Probabilidade - EBC I Prof. Douglas Léo

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1 1 (ESGRANRIO - PETROBRÁS - ADMINIST Em um posto de combustíveis entram, por hora, cerca de 300 clientes. Desses, 210 vão colocar combustível, 130 vão completar o óleo lubrificante e 120 vão calibrar os pneus. Sabe-se, ainda, que 70 colocam combustível e completam o óleo; 80 colocam combustível e calibram os pneus e 0 colocam combustível, completam o óleo e calibram os pneus. onsiderando que os 300 clientes entram no posto de combustíveis para executar uma ou mais das atividades acima mencionadas, qual a probabilidade de um cliente entrar no posto para completar o óleo e calibrar os pneus? (A) 0,10 (B) 0,20 () 0,2 (FUNIVERSA ANALISTA JUNIOR APEX 2006) Quando João vai a um restaurante, a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa é igual a 0,8, a probabilidade de ele consumir café expresso é igual a 0,22, e a probabilidade de ele consumir alguma sobremesa e café expresso é igual a 0,16. Sendo assim, a probabilidade de João ir a um restaurante e não consumir nenhuma sobremesa nem café expresso está entre: (A) 0,10 e 0,20. (B) 0,21 e 0,30. () 0,31 e 0,40. (D) 0,41 e 0,0. (E) 0,1 e 0,60. 6 (UNB ESPE TSE Técnico Judiciário ) (D) 0,40 (E) 0,4 2 (FUNIVERSA POLIIA IVIL - PERITO RIMINAL 2010) 7 (ESPE UNB PRF 2004) onsidere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em acidentes de trânsito ocorridos em quatro Estados brasileiros, de janeiro a junho de (UNB ESPE MPE RR 2008) Total de vítimas fatais Estado em que Sexo Masculino Sexo Feminino ocorreu o acidente Maranhão Paraíba Paraná Santa atarina A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.40 relatórios, um para cada uma das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições em que ocorreu o acidente. om base nessas informações, julgue os itens que se seguem, acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima. I A probabilidade de que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,2. 4 (ESAF) No sorteio de um número de 1 a 100, qual a probabilidade de sair um múltiplo de 10 ou 1? (A) 10% (B) 6% () 3% (D) 16% (E) 13% II A chance desse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a 23%. III onsiderando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no Estado do Paraná é superior a 0,. IV onsiderando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ele seja do sexo masculino e de que o acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27. 1

2 V A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a um acidente ocorrido em um dos Estados da região Sul do Brasil listados na tabela é inferior a 70%. 8 (UNB ESPE TRT Analista Jud. 2008) 10 (ESAF) Uma urna contem 10 bolas pretas e 8 vermelhas. Retiramos 3 bolas, sem reposição. Qual a probabilidade de as duas primeiras serem pretas e a terceira vermelha? 9 (UNB ESPE - PMDF SUPERIOR ) (A) 10/18 (B) 9/17 () 8/16 (D) /34 (E) 6/3 11 (ESAF MPU TENIO ) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para verificar o nível do óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04. Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a: a) 0,2 b) 0,3 c) 0,4 d) 0,1 e) 0,6 2

3 12 (ESAF) Uma urna contem 30 bolas, 10 vermelhas e vinte azuis. Retiramos 2 bolas, sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? (A) 20/87 (B) 20/17 () 10/16 (D) /34 (E) 6/3 13 (FUNIVERSA) De um recipiente que contém 10 cubos azuis e cubos vermelhos, serão retirados, aleatoriamente e sem reposição, 3 cubos. Nessa situação, a probabilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo cubo ser vermelho e o terceiro cubo ser azul é igual (A) 9/91 (B) 1/91 () 3/ (D) 1/3 (E) 1/ 16 (ESAF - Adaptada) Uma urna contem 30 bolas, 10 vermelhas e 20 azuis. Retiramos 2 bolas, 1 de cada vez e repondo a sorteada na urna, qual a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? (A) 4/9 (B) /3 () 3/ (D) 2/9 (E) 6/7 GABARITO 1- B 2-D 3-4-E - 6 A 7, E, E,, E 8 9 E E X 10 D 11 E 12 A 13 - B 14 B 1 A 16 D Exercícios Resolvidos 1- (ESAF Técnico Adminst. Ministério da Faz 2009) 14 (ESAF ) Em uma sala de aula estão 10 crianças, sendo 6 meninas e 4 meninos. Três das crianças são sorteadas para participarem de um jogo. A probabilidade de as três crianças sorteadas serem do mesmo sexo é: (A) 1% (B) 20% () 2% (D) 30% (E) 3% 1 (FUNIVERSA - Adaptada) De um recipiente que contém 10 cubos azuis e cubos vermelhos, serão retirados, aleatoriamente e com reposição, 3 cubos. Nessa situação, a probabilidade de o primeiro cubo ser azul, o segundo cubo ser vermelho e o terceiro cubo ser azul é igual (A) 4/27 (B) 4/9 () 3/0 (D) 2/30 (E) 1/0 Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez? a) 3% b) 17% c) 7% d) 42% e) 8% P = P = P = n. p k. q nk k p. q , = 34,72% 2 3,1 1 x x x Ou Probabilidade de sair o número 1: 1/6 Probabilidade de sair um número diferente de 1: /6 Agora, a probabilidade de sair apenas uma vez o número 1, jogando-se o dado três vezes é: Probabilidade = (/6 x /6 x 1/6) + (/6 x 1/6 x /6) + (1/6 x /6 x /6) Probabilidade = 3 x 2/216 Probabilidade = 7/216 = 34,72% 3

4 1 - (ESAF - Tec. Adm. Min. da Fazenda ) Ao se jogar um determinado dado viciado, a probabilidade de sair o número 6 é de 20%, enquanto as probabilidades de sair qualquer outro número são iguais entre si. Ao se jogar este dado duas vezes, qual o valor mais próximo da probabilidade de um número par sair duas vezes? a) 20% b) 27% c) 2% d) 23% e) 0% P(6) = 20% sobram 80% para dividir entre os restantes. P(1) = 16% P(2) =16% P(3) =16% P(4) =16% P() =16% Ao se jogar este dado duas vezes, qual a probabilidade de um número par sair duas vezes? P( par e par) = P[ (2 ou 4 ou 6) e (2 ou 4 ou 6)] P[ (2 ou 4 ou 6) e (2 ou 4 ou 6)] = ( 16% + 16% + 20%) x( 16% + 16% + 20%) P[ (2 ou 4 ou 6) e (2 ou 4 ou 6)] = 2% x 2%= 27,04 % 3 - (ESAF) Um dado de seis faces numeradas de 1 a 6 é viciado de modo que, quando lançado, a probabilidade de ocorrer uma face par qualquer é 300% maior do que a probabilidade de ocorrer uma face ímpar qualquer. Em dois lançamentos desse dado, a probabilidade de que ocorram exatamente uma face par e uma face ímpar (não necessariamente nesta ordem) é igual a: a) 0,1600 b) 0,187 c) 0,3200 d) 0,370 e) 1 Observe que se trata de um dado viciado, isto é, a probabilidade do resultado do lançamento ser par é maior que a probabilidade do resultado do lançamento ser ímpar. alculemos estas probabilidades: Sejam, P(ímpar) = x e P(par) = x + 300%x = x + 3x = 4x; omo P(ímpar) + P(par) = 1 (100%) tem-se que x + 4x = 1, ou seja, x = 1; x = 0,2; Daí, P(ímpar) = 0,2 e P(par) = 0,8. Nos dois lançamentos poderemos ter: 4 1º Lançamento 2º Lançamento par ímpar = 0,8 x 0,2 = 0,16 ímpar par = 0,2 x 0,8 = 0,16 omo se tratam de eventos principais (EP) somamos, logo P = 0,16 + 0,16 = 0,32. Resposta certa letra () 4 - (ESAF - Tec. Adm. Min. da Fazenda ) Na antiguidade, consta que um Rei consultou três oráculos para tentar saber o resultado de uma batalha que ele pretendia travar contra um reino vizinho. Ele sabia apenas que dois oráculos nunca erravam e um sempre errava. onsultados os oráculos, dois falaram que ele perderia a batalha e um falou que ele a ganharia. om base nas respostas dos oráculos, pode-se concluir que o Rei: a) teria uma probabilidade de 44,4% de ganhar a batalha. b)certamente ganharia a batalha. c) teria uma probabilidade de 33,3% de ganhar a batalha. d) certamente perderia a batalha. e) teria uma probabilidade de 66,6% de ganhar a batalha. 2 oráculos sempre acertam, ou seja, suas resposta são sempre as mesmas. 1 oráculo sempre erra, ou seja, sua resposta é sempre o oposto do que dizem os outros dois oráculos. 2 oráculos responderam que ele perderia. 1 oráculo respondeu que ele ganharia. Podemos, então, concluir que os dois oráculos que sempre acertam afirmaram que ele perderia a batalha e o oráculo que sempre erra afirmou que ele ganharia a batalha. Portanto, com certeza ele perderia a batalha. Resposta letra "d". (FUNIVERSA - EB - Economista 2010) O responsável pela contratação de funcionários de uma rede de supermercados está selecionando pessoal para atuar como repositor de produtos em uma nova unidade dessa rede. Gustavo e Ricardo foram os finalistas nesse processo. A análise da prova prática mostra que: a probabilidade de os dois serem selecionados é de 12%; a probabilidade de apenas um deles ser selecionado é de 70%; Gustavo tem 10% a mais de probabilidade de ser selecionado que Ricardo. onsiderando-se a situação descrita, a probabilidade de somente Gustavo ser selecionado está entre

5 (A) zero e 2%. (B) 26% e 37%. () 38% e 4%. (D) 46% e 7%. (E) 8% e 100%. Resolução Podemos resolver esta questão com o auxílio do diagrama de Euler-Venn. hamarei a probabilidade de apenas Gustavo ser selecionado de G e a probabilidade de apenas Ricardo ser selecionado de R. 6 (FUNIVERSA- EB - EONOMISTA ) O mau funcionamento de uma das máquinas de uma indústria fez com que 10% das peças produzidas em um determinado lote apresentassem defeito. Escolhendo-se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta antes de se retirar a próxima, é de: (A) 90%. (B) 91%. () 93%. (D) 96%. (E) 99%. Resolução hamaremos de D uma peça com defeito e B uma peça boa (sem defeito). A probabilidade de Gustavo ser selecionado é G +12%. A probabilidade de Ricardo ser selecionado é R + 12%. a probabilidade de apenas um deles ser selecionado é de 70%; De acordo com as notações empregadas, podemos concluir que: G + R = 70% Gustavo tem 10% a mais de probabilidade de ser selecionado que Ricardo. P(Gustavo se r selecionado)=p(ricardo ser selecionado) +10% A probabilidade de Gustavo ser selecionado é G +12%. A probabilidade de Ricardo ser selecionado é R + 12%. Desta forma: G+ 12% = R + 12% + 10% G= R + 10% Substituindo G na equação G + R = 70% temos que: R + 10% + R = 70% R = 30%, logo G = 40% Resposta letra Escolhendo uma peça aleatoriamente, a probabilidade de ser defeituosa é 10% e a probabilidade de ser boa é 90%. Escolhendo-se aleatoriamente cinco peças desse lote, a probabilidade aproximada de que menos de três delas apresentem esse defeito, se cada peça retirada é reposta antes de se retirar a próxima, é de... Temos as seguintes possibilidades: 1) DDBBB alcularemos a probabilidade de acontecer DDBBB (nesta ordem) e em seguida devemos multiplicar pelo número de permutações de DDBBB. Vejamos o número de permutações: P! x4x3! 2!.3! 2x1x3! 2D,3B 10 P (DDBBB) = x x x x x10= 7,29% P! x4! 4! 4! 1D,4B P (DBBBB)= x x x x x 32,80% P (BBBBB)= x x x x x 9,049% Logo: 7,29% + 32,80% + 9,049% = 99,144% Resposta: E

6 7 (FUNIVERSA - SEPLAG AF ) 13 (FUNIVERSA) Em uma urna há 30 esferas que se diferenciam apenas pela cor. Delas, 10 são vermelhas, 1 são pretas e azuis. Tirando-se, aleatoriamente e sem reposição, 4 esferas dessa urna, a probabilidade de que as 4 esferas sejam da mesma cor está entre: (A) 0,03 e 0,06. (B) 0,07 e 0,10. () 0,11 e 0,14. (D) 0,1 e 0,18. (E) 0,19 e 0,22. P Letra B total de combinações das esferas 30! 30! 30x29x28x27x26! 4!(30 4)! 4! x26! 4x3x2x1x 26! 30,4 ombinação das 10 vermelhas para escolhermos 4 10! 10! 10x9x8x7x6! 10, !(10 4)! 4! x6! 4x3x2x1x6! (FUNIVERSA - Assistente I APEX 2006) Paulo vai ao supermercado uma, e somente uma, vez por semana, sendo que a probabilidade de ele ir em qualquer dia da semana é a mesma. Quando Paulo vai a um supermercado de segunda a sexta, a probabilidade de ele comprar arroz é igual a 0,70. Quando Paulo vai ao supermercado no sábado ou domingo, a probabilidade de ele comprar arroz é igual a 0,3. Sendo assim. em duas semanas consecutivas, a probabilidade de Paulo comprar arroz é igual a : a) 0,7 b) 0,6 c) 0,49 d) 0,4 e) ) De segunda à sexta: (/7) 1.1) Arroz: 0,7 ---> P(comprar arroz) = (/7).0,7 = 0, 1.2) Não-arroz: 0,3 (não nos interessa) 2) Sábado ou domingo: (2/7) 2.1) Arroz: 0,3 ---> P(comprar arroz) = (2/7).0,3 = 0,1 2.2) Não-arroz: 0,6 (não nos interessa) Portanto, a probabilidade de Paulo comprar arroz em uma semana é de: 0, + 0,1 = 0,6 Em duas semanas, basta fazermos a seguinte multiplicação: P = 0,6.0, > P = 0,36 ombinação das 1 pretas para escolhermos 4 1! 1! 1x14x13x12x11! 4!(1 4)! 4! x11! 4x3x2x1x11! 1,4 ombinação das azuis para escolhermos 4,4 Probabilidade: asos favoráveis:(f) = 180 asos Possiveis:(P) F 180 P( E) 0,076 P Letra : A Ou 10 bolas vermelhas: x x x 0, bolas pretas: x x x 0, bolas azuis: 4 3 x x x , , , , = 0,

7 14 - (FUNIVERSA ANALISTA APEX 2006) Em uma empresa, há 12 dirigentes de níveis hierárquicos distintos capacitados para a elaboração de determinado estudo: diretores e 7 gerentes. Para isso, entre esses 12 dirigentes, 4 serão sorteados aleatoriamente para integrarem um grupo que realizará o referido estudo. A probabilidade de os 4 dirigentes sorteados serem do mesmo nível hierárquico está entre: (A) 0,01 e 0,0. (B) 0,06 e 0,10. () 0,11 e 0,1. (D) 0,16 e 0,20. (E) 0,21 e 0,2. total de combinações dos dirigentes 12! 12! 12x11x10x9x8! 4!(12 4)! 4! x8!! 4x3x2x1x8! 12,4 49 ombinação de diretores para escolhermos 4,4 ombinação de 7 gerentes para escolhermos 4 7! 7! 7x6xx4x3! 7,4 3 4!(7 4)! 4! x3!! 4x3x2x1x3! Probabilidade: asos favoráveis(f): + 3 = 40 asos Possiveis(P): 49 F 40 P ( E) 0,0808 P 49 Ou diretores: x x x 0, gerentes: x x x 0, , ,07070 = 0,0808 7