixa ( despesas ). Em coseqüêcia da coveção b ), só pode haver flecha o fim do período. Não ha escala vertical; os valores são idicados umericamete sobre as flechas ou ao lado. d ) No caso de r valores cosecutivos iguais é costume idicá-los por uma reta horizotal ecimada pelo valor comum. Coeretemete com a coveção b), esta reta deve começar o iicio do período, e cobrir r períodos.
3 No exemplo da figura 1.3.1 o diagrama represeta um ivestimeto iicial (desembolso) de 1.000 reais, produzido receitas de 700 o segudo período, 500 o terceiro e 800 o quarto período, com uma despesa costate de 200 por período, a partir do segudo período. 700 500 800 0 1 2 3 4 1000 200 Figura 1.3.1 - Diagrama de Fluxo de Caixa ( Poto de vista do ivestidor )...1000 200 0 1 2 3 4 700 500 800 Figura 1.3.2 - Diagrama de Fluxo de Caixa ( Poto de vista do ivestimeto ) 0 diagrama de fluxo de caixa depede do poto de vista cosiderado, pois, como toda etrada de caixa correspode a uma saída de outro caixa e vice-versa, os mesmos fluxos dão origem a dois diagramas simétricos, coforme o poto de vista seja o do ivestidor ( Fig. 1.3.1 ) ou o do ivestimeto ( Fig. 1.3.2 ). É idiferete usar um poto de vista ou outro, coforme ossa coveiêcia, mas, ao compararmos alterativas, devemos usar o mesmo poto de vista em todas elas. Salvo aviso em cotrario usaremos, daqui em diate, o poto de vista do ivestidor. 1.3.2 - Plailha de fluxo de caixa É uma tabela que relacioa os fluxos líquidos de cada período aos istates correspodetes. No exemplo aterior o fluxo de caixa seria represetado pela tabela 1.3.1. Istate Valor 0-1000 1 0 2 500 3 300 4 600 Tabela 1.3.1 - Plailha de fluxo de caixa 1.4 - Elemetos de matemática fiaceira. 1.4.1 - O Juro O.juro represeta a remueração pelo uso de uma riqueza. A existêcia dos juros decorre de vários fatores, etre os quais podemos citar: a) adiameto do uso da riqueza. b) risco de perda ( ão pagameto ) c) iflação, que, dimiuido o poder aquisitivo do diheiro, exige um retoro maior. A determiação dos juros é feita pela taxa de juros, defiida como a razão etre os juros que serão devidos o fim do período e o capital iicialmete empregado.
4 A taxa de juros é expressa por uma fração ou percetagem referida a um determiado período base, que será usado como uidade de tempo; por exemplo, 12% ao ao ou 0,12 ao ao. Não cabe discutir aqui como esta taxa é fixada. Vamos supor o osso modelo que ela é cohecida, é a mesma em todo o mercado de capitais e ão se altera durate o horizote de tempo que estamos cosiderado. As mudaças do poder de compra da moeda ( iflação ou deflação ). serão examiadas mais adiate; até lá o seu efeito estará eglobado a taxa de juros. Como mostra o Prof. Oliva ( Oliva 1971), é fácil perceber que a situação real pode se afastar bastate deste modelo ideal. Não existe uma taxa bem defiida a cada istate. Ao cotrário, os egócios se fazem com taxas variadas, em fução do risco e também pela falta de cohecimeto dos iteressados de todas as ofertas e procuras em vigor. Dão-se também variações ao logo do tempo, sob a ifluecia dos iúmeros fatores que afetam o mercado dos capitais. Além disso, as operações fiaceiras têm sempre um custo de realização, referete aos serviços exigidos, desde a sua abertura até a liquidação fial, quer das partes quer dos agetes itermediários que houver, tais como corretores, bacos, etc.. À taxa líquida de juros, obtida pela pessoa que empresta, soma-se a remueração destes serviços, para costituir o custo do capital para a pessoa que o obtém emprestado. Vigoram etão duas taxas: uma para a aplicação, outra para a obteção do capital. A existêcia de custos fixos estas operações faz iclusive com que este diferecial depeda do vulto do egócio, e cria valores míimos abaixo dos quais a aplicação já se tora desiteressate ou mesmo gravosa. O mercado perfeito, de taxa úica e costate, é utópico, portato. Porém o estudo do comportameto dos capitais o tempo sobre este modelo teórico forece os e- lemetos ecessários para a resolução dos problemas de equivalêcia de valores datados, itroduzido-se em cada caso as correções e as ressalvas ecessárias. 1.4.2 - Juros Simples Usaremos a seguite otação: j = taxa de juros por período ( expressa em percetagem/período, mas usada como fração decimal/período ). = úmero de períodos ( horizote ). P = pricipal ou capital, quatia aplicada ou tomada de empréstimo. M = motate, quatia recebida ou paga o fim de períodos. Um capital P, emprestado à taxa de juros j, por períodos, o fim do primeiro período rederá uma quatia de juros J = jp, que deverá ser paga pelo tomador do empréstimo. Etretato, isto raramete é feito, ficado estes juros com o devedor até o prazo fial do empréstimo. No caso dos juros simples este acréscimo da divida ão paga juros, de modo que os juros são calculados sempre sobre o pricipal, isto é, o fim dos períodos teremos um motate M = P + jp = P(1+j). (1.4.1) Na prática comercial os juros simples são usados apeas para prazos pequeos, ou para calcular os juros de frações de período. Exemplos: 1. Qual será o motate de um capital de $5.000,00, aplicado a 12% ao ao, juros simples, por 2 aos? M = P(1+j) = 5.000,00(1+2x0,12) = 6.200,00 2. Qual o capital que aplicado a 2% ao mês, juros simples, durate 2,5 aos, produz o motate de $18.113,62?
5 2,5 aos = 30 meses P = M / (1+j) = 18.113,62 /(1+30x0,02) = 11.421,01 3. Supodo uma taxa de 3% ao mês, juros simples, em quato tempo o capital dobrará? P(1+j) = 2P (1+ x 0,03) =2 = 33,33 meses = 33 meses e 10 dias. 1.4.3 - Juros Compostos. Neste caso, os juros devidos e ão pagos são capitalizados, isto é, são adicioados à divida. Um capital P, emprestado à taxa de juros j, por períodos, o fim do primeiro período rederá uma quatia de juros J = jp que se icorpora ao capital iicial, que se tora P 1 = P + J = P + jp = P(1+j). No fim do segudo período teremos P 2 = P 1 +jp 1 = P(1+j)(1+j) = P(1+j) 2 Cotiuado o raciocíio, teremos o fim de períodos o motate M = P = P(1+j) (1.4.2). ou seja (M / P) = (1+j) (1.4.3) Esta quatidade (M / P) é chamada fator de acumulação de capital e, atigamete, era tabelada para valores usuais de j e. Hoje, etretato, com o adveto das calculadoras eletrôicas e das plailhas dos microcomputadores, essas tabelas perderam sua razão de ser e são cada vez meos usadas. O recíproco de (M / P), ou seja (P / M), é deomiado fator de descoto ou fator de valor atual ou aida fator de valor presete e vale (P / M) = 1/(1+j) = (1+j) - (1.4.4) Salvo aviso em cotrário, usaremos sempre juros compostos, e os desigaremos simplesmete como juros. Exemplos 1. Qual será o motate de um capital de $5.000,00, aplicado a 12% ao ao por 2:aos? M = P(1+j) =5.000,00(1+0,12) 2 = 6.272,00 2. Qual o capital que aplicado a 2% ao mês, durate 2,5 aos, produz o motate de $18.113,62? 2,5 aos = 30 meses P = M / (1+j) = 18113,62 / (1,02) 30 = 10.000,00 3. Supodo uma taxa de 3% ao mês, em quato tempo o capital dobrará? P(1+j) = 2P (1+0,03) =2 = 23,45 meses = 23 meses e 13 dias. 4. Um baco fez um empréstimo de R$10.000, com prazo de 180 dias, cobrado atecipadamete juros simples de 3% ao mês. 10.000 a) Qual foi a taxa efetiva? Juros atecipados: 10000*0,03*6=1800 0 6 Valor recebido: 10000-1800 = 8200 8.200 (1+j) 6 = 10000/8200 =1,2195 j = 3,36% ao mês b).supodo que, além disto, o baco obrigou o cliete a mater 10% do empréstimo em sua cota correte, sem poder utilizá-lo, qual foi a taxa verdadeira? O cliete recebe realmete 8.200-1.000 = 7.200 e paga 9.000 ao fim de 6 meses. (1+j) 6 = 9.000/7.200 = 1,25 9.000 (1+j) = 1,0379 j = 3,79% ao mês. 0 6 7.200 1.4.3.1 - Cálculo de juro em períodos fracioários Embora as formulas de juros sejam validas para fracioário, é freqüete, especialmete quado são usadas tabelas ( que cotém apeas valores iteiros de ), fa-
6 zer um cálculo aproximado, cosiderado o juro composto dos períodos iteiros (tabela) e sobre este motate aplicado juros simples durate a fração de período restate. Exemplo: Qual o motate de um capital de $100.000, aplicado a uma taxa de 5% ao mês, durate 6 meses e 12 dias? Temos: 12/30 = 0,4 Valor exato: 100.000x(1+0,05) 6,4 = 136.650,59 Valor aproximado: 100.000x(1+0,05) 6 x(1+0,4x0,05) = 136.689,76 Vemos que o motate de juros é ligeiramete maior usado esta aproximação, pois estamos substituido um arco de curva pela sua corda, como mostra a figura 1.4.1. Valor 30000 25000 20000 15000 10000 5000 Data 0 juro simples juro composto 1 2 3 4 Figura 1.4.1 1.4.4 - Período de Capitalização. Taxa Nomial e Taxa Efetiva Até aqui foi suposto que o período de capitalização dos juros era igual ao período-base da taxa. Porem freqüetemete isto ão acotece e temos capitalização em subperíodos do período-base (p. ex. juros de 10% ao ao, capitalizados mesalmete), ou em múltiplos do período-base (p. ex. juros de 3% ao mês, capitalizados semestralmete). Nestes casos, precisamos distiguir duas taxas: a taxa omial e a taxa efetiva. A taxa mecioada, de período-base (geralmete aual) diferete do período de capitalização, deve ser etedida, salvo aviso em cotrario, como uma taxa omial, j a partir da qual é calculada, por simples proporção, a taxa efetiva, j que será usada o cálculo dos juros. Exemplo: Capital de $1.000 aplicado por um ao, à taxa de 12% ao ao, capitalizado mesalmete j = 0,12 / 12 = 0,01 ao mês M = 1000(1,01) 12 = 1.126,83 trimestralmete j = 0,12 / 4 = 0,03 ao trimestre M = 1000(1,03) 4 = 1.125,51 semestralmete j = 0,12 / 2 = 0,06 ao semestre M = 1000(1,06) 2 = 1.123,60 As taxas auais efetivas são, respectivamete,: 12,68%; 12,55%, e 12,36%. Resumido, quado dividimos (ou multiplicamos) uma taxa omial para obter a taxa de um período submúltiplo (ou múltiplo) o resultado é uma taxa efetiva. Quado multiplicamos (ou dividimos ) uma taxa efetiva para obter a taxa de um período múltiplo (ou submúltiplo) o resultado é uma taxa omial. Para calcular taxas efetivas equivaletes, temos de usar a formula dos juros compostos. Com efeito, cosideremos duas taxas efetivas de juro, j 1 referete a um período-base 1, e j 2 referete a outro período-base 2. Vamos supor que, referidos à mesma uidade de tempo estes períodos sejam expressos por t 1 e t 2 respectivamete. Para
7 haver equivalêcia etre as taxas devemos ter o mesmo juro um mesmo tempo t, expresso respectivamete em 1 =t/t 1 e 2 =t/t 2 períodos. Logo: M = P(1+j 1) t/ t 1 = P(1+j 2) t/ t 2 dode (1+j 1) = (1+j 2) t 1 / t 2 ou (1+j 2) = (1+j 1) t 2 / t 1 ou j 2 = (1+j 1) t 2 / t 1 1 (1.4.5) Por exemplo, a taxa efetiva de 12% ao ao, capitalizada semestralmete, trimestralmete ou mesalmete, correspode respectivamete às taxas efetivas: (1+j) = (1+0,12) 1/ 2 = 1,0583 j = 5,83% ao semestre (1+j) = (1+0,12) 1/ 4 = 1,0287 j = 2,87% ao trimestre (1+j) = (1+0,12) 1/ 12 = 1,0095 j = 0,95% ao mês, em lugar das taxas omiais de 6%, 3%, e 1% respectivamete. Exemplos: 1) Se $1.000 são ivestidos hoje, à taxa de 10% ao ao, qual será o motate o fim de 10 aos, se a) o juro é capitalizado aualmete? Aqui os períodos da taxa e da capitalização são iguais, e ão há distição etre efetivo e omial M = 1000(1,10) 10 = 2.593,74 b) o juro é capitalizado trimestralmete? Os 10% auais são omiais, e temos uma taxa trimestral efetiva j = 0,10 / 4 = 0,25 e M = 1000(1,025) 40 = 2.685,06 Qual é a taxa aual efetiva o caso de capitalização trimestral? Neste caso a taxa aual efetiva seria (1,025) 4 1 = 0.1038. Verificação: M = 1000(1,1038) 10 = 2.684,75. ( a difereça é devida ao arredodameto dos valores das taxas.) 2) Se a taxa aual efetiva é 10,38%, com capitalização trimestral, qual é a taxa omial aual? Devemos calcular a taxa efetiva trimestral e depois multiplicar por 4. (1,1038) ¼ -1 = 0,025 j = 0,025 * 4 = 0,10 j = 10% ao ao. 1.4.5 - Capitalização Cotíua. Seja j a taxa omial correspodete a um certo período-base. Supodo que a capitalização é feita em m sub-períodos, e fazedo m aumetar idefiidamete, teremos o limite a capitalização cotíua, cuja taxa efetiva j, baseada o mesmo período é: j' m j' (1+ j) = lim (1 + ) = e m m j = e j -1 (1.4.6) j = L (1+j) (1.4.7) ode e = 2,7183 é o umero de Euler, e L( ) é o logaritmo Neperiao. Por exemplo, a taxa omial de 12% ao ao, capitalizada cotiuamete eqüivale a uma taxa aual efetiva de (1+j) = e 0,12 = 1,1275 ou j = 12,75% ao ao. Evidetemete, um capital P, aplicado períodos com taxa omial j, capitalização cotíua eqüivale a M = P(1+j) = Pe j. (1.4.8).Exemplos: 1) Qual será o motate de um capital de $5.000,00, aplicado à taxa omial de 12% ao ao, capitalização cotíua, por 2:aos? M = P e j =5000EXP(0,12*2) = $6.356,25
8 2) Qual o capital que aplicado a 2% ao mês, capitalização cotíua, durate 2,5 aos, produz o motate de $18.113,62? 2,5 aos = 30 meses P = M / e j = 18.113,62 /EXP(0,02*30) = $9.940,97 3) Supodo uma taxa de 3% ao mês, capitalização cotíua, em quato tempo o capital dobrará? Pe j = 2P EXP(0,03*) =2 = 23,10 meses = 23 meses e 3 dias. É iteressate comparar estes resultados com os obtidos ateriormete, supodo juros simples e juros compostos: Juros Simples Juros Compostos Capitalização Cotíua Exemplo 1) $6.200,00 $6.272,00 $6.356,25 Exemplo 2) $11.321,01 $10.000,00 $9.940,97 Exemplo 3) 33 meses 10 dias 23 meses 13 dias 23 meses 3 dias 1.4.6 - Perpetuidade. Seja um capital P aplicado a uma taxa j. No fim do período teremos um motate M = P + Pj. Se fizermos uma retirada Pj, o capital para o próximo período é ovamete P, e a situação se repete idefiidamete. São as chamadas redas perpétuas ou perpetuidade. Repetido, se pretedemos uma reda fixa R em todos os períodos, só podemos retirar os juros correspodetes ao capital iicial, pois caso cotrário o mesmo se extiguirá com o tempo (retirada maior que o juro), ou crescerá ( retirada meor que o juro ). Logo R = P.j. P = R / j (1.4.9) Exemplo: Uma pessoa deseja istituir uma bolsa de estudo o valor de $200,00 mesais. Quato deve ivestir um fudo que rede 0,7% ao mês? 200 = P * 0,007 P= 200 / 0,007 = 28.571,43 1.4.7 - Série uiforme de pagametos. Vamos cosiderar agora uma série uiforme de pagametos iguais A, o fim de cada período, durate períodos, correspodedo, com uma taxa de juros j por periodo, a um motate M. A M 0 1 2 3 0 1 2 3. Temos M = A(1+j) -1 + A(1+j) -2 +...+ A(1+j) + A. Em lugar de resolver esta equação, usado as propriedades de uma progressão geométrica, vamos repetir idefiidamete estes dois fluxos de caixa. Teremos duas perpetuidades equivaletes A 0 1 2 3 M A +1 +2 2 M 0 1 2 3 +1 +2 2
9 e, portato, usado (1.4.9) e (1.4.5): A M M M (1+ j) 1 = = ou = (1.4.10) j j (1+ j) 1 A j (M/A) é deomiado fator de acumulação de capital de uma série uiforme ou fator de valor futuro de uma série uiforme. Seu reciproco (A/M) é o fator de formação de capital de uma série uiforme e vale: A j = (1.4.11) M (1+ j) 1 Para obter o pricipal l P de uma série uiforme, basta combiar as equações (1.4.4) e (1.4.10), visto que (P/A) = (P/M)x(M/A). Logo: P A = (1 + j) 1 j(1 + j) = 1 (1+ j) j = j j(1 + j ) (1.4.12) (P/A) deomia-se fator de valor atual de uma série uiforme ou fator de valor presete de uma série uiforme. Seu recíproco A j(1 + j) j j(1 j ) = = = + - (1.4.13) P (1 + j) 1 1 (1 + j) j é deomiado fator de recuperação de capital de uma série uiforme. No Brasil é também cohecido como Tabela Price. 1.4.8 - Amortização. A amortização é o processo de extição gradual de uma dívida através de uma série de pagametos periódicos, deomiados prestações. Cada prestação deve pagar os juros vecidos, mais uma parcela para a amortização do pricipal. Evidetemete podemos ter vários sistemas para defiir o valor das prestações. 1.4.8.1 - Sistema de Pagametos Uiformes. Neste sistema temos prestações iguais A, pagas o fim de cada período. Seja P o valor omial de uma dívida cotraída a juros compostos à taxa j por período, para resgate em períodos. No fim de períodos teremos um motate M= P(1+j), que deve ser igual ao motate das prestações. Como foi demostrado em 1.4.6, formula (1.4.12), A P = j(1 + j) j = = - (1 + j) 1 1 (1+ j) No Brasil este sistema é cohecido como Tabela Price. 1.4.8.1.1 - Amortização e Juros. j(1 + j ) j (1.4.14) Vamos cosiderar a prestação A como composta de duas parcelas: A jk, que correspode aos juros do período k, e A mk, que será a amortização da dívida o mesmo período, isto é A = A jk + A mk. O saldo devedor SD k o fim do período k, após pagar a k a prestação, será a difereça etre os motates do pricipal e das prestações o istate k, ou seja: SD k = P(1+j) k - A((1+j) k -1) / j = P[(1+j) - (1+j) k ] / [(1+j) - 1] (1.4.15) Logo: A jk = jsd k-1 = j[p(1+j) k-1 - A((1+j) k-1-1) / j ] = A - (1+j) k-1 (A-jP)
10 A amortização o período k será A mk = SD k-1 - SD k = (A-jP)(1+j) k-1 Verificamos que A jk + A mk = A. O total amortizado até o fim do período k, depois de paga a k a prestação, será: Amort k = (A-jP)[1+ (1+j) + (1+j) 2 +...+ (1+j) k-1 ] = (A-jP)[(1+j) k - 1] / j (1.4.16) Juros pagos até este istate :Juros k = ka - (A-jP)[(1+j) k - 1] / j (1.4.17) Total de juros pagos = A - P (1.4.18) Exemplo: Em dezembro de 1998 um automóvel G-1000 era auciado por R$13.191,00. Supodo uma etrada de 50% e juros de 3,67% ao mês, um plao de 36 meses, a) qual seria a prestação pela Tabela Price,? b) qual o total de juros pagos? c) se o cliete resolver liquidar a dívida o fim de 12 meses, quato deverá pagar? a) Dívida iicial = P = 13191,00 x (1-0,50) = 6595,50 A = 6595,50 x 0,0367 /(1-1,0367-36 ) = 333,04 b) Juros = 36 x 333,04-6595,50 = 5393,94 c) SD 12 = 6595,50 x [1,0367 36-1,0367 12 ] / [1,0367 36-1] = 5.253,91. Uma plailha ( Tabela 1.4.8.1 ) permite visualizar melhor estes resultados, mostrado os juros pagos, a amortização e o saldo devedor em cada período.. Prestação = PGTO(3,67% ; 36 ; 6595,50) = 333,04 ( Plailha MSExcel ) Data Prestação Juros Amortização Saldo 0 6.595,50 1 333,04 242,05 90,99 6.504,51 2 333,04 238,72 94,33 6.410,18 3 333,04 235,25 97,79 6.312,39 4 333,04 231,66 101,38 6.211,01 5 333,04 227,94 105,10 6.105,91 6 333,04 224,09 108,96 5.996,96 7 333,04 220,09 112,96 5.884,00 8 333,04 215,94 117,10 5.766,90 9 333,04 211,65 121,40 5.645,50 10 333,04 207,19 125,85 5.519,64 11 333,04 202,57 130,47 5.389,17 12 333,04 197,78 135,26 5.253,91 13 333,04 192,82 140,23 5.113,68 14 333,04 187,67 145,37 4.968,31 15 333,04 182,34 150,71 4.817,61 16 333,04 176,81 156,24 4.661,37 17 333,04 171,07 161,97 4.499,40 18 333,04 165,13 167,92 4.331,48 19 333,04 158,97 174,08 4.157,40 20 333,04 152,58 180,47 3.976,93 21 333,04 145,95 187,09 3.789,84 22 333,04 139,09 193,96 3.595,89 23 333,04 131,97 201,08 3.394,81 24 333,04 124,59 208,45 3.186,36 25 333,04 116,94 216,10 2.970,25 26 333,04 109,01 224,04 2.746,21 27 333,04 100,79 232,26 2.513,96 28 333,04 92,26 240,78 2.273,17 29 333,04 83,43 249,62 2.023,56 30 333,04 74,26 258,78 1.764,78
11 31 333,04 64,77 268,28 1.496,50 32 333,04 54,92 278,12 1.218,38 33 333,04 44,71 288,33 930,05 34 333,04 34,13 298,91 631,14 35 333,04 23,16 309,88 321,25 36 333,04 11,79 321,25 0,00 Soma 11.989,59 5.394,09 6.595,50 Tabela 1.4.8.1 Sistema de Pagameto Uiforme ( Price) 1.4.8.2 - Sistema de Amortização Costate SAC. Este sistema foi muito usado pelo atigo Baco Nacioal da Habitação pelo fato dos juros serem meores e a divida a liquidação atecipada ser meor, porem as prestações, que são decrescetes, o iicio são bem maiores que as da Tabela Price. Vamos cosiderar a prestação A k como composta de duas parcelas: A jk, que correspode aos juros do período k e A mk que será a amortização da dívida o mesmo período, isto é A k = A jk + A mk. Neste sistema a amortização da divida é costate e i- gual a P/, isto é A mk = P/. A 1 = P/ +jp = (1+j)P/ SD 1 = (-1)P/ A 2 = P/ + j(-1)p/ = [1+j(-1)]P/ SD 2 = (-2)P/ Como a divida dimiui de P/ por período, as parcelas A jk dos juros dimiuem jp/ por período e portato as prestações formam uma progressão aritmética decrescete de razão -jp/. A k = A 1 - (k-1)jp/ = [1+j(-k+1)]P/ (1.4.19) SD k = (-k)p/ (1.4.20) A = (1+j)P/ (1.4.21) O total amortizado até o fim do período k, depois de paga a k a prestação, será: Amort k = kp/ (1.4.22) Os juros pagos até este istate serão: Juros k = jpk(2-k+1)/2 (1.4.23) Total de juros pagos = jp(+1)/2 (1.4.24) Total pago = P[1+j(+1)/2] (1.4.25) Quado as prestações do SAC e da Tabela Price serão iguais? Devemos ter: A k = A 1 - (k-1)jp/ = A k = 1+(A 1 - A) / jp. (1.4.26) Exemplo: Em dezembro de 1998 um automóvel G-1000 era auciado por R$13.191,00. Supodo uma etrada de 50% e juros de 3,67% ao mês, um plao de 36 meses, a) quais seriam as prestações pelo SAC? b) Qual o total de juros pagos? c) Se o cliete resolver liquidar a dívida o fim de 12 meses, quato deverá pagar? a) Dívida iicial = P = 13191,00 x (1-0,50) = 6595,50 A 1 = 6595,50/36 x (1+0,0367 x 36) = 425,26 A 36 = 6595,50/36 x (1,0367) = 189,93 As prestações decrescem liearmete 0,0367 x 6595,50/36 = 6,72 /mês b) Juros = 0,0367 x 6595,50 x (36+1)/2 = 4478,01 c) SD 12 = (36-12) x 6595,50/36 = 4397,00. Comparar com os valores da Tabela Price, obtidos ateriormete. Uma plailha ( Tabela 1.4.8.2 ) permite visualizar melhor estes resultados, mostrado as prestações, os juros pagos, a amortização e o saldo devedor em cada período..
12 Data Prestação Juros Amortização Saldo 0 6.595,50 1 425,26 242,05 183,21 6.412,29 2 418,54 235,33 183,21 6.229,08 3 411,82 228,61 183,21 6.045,88 4 405,09 221,88 183,21 5.862,67 5 398,37 215,16 183,21 5.679,46 6 391,64 208,44 183,21 5.496,25 7 384,92 201,71 183,21 5.313,04 8 378,20 194,99 183,21 5.129,83 9 371,47 188,26 183,21 4.946,63 10 364,75 181,54 183,21 4.763,42 11 358,03 174,82 183,21 4.580,21 12 351,30 168,09 183,21 4.397,00 13 344,58 161,37 183,21 4.213,79 14 337,85 154,65 183,21 4.030,58 15 331,13 147,92 183,21 3.847,38 16 324,41 141,20 183,21 3.664,17 17 317,68 134,47 183,21 3.480,96 18 310,96 127,75 183,21 3.297,75 19 304,24 121,03 183,21 3.114,54 20 297,51 114,30 183,21 2.931,33 21 290,79 107,58 183,21 2.748,13 22 284,06 100,86 183,21 2.564,92 23 277,34 94,13 183,21 2.381,71 24 270,62 87,41 183,21 2.198,50 25 263,89 80,68 183,21 2.015,29 26 257,17 73,96 183,21 1.832,08 27 250,45 67,24 183,21 1.648,88 28 243,72 60,51 183,21 1.465,67 29 237,00 53,79 183,21 1.282,46 30 230,27 47,07 183,21 1.099,25 31 223,55 40,34 183,21 916,04 32 216,83 33,62 183,21 732,83 33 210,10 26,89 183,21 549,63 34 203,38 20,17 183,21 366,42 35 196,66 13,45 183,21 183,21 36 189,93 6,72 183,21 0,00 Soma 11.073,51 4.478,01 6.595,50 Tabela 1.4.8.2 Sistema de Amortização Costate ( SAC ) Até a14ª, a prestação do SAC é maior que a do plao Price equivalete; da 15 a em diate ela é meor. 1.4.8.3- Sistema Misto Uma outra opção oferecida pelo BNH era o plao misto, em que as prestações são a média aritmética das prestações do SAC e da Tabela Price, resultado em prestações iiciais meores que as do Plao SAC e saldos devedores meores que os da Tabela Price. Num caso mais geral poderíamos ter uma média poderada etre SAC e Price. Exemplo: Em dezembro de 1998 um automóvel G-1000 era auciado por R$13.191,00, com uma etrada de 50% e juros de 3,67% ao mês, um plao de 36 meses, com prestações decrescetes, sedo a primeira de R$380,00 e a ultima de
13 R$262,00. O aucio mecioava também o valor total de R$18.125,80, dode um total de juros de 4.934,80. Mostre que provavelmete é um plao misto de SAC e Tabela Price. Se o cliete resolver liquidar a dívida o fim de 12 meses, quato deverá pagar? Pela Tabela Price: A 1 = 333,04 A 36 = 333,04 J = 5.393,94 Pelo Plao SAC: A 1 = 425,26 A 36 = 189,93 J = 4.478,01 Pelo Plao Misto: A 1 = 379,15 A 36 = 261,49 J = 4.935,98 valores bastate próximos dos auciados. O valor para liquidar a dívida também é a média dos valores dos dois plaos e será (5.253,91 + 4.397,00)/2 = 4.825,45. 1,4.8.4 Sistemas da Caixa Ecoômica Federal.
14 A Caixa Ecoômica Federal adota atualmete dois plaos, que ela deomia PRICE e SACRE (Sistema de Amortização Crescete). Ambos são, respectivamete, uma adaptação do Sistema de Pagametos Uiformes (Price) e do Sistema de Amortização Costate (SAC), com a itrodução mesalmete de correção moetária da dívida, pela TR, e recalculo das prestações a cada 12 meses. As prestações, portato, mudam cada 12 meses (Tabela 1.4.8.3). No plao SACRE a prestação iicial de cada revisão é matida costate durate os 12 meses seguites, em lugar das prestações decrescetes do SAC, o que tora as amortizações crescetes, e justifica o ome do sistema (Tabela 1.4.8.4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 A B C D E F G H I J K Plao "PRICE"- Caixa Ecoômica Federal Fiaciameto = 50.000,00 B9 = PGTO(0,0085,180;$E$8) Taxa Juros = 10,5%/ao = 0,00875/mês C9 = E8*0,006*0,00875 Prazo = 180meses D9 = B9-C9 TR projetada = 1,006 / mês E9 = E8*1,006 - D9 Mês Prestação Juros Amortização Saldo Mês Prestação Juros Amortização Saldo 0 50.000,00 52 753,37 521,06 232,31 59.317,32 1 552,70 440,13 112,57 50.187,43 53 753,37 522,14 231,23 59.442,00 2 552,70 441,77 110,92 50.377,63 54 753,37 523,24 230,13 59.568,52 3 552,70 443,45 109,25 50.570,64 55 753,37 524,35 229,02 59.696,91 4 552,70 445,15 107,55 50.766,51 56 753,37 525,48 227,89 59.827,20 5 552,70 446,87 105,83 50.965,29 57 753,37 526,63 226,74 59.959,43 6 552,70 448,62 104,08 51.167,00 58 753,37 527,79 225,58 60.093,61 7 552,70 450,40 102,30 51.371,70 59 753,37 528,97 224,40 60.229,77 8 552,70 452,20 100,50 51.579,43 60 753,37 530,17 223,20 60.367,95 9 552,70 454,03 98,67 51.790,23 61 814,57 531,39 283,19 60.446,97 10 552,70 455,88 96,82 52.004,16 62 814,57 532,08 282,49 60.527,17 11 552,70 457,77 94,93 52.221,25 63 814,57 532,79 281,78 60.608,54 12 552,70 459,68 93,02 52.441,56 64 814,57 533,51 281,07 60.691,13 13 597,01 461,62 135,40 52.620,81 65 814,57 534,23 280,34 60.774,93 14 597,01 463,19 133,82 52.802,72 66 814,57 534,97 279,60 60.859,98 15 597,01 464,80 132,22 52.987,32 67 814,57 535,72 278,85 60.946,28 16 597,01 466,42 130,59 53.174,65 68 814,57 536,48 278,10 61.033,87 17 597,01 468,07 128,94 53.364,76 69 814,57 537,25 277,32 61.122,74 18 597,01 469,74 127,27 53.557,67 70 814,57 538,03 276,54 61.212,94 19 597,01 471,44 125,57 53.753,45 71 814,57 538,83 275,75 61.304,47 20 597,01 473,16 123,85 53.952,12 72 814,57 539,63 274,94 61.397,35 21 597,01 474,91 122,10 54.153,74 73 881,10 540,45 340,65 61.425,08 22 597,01 476,69 120,32 54.358,33 74 881,10 540,69 340,41 61.453,22 23 597,01 478,49 118,52 54.565,96 75 881,10 540,94 340,16 61.481,78 24 597,01 480,32 116,70 54.776,66 76 881,10 541,19 339,91 61.510,76 25 645,00 482,17 162,82 54.942,50 77 881,10 541,45 339,66 61.540,17 26 645,00 483,63 161,36 55.110,79 78 881,10 541,71 339,40 61.570,01 27 645,00 485,11 159,88 55.281,57 79 881,10 541,97 339,13 61.600,29 28 645,00 486,62 158,38 55.454,88 80 881,10 542,24 338,87 61.631,03 29 645,00 488,14 156,85 55.630,75 81 881,10 542,51 338,60 61.662,22 30 645,00 489,69 155,31 55.809,23 82 881,10 542,78 338,32 61.693,87 31 645,00 491,26 153,74 55.990,35 83 881,10 543,06 338,04 61.725,98 32 645,00 492,86 152,14 56.174,15 84 881,10 543,34 337,76 61.758,58 33 645,00 494,47 150,52 56.360,67 85 953,55 543,63 409,92 61.719,21 34 645,00 496,11 148,88 56.549,95 86 953,55 543,28 410,27 61.679,25 35 645,00 497,78 147,22 56.742,04 87 953,55 542,93 410,62 61.638,71 36 645,00 499,47 145,52 56.936,97 88 953,55 542,57 410,98 61.597,56 37 696,99 501,19 195,80 57.082,79 89 953,55 542,21 411,34 61.555,80 38 696,99 502,47 194,52 57.230,77 90 953,55 541,84 411,71 61.513,43 39 696,99 503,77 193,21 57.380,94 91 953,55 541,47 412,08 61.470,43 40 696,99 505,10 191,89 57.533,33 92 953,55 541,09 412,46 61.426,79 41 696,99 506,44 190,55 57.687,98 93 953,55 540,71 412,84 61.382,51 42 696,99 507,80 189,19 57.844,92 94 953,55 540,32 413,23 61.337,57 43 696,99 509,18 187,81 58.004,18 95 953,55 539,92 413,63 61.291,96 44 696,99 510,58 186,41 58.165,79 96 953,55 539,52 414,03 61.245,69 45 696,99 512,00 184,98 58.329,81 97 1.032,64 539,12 493,53 61.119,63 46 696,99 513,45 183,54 58.496,24 98 1.032,64 538,01 494,64 60.991,71 47 696,99 514,91 182,08 58.665,15 99 1.032,64 536,88 495,76 60.861,90 48 696,99 516,40 180,59 58.836,55 100 1.032,64 535,74 496,91 60.730,16 49 753,37 517,91 235,46 58.954,11 101 1.032,64 534,58 498,07 60.596,48 50 753,37 518,94 234,43 59.073,40 102 1.032,64 533,40 499,24 60.460,81 51 753,37 519,99 233,38 59.194,47 103 1.032,64 532,21 500,44 60.323,14 Tabela 1.4.8.3
15 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 A B C D E F G H I J K Plao "PRICE"- Caixa Ecoômica Federal Mês Prestação Juros Amortização Saldo Mês Prestação Juros Amortização Saldo 104 1.032,64 530,99 501,65 60.183,43 143 1.320,87 401,67 919,20 44.985,96 105 1.032,64 529,76 502,88 60.041,65 144 1.320,87 395,99 924,88 44.330,99 106 1.032,64 528,52 504,13 59.897,78 145 1.440,87 390,22 1.050,64 43.546,33 107 1.032,64 527,25 505,39 59.751,77 146 1.440,87 383,32 1.057,55 42.750,06 108 1.032,64 525,96 506,68 59.603,60 147 1.440,87 376,31 1.064,56 41.942,00 109 1.119,29 524,66 594,63 59.366,59 148 1.440,87 369,19 1.071,67 41.121,99 110 1.119,29 522,57 596,72 59.126,07 149 1.440,87 361,98 1.078,89 40.289,83 111 1.119,29 520,46 598,84 58.881,99 150 1.440,87 354,65 1.086,21 39.445,35 112 1.119,29 518,31 600,99 58.634,29 151 1.440,87 347,22 1.093,65 38.588,38 113 1.119,29 516,13 603,17 58.382,93 152 1.440,87 339,67 1.101,19 37.718,72 114 1.119,29 513,92 605,38 58.127,85 153 1.440,87 332,02 1.108,85 36.836,18 115 1.119,29 511,67 607,62 57.869,00 154 1.440,87 324,25 1.116,61 35.940,58 116 1.119,29 509,39 609,90 57.606,31 155 1.440,87 316,37 1.124,50 35.031,73 117 1.119,29 507,08 612,21 57.339,73 156 1.440,87 308,37 1.132,50 34.109,42 118 1.119,29 504,73 614,56 57.069,21 157 1.581,86 300,25 1.281,61 33.032,47 119 1.119,29 502,35 616,94 56.794,68 158 1.581,86 290,77 1.291,09 31.939,57 120 1.119,29 499,94 619,36 56.516,09 159 1.581,86 281,15 1.300,71 30.830,49 121 1.214,75 497,48 717,27 56.137,92 160 1.581,86 271,39 1.310,47 29.705,00 122 1.214,75 494,15 720,60 55.754,15 161 1.581,86 261,48 1.320,38 28.562,85 123 1.214,75 490,78 723,98 55.364,70 162 1.581,86 251,42 1.330,44 27.403,79 124 1.214,75 487,35 727,40 54.969,48 163 1.581,86 241,22 1.340,64 26.227,58 125 1.214,75 483,87 730,88 54.568,42 164 1.581,86 230,87 1.350,99 25.033,95 126 1.214,75 480,34 734,41 54.161,42 165 1.581,86 220,36 1.361,50 23.822,66 127 1.214,75 476,76 738,00 53.748,39 166 1.581,86 209,70 1.372,16 22.593,43 128 1.214,75 473,12 741,63 53.329,25 167 1.581,86 198,88 1.382,98 21.346,01 129 1.214,75 469,43 745,32 52.903,90 168 1.581,86 187,90 1.393,96 20.080,13 130 1.214,75 465,69 749,06 52.472,26 169 1.770,04 176,76 1.593,28 18.607,33 131 1.214,75 461,89 752,86 52.034,23 170 1.770,04 163,79 1.606,24 17.112,73 132 1.214,75 458,03 756,72 51.589,72 171 1.770,04 150,63 1.619,40 15.596,00 133 1.320,87 454,12 866,75 51.032,50 172 1.770,04 137,28 1.632,75 14.056,83 134 1.320,87 449,21 871,66 50.467,04 173 1.770,04 123,74 1.646,30 12.494,87 135 1.320,87 444,24 876,63 49.893,21 174 1.770,04 109,99 1.660,05 10.909,79 136 1.320,87 439,18 881,69 49.310,88 175 1.770,04 96,03 1.674,00 9.301,25 137 1.320,87 434,06 886,81 48.719,93 176 1.770,04 81,87 1.688,16 7.668,89 138 1.320,87 428,86 892,01 48.120,24 177 1.770,04 67,51 1.702,53 6.012,38 139 1.320,87 423,58 897,29 47.511,67 178 1.770,04 52,92 1.717,11 4.331,34 140 1.320,87 418,22 902,65 46.894,09 179 1.770,04 38,13 1.731,91 2.625,42 141 1.320,87 412,79 908,09 46.267,37 180 1.770,04 23,11 1.746,92 894,25 142 1.320,87 407,27 913,60 45.631,37 Soma 184.495,45 80.511,25 103.984,20 Tabela 1.4.8.3 (Cotiuação)
16 A B C D E F G H I J K 1 Plao SACRE - Caixa Ecoômica Federal 2 Fiaciameto= 50.000,00 B9= $E$8*(1/180+0,00875) 3 Taxa Juros= 10,5%/a0,00875/mês C9= E8*1,006*0,00875 4 Prazo= 180 meses D9= B9-C9 5 6 TR projetada= 1,00600a.m. E9= E8*1,006-D9 7 Mês Prestação Juros Amortiz. Saldo Mês Prestação Juros Amortiz. Saldo 8 0 50.000,00 52 809,30 434,33 374,96 49.262,91 9 1 715,28 440,13 275,15 50.024,85 53 809,30 433,64 375,66 49.182,83 10 2 715,28 440,34 274,93 50.050,06 54 809,30 432,93 376,36 49.101,56 11 3 715,28 440,57 274,71 50.075,65 55 809,30 432,22 377,08 49.019,09 12 4 715,28 440,79 274,49 50.101,62 56 809,30 431,49 377,81 48.935,40 13 5 715,28 441,02 274,26 50.127,97 57 809,30 430,75 378,54 48.850,47 14 6 715,28 441,25 274,03 50.154,71 58 809,30 430,01 379,29 48.764,28 15 7 715,28 441,49 273,79 50.181,85 59 809,30 429,25 380,05 48.676,82 16 8 715,28 441,73 273,55 50.209,39 60 809,30 428,48 380,82 48.588,06 17 9 715,28 441,97 273,31 50.237,33 61 830,05 427,70 402,35 48.477,24 18 10 715,28 442,21 273,06 50.265,69 62 830,05 426,72 403,33 48.364,78 19 11 715,28 442,46 272,81 50.294,47 63 830,05 425,73 404,32 48.250,65 20 12 715,28 442,72 272,56 50.323,68 64 830,05 424,73 405,32 48.134,84 21 13 739,88 442,97 296,90 50.328,72 65 830,05 423,71 406,34 48.017,31 22 14 739,88 443,02 296,86 50.333,83 66 830,05 422,67 407,37 47.898,04 23 15 739,88 443,06 296,81 50.339,02 67 830,05 421,62 408,42 47.777,00 24 16 739,88 443,11 296,77 50.344,29 68 830,05 420,56 409,49 47.654,17 25 17 739,88 443,16 296,72 50.349,63 69 830,05 419,48 410,57 47.529,53 26 18 739,88 443,20 296,68 50.355,05 70 830,05 418,38 411,67 47.403,04 27 19 739,88 443,25 296,63 50.360,55 71 830,05 417,27 412,78 47.274,68 28 20 739,88 443,30 296,58 50.366,14 72 830,05 416,14 413,91 47.144,41 29 21 739,88 443,35 296,53 50.371,81 73 849,04 414,99 434,05 46.993,23 30 22 739,88 443,40 296,48 50.377,56 74 849,04 413,66 435,38 46.839,81 31 23 739,88 443,45 296,43 50.383,39 75 849,04 412,31 436,73 46.684,13 32 24 739,88 443,50 296,38 50.389,31 76 849,04 410,94 438,10 46.526,13 33 25 763,91 443,55 320,36 50.371,29 77 849,04 409,55 439,49 46.365,80 34 26 763,91 443,39 320,52 50.352,99 78 849,04 408,13 440,90 46.203,09 35 27 763,91 443,23 320,68 50.334,43 79 849,04 406,70 442,33 46.037,98 36 28 763,91 443,07 320,85 50.315,59 80 849,04 405,25 443,79 45.870,42 37 29 763,91 442,90 321,01 50.296,47 81 849,04 403,77 445,26 45.700,38 38 30 763,91 442,73 321,18 50.277,07 82 849,04 402,28 446,76 45.527,82 39 31 763,91 442,56 321,35 50.257,38 83 849,04 400,76 448,28 45.352,71 40 32 763,91 442,39 321,52 50.237,40 84 849,04 399,22 449,82 45.175,01 41 33 763,91 442,21 321,70 50.217,12 85 865,85 397,65 468,20 44.977,86 42 34 763,91 442,04 321,88 50.196,55 86 865,85 395,92 469,94 44.777,79 43 35 763,91 441,86 322,06 50.175,67 87 865,85 394,16 471,70 44.574,76 44 36 763,91 441,67 322,24 50.154,48 88 865,85 392,37 473,49 44.368,72 45 37 787,15 441,48 345,66 50.109,74 89 865,85 390,56 475,30 44.159,64 46 38 787,15 441,09 346,06 50.064,35 90 865,85 388,72 477,14 43.947,45 47 39 787,15 440,69 346,46 50.018,28 91 865,85 386,85 479,01 43.732,13 48 40 787,15 440,29 346,86 49.971,53 92 865,85 384,95 480,90 43.513,62 49 41 787,15 439,87 347,27 49.924,08 93 865,85 383,03 482,83 43.291,88 50 42 787,15 439,46 347,69 49.875,94 94 865,85 381,08 484,78 43.066,85 51 43 787,15 439,03 348,11 49.827,08 95 865,85 379,10 486,76 42.838,49 52 44 787,15 438,60 348,54 49.777,50 96 865,85 377,09 488,77 42.606,76 53 45 787,15 438,17 348,98 49.727,18 97 880,03 375,05 504,99 42.357,41 54 46 787,15 437,72 349,42 49.676,12 98 880,03 372,85 507,18 42.104,37 55 47 787,15 437,27 349,87 49.624,31 99 880,03 370,62 509,41 41.847,59 56 48 787,15 436,82 350,33 49.571,72 100 880,03 368,36 511,67 41.587,01 57 49 809,30 436,36 372,94 49.496,21 101 880,03 366,07 513,96 41.322,57 58 50 809,30 435,69 373,61 49.419,58 102 880,03 363,74 516,29 41.054,21 59 51 809,30 435,02 374,28 49.341,82 103 880,03 361,38 518,65 40.781,89 Figura 1.4.8.4
17 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 A B C D E F G H I J K Plao SACRE - Caixa Ecoômica Federal Mês Prestação Juros Amortiz. Saldo Mês Prestação Juros Amortiz. Saldo 104 880,03 358,98 521,05 40.505,53 143 900,94 225,70 675,23 25.119,44 105 880,03 356,55 523,48 40.225,08 144 900,94 221,11 679,82 24.590,34 106 880,03 354,08 525,95 39.940,48 145 898,23 216,46 681,77 24.056,10 107 880,03 351,58 528,46 39.651,66 146 898,23 211,75 686,48 23.513,96 108 880,03 349,03 531,00 39.358,57 147 898,23 206,98 691,25 22.963,80 109 891,03 346,45 544,58 39.050,15 148 898,23 202,14 696,09 22.405,49 110 891,03 343,74 547,30 38.737,15 149 898,23 197,22 701,01 21.838,92 111 891,03 340,98 550,05 38.419,52 150 898,23 192,24 705,99 21.263,96 112 891,03 338,19 552,85 38.097,19 151 898,23 187,18 711,05 20.680,49 113 891,03 335,35 555,68 37.770,09 152 898,23 182,04 716,19 20.088,38 114 891,03 332,47 558,56 37.438,15 153 898,23 176,83 721,40 19.487,51 115 891,03 329,55 561,49 37.101,29 154 898,23 171,54 726,69 18.877,74 116 891,03 326,58 564,45 36.759,45 155 898,23 166,17 732,06 18.258,95 117 891,03 323,58 567,46 36.412,55 156 898,23 160,72 737,51 17.631,00 118 891,03 320,52 570,51 36.060,51 157 888,90 155,20 733,70 17.003,08 119 891,03 317,42 573,61 35.703,26 158 888,90 149,67 739,23 16.365,87 120 891,03 314,28 576,76 35.340,73 159 888,90 144,06 744,84 15.719,23 121 898,24 311,09 587,16 34.965,61 160 888,90 138,37 750,53 15.063,02 122 898,24 307,78 590,46 34.584,95 161 888,90 132,59 756,30 14.397,10 123 898,24 304,43 593,81 34.198,65 162 888,90 126,73 762,17 13.721,31 124 898,24 301,03 597,21 33.806,63 163 888,90 120,78 768,11 13.035,53 125 898,24 297,58 600,66 33.408,81 164 888,90 114,75 774,15 12.339,59 126 898,24 294,08 604,16 33.005,10 165 888,90 108,62 780,28 11.633,35 127 898,24 290,53 607,72 32.595,42 166 888,90 102,40 786,49 10.916,66 128 898,24 286,92 611,32 32.179,67 167 888,90 96,09 792,80 10.189,36 129 898,24 283,26 614,98 31.757,76 168 888,90 89,69 799,20 9.451,29 130 898,24 279,55 618,70 31.329,61 169 870,31 83,19 787,11 8.720,88 131 898,24 275,78 622,46 30.895,13 170 870,31 76,77 793,54 7.979,67 132 898,24 271,95 626,29 30.454,21 171 870,31 70,24 800,06 7.227,48 133 900,94 268,07 632,86 30.004,07 172 870,31 63,62 806,69 6.464,16 134 900,94 264,11 636,83 29.547,27 173 870,31 56,90 813,41 5.689,54 135 900,94 260,09 640,85 29.083,70 174 870,31 50,08 820,22 4.903,45 136 900,94 256,01 644,93 28.613,28 175 870,31 43,16 827,14 4.105,73 137 900,94 251,87 649,07 28.135,89 176 870,31 36,14 834,17 3.296,20 138 900,94 247,67 653,27 27.651,43 177 870,31 29,01 841,29 2.474,69 139 900,94 243,40 657,54 27.159,81 178 870,31 21,78 848,52 1.641,01 140 900,94 239,07 661,86 26.660,90 179 870,31 14,45 855,86 795,00 141 900,94 234,68 666,25 26.154,61 180 870,31 7,00 863,31-63,54 142 900,94 230,23 670,71 25.640,83 Soma 151.057,55 60.057,41 91.000,14 1.5 Valor temporal do diheiro. Supoha que lhe seja dada a possibilidade de escolher etre pagar hoje $1.000 ou pagar os mesmos $1.000 daqui a 12 meses. sem juros. Evidetemete a última alterativa será a escolhida. Da mesma forma, se a escolha for etre receber hoje $1.000 ou a promessa de receber os mesmos $1.000, em moeda de poder aquisitivo costate, daqui a 12 meses., a primeira alterativa será a preferida. Isto mostra que, apesar de haver igualdade das quatias, as alterativas ão são equivaletes, e o valor do diheiro depede do istate da trasação. Ha várias razões para isto ocorrer: os $1.000 recebidos hoje podem ser ivestidos ( por exemplo, depositados uma Cadereta de Poupaça ) e o fim do ao teríamos uma quatia maior. o diheiro pode perder poder aquisitivo devido à iflação. o futuro é icerto, etc.. Fica também claro que um valor futuro, para ser equivalete a um valor de hoje, deve ser maior que este ultimo. Cocluímos, portato, que os valores são datados, isto é, quado lidamos com quatias de diheiro ão iteressa apeas o valor, mas também o istate em que tais quatias são pagas ou recebidas.
18 É importate ão cofudir esta difereça de valor o tempo ( depreciação do futuro) com a variação de valor ( poder aquisitivo) causada pela iflação ou deflação. A variação temporal do valor é causada pelos istates diferetes e existe idepedetemete de evetual iflação ou deflação. Da mesma forma que, para comparar frações ordiárias temos de coverte-las a um mesmo deomiador comum, a comparação de valores somete pode ser feita quado eles são referidos a uma data comum, isto é, atualizados. Necessitamos, portato, costruir um modelo que permita avaliar a variação do valor o tempo, ou seja, calcular o valor equivalete um istate qualquer. A hipótese mais simples seria a da variação liear do valor com o tempo, mas preferiu-se adotar uma variação expoecial, utilizado o mesmo modelo matemático dos juros compostos, usado uma taxa de equivalêcia ou de atualização, que deotaremos por a para distiguir da taxa de juros j. A loga e bem sucedida experiêcia com o uso deste modelo demostra que ele é adequado para a equivalêcia de valores. Esta taxa de atualização, que deomiaremos taxa atrativa míima, é cohecida a literatura por vários outros omes, como taxa míima de atratividade, taxa de redimeto míimo, custo do capital, custo de oportuidade, etc.. A taxa de atualização a é fixada pela pessoa, de acordo com suas ecessidades e a sua expectativa sobre o futuro. Uma pessoa que ecessite com urgêcia dos $1.000 oferecidos hoje, tederá a fixar uma taxa de atualização alta, pois somete um valor muito alto a levaria a abrir mão de receber hoje. A taxa de atualização zero sigifica igualdade de preferecia etre hoje e a data futura, o que ão é lógico, uma vez que sempre podemos ivestir o diheiro de hoje à taxa correte de juros j (que como sabemos iclui a expectativa de iflação ), fixada pelo mercado. A taxa de juros j serve, portato, de piso para a taxa de atualização a, pois ão seria racioal atualizar com taxas meores. A difereça etre a e j exprime, de certo modo, a ossa icerteza sobre o futuro. Se ossa icerteza é pequea, etão podemos tomar a = j. Uma vez etedido o coceito de atualização de valores, vamos doravate usar i para desigar a taxa, como fazem os demais autores, embora corredo o risco de haver a cofusão com juros.. É oportuo efatizar que o fato de adotarmos o mesmo modelo matemático para represetar três realidades diferetes (juros, iflação e atualização de valores) ão implica que as realidades sejam as mesmas, mas, apeas que elas se comportam de maeira aáloga. Como os autores geralmete usam o mesmo símbolo i para taxa de juros e taxa de atualização, é evidete que pode haver uma certa cofusão etre estes dois coceitos. No caso dos juros existem sempre duas pessoas ( o credor e o devedor) e há uma trasferêcia de diheiro etre elas; o caso da atualização só há uma pessoa evolvida e ão há trasferêcia de diheiro. Seja um valor V k, existete um dado istate k. Se a taxa de atualização é i, este valor V k será equivalete, o istate t, a V t (i). Usamos a otação V t (i) para efatizar que o valor atualizado depede da taxa de atualização i. t k Vt (i) = Vk (1 + i) (1.5.1) Se t > k, V t (i) > V k(i), isto é, o valor equivalete uma data futura é maior que o valor hoje. Se t < k, etão V t (i) < V k(i), isto é, o valor equivalete em uma data aterior é meor que o valor hoje. Por esta razão é comum falarmos em valores descotados como siôimo de valores atualizados. A fórmula (1.5.1) é a fórmula básica para calcular a variação do valor o tempo.
19 O valor equivalete o istate t de um fluxo de caixa, a uma taxa de equivalêcia i, será a soma dos valores atualizados, em t, de seus elemetos: k= t k VEt (i) = Vk ( 1 + i) (1.5.2) k= 0 1.5.1 - Valor Atual Líquido VAL(i) ou Valor Presete Líquido VPL(i) Quado tomamos como data de equivalêcia a data de hoje (t = 0), temos o valor atual líquido VAL(i), também cohecido pelo aglicismo valor presete líquido, do iglês et preset value ou NPV. k = V VAL(i) = k k ( 1+ i) (1.5.3) k = 0 Não cofudir com o valor atual da Matemática Fiaceira, que é o valor descotado de um motate futuro ( ão iclui o V 0 ). 1.5.2 - Valor Futuro VF(i) Quado a data de equivalêcia é, temos o valor futuro VF(i): k= k VF(i) = Vk ( 1 + i) (1.5.4) k= 0 É fácil ver, dividido (1.5.4) por (1+i), que VF(i) = VAL(i) (1 + i) ou 1.5.3 - Beeficio Uiforme Equivalete BUE(i) VAL(i) = VF(i)/(1+ i) (1.5.5) Outra forma de equivalêcia é trasformar o fluxo de caixa V k, k = 0..., uma série uiforme de pagametos. Temos, etão, o que é cohecido a literatura de Egeharia Ecoômica como custo aual equivalete, mas que preferimos chamar de beeficio uiforme equivalete BUE(i), visto que ele ão é, ecessariamete, um custo (egativo) ou o período básico seja sempre o ao. k ( ) ( ) = i k BUE(i) = Vk 1 + i 1 + i 1 (1.5.6) k= 0 ou dode ou i BUE(i) = (1 + i) 1 VF(i) = i - 1- (1+ i) VAL(i) (1.5.7) 1 (1 + i) VAL(i) = BUE(i) i (1.5.8) VF(i) (1 + i) 1 = BUE(i) i (1.5.9)
20 1.5.4 - Suficiêcia e Coerêcia. Para um determiado fluxo de caixa, uma vez calculado o VAL(i) para uma taxa de atualização a, o VF(i) ou o BUE(i) podem ser obtidos diretamete multiplicado o VAL(i) por uma fução de a e, sem precisar mais usar o fluxo de caixa. O mesmo podemos fazer a partir do VF(i) ou do BUE(i) ; os outros dois valores restates podem ser calculados diretamete, sem utilizar o fluxo de caixa. Por aalogia com o coceito de estatística suficiete da Estatística, podemos dizer que qualquer um dos três idicadores é suficiete para um determiado fluxo de caixa, o setido que codesa toda a iformação sobre os valores deste fluxo de caixa. Em outras palavras, eles são a mesma coisa (que vamos chamar valor itríseco à taxa a ), referida a istates de tempo diferetes. Usaremos o ome idicadores de valor para desigar, sem especificar, um qualquer destes três idicadores. A equivalêcia dos idicadores de valor implica que qualquer decisão baseada um deles terá de ser a mesma se usarmos como critério um dos outros dois, isto é, os três terão de ser sempre coeretes. 1.5.5 - Cálculo dos valores. O cálculo dos idicadores de valor pode ser facilmete executado uma calculadora comum ou usado as fuções básicas das plailhas eletrôicas, ão sedo ecessário ter uma calculadora fiaceira, ou domiar as fuções especificas das plailhas. É claro que, se o leitor dispuser destes recursos, deverá usá-los, mas, repetimos, ão são idispesáveis. Aliás, ao usar a calculadora fiaceira para atualizar valores é preciso tomar muito cuidado com os siais, itroduzidos automaticamete, e que em sempre são pertietes. Usaremos a plailha da tabela 1.5.2 como plailha básica para os ossos cálculos. A B C D E F 1 Istate Valor 1/(1+i) t Atual 2 0 V 0 =1 =B2*C2 Taxa = i 3 1 V 1 =1/(1+F2) =B3*C3 VAL(i) = =SOMA (D2 : Dk ) 4 2 V 2 =C3*$C$3 =B4*C4 VF(i) = =F3 / Ck............... BUE(i) = =F3*F2 / (1-Ck ) k-1-1 V -1 =C(k-2)*$C$3 =B(k-1)*C(k-1) k V =C(k-1)*$C$3 =B(k)*C(k) Tabela 1.5.2 - Plailha Básica Exemplo: Qual seria o valor atual liquido do fluxo de caixa da Fig. 1.5.1, se a taxa de equivalêcia é 12% por período? Qual seria o valor futuro? Qual seria o beeficio uiforme equivalete? Usado a plailha básica: 700 500 800 0 1 2 3 4 200 1.000 Figura 1.5.1 Istate Valor 1/(1+i) t V. Atual 0-1000 1,0000000-1000,000 Taxa = 0,12