Exercícios de Probabilidade Fernando Loureiro 7 de Junho de 06 Exercícios Resolvidos. (ESGRANRIO/PETROBRAS 0) Um jogo consiste em lançar uma moeda honesta até obter duas caras consecutivas ou duas coroas consecutivas. Na primeira situação, ao obter duas caras consecutivas, ganha-se o jogo. Na segunda, ao obter duas coroas consecutivas, perde-se o jogo. A probabilidade de que o jogo termine, com vitória, até o sexto lance, é (a) 7/6 (b) 3/64 (c) (d) (e) /64 Para facilitar a resolução do exercícios, façamos a árvore de decisão do problema acima: a jogada ara ara ara ara ara ara ara ara ara Os galhos tracejados em vermelho representam as situações favoráveis ao nosso problema. om isso, tudo o que precisamos é calcular as probabilidades destes ramos: Na parte de cima da árvore temos: Já na parte de baixo : e ou e e e e e ou e e e e omo ficamos com parte de cima ou parte de baixo, totalizando as probabilidades: ( ) ( ) 4 ( ) 3 ( ) 5
. (ESGRANRIO/TRANSPETRO 0) Um dos riscos de acidentes em dutos de gás natural é de vazamento. A probabilidade de que o vazamento provoque um incêndio é de %. aso não haja incêndio, o problema não acabou, pois pode ocorrer explosão de uma nuvem de gás. No caso de não haver incêndio, a probabilidade de haver explosão é de %. Dado que houve um vazamento, qual é a probabilidade aproximada de não haver incêndio e não ocorrer explosão? (a) % (b) % (c) 97% (d) 98% (e) 99% Sejam os eventos: V - haver vazamento I - haver incêndio E - haver explosão e de suas respectivas negações quando com o símbolo na frente. A totalidade das opções deve somar 00%, logo, ficamos com a seguinte árvore de decisão: V I (%) I E (%) E (98%) om isso, dado que houve vazamento, a probabilidade de não haver incêndio e não ocorrer explosão é de 98%. 3. (ESGRANRIO/BNDES 03) Suponha que no banco em que Ricardo trabalha, ele faça parte de um grupo de quatro administradores e que no mesmo banco existam também cinco economistas. Será formado um comitê composto por três administradores e três economistas, todos escolhidos aleatoriamente. Qual é a probabilidade de o comitê formado ter Ricardo como um dos componentes? (a) 0 (b) 0,5 (c) 0,50 (d) 0,75 (e) Se o comitê terá 3 administradores e o grupo têm 4, existem três chances dentro de quatro de Ricardo ser um dos componentes do comitê. Logo a probabilidade será 3/4 = 0,75 4. (ESGRANRIO/PETROBRAS 005) Uma urna contém 5 bolas gravadas com as letras A, A, N, N, T. Extraindo-se as bolas uma por uma, sem reposição, a probabilidade de se obter o nome NATAN é: (a).5 (b) /85 (c) /0 (d) /60 (e) 0
5. 5 4 3 = 30 (ESGRANRIO/PETROBRÁS 005/ENG. PROD.)Uma determinada fábrica produz peças tipo A e B nas proporções e /3, respectivamente. A probabilidade de ocorrência da peça defeituosa do tipo A é de 0% e do tipo B é 0%. Retirando-se, ao acaso, uma peça produzida na fábrica, a probabilidade de ela de ser defeituosa é de: (a) 0 (b) /5 (c) /0 (d) /6 (e) /5 Mais uma questão onde o desenho da árvore de decisão nos ajuda bastante: A 0% 80% D D /3 B 0% 90% D D A probabilidade de ser defeituosa é: 3 0% 3 0% = 3 0 00 3 0 00 = 5 Resposta (e) 6. (ESGRANRIO/BR DISTRIBUIDORA 0/ENG. PROD.)Numa caixa, há três moedas: duas são honestas, e uma tem três vezes mais probabilidade de dar cara do que de dar coroa. Uma moeda é selecionada aleatoriamente da caixa e é lançada sucessivamente duas vezes. Qual a probabilidade da ocorrência de duas caras? (a) 9/7 (b) 3/3 (c) 7/48 (d) 7/54 (e) 5/64 3
Montando a árvore de decisão, ficamos com: m m m3 3/4 /4 3/4 /4 3/4 /4 Os ramos em vermelho tracejados são as nossas situações de interesse. Fazendo o cálculo destas, ficamos com: ( 3 ) ( 3 ) ( 3 3 4 3 ) 4 = 7 48 7. (MONTGOMERY) Um dia de produção de 850 peças fabricadas contém 50 peças que não atendem aos requisitos do cliente. Duas peças foram selecionadas aleatoriamente sem reposição do lote. Qual é a probabilidade da segunda peça ser defeituosa dado que a primeira peça é defeituosa? Temos o total de 850 peças onde 50 destas são defeituosas. Se retirarmos a primeira peça e esta for defeituosa, ficaremos com 849 peças no total e 49 defeituosas, já que uma defeituosa foi retirada. Logo, a probabilidade da segunda peça ser defeituosa dado que a primeira é defeituosa é 49 849. 8. (MONTGOMERY) ontinuando do exemplo anterior, se três peças são selecionadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que as duas primeiras sejam defeituosas e a terceira não o seja? Este evento pode ser descrito em notação abreviada como P(ddn). 4
A probabilidade do primeiro item ser defeituoso é 50/850. Já a probabilidade do segundo item ser defeituoso dado que o primeiro também o é será 49/849, conforme vimos no exercício anterior. Para definir o evento terceiro item não defeituoso precisamos pensar no seguinte: se no universo de 850 itens, eu tenho 50 defeituosos, 800 itens não são defeituosos. Logo, a probabilidade do terceiro item não ser defeituoso, dado que os dois primeiros são será 800/848. om isso, P(ddn) = 50 850 49 849 800 848 = 0,003 9. (ESGRANRIO/TRANSPETRO 0/ENG. PROD.) A tabela abaixo apresenta a distribuição dos equipamentos de uma grande empresa. Estado do Equipamento Tipo de Equipamento A B Total Ativo 50 30 00 80 Inativo 60 0 0 90 Total 0 40 0 70 Qual é a probabilidade de que um equipamento selecionado aleatoriamente esteja inativo ou seja do tipo A? (a) 6/7 (b) 4/7 (c) 0/7 (d) 6/ (e) 9/ Seja I o evento ser inativo e A o evento ser equipamento do tipo A. P(I) = 90/70, P(A) = 0/70 e P(I A) = 60/70 omo P(I A) = P(I)P(A) P(I A) P(I A) = 90/700/70 60/70 = 4/7 0. (FGV PROJETOS/FISAL DE POSTURAS 05) Uma urna contém apenas bolas brancas e bolas pretas. São vinte bolas ao todo e a probabilidade de uma boa retirada aleatoriamente da urna ser branca é 5. Duas bolas são retiradas da urna sucessivamente e sem reposição. A probabilidade de as duas bolas retiradas serem pretas é: (a) 6/5 (b) 6/9 5
(c) /9 (d) 4/5 (e) 3/5 Se a probabilidade de uma bola branca ser retirada é de, significa que nós temos ao todo 4 5 bolas brancas já que de 0 = 4. 5 Se temos 4 bolas brancas, o restante são todas bolas pretas, ou seja, 0 4 = 6 bolas pretas. omo são duas retiradas sem reposição, na primeira retiradas teremos probabilidade 6 0 de sair bola preta, e na segunda retirada 5 9. Logo, nossa resposta é 6 0 5 9 = 9. Exercícios Sugeridos. Discos de plásticos de policarbonato de um fornecedor são analizados quanto a resistência à arranhão e choque. Os resultados de 00 discos são então resumidos em uma tabela: Resistência à arranhão Resistência à choque Alta Baixa Alta 70 9 Baixa 6 5 Seja A o evento disco com alta resistência à choque, e B o evento alta resistência à arranhão. Determine as seguintes probabilidades: (a) P(A) (b) P(B) (c) P(A B) (d) P(B A). (UERJ 0) Uma fábrica produz sucos com os seguintes sabores: uva, pêssego e laranja. onsidere uma caixa com garrafas desses sucos, sendo 4 garrafas de cada sabor. Retirando-se, ao acaso, garrafas dessa caixa, a probabilidade de que ambas contenham suco com o mesmo sabor equivale a: (a) 9,% (b) 8,% (c) 7,3% (d) 36,4% Gabarito dos Exercícios Sugeridos 6
. (a) P(A) = 86/00 (b) P(B) = 79/00 (c) P(A B) = 70/79 (d) P(B A) = 70/86. (c) 7,3% 7