1 Universidade de São Paulo Escola Superior de Agricultura Luiz de Queiroz Departamento de Ciências Exatas Professores: Clarice Demétrio, Roseli Leandro e Mauricio Mota Lista 3- Distribuições Amostrais- LCE-5308 -Estatística Matemática I -LCE- 5308 -Estatística Matemática II 11/07/2011 1. Apresente a f.d.p, a média e a variância de: a. X N(0, 1). b. Y N(10, 9). c. V χ 2 (8). d. T t(1). e. T t(9). f. U F(8, 4). f. U F(10, 2). 2. Seja T t(n). Ache: a) P( T < 3, 365), se n = 5; b) P( T > 1, 812), se n = 10; c) a constante c, se P( T < c) = 0, 95, se n = 20; d) a constante c, se P( T > c) = 0, 10, se n = 12; e) a constante c, se P( c < T < c) = 0, 45, se n = 17. 3. Considere uma amostra aleatória de tamanho 7 de uma normal com média 18. Sejam X e S 2, a média e a variância amostral, respectivamente. Ache : a) P( X 18 > (1, 943/ 7)S); b) P( X 18 (1, 44/ 7)S); c) a constante c, se P( X 18 < cs) = 0, 98; d) a constante c, se P( X 18 > cs) = 0, 2; e) Um valor aproximado para P( X > 24), P( X < 13), P(12 < X < 28), quando S = 10. Agora utilize um pacote computacional para calcular essas probabilidades.
2 4. Seja X χ 2 (n). Ache: a) P(X 2, 558), se n = 10; b) P(10, 6 X 21, 337), se n = 22; c) a constante c, se P(X > c) = 0, 05, se n = 7; d) a constante c, se P(X < c) = 0, 01, se n = 9; e) as constantes c 1 e c 2, se P(X < c 1 ) = P(X > c 2 ) = 0, 05, se n = 10. f) as constantes c 1 e c 2, se P(X < c 1 ) = P(X > c 2 ) = 0, 01, se n = 15. 5. Seja S 2 a variância amostral de uma amostra aleatória de tamanho n de uma população normal. Ache a constante c tal que: a) P(S 2 > c) = 0, 025, se n = 15 e σ = 0, 05; b) P(S 2 > c) = 0, 95, se n = 17 e σ = 8; c) P(S 2 > cσ 2 ) = 0, 05, se n = 12 d) P(S 2 < cσ 2 ) = 0, 975, se n = 11 e) Um valor aproximado para P(S 2 > σ 2 /4), se n = 8 f) Um valor aproximado para P(S 2 < σ 2 /2), se n = 16 6. Para uma variável com distribuição F(m,n), ache c tal que: a) P(F > c) = 0, 01, se m = 3 e n = 7; b) P(F > c) = 0, 05, se m = 8 e n = 4; c) P(F > c) = 0, 01, se m = 11 e n = 14; d) P(F < c) = 0, 025, se m = 16 e n = 10. 7. Amostras aleatórias de tamanho m e n são retiradas de duas populações normais independentes com a mesma variância. Sejam S 2 1 e S 2 2 as variâncias amostrais. Ache c tal que : a) P(S 2 1 > cs 2 2) = 0, 05, se m = 8 e n = 4; b) P(S 2 1 < cs 2 2) = 0, 95, se m = 11 e n = 7; c) P(S 2 1 > cs 2 2) = 0, 01, se m = 6 e n = 14; d) P(S 2 1 < cs 2 2) = 0, 05, se m = 12 e n = 25. 8. Seja X Exp(1). Calcule a probabilidade de que o intervalo aleatório (X, 3X) inclua o ponto x = 3. Qual o valor esperado do comprimento desse intervalo aleatório 9. Seja X 1,X 2 uma amostra aleatória de X U(0, 1). Qual a probabilidade de que o intervalo aleatório (X 1 /3X 2, 2X 1 /X 2 ) inclua o ponto x = 2/3. Qual o valor esperado do comprimento desse intervalo aleatório
3 10. Quer-se ensaiar um novo tipo de engrenagem. Quando a mesma é submetida a um teste de uso acelerado a duração de sua vida X é uma v.a. que segue a lei Normal (µ,σ 2 ). Uma amostra de 12 engrenagens deu os seguintes resultados: x = 58 horas 12 i=1 (x i x) 2 = 99 (horas) 2. a) Estimar a média e a variância da lei de X; b) Determinar os I.C. para a média de X com 95% e 99% de confiança; c) Determinar os I.C. para a variância de X com 95% e 99% de confiança; d) Determinar um número a tal que P(B 2 /σ 2 < a) = 0, 98, em que B 2 = X) 2. 12 i=1 (X i 11. Considere uma amostra aleatória simples X 1,X 2...X n, n > 1, de uma variável contínua X N(µ,σ 2 ). Faça Z i = ( X i µ ). Sejam U = Z1 2 e V = Z2 2 +Z3 2...+Z 2 σ n. A variável aleatória W = (n 1)UV 1 tem distribuição: A) F(n 1, 1); B) t(n 1); C) χ 2 (n 2) D) F(1,n 1) E) Gama(1,n 2) 12. Seja Z 1,Z 2 uma amostra aleatória de N(0, 1). Usando as definições das distribuições t e F, diga a distribuição de probabilidade de : a) U = Z 1 Z 2 2 b) Y = (Z 1 + Z 2 ) 2 (Z 2 Z 1 ) 2 c) V = (Z 1 + Z 2 ) (Z2 Z 1 ) 2 d) W 1 se W = X2 1 X 2 2 e) Q = Z 1 Z 2
4 13. Seja X 1,X 2,...,X n uma amostra aleatória de N(0, 1). Considere X k = k i=1 X i k X n k = i=k+1 X i n k e usando as definições das distribuições t e F, diga a distribuição de probabilidade de: a) U = X k + X n k 2 b) Y = k X k 2 + (n k) X n k 2 ; c) V = X 1 X n d) W = X2 1 X 2 2 14. Seja X 1,X 2,...,X n uma amostra aleatória de N(µ,σ 2 ). Considere e X k = k i=1 X i k X n k = i=k+1 X i n k X = i=1 X i n S 2 k = k i=1 (X i X k ) 2 k 1 S 2 n k = i=k+1 (X i X n k ) 2 n k 1 S 2 = i=1 (X i X) 2 n 1 e usando as definições das distribuições t e F, diga a distribuição de probabilidade de: a) U = X k + X n k ; 2 b) Y = σ 2 [(k 1)Sk 2 + (n k 1)S2 n k ]; c) V = X µ S/ n ; d) W = S2 k. Sn k 2 15. Seja Z 1,Z 2 uma amostra aleatória de N(0, 1), e seja X 1,X 2 uma amostra aleatória de N(1, 1). Suponha independência entre as variáveis e usando as definições das distribuições t e F, diga a distribuição de probabilidade de : a) U = X + Z Z 1 + Z 2 b) Y = [(X2 X 1 ) 2 + (Z 2 Z 1 ) 2 ]/2 c) V = [(X 2 X 1 ) 2 + (Z 2 Z 1 ) 2 + (Z 2 + Z 1 ) 2 ]/2;
5 d) W = (X 1 + X 2 2) 2 (X 2 X 1 ) 2 16. Seja X i N(i,i 2 ), i = 1, 2, 3. Suponha que as três variáveis sejam independentes. Usando apenas essas variáveis apresente uma variável que tenha a distribuição: a) χ 2 (3); b) F(1, 2); c) t(2); d) F(2, 1). 17. Seja X 1,X 2 uma amostra aleatória de Exp(1/2). Qual a distribuição de X 1 /X 2 usando apenas argumentos das distribuições quiquadrado e F. 18. Sejam X 1,X 2 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo uma distribuição uniforme sobre o conjunto A = (1, 5). Qual a lei de probabilidade de: a) U = X 1 /X 2 b) Y = X 1 /(X 1 + X 2 ) c) V = X 1 X 2 d) T = X 1 + X 2 e) W = X 1 X 2 f) R = X 1.X 2 g) do vetor (U,T) h) do vetor (Y,W) 19. Sejam X 1,X 2,...,X 5 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo uma distribuição Exponencial com parâmetro θ = 1. Qual a lei de probabilidade de X 1 + X 2 Y = X 1 + X 2 + X 3 + X 4 + X 5 Mostre que Y e S = X 1 +X 2 +X 3 +X 4 +X 5 são variáveis aleatórias independentes. 20. Sejam X 1,X 2 variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo um distribuição exponencial de parâmetro θ. Qual a lei de probabilidade de: a) S = X 1 + X 2 X 1 b) V = X 1 + X 2 c) Qual a função densidade de probabilidade conjunta de (S,V ) S e V são independentes
6 21. Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas segundo uma mesma distribuição comum X com função densidade de probabilidade f(x θ). Pede-se a funçao de densidade de probabilidade conjunta de X 1,X 2,...,X n, n depois calcular a f.g.m. de S = X i identificando a distribuição de S. Analise também em cada caso a distribuição de X(média amostral). a) X exp(θ) ; b) X Gamma(3,θ); c) X Quiquadrado(a); d) X Normal(θ, 4); e) X Normal(5,θ 2 ). i=1 22. Uma v.a. X tem distribuição normal, com média 100 e desvio padrão 10. a) Qual a P(90 < X < 110) ; b) Se X for a média de uma amostra aleatória de 16 elementos retirados dessa população, calcule P(90 < X < 110); c) Represente em um gráfico, as distribuições de X e X; d) Que tamanho deve ter uma amostra para que P(90 < X < 110) = 0, 95. 23. A máquina de empacotar um determinado produto o faz segundo uma disribuição normal, com média µ e desvio padrão 10g. a) Em quanto deve ser regulado o peso médio µ para que apenas 10% dos pacotes tenham menos do que 500g b) Com a máquina assim regulada, qual a probabilidade de que o peso total de 4 pacotes escolhidos aleatoriamente seja inferior a 2kg 24. Na questão anterior, e após a máquina estar regulada, programou-se uma carta de controle de qualidade. De hora em hora, será retirada uma amostra de quatro pacotes e esses serão pesados. Se a média da amostra for inferior a 495g ou superior a 520g pára-se a produção para reajustar a máquina, isto é, reajustar seu peso médio. a) Qual é a probabilidade de ser feita uma parada desnecessária b) Se o peso médio desregulou-se para 500g, qual a probabilidade de continuar a produção fora dos padrões desejados
7 25. A capacidade máxima de um elevador é 500kg. Se a distribuição X dos pesos dos usuários for suposta N(70, 100): a) Qual é a probabilidade se sete passageiros ultrapassarem esse limite b) E seis passageiros 26. Definimos a variável E = X µ com sendo o erro amostral da média. Suponha que a variância dos salários de uma certa região seja 400reais 2 e além disso normalidade: a) Determine a média e a variãncia de E; b) Que proporção das amostras de tamanho 25 terão erro amostral absoluto maior do que 2 reais; c) E qual a proporção em amostras de tamanho 100; d) Nesse último caso, qual o valor de d, tal que P( E > d) = 1%; e) Qual deve ser o tamanho da amostra para que 95% dos erros amostrais absolutos sejam inferiores a um real 27. Sejam X 1,X 2,...,X n variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, U(0, 1). Sejam Y n = max(x 1,X 2,...,X n ) e Z n = min(x 1,X 2,...,X n ), para n = 1, 2,... Prove que: a) Y n P 1. b) Z n P 0. c) nz n d Y, Y EXP(1). d) n(1 Z n ) d W, W EXP(1). 28. Seja {X n } n 1 uma sequência de variáveis aleatórias com E(X 2 n) < para todo n 1. Prove que se lim E(X n ) = θ e lim V ar(x n ) = 0, então X n P θ. Este conceito será bastante usado em Inferência. Na prática se T n é uma sequência de estimadores para o parâmetro θ satisfazendo 1. lim E(T n ) = θ, isto é, T n é assintoticamente não viciado. 2. lim V ar(t n ) = 0. Então, T n é dita consistente para θ.
8 29. Sejam {X n } n 1 variáveis aleatórias independentes, com Prove que: P(X n = 1) = p n e P(X n = 0) = 1 p n. a) X P n 0 se e somente se lim p n = 0. qc b) X n 0 se e somente se p n <. n=1 30. Um dado honesto é lançado infinitas vezes independetemente. Seja X i o resultado do i-ésimo lançamento, e considere S n = X 1 + X 2 + + X n. Obtenha a) lim P(S n > 3n). b) lim P(S n > 3, 5n). c) Uma valor aproximado para P(S 100 > 320). 31. Uma moeda honesta é lançada independentemente, até se obterem 450 caras. Estime a probabilidade de que no máximo 960 lançamentos sejam feitos. Sugestão: Seja N o número de lançamentos necessários para obter 450 caras. Há duas abordagens: (i) Escrever N como soma de 450 variáveis aleatórias independentes com distribuição geométrica de parâmetro 1/2. (ii) Supor que a sequência de lançamentos da moeda é infinita e usar que {N 960 960} = { X i 450}, onde X i é a função indicadora de que ocorre cara no i=1 i-ésimo lançamento. Nota: Resolva a questão pelas duas abordagens. Este problema caiu na prova de seleção de mestrado do IME-USP. 32. Usando o Teorema Central do limite prove que: ) a) lim e (1 n n2 + + n1! 2! + + nn = 1 n! 2. 1 b) lim (n 1)! n 0 t n 1 e t dt.