Capítulo III Lei de Gauss

ELECTROMAGNETISMO Cuso de Electotecnia e de Computadoes 1º Ano º Semeste 1-11 3.1 Fluxo eléctico e lei de Gauss Capítulo III Lei de Gauss A lei de Gauss aplicada ao campo eléctico, pemite-nos esolve de uma maneia simples e expedita muitos poblemas complicados. Funciona muito bem em poblemas com simetia. Na sua essência - faz a ligação ente: 3.1.1 Fluxo eléctico causa - a caga eléctica - e o efeito - o campo eléctico A noção de fluxo é bastante aplicada no nosso dia a dia. Já todos ouvimos fala de fluxo sanguíneo, fluxo de táfego (flui do tânsito), fluxo luminoso, fluxo de água no Castelo do Bode, etc, etc. Está elacionado com ualue coisa em movimento atavés de uma dada egião, e muitas vezes está também elacionado com o tempo em ue isso decoe. Liga potanto a uantidade de substância (sangue, automóveis, fotões, água ), ue atavessa deteminada áea num deteminado intevalo de tempo. Em física, este conceito está bem definido e o fluxo de uma gandeza física atavés de uma supefície é usado com dois significados distintos, dependendo do tipo de gandeza física a ue nos efeimos: 1. Fluxo de um campo vectoial atavés de uma supefície - esultado do integal (soma), em toda a supefície, do poduto escala ente o campo vectoial e o vecto nomal (pependicula) a cada elemento infinitesimal dessa supefície.. No contexto de fenómenos de tanspote (como tansfeência de calo e difusão), fluxo de uma dada gandeza atavés de uma supefície - taxa a ue essa supefície é atavessada pela gandeza consideada. Nesta ª definição, o fluxo é simplesmente a uantidade da gandeza física consideada (po exemplo; a enegia, o númeo de fotões, a massa de água, etc ) ue atavessa uma supefície po unidade de tempo. Po esta definição, o fluxo esultante é um vecto, cujo módulo é igual à taxa a ue a supefície é atavessada e cuja oientação é dada pela oientação em ue a supefície está a se atavessada. Alguns exemplos concetos deste tipo de fluxo, são: - Fluxo luminoso: uantidade fotões (enegia), ue atavessa uma áea unitáia, po unidade de tempo. Vem expesso nas unidades: J m - s -1 Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 7

- Fluxo de massa: uantidade de massa ue atavessa uma áea unitáia, po unidade de tempo. Vem expesso nas unidades: kg m - s -1 Mas no nosso caso do Electomagnetismo, o fluxo consideado é-o segundo a 1ª definição. Esta definição diz-nos ue o fluxo Φ de um ualue campo vectoial E (função da posição), atavés de uma supefície S, é dado pela seguinte expessão: Φ = sup E ds (3.1) em ue; ds é o chamado elemento infinitesimal de áea oientada. É uma áea vectoial, isto é, tem uma áea ds (módulo), mas essa áea existe e está oientada no espaço pependiculamente ao seu veso (vecto unitáio) nomal u n (figua 3.1). ds = dsu n (3.) Figua 3.1 Elemento infinitesimal de áea oientada. Pela definição e pela expessão 3.1, veificamos se esta noção de fluxo, uma gandeza escala, um númeo potanto. No nosso caso, o ue significaá esse númeo? Qual a sua gandeza física (e conseuente unidade física), uando o campo vectoial não fo um campo ualue, mas fo mesmo o campo eléctico E? Estaemos então a uantifica o valo do fluxo do campo eléctico E atavés de uma dada supefície (e ue supefície?). Figua 3. Fluxo eléctico atavés de supefícies. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 8

3.1. Lei de Gauss A lei de Gauss 1 (ou lei do fluxo do campo eléctico) é a aplicação da expessão do fluxo (3.1), paa o campo eléctico E, uando a supefície consideada é fechada e encea as cagas elécticas no seu inteio. Relaciona o fluxo (uantidade de linhas do campo eléctico) ue atavessam a supefície e a uantidade de caga eléctica ue oigina esse mesmo fluxo. A elação ente o fluxo e a supefície dá-nos também a noção de densidade de fluxo eléctico (uão póximas estão as linhas do campo eléctico, ente si). Φ = E ds (3.3) À supefície fechada po onde vamos calcula o fluxo chamamos apopiadamente supefície gaussiana ( na expessão 3.3). É uma supefície imagináia (matemática) ue concebemos em tono das cagas elécticas. Na pática euivaleá a um senso ue exista totalmente em tono do fenómeno ue ueiamos estuda. Mas vamos pimeio detemina uanto vale o poduto escala de uma facção infinitesimal do campo eléctico ue atavessa a coespondente áea infinitesimal o fluxo infinitesimal. dφ = E ds = E ( ds u ) = ds ( E u ) = ds E u cosθ ds E cosθ n n n = (3.4) em ue θ é o ângulo existente ente o vecto campo eléctico E e o veso da áea infinitesimal oientada u n. Figua 3.3 Fluxo eléctico atavés de supefícies infinitesimal. Significa isto ue a diecção e oientação com ue o campo atavessa a supefície é pepondeante paa o valo do fluxo, vaiando ente um valo máximo (mínimo), uando o cos θ = 1 e θ = º ( cosθ = 1 e θ = 18º) e cos θ = e θ = 9º (ou 7º). 1 Johann Cal Fiedich Gauss (1777-1855) matemático, astónomo e físico alemão. Consideado o maio matemático de todos os tempos. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 9

Mas como esolvemos o poblema de sabe ual a oientação do veso nomal à supefície infinitesimal. A diecção nomal à supefície tem sempe dois sentidos. Qual devemos escolhe? No nosso caso paticula da aplicação da lei de Gauss isso é fácil de defini. Como usamos supefícies gaussianas fechadas, consideamos sempe a nomal ue aponta de dento paa foa da supefície, potanto o nosso veso é positivo nessa condição. Vamos agoa detemina todo o fluxo eléctico (total) ue atavessa a supefície gaussiana. Paa isso temos de soma todos os infinitésimos fluxos (dados pela expessão 3.4) nessa supefície gaussiana. Significa isso ue temos de dividi essa supefície num númeo imenso de peuenos domínios infinitesimais, paa gaanti ue na peuena áea infinitesimal o vecto campo eléctico é constante. Φ = lim E S = E ds = dφ (3.5) S i i Figua 3.4 Fluxo eléctico atavés de supefícies de toda a supefície gaussiana (). Mas afinal uanto é ue vale o fluxo eléctico? Vamos concetiza paa o caso do fluxo de uma caga eléctica pontual (), situado no vazio. Consideemo-la como positiva. Sabemos então ue as linhas de foças do campo eléctico são divegentes e adiais. O campo eléctico é dado pela expessão.9. Temos agoa ue escolhe uma ue envolva completamente esta caga pontual. Paa simplifica, vamos escolhe uma supefície esféica de aio, centada no ponto onde está a caga eléctica. Isto vai faze com ue o campo eléctico na tenha sempe a mesma intensidade, uma vez ue todos os pontos da estão à mesma distância () da caga eléctica (no cento). E o tamanho dessa esfea? Isto é, ual deve se o valo de? Vamos ve ue o esultado é independente do tamanho da esfea (e po conseguinte da distância à caga) e da foma da. Do ponto de visto pático de aplicação da lei de Gauss, a escolha da foma e posição da, exploando a simetia do poblema, pemite uma esolução muito mais célee dos poblemas. Φ = 1 ds = u ds = u ( ds u ) = 1 E 4πε 4πε 4πε 1 ds (3.6) Como o campo eléctico é adial, o seu sentido coincide exactamente com o veso nomal à (dai a impotância paa o cálculo, da escolha da e da sua posição). Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 3

Figua 3.5 Fluxo eléctico de uma caga eléctica pontual. Mas, ds não é mais do ue a contabilização da áea da escolhida, neste caso uma esfea de aio. A áea desta é: 4π, vindo então: 1 π Φ = 4 = (NC -1 m ) (3.7) 4πε ε Constatamos assim ue o fluxo eléctico Φ é diectamente popocional à caga (total) existente no inteio da. Quanto maio fo a caga maio é o fluxo do campo eléctico. O fluxo é uma medida da uantidade de caga. O fluxo é oiginado pela caga e uanto maio esta fo, maio o fluxo. Se a caga fo positiva, temos um fluxo positivo. Se caga fo negativa, temos um fluxo negativo. E se a fosse maio, po exemplo com o dobo do aio ()? É fácil constata ue sendo as linhas do campo adiais, todas elas iiam intecepta a nova ao dobo da distância. Significa ue a intensidade do campo eléctico nessa supefície tem agoa apenas 1/4 do valo inicial. Mas a nova teá também 4 vezes mais áea ue a inicial, obtendo-se o mesmo esultado. Logo a aplicação da lei de Gauss é independente do tamanho da (deste ue contenha toda a caga no seu inteio). E a foma? Bem, se o fluxo total é exactamente o mesmo nas duas supefícies esféicas de aios difeentes, significa ue linhas do campo eléctico ue atavessam a pimeia esfea são exactamente as mesmas ue atavessam a segunda esfea. Qualue com ualue foma, po mais iegula ue possa se, situada ente estas duas esfeas é atavessada pelo mesmo fluxo, inclusive não tem de esta centada na caga, e pode esta paa além da segunda esfea ou ente a pimeia esfea e a caga. É indifeente (desde ue contenha a caga no seu inteio). ε int Φ = E ds = (3.8) em ue a caga simboliza toda a caga existente no inteio da. Esta caga pode se uma distibuição de caga pontuais, existi sobe uma áea ou num volume. È simplesmente a soma algébica da caga existente no inteio da. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 31

Vejamos os tês casos paticulaes da posição da caga eléctica na aplicação da lei de Gauss, ue são: 1º - a caga está no inteio da (o ue acabamos de faze), º - a caga está na, 3º - a caga está no exteio da. Figua 3.6 Os tês casos paticulaes do fluxo e lei de Gauss. A aplicação da lei de Gauss (3.8), indica-nos, como já vimos, ue: 1º caso Φ = E ds = ε º caso Φ = E ds = ε (só metade do fluxo atavessa a nossa ) 3º caso Φ = E ds = (o fluxo total é nulo, pois o fluxo ue enta na é exactamente igual ao ue desta sai) Execício 3.1 Usando a lei de Gauss, detemine o campo eléctico de uma distibuição plana infinita de caga eléctica. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 3

Um dos mais impotantes esultados da aplicação da lei de Gauss, decoe da sua aplicação a um dipolo eléctico. Ao faze-lo, veificamos ue todas as linhas do campo eléctico nascem (tem oigem) nas cagas positivas e desapaecem (teminam) nas cagas negativas. 3.1..1 Densidade de fluxo eléctico A distibuição de caga ue existe no inteio da, pode se expessa atavés da densidade de caga eléctica, (expessões.7). Consideemos a densidade volúmica de caga ρ v. Então a caga no inteio, posse se escita como; d= = ρ dv (3.9) Em ue o vol é o volume ocupado pela distibuição de caga elécticas. vol vol v O ue dá paa a lei de Gauss; Φε = = ρ dv = E ds (3.1) v ε vol Paa soluciona a uestão, temos de aplica o teoema do fluxo-divegência, ue diz o seguinte: vol ( F ) dv = sup F ds (3.11) Onde sup é a supefície ue encea o volume vol e onde divegência, definido da seguinte maneia: F é o opeado matemático F F x y Fz div F = F = + + (3.1) x y z O opeado divegência mede a magnitude da "fonte" (ou "sumidouo") de um campo vectoial num dado ponto. É um escala ue mede a dispesão (divegência) dos vectoes do campo num deteminado ponto. A expessão 3.11 significa ue o fluxo ue têm oigem num dado volume é igual ao fluxo ue atavessa a supefície limítofe desse mesmo volume. Aplicando o teoema do fluxo-divegência à lei de Gauss, temos; E ds = = ( E) dv vol vol ρv dv ε (3.13) No limite, o volume dos integais é igual, o ue esulta na igualdade dos integandos. ρ E = ou ε E = ρ (3.14) ε Esta expessão é a Euação de Poisson ou 1ª Euação de Maxwell A densidade de caga pode se de ualue natueza (volúmica, supeficial, linea). Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 33

D = E (3.15) ε Ao vecto D chamamos de vecto densidade de fluxo eléctico. Assim sendo, a nossa 1ª Euação de Maxwell pode se escita da seguinte foma: D = ρ (3.16) 3. Conduto ideal e pincípio de Poisson 3..1 Conduto ideal Um conduto pefeito é um copo ideal, homogéneo, no inteio do ual as cagas elécticas têm a mais completa mobilidade (apenas limitada aos movimentos nomais à sua supefície limítofe, os uais levaiam as cagas a abandona o conduto), uando sujeitas à acção de um campo eléctico. Tem esistência eléctica nula. A pati do conceito de conduto pefeito decoe uma popiedade fundamental designada po - Pincípio de Poisson: 3.. Pincípio de Poisson Em todo o ponto inteio de um conduto pefeito em euilíbio electostático o campo eléctico é nulo E int = (3.17) Figua 3.7 Conduto pefeito em euilíbio electostático. Campo eléctico é nomal à supefície. Estamos peante um conduto (ideal ou não) em euilíbio electostático: uando não há um movimento líuido de cagas no seu inteio e na sua supefície. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 34

Execício 3. Demonstação do Pincípio de Poisson. 3...1 Popiedades e distibuição de caga num conduto em euilíbio electostático Que tipo e ual deveá se a distibuição de caga eléctica, caacteística de um conduto em euilíbio electostático? Se atendemos ao pincípio de Poisson, concluímos ue a sua caga total enconta-se inteiamente distibuída e epatida pela sua supefície limítofe. Quando um conduto neuto é colocado num campo eléctico (ue pode se unifome), haveá necessaiamente um movimento efectivo dos seus electões lives. Este movimento é muito beve ( 1-16 s, num bom conduto), e cessa assim ue em cada ponto inteio do conduto, o campo eléctico total seja nulo. Vamos enumea as váias popiedades nos condutoes (ideal ou eal); 1 - O campo eléctico é nulo em ualue ponto no inteio do conduto (3.17), - Qualue excesso de caga, num conduto isolado, deve esta, necessáia e inteiamente, na supefície do conduto (3.8), 3 - O campo eléctico na face extena da supefície de um conduto é pependicula à supefície do conduto e tem o módulo igual a unidade de áea, no ponto da supefície (3.8), E = ρ S ε, onde ρs é a densidade de caga po 4 - Num conduto com foma iegula, a caga tende a acumula-se nos locais onde o aio de cuvatua da supefície é peueno, isto é, onde a supefície é pontiaguda (efeito páa-aios) (3.8). Figua 3.8 a) Campo eléctico unifome. b) Efeito de conduto no campo eléctico. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 35

Vamos agoa analisa a distibuição de cagas elécticas num conduto ue contem uma cavidade no seu inteio. Blindagem Eléctica Consideemos a figua 3.9, em ue um conduto em euilíbio, caegado com caga Q e supefície extena (S ext ), exibe uma cavidade no seu seio, com uma supefície intena (S int ). A caga eléctica no seu inteio tem de se nula, como acabamos de sabe. Mas existem duas hipotéticas situações de distibuição de caga na cavidade inteio. Na pimeia situação, expessa na figua 3.9a), exibe caga sepaada e distibuída pela supefície inteio (mas de valo total nulo) e a caga total Q só existe na supefície exteio. Na segunda situação, expessa na figua 3.9b), não existe de todo ualue caga distibuída pela supefície inteio. Qual das situações se veifica na natueza? Figua 3.9 Conduto com cavidade. Hipóteses: a) densidade não nula de caga supeficial na cavidade, b) densidade nula de caga na cavidade (situação eal). Se a pimeia situação fosse válida, as linhas de campo eléctico não atavessam o conduto e têm ue fica confinadas na sua cavidade. A linha de foça do campo eléctico ue liga os pontos 1 e (fig. 3.9a) tem ue esta totalmente contida na cavidade. Existiia potanto, uma difeença de potencial ente os pontos 1 e da supefície intena (veemos a definição de potencial e difeença de potencial, tal como a sua elação com o campo eléctico, no capítulo seguinte). Teíamos assim movimentação de cagas na supefície intena, contaiando o estado de euilibio. Conseuentemente esta situação é poibida e não se veifica. É efectivamente a segunda situação, ausência total de caga na supefície inteio, a situação ue se veifica na natueza. Este efeito é conhecido como Blindagem Eléctica. Exemplos páticos e muito úteis desta constatação, são po exemplo o balde de Faaday e a Gaiola de Faaday. Balde de Faaday A figua 3.1 elucida expeiência do balde de Faaday, elacionada com o euilíbio electostático de um conduto. Ao inseimos uma esfea caegada positivamente num balde de foma cicula, ue se enconta electicamente isolado (3.1a), veificamos ue ocoe um desvio no ponteio do electómeto ligado ao balde, uando a esfea se enconta no seu inteio (3.1b). A deflexão no ponteio é devida ao facto da caga positiva da esfea induzi uma caga negativa (atacção) na supefície intena do balde e uma distibuição de caga positiva (epulsão) na supefície extena do balde. Faaday constatou ue o ponteio não se desviou mais dessa indicação, mesmo uando a esfea tocou no fundo do balde (3.1c) e Apaelho paa detecta e medi cagas elécticas. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 36

mesmo após te sido etiada do balde (3.1d). Constatou contudo ue após etia a esfea do balde, esta se encontava agoa descaegada. Apaentemente, uando a esfea tocou no fundo do balde houve uma passagem de uma uantidade de caga negativa, do balde paa a esfea, exactamente igual à uantidade de caga positiva ue se encontava na esfea, logo ficando a esfea electicamente neuta (euilíbio electostático). O balde ao pede essa caga negativa ficou só com uma uantidade de caga positiva exactamente igual à ue a esfea possuía inicialmente. Figua 3.1 Expeiência do balde de Faaday. 3... Distibuição de caga num copo isolante Vejamos o campo existente uando um copo isolante é electizado. Po exemplo uma esfea isolante de aio a; densidade volúmica de caga unifome ρ v e caga total Q, figuas 3.11 e 3.1. Campo eléctico no exteio da esfea. Campo exteio: façamos uma de aio, concêntica com a esfea isolante. Figua 3.11 Esfea isolante, caso > a. Pela lei de Gauss, o fluxo é Φ = E ds = EdS = E ds = E4π Q = ε Implicando ue o módulo do campo eléctico seja dado po Q E = (paa > a) (3.18) 4πε Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 37

Sabendo ue o campo é adial (po azões de simetia), temos então ue esultado euivalente ao efeito de uma caga pontual. Q E = u, 4πε Campo inteio: apliuemos agoa uma nova de aio, concêntica com a esfea isolante, mas inteio a esta. Figua 3.1 Esfea isolante, caso < a. Pela lei de Gauss, a caga no inteio ( int ) da de volume V é meno ue Q ( int < Q); int 4 ρ v dv = ρv π 3 = V e devido às uestões de simetia, o campo é adial e pependicula à. Da mesma foma; 3 4 3 int ρv 3 π ρv Q Q E = = = e pela definição (.7c), ρ v = =, vem ue: 4 3 4πε 4πε 3ε V π a Q Q = = k (paa < a) (3.19) 3 4 πε a a E 3 A continuidade ente as duas expessões (3.18 e 3.19), isto é ente os dois domínios, inteio e exteio, compova-se tomando = a. A figua 3.13 ilusta a intensidade do campo eléctico. 3 Figua 3.13 Campo eléctico de uma esfea isolante.. Electomagnetismo Engenhaia Electotécnica e de Computadoes 1-11 38