FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 10.º Ano Versão 4 Nome: N.º Turma: Apresente o seu raciocínio de forma clara, indicando todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações necessárias. Quando, para um resultado, não é pedida uma aproximação, pretende-se sempre o valor exato. 1. Dados o conjunto U 1,, 3, 6, 9, 18 a x : x não é número primo. b x : x é um cubo perfeito. e as condições a x e b x, definidos por: (10) 1.1 Defina o conjunto U em compreensão. Como todos os elementos de U são divisores de 18, o conjunto U é definido por: U x : x é divisor de 18 (15) 1. Classifique, em U, as condições: a x, b x e ~ ax b x a x é possível em U, porque b x é possível em U, porque 1 a 1, a 6, a 9 e 18. a são verdadeiras em U. b é verdadeira em U, isto é, 1 é cubo perfeito. é a conjunção de duas condições possíveis em U, pois ~ a x b x ~a é verdadeira. A conjunção só é verdadeira quando as duas proposições são simultaneamente verdadeiras. Contudo, neste caso, as condições ~ ax e bx nunca são possíveis para o mesmo elemento de U, podemos concluir que a condição ~ ax bx é impossível em U. Por exemplo, ~ a b V F F Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 1/5 Versão 4
(15) 1.3 Indique, justificando, o valor lógico das proposições: p : x U: b x q : x U, ~ a x b x p : x U: x é cubo perfeito é verdadeira, pois 1 é cubo perfeito. q : x U, x é número primo e cubo perfeito é falsa, pois nenhum (logo todos) elemento de U é simultaneamente primo e cubo perfeito. (10) 1.4 Indique, justificando, qual das proposições abaixo é a negação da proposição q. (A) x U, x é cubo perfeito x não é primo (B) x U: x é cubo perfeito x não é primo (C) x U: x é número primo x não é cubo perfeito (D) x U, x não é número primo x não é cubo perfeito Temos ~ x U, ~ ax bx x U : ~ ~ a x b x x U: ax ~ bx x U : ~ bx ax x U: bx ax, disjunção como implicação, opção B.. Considere, em, os seguintes conjuntos definidos em compreensão. A x : 3 x 1 5 B x : x 6 5x C x : 1 5 x (15).1 Represente em extensão, ou na forma de intervalo de números reais, cada um dos conjuntos. Conjunto A: 3 x 1 5 3 x1 x1 5 x13 x 5 1 Conjunto B: x 4 x 4 x 4 x 4 x 6 5x x 5 5 4 x Portanto, A 44, 5x6 0 x Conjunto C: x 3x 3xx 5 5 41 6 1 57 x x 6 x 1 Assim, B 61, x Logo, V, (15). Defina, sob a forma de intervalo de números reais ou união de intervalos disjuntos, cada um dos conjuntos: a) A C R: A C = 4, 4, 4, b) B C \ A R: B C \ A =, 6, 1 \ 4, 4 =, \ 4, 4 =, 4 c) A\ B R: A\ B = 4, 4\ 6, 1 = 4, 1 1, 4 Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página /5 Versão 4
(10).3 Indique, justificando, qual das proposições seguintes é verdadeira: (A) x, xb x C Verdadeira, pois B C (B) x, xc x B Falsa, porque C B (C) x, x A x B Falsa, porque A B (D) x, xc x A Falsa, porque 4 C e 4 A, isto é, 6, 1, 3. Considere as proposições: a: Todos os números naturais são números racionais. b: Alguns números racionais não são inteiros mas são reais. (15) 3.1 Escreva em linguagem simbólica cada uma das proposições e indique o seu valor lógico. a: x, x é uma proposição verdadeira, pois. b: x : x x, é uma proposição verdadeira, pois 1, 5 1, 5. (15) 3. Escreva a negação de cada uma das proposições dadas, em linguagem simbólica e em linguagem natural, sem utilizar o símbolo ~, nem a expressão «Não é verdade que». ~ a : ~ x, x x : x Existe pelo menos um número natural que não é racional. ~ x : x x x,~ x x x, x x ~ b : Qualquer número racional é inteiro ou não é real. 4. Considere a proposição seguinte, definida no conjunto dos números naturais. «Se um número natural n não é divisível por 5, então não é divisível por 15.» (5) 4.1 Escreva a proposição dada em linguagem simbólica. Temos, n, n não é divisível por 5 n não é divisível por 15 (15) 4. Indique o valor lógico da proposição dada, apresentando um contraexemplo, no caso de ser falsa, ou provando-a por contrarrecíproco, caso seja verdadeira. Esta implicação só é falsa se houver algum número não divisível por 5 e que seja divisível por 15, pois só V F F. Por exemplo, 30 é divisível por 15, mas também é por 5 (30 não é contraexemplo) 60 é divisível por 15, mas também é por 5 (60 não é contraexemplo) Estes casos apontam para a veracidade da proposição dada. Vejamos se a contrarrecíproca é verdadeira: Queremos provar que n, n é divisível por 15 n é divisível por 5 Ora, se n é divisível por 15, então n 15k, para algum k. Assim, n 35k 5 3k e 3k. Portanto, n é divisível por 5 (porque 5 3k é múltiplo de 5). Como a contrarrecíproca é verdadeira, então a proposição dada é verdadeira. Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 3/5 Versão 4
5. Considere as três proposições seguintes: a: A Ana é médica; b: A Ana não é enfermeira; c: A Ana é veterinária. (10) 5.1 Traduza simbolicamente cada uma das seguintes proposições: a) A Ana não é médica nem enfermeira. R: ~ a b b) Se a Ana não é médica, então é enfermeira ou veterinária. R: ~ a ~ b c (10) 5. Diga, justificando, qual das proposições abaixo não representa a negação da proposição: «Se a Ana é médica, então não é enfermeira nem veterinária.» (A) A Ana não é médica ou não é enfermeira nem veterinária; (B) A Ana é médica e é enfermeira ou veterinária; (C) A Ana é médica e se não é enfermeira então é veterinária; (D) A Ana é médica e enfermeira ou é médica e veterinária. Temos de negar a proposição a b ~ c. Assim, ~ a b ~ c a ~ b ~ c a ~ b c opção B Transformando a disjunção numa impliacação a b c opção C E, pela propriedade distributiva, a ~ b c a ~ b a c Logo, só a opção A não representa a negação da proposição dada. opção D 6. Sendo p, q e r proposições elementares, considere a proposição: q r p ~ r (15) 6.1 Mostre que a proposição dada é equivalente à proposição ~ r q ~ p. Podemos usar uma tabela de verdade, para mostrar que q r p ~ r ~ r q ~ p p q r q r q r p ~r q r p ~ r ~p q ~ p ~ r q ~ p V V V V V F F F F F V V F F V V V F F V V F V F V F F F F F V F F F V V V F F V F V V V F F V V V V F V F F V V V V V V F F V F V F F V F F F F F F V V V V F V Como podemos ver, as colunas 7 e 9 são equivalentes. Outro processo: Usar as propriedades das operações lógicas (ver Versão 3). Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 4/5 Versão 4
(10) 6. Determine o valor lógico da proposição dada, sabendo que a proposição r é falsa. Como r F, substituindo temos q F p V F p V V V V Outro processo: Usando ~ r q ~ p, que é equivalente à proposição dada. Como r F, temos V q ~ p V, porque V é o elemento absorvente da disjunção Portanto, a proposição dada é verdadeira (15) 7. Utilize as propriedades da implicação para escrever em linguagem corrente, de duas formas distintas, uma proposição equivalente à proposição: «Se um losango é um quadrado, então tem as diagonais iguais». Sendo a e b as proposições elementares: a : Um losango é um quadrado; b : Um losango tem as diagonais iguais. Assim, a proposição dada traduz-se simbolicamente por a b. Como a b ~ b ~ a, a proposição dada é equivalente a: «Se um losango não tem as diagonais iguais, então não é um quadrado.» Escrevendo a implicação como uma disjunção temos a b ~ a b, pelo que a proposição dada é equivalente a: «Um losango não é um quadrado ou tem as diagonais iguais». BOM TRABALHO Prof. José Tinoco Ficha de avaliação da Matemática A 10.º Ano Página 5/5 Versão 4