MTEMÁTI - 10o no Geometria Eercícios de eames e testes intermédios 1. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., um cilindro de revolução de altura 3 o ponto tem coordenadas (1,2,0) e é o centro da base inferior do cilindro, a qual está contida no plano o ponto tem coordenadas (1,3,0) e pertence à circunferência que delimita a base inferior do cilindro; o ponto é o centro da base superior do cilindro. etermine a área da secção produida no cilindro pelo plano de equação = 1 Eame 2017, Ép. especial 2. onsidere, num referencial o.n., a região definida pela condição ual é o perímetro dessa região? ( + 1) 2 + ( + 1) 2 1 + + 2 0 () π + 1 () π 2 + 1 () π + 2 () π 2 + 2 3. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o prisma quadrangular regular [ T U ] a face [ ] está contida no plano o vértice pertence ao eio e o vértice T pertence ao eio o plano T U tem equação = 3 eja T o simétrico do ponto T, relativamente à origem do referencial. Escreva uma equação da superfície esférica de diâmetro [T T ] 4. onsidere, num referencial o.n., os pontos ( 1,3) e (2,4) ual das seguintes equações define uma reta paralela à reta? Eame 2017, 2 a Fase T U Eame 2017, 1 a Fase () = 1 3 () = 1 () = 3 () = 33 3 Eame 2016, Época especial ágina 1 de 14
5. onsidere, num referencial o.n., o quadrado definido pela condição 0 4 1 5 ual das condições seguintes define a circunferência inscrita neste quadrado? () ( 4) 2 + ( 5) 2 = 16 () ( 4) 2 + ( 5) 2 = 4 () ( 2) 2 + ( 3) 2 = 4 () ( 2) 2 + ( 3) 2 = 16 Eame 2016, 2 a Fase 6. Na figura ao lado, está representada, num referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular a base [] da pirâmide é paralela ao plano o ponto tem coordenadas ( 1,1,1) o ponto tem coordenadas ( 3,3,1) Escreva uma condição que defina a superfície esférica de centro no ponto e que é tangente ao plano Eame 2016, 1 a Fase 7. onsidere, num referencial o.n., os pontos (0,0,2) e (4,0,0) etermine uma equação cartesiana que defina a superfície esférica da qual o segmento de reta [] é um diâmetro. Eame 2015, 1 a Fase 8. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n., o cubo [EF GH] (o ponto E não está representado na figura). o ponto F tem coordenadas (1,3, 4) o vetor F tem coordenadas (2,3,6) H Escreva uma condição cartesiana que defina a superfície esférica de centro no ponto F à qual pertence o ponto G G F Teste Intermédio 11 o ano 06.03.2013 ágina 2 de 14
9. onsidere, num referencial o.n., a reta r definida por (,,) = (3,4,5) + k(1,0,0), k ual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r? () = 5 = 6 () = 3 = 4 () (,,) = (1,0,0) + k(3,4,5), k () (,,) = (3,4,5) + k(0,1,0), k Teste Intermédio 11 o ano 24.05.2011 10. Na figura ao lado, está representado, em referencial o.n., o poliedro [ N UT ], que se pode decompor num cubo e numa pirâmide quadrangular regular. a base da pirâmide coincide com a face superior do cubo e está contida no plano o ponto pertence ao eio o ponto U tem coordenadas (4, 4, 4) N ara cada um dos seguintes conjuntos de pontos, escreva uma condição cartesiana que o defina. 10.1. lano perpendicular à reta N e que passa no ponto 10.2. uperfície esférica de centro em U e que passa no ponto T U T Teste Intermédio 11 o ano 27.01.2011 11. onsidere, num referencial o. n., a superfície esférica de equação 2 + 2 + ( 2) 2 = 4 intersecção desta superfície com o plano é () o conjunto vaio () um ponto () uma circunferência () um círculo Teste Intermédio 11 o ano 29.01.2009 12. Na figura seguinte está representado, em referencial o.n., um cone de revolução. o vértice do cone tem coordenadas (1,2,6) o ponto é o centro da base do cone eja W o ponto simétrico do ponto, em relação ao plano. Indique as coordenadas do ponto W e escreva uma condição que defina o segmento de reta [ W ] Teste Intermédio 11 o ano 29.01.2009 ágina 3 de 14
13. onsidere, num referencial o.n., a reta r definida por (,,) = (1,2,3) + k(0,0,1), k ual das condições seguintes define uma reta paralela à reta r? () (,,) = (1,2,3) + k(0,1,0), k () (,,) = (0,0,1) + k(1,2,3), k () = 2 = 1 () = 2 = 1 Teste Intermédio 11 o ano 06.05.2008 14. Na figura ao lado estão representadas, em referencial o.n., uma reta e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5 s pontos e pertencem à circunferência. ponto também pertence ao eio das abcissas. dmitindo que o declive da reta é igual duas alíneas seguintes: 1, resolva as 2 5 14.1. Mostre que uma equação da reta é 2 + 5 = 0 14.2. Mostre que o ponto tem coordenadas (3,4) Teste Intermédio 11 o ano 24.01.2008 15. onsidere, num referencial o.n., as superfícies esféricas definidas pelas equações intersecção destas superfícies esféricas é... 2 + ( 2) 2 + 2 = 2 e 2 + ( 3) 2 + 2 = 2 () um ponto. () o conjunto vaio. () uma circunferência. () um segmento de reta. Eame 2001, rova de reserva (cód. 135) 16. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um sólido formado por um paralelepípedo retângulo [EF GH] e uma pirâmide [ ]. base [EF GH] do paralelepípedo está contida no plano e a base da pirâmide [] coincide com a face superior do paralelepípedo. aresta [GF ] está contida no eio. Uma equação da superfície esférica com centro (1,1,1) e que contém G é ( 1) 2 + ( 1) 2 + ( 1) 2 = 11 H G E F erifique que o ponto H tem coordenadas (1, 2,0) Eame 2001, rova de reserva (cód. 135) ágina 4 de 14
17. Num referencial o.n., considere um ponto pertencente ao semieio positivo e um ponto pertencente ao semieio positivo. uais das seguintes podem ser as coordenadas do vetor? () ( 2,0,1) () (2,0, 1) () ( 2,1,0) () (2, 1,0) Eame 2001, Época especial (cód. 135) 18. Na figura ao lado estão representados, em referencial o. n., um prisma e uma pirâmide quadrangulares regulares, com a mesma altura. base do prisma, que coincide com a base da pirâmide, está contida no plano. T W U vértice pertence ao eio. vértice pertence ao eio. vértice pertence ao eio. vértice U tem coordenadas (2,2,4). Escreva uma condição que define a reta T U Eame 2001, Época especial (cód. 135) 19. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um paralelepípedo retângulo. vértice é a origem do referencial. vértice pertence ao eio vértice pertence ao eio vértice pertence ao eio vértice U tem coordenadas (2,4,2) eja r a reta de equação (,,) = (2,0,2) + k(0,0,1), k ual é o ponto de intersecção da reta r com o plano U? T U () ponto () ponto T () ponto U () ponto Eame 2001, 2 a fase (cód. 135) 20. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um octaedro [EF GH] o vértice tem coordenadas (1,0,1) o vértice E tem coordenadas (0,1,1) o vértice F pertence ao plano o vértice tem coordenadas (1,1,2) etermine uma equação da superfície esférica que contém os seis vértices do octaedro. F E Eame 2001, 2 a fase (cód. 135) ágina 5 de 14
21. onsidere, em referencial o.n., a superfície esférica centrada na origem do referencial e cuja interseção com o plano de equação = 3 é uma circunferência de perímetro 8π ual das seguintes é uma equação desta superfície esférica? () 2 + 2 + 2 = 9 () 2 + 2 + 2 = 16 () 2 + 2 + 2 = 25 () 2 + 2 + 2 = 36 Eame 2001, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 22. ual das seguintes equações define, num referencial o.n., uma superfície esférica tangente aos planos de equações = 4 e = 0? () ( 2) 2 + ( 2) 2 + 2 = 4 () ( 2) 2 + ( 2) 2 + 2 = 16 () 2 + 2 + ( 2) 2 = 4 () ( 2) 2 + 2 + 2 = 16 Eame 2001, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 23. Num referencial o.n., considere os planos definidos pelas equações = 1 e = 5 ual das equações seguintes define uma superfície esférica tangente aos dois planos? () 2 + 2 + ( 3) 2 = 25 () 2 + 2 + ( 4) 2 = 25 () 2 + 2 + ( 3) 2 = 4 () 2 + 2 + ( 4) 2 = 4 24. onsidere, num referencial o.n., uma reta r, perpendicular ao plano ual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira? Eame 2001, rova Modelo (cód. 135) Eame 2000, 2 a Fase (cód. 135) () reta r é perpendicular ao plano () reta r é perpendicular ao eio () reta r está contida no plano () reta r é paralela ao eio Eame 2000, rova 2 para Militares (cód. 135) Eame 2000, rova de reserva (cód. 135) 25. onsidere, num referencial o.n., a superfície esférica, de equação ( 2) 2 + ( 2) 2 + ( 2) 2 = 2 ual das equações seguintes define um plano cuja intersecção com a superfície esférica não é vaia? () = 1 () = 0 () = 3 () = 4 Eame 2000, rova 2 para Militares (cód. 135) Eame 2000, rova de reserva (cód. 135) ágina 6 de 14
26. Na figura ao lado está representado em referencial o.n., um cone cuja base está contida no plano e cujo vértice pertence ao semieio positivo base tem raio 3 e centro em, origem do referencial. r reta r, de equação (,,) = (0,3,0) + k(3, 1,0), k, contém uma geratri do cone. Mostre que a altura do cone é 9 Eame 2000, rova para Militares (cód. 135) Eame 2000, Época Especial (cód. 135) 27. Num referencial o. n., qual das seguintes equações define uma superfície esférica tangente ao plano? () ( 2) 2 + 2 + 2 = 1 () ( 2) 2 + 2 + 2 = 2 () ( 2) 2 + 2 + 2 = 4 () ( 2) 2 + 2 + 2 = 9 28. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n., uma pirâmide quadrangular regular. base da pirâmide é paralela ao plano ponto tem coordenadas (8,8,7) ponto pertence ao plano ponto pertence ao eio ponto pertence ao plano ponto E é o centro da base da pirâmide vértice da pirâmide pertence ao plano Eame 2000, Época Especial (setembro) (cód. 135) Eame 1999, rova de reserva (cód. 135) (adaptado) E etermine o perímetro de uma face lateral da pirâmide. 29. Na figura ao lado está representada, em referencial o.n., um prisma triangular regular. Eame 2000, Época Especial (setembro) (cód. 135) Eame 1999, rova de reserva (cód. 135) T vértice coincide com a origem do referencial vértice pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo segmento [] tem comprimento 6 abendo que a área lateral do prisma é 72, determine as coordenadas do ponto Eame 2000, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) ágina 7 de 14
30. Num referencial o.n., considere os pontos (0,0,4) e (0,4,0) ual dos seguintes pontos pertence ao plano mediador do segmento de reta [ ]? () (1,0,0) () (1,2,0) () (2,1,0) () (1,0,2) Eame 2000, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 31. Num referencial o.n., qual das seguintes retas intersecta os três planos coordenados? () (,,) = (1,1,1) + k(1,0,0), k () (,,) = (1,1,1) + k(1,2,0), k () (,,) = (1,1,1) + k(0,2,0), k () (,,) = (1,1,1) + k(1,2,3), k Eame 2000, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 32. Na figura ao lado está representado um poliedro num referencial o.n. o vértice do poliedro é a origem do referencial; o vértice E do poliedro tem coordenadas (2,2,2); a altura de cada uma das pirâmides é igual ao comprimento da aresta do cubo. Justifique que o ponto F não pertence à superfície esférica de diâmetro [ ] G E F Eame 2000, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 33. onsidere, num referencial o.n., as superfícies esféricas de equações 2 + 2 + ( 10) 2 = 9 e 2 + 2 + ( 4) 2 = 9 intersecção das duas superfícies esféricas é () um ponto. () uma superfície esférica. () uma circunferência. () o conjunto vaio. 34. onsidere, num referencial o.n., os pontos (2,3,10) e (10,13,25) Um tiro é disparado de, de tal forma que o projétil passa pelo ponto Eame 1999, rova para Militares (cód. 135) 34.1. retende-se atingir um alvo situado no ponto (98,123,190) Mostre que, se o projétil seguir uma trajetória retilínea, o alvo é atingido. 34.2. trajetória retilínea só é garantida se o alvo se encontrar a menos de 300 unidades do local onde o projétil é disparado. rove que, no caso presente, a trajetória retilínea está garantida. 35. onsidere, num referencial o.n., a esfera ε definida pela condição ual das afirmações seguintes é verdadeira? 2 + ( 7) 2 + 2 9 Eame 1999, rova para Militares (cód. 135) () Na esfera ε eistem pontos do eio () ponto (7,7,0) pertence à esfera ε () Na esfera ε eistem pontos do eio () ponto (0,0,7) pertence à esfera ε Eame 1999, Época Especial (cód. 135) ágina 8 de 14
= 0 36. Num referencial o.n., a condição define = 3 () o conjunto vaio () um ponto () uma reta () um plano Eame 1999, Época Especial (cód. 135) 37. Na figura ao lado, está representado, num referencial o.n.. [] é uma face do cubo [EF GH] é a face oposta à face [] (o ponto H não está representado na figura) [E], [F ], [G] e [H] são quatro arestas do cubo ponto tem coordenadas (3,5,3) ponto tem coordenadas ( 3,3,6) ponto E tem coordenadas (1,2, 3) G 37.1. etermine o volume do cubo. 37.2. etermine as coordenadas do ponto H e comente a seguinte afirmação: o ponto H pertence a um dos eios coordenados. F E Eame 1999, Época Especial (cód. 135) ágina 9 de 14
38. Na figura seguinte estão representados três pontos, em referencial o.n. o ponto tem coordenadas (0,5,2) o ponto pertence ao plano o ponto pertence ao plano a reta tem equação vetorial (,,) = (5,4, 1) + k(1,2, 1), k 38.1. Mostre que o ponto tem coordenadas (3,0,1)e que o ponto tem coordenadas (4,2,0) 38.2. onsidere a superfície esférica de centro em, cuja intersecção com o plano é uma circunferência de raio 3 etermine uma equação dessa superfície esférica. Eame 1999, 2 a fase (cód. 135) 39. Na figura ao lado está representado um cubo, em referencial o.n. T a face [ ] está contida no plano a face [ ] está contida no plano a face [T ] está contida no plano o volume do cubo é 27 etermine uma equação da superfície esférica tal que: o centro é o simétrico do ponto U, em relação ao plano o ponto pertence a essa superfície esférica U Eame 1999, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 40. onsidere, num referencial o.n., os planos α e β, definidos pelas seguintes equações: α : = 1 e β : = 2 eja r a reta de intersecção dos planos α e β Indique qual das epressões seguintes é uma equação vetorial da reta r () (,,) = (1,2,0) + k(0,0,2), k () (,,) = (1,1,0) + k(0,0,2), k () (,,) = (1,1,0) + k(1,2,0), k () (,,) = (1,2,0) + k(1,2,0), k Eame 1999, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ágina 10 de 14
41. Na figura seguinte está representado, em referencial o.n., um cone de revolução. base do cone está contida no plano e tem o seu centro na origem do referencial [] e [] são diâmetros da base ponto pertence ao semieio positivo ponto pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo comprimento do raio da base é 3 e a altura do cone é 4 etermine uma condição que defina a esfera cujo centro é o ponto e cuja intersecção com o plano é a base do cone. Eame 1999, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 42. Num referencial o.n., considere: a esfera definida pela condição 2 + 2 + 2 25 o plano de equação = 4 ual é a área da intersecção da esfera com o plano? () π () 3π () 6π () 9π Eame 1999, rova Modelo (cód. 135) 43. ual das condições seguintes define, num referencial o.n., uma reta paralela, ao eio? () = 1 = 2 = 3 () = 2 = 1 () = = () = 1 Eame 1998, rova para militares (cód. 135) 44. Num referencial o.n., considere: o plano α, de equação = 4 a superfície esférica E de equação 2 + ( 2) 2 + 2 = 4 intersecção da superfície esférica E com o plano α é () um ponto () uma circunferência de raio 1 () uma circunferência de raio 2 () o conjunto vaio Eame 1998, rova de reserva (cód. 135) 45. onsidere a esfera definida pela condição ( 2) 2 + ( 3) 2 + ( 4) 2 14 abendo que [] é um diâmetro dessa esfera e que tem coordenadas (1,1,1), indique as coordenadas de () (2,4,8) () (3,5,7) () (4,6,5) () (5,3,6) Eame 1998, 2 a fase (cód. 135) ágina 11 de 14
46. Na figura ao lado está representada, num referencial o.n., uma reta ponto pertence ao plano ponto pertence ao plano 4 Indique qual das condições seguintes define a reta () 3 + 5 + 4 = 0 () (,,) = (3,0, 4) + k(3,5,0), k () = 3 = 5 = 4 3 5 () (,,) = (3,5,0) + k(3,0, 4), k Eame 1998, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 47. Na figura abaio está representada, em referencial o.n., uma caia cilíndrica construída num material de espessura despreável. caia contém duas bolas encostadas uma à outra e às bases da caia cilíndrica. cilindro tem uma das bases no plano centro dessa base é o ponto de coordenadas (3,0,3) outra base está contida no plano de equação = 12 s bolas são esferas de raio igual a 3 s diâmetros das esferas e das bases do cilindro são iguais Justifique que a superfície esférica correspondente à bola mais afastada do plano tem centro no ponto (3,9,3) e que o ponto (1,8,1) pertence a essa superfície esférica. Eame 1998, 1 a fase - 2 a chamada (cód. 135) 48. onsidere, num referencial o.n. : a esfera ε definida pela condição ( 1) 2 + ( 2) 2 + ( 3) 2 36 a reta r de equação (,,) = (1,2,3) + k( 2,0,1), k intersecção da reta r com a esfera ε é um segmento de reta. ual é o comprimento desse segmento de reta? () 8 () 10 () 12 () 14 Eame 1998, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ágina 12 de 14
49. Na figura ao lado está representado, em referencial o.n., um sólido formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular. base da pirâmide coincide com a face superior do cubo vértice coincide com a origem do referencial vértice N pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo altura da pirâmide, M, é igual ao comprimento da aresta do cubo vértice tem coordenadas (3,3,12) M U T 49.1. Justifique que U = 6 e que U = 3 6 49.2. etermine a intersecção da reta que contém a aresta [U ] com o plano de equação = 4 N Eame 1998, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) 50. Na figura ao lado está representado um cubo, em referencial o.n. vértice coincide com a origem do referencial. T vértice pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo vértice pertence ao semieio positivo abcissa do ponto é 2 U Mostre que o raio da superfície esférica que contém os oito vértices do cubo é 3 e determine uma equação dessa superfície esférica. Eame 1998, rova Modelo (cód. 135) 51. Num referencial o.n. uma esfera tem centro no ponto (2,3,4) e é tangente ao plano Uma condição que define a esfera é: () 2 + 2 + 2 = 4 2 () ( 2) 2 + ( 3) 2 + ( 4) 2 = 2 2 () ( 2) 2 + ( 3) 2 + ( 4) 2 = 3 2 () ( 2) 2 + ( 3) 2 + ( 4) 2 = 4 2 Eame 1997, rova para militares (cód. 135) 52. Num referencial o.n., considere a reta r de equação vetorial (,,) = (1,2,0) + k(3,0, 1), k reta r () é paralela ao plano () é paralela ao plano () é paralela ao plano () não é paralela a nenhum dos planos coordenados Eame 1997, rova para militares (cód. 135) ágina 13 de 14
53. Na figura ao lado estão representados em referencial o.n., um prisma quadrangular regular e uma pirâmide cuja base [F GE] coincide com a do prisma e está assente no plano. vértice da pirâmide coincide com o centro da base superior do prisma. H ponto G tem coordenadas (4,4,0) 53.1. abendo que, na unidade considerada, o volume do prisma é igual a 96, mostre que o ponto H tem coordenadas (2,2,6) 53.2. Indique, justificando, uma equação vetorial da reta que é a interseção do plano EH com o plano E G F. Eame 1997, rova para militares (cód. 135) 54. Num referencial o.n., a intersecção das superfícies esféricas definidas pelas equações 2 + 2 + 2 = 4 e 2 + 2 + 2 = 9 é () um ponto. () uma circunferência. () uma superfície esférica. () o conjunto vaio. Eame 1997, 2 a fase (cód. 135) 55. onsidere, num referencial o.n., um cilindro de revolução como o representado na figura ao lado. base inferior do cilindro tem centro na origem do referencial e está contida no plano [] é um diâmetro da base inferior, contido no eio. ponto tem coordenadas (0, 5,0) ponto pertence à circunferência que limita a base inferior do cilindro e tem coordenadas (4,3,0) reta r passa no ponto e é paralela ao eio ponto pertence à reta r e à circunferência que limita a base superior do cilindro. Escreva uma equação vetorial da reta r Eame 1997, 1 a fase - 1 a chamada (cód. 135) ágina 14 de 14