UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ ROMULO DE OLIVEIRA LEITE MODELO DE MARKOWITZ PARAMETRIZADO POR INDICADORES DE ANÁLISE TÉCNICA

UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ ROMULO DE OLIVEIRA LEITE MODELO DE MARKOWITZ PARAMETRIZADO POR INDICADORES DE ANÁLISE TÉCNICA CURITIBA 014

ROMULO DE OLIVEIRA LEITE MODELO DE MARKOWITZ PARAMETRIZADO POR INDICADORES DE ANÁLISE TÉCNICA Dssertação apresentaa como requsto parcal para a obtenção o grau e Mestre em Cêncas, na Lnha e Pesqusa e Métoos Estatístcos Aplcaos à Engenhara, na Área e Concentração em Programação Matemátca, o Curso e Pós-Grauação em Métoos Numércos em Engenhara o Setor e Cêncas Exatas e o Setor e Tecnologa a Unversae Feeral o Paraná. Orentaor: Prof. Dr. Anselmo Chaves Neto CURITIBA 014

AGRADECIMENTOS Agraeço a mnha famíla que nunca exou e me apoar e que sempre teve certeza e que eu consegura alcançar este objetvo. À mnha esposa Lucana, meu porto seguro e fonte e nspração para sempre buscar as melhores. Ao Professor Dr. Anselmo Chaves Neto, pelo vasto conhecmento técnco transmto, pela camaraagem e por compartlhar sua experênca e va acaêmca e profssonal. Aos professores membros a banca, pela pacênca em avalar este trabalho e pela generosa contrbução para que este se tornasse o melhor possível. Aos professores o PPGMNE, pela sposção e boa vontae com que contrbuíram para mnha formação. Aos colegas e amgos o CESEC, por compartlharem conhecmento e amzae e por fazerem este Centro e Estuos um ambente e trabalho extremamente agraável. Aos amgos mltares e servores cvs o Parque Regonal e Manutenção/5, na pessoa o Cel. Tales Vlella, pelo longo e prazeroso convívo e pelo ncentvo ao meu aprmoramento profssonal. À CNPq, pelo ncentvo fnancero funamental à realzação este trabalho. A toos, muto obrgao!

Posso calcular os movmentos os corpos celestas, mas não a loucura as pessoas. Isaac Newton

RESUMO O Moelo e Markowtz é utlzao no problema a composção o portfolo e ações com melhor relação hstórca entre rsco e retorno. A Análse Técnca e ações, por sua vez, fo esenvolva com a fnalae e fornecer ao nvestor ncaores que o auxlem na entfcação e pontos e compra e vena e ações, através a análse e aos quanttatvos. Fazeno uso essas uas técncas, este trabalho propõe a utlzação o Movng Average Convergence- Dvergence (MACD) e o Ínce e Força Relatva (IFR), que são ncaores técncos, como regulaores o parâmetro e aversão ao rsco aplcao ao Moelo e Markowtz. Os esempenhos os moelos propostos são testaos através e smulações e negocações e ações na Bolsa e Valores e São Paulo (Bovespa), gerencaas por um algortmo e negocações aplcao a um Funo Quanttatvo. Como resultao, verfca-se que os moelos regulaos pelos referos ncaores técncos apresentaram esempenhos superores aos os moelos e parâmetro fxo, ao a cartera teórca o Ínce Bovespa e ao e uma cartera versfcaa e forma ngênua, para o períoo e 008 a 010. No entanto, não foram encontraos nícos e que tal superorae se eva ao potencal e nformação conto nos aos hstórcos e nos ncaores técncos, vsto que os retornos resuas sstemátcos obtos através os moelos propostos não são estatstcamente sgnfcatvos. Palavras-chave: Moelo e Markowtz. Análse Técnca e Ações. Gestão Atva e Carteras. Bovespa. Funos Quanttatvos.

ABSTRACT Markowtz Moel s apple to the problem of the composton of a stock portfolo wth the best hstorcal relatonshp between rsk an return. On the other han, Techncal Analyss was evelope for the purpose of provng nvestors ncators whch may help n entfyng buy an sell ponts for stock s trang, va quanttatve ata analyss. Usng both these tools, the present research proposes the use of Movng Average Convergence-Dvergence (MACD) an Relatve Strength Inex (RSI), techncal ncators, as regulators for the rsk averson parameter apple to Markowtz Moel. The performance of the propose moels are teste through smulatons of stock traes n São Paulo s Stock Exchange (Bovespa), manage by a trang algorthm apple to a Quanttatve Fun. As result, the moels regulate by such techncal ncators ha shown better performance than moels wth fxe parameters, the theoretcal portfolo of Bovespa Inex an a portfolo navely versfe, for the pero 008-010. However, no evence was foun that such superorty s ue to the potental of nformaton contane n hstorcal ata an n the techncal ncators, because of the fact that the systematc resual returns obtane by the propose moels are not statstcally sgnfcant. Keywors: Markowtz Moel. Stock Techncal Analyss. Actve Portfolo Management. Quanttatve Funs.

LISTA DE FIGURAS FIGURA.1 - ABORDAGEM MODERNA DAS MODALIDADES DE GESTÃO DE CARTEIRAS... 18 FIGURA. - AS FASES DO MERCADO SEGUNDO A TEORIA DE DOW... 45 FIGURA.3 - ESTRUTURA BÁSICA DE UM FUNDO QUANTITATIVO... 5 FIGURA 3.1 - FLUXOGRAMA DAS OPERAÇÕES EXECUTADAS PELO ALGORITMO DE GESTÃO DE CARTEIRAS... 63

LISTA DE GRÁFICOS GRÁFICO.1 - EXEMPLO DE SOLUÇÃO PARA O MODELO DE MINIMIZAÇÃO DE RISCO COM DOIS ATIVOS... 9 GRÁFICO. - FRONTEIRA EFICIENTE PARA MERCADO COM UM ATIVO LIVRE DE RISCO... 35 GRÁFICO.3 - INTERSECÇÃO ENTRE FORNTEIRAS EFICIENTES DE MERCADOS COM E SEM UM ATIVO LIVRE DE RISCO... 36 GRÁFICO.4 - O MACD COMO CRITÉRIO DE DECISÃO... 48 GRÁFICO.5 - O IFR COMO CRITÉRIO DE DECISÃO... 49 GRÁFICO.6 - EXEMPLO DE EVOLUÇÃO PATRIMONIAL DE PORTFOLIOS... 53 GRÁGICO 4.1 - EVOLUÇÃO PATRIMONIAL DAS CARTEIRAS DO IBOVESPA, DE DIVERSIFICAÇÃO INGÊNUA, DO MACD E DO IFR... 68 GRÁFICO 4. - EVOLUÇÃO PATRIMONIAL DAS CARTEIRAS DE PAR FIXO, DO MACD E DO IFR... 70

LISTA DE TABELAS TABELA 3.1 - AÇÕES COMPONENTES DO PORTFÓLIO SIMULADO... 59 TABELA 4.1 - RETORNOS E CUSTOS DE TRANSAÇÃO DAS CARTEIRAS SIMULADAS NO PERÍODO 008-010... 70 TABELA 4. - ÍNDICES SHARPE EX POST ANUAIS OBTIDOS PELAS CARTEIRAS SIMULADAS... 7 TABELA 4.3 - ÍNDICES SHARPE EX POST OBTIDOS PELAS CARTEIRAS SIMULADAS NO PERÍODO 008-010... 73 TABELA 4.4 - ALFAS DE JENSEN E ÍNDICES BETA OBTIDOS PELAS CARTEIRAS SIMULADAS NO PERÍODO 008-010... 74 TABELA 4.5 - RAZÕES DE INFORMAÇÃO OBTIDAS PELAS CARTEIRAS SIMULADAS NO PERÍODO 008-010... 74 TABELA 4.6 - VALORES DAS DIFERENÇAS ENTRE AS RAZÕES MÉDIA/DESVIO-PADRÃO DAS CARTEIRAS SIMULADAS E DA CARTEIRA DO IBOVESPA... 74 TABELA 4.7 - VALORES P DOS TESTES DE LEVENE PARA AS COMPARAÇOES ENTRE AS VARIÂNCIAS DOS RETORNOS DIÁRIOS DAS CARTEIRAS SIMULADAS.. 76

LISTA DE SIGLAS Bovespa - BR - CAPM - DI - HFT - HME - Ibovespa - IC - IFR - IOF - IR - LFT - IS - MACD - PAR - Bolsa e Valores e São Paulo Largura (Breath) Captal Asset Prcng Moel Dversfcação Ingênua Hgh Frequency Trang Hpótese os Mercaos Efcentes Ínce Bovespa Coefcente e Informação (Informaton Coeffcent) Ínce e Força Relatva Imposto sobre Operações Fnanceras Razão e Informação (Informaton Rato) Low Frequency Trang Ínce Sharpe Movng Average Convergence-Dvergence Parâmetro e Aversão ao Rsco

SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO... 13 1.1 OBJETIVOS... 15 1. JUSTIFICATIVA... 15 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO... 17 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA... 18.1 GESTÃO ATIVA DE CARTEIRAS... 18. MODELO DE MARKOWITZ E O CAPITAL ASSET PRICING MODEL. 1..1 Moelo e Otmzação Méa-Varânca e Frontera Efcente..... Moelo Méa-Varânca com Um Atvo Lvre e Rsco... 3..3 Captal Asset Prcng Moel (CAPM)... 37..4 Hpótese os Mercaos Efcentes... 43.3 ANÁLISE TÉCNICA DE AÇÕES... 44.3.1 Movng Average Convergence-Dvergence... 47.3. Ínce e Força Relatva... 48.4 NEGOCIAÇÃO ALGORÍTMICA E FUNDOS QUANTITATIVOS... 50.5 ANÁLISE DE PERFORMANCE... 5.5.1 Retorno Líquo Acumulao... 53.5. Ínce Sharpe Ex Post... 54.5.3 Razão e Informação... 54.5.4 Ínce Beta e Alfa e Jensen... 55.5.5 Testes e Levene e e Kruskal-Walls... 56 3 MATERIAIS E MÉTODOS... 59 3.1 MATERIAIS... 59 3. MÉTODOS... 6 4 RESULTADOS... 68 5 CONCLUSÃO... 77 REFERÊNCIAS... 79 ANEXO A CÓDIGO FONTE DO PROGRAMA EM LINGUAGEM FORTRAN 90 UTILIZADO NA SIMULAÇÃO... 83

13 1 INTRODUÇÃO A gestão atva e carteras tem por objetvo a composção e portfolos que superem o mercao na relação entre rsco e retorno, baseano-se em preções e/ou estmatvas formulaas através e aos hstórcos (ELTON et al., 004). Esta moalae contrapõe-se à gestão passva, cujo objetvo é alcançar resultao semelhante ao mercao, geralmente aplcano-se recursos em atvos atrelaos a algum ncaor fnancero. A vablae a gestão atva e carteras é questonaa pelos pesqusaores que efenem a Hpótese os Mercaos Efcentes (HME) (GRINOLD; KAHN, 1999). De acoro com tal hpótese, sera mpossível bater o mercao através a seleção e atvos baseaa em prevsões os movmentos os preços, ao que os retornos resuas consttuem uma varável aleatóra com esperança nula, ou seja, um ruío branco. No entanto, a acetação a HME não é um consenso. Város estuos puseram tal hpótese à prova; alguns obtveram resultaos favoráves, enquanto outros encontraram evêncas e sua falblae (BRUNI; FAMÁ, 1998). Supono que o mercao não seja efcente, ou, ao menos, amtno nefcêncas em etermnaos ntervalos e tempo, torna-se possível compor um portfólo e ações com relação ótma entre rsco e retorno seguno o comportamento hstórco as cotações. Para etermnar as frações o captal sponível que evem ser estnaas a caa componente, utlza-se a base e aos para a geração e estmatvas e esperança e varânca os retornos, que são nseras no moelo proposto por Markowtz (195, p. 84-87). A solução e tal moelo poe se ar, além a sére hstórca e retornos, por meo e um parâmetro que quantfque a aversão ao rsco o nvestor. Esse parâmetro poe ser etermnao pelo retorno mínmo esejao, pela máxma varânca suportaa ou por um multplcaor que penalze a varablae (KENDRICK; MERCADO; AMMAN, 006), conheco como Parâmetro e Aversão ao Rsco (PAR). O presente trabalho tem foco na etermnação este últmo.

14 Como caa nvestor tem um perfl e rsco, a solução o moelo fca sujeta à quantfcação o nível e exposção a varablaes, o que etermna o valor o PAR. Para caa valor, há um portfolo ótmo stnto; o conjunto esses portfolos caracterza a chamaa frontera efcente (LUENBERGER, 1998). A etermnação o PAR e forma ntutva ou baseaa em crtéros mproceentes poe fazer com que a estmatva não represente aequaamente a preferênca o nvestor. Além sso, a traução em números e algo que não é fscamente mensurável é, naturalmente, bastante suscetível a mprecsão. Uma alternatva, portanto, é fazer uso e ncaores que pretensamente trazem nformações sobre o momento o mercao e a tenênca as cotações. Tas nformações poem ser encontraas em ncaores e Análse Técnca, vertente que se basea em séres hstórcas e aos para a etermnação e pontos e entraa e saía em negocações envolveno ações (traes), e acoro com a nâmca o mercao (SAFFI, 003). A partr essa perspectva, este trabalho apresenta a proposta a etermnação o valor o PAR em função e ncaores e Análse Técnca, aplcano-se os moelos propostos à gestão atva e portfólos compostos por ações e alta lquez negocaas na Bolsa e Valores e São Paulo (Bovespa). Os moelos são testaos emprcamente através a smulação a gestão os portfólos, o que consste na execução e um algortmo e otmzação e portfólo e e negocações envolveno ações baseao no Moelo e Markowtz, cujo PAR é calculao em função o Movng Average Convergence-Dvergence (MACD) e o Ínce e Força Relatva (IFR). A análse e performance consste na comparação os Ínces Sharpe ex post, os retornos líquos e os coefcentes Beta e Alfa estmaos o Moelo e Precfcação e Atvos e Captal (CAPM) (GRINOLD; KAHN, 1999), além as razões e nformação e a aplcação os testes e estatístcos e Levene e e Kruskal-Walls, para a verfcação a hablae os moelos propostos em gerar retornos sstemátcos superores aos o benchmark. Os resultaos mostram que, no períoo analsao, houve razoável superorae os moelos propostos sobre os moelos e PAR fxo, sobre a

15 cartera o Ibovespa e sobre a cartera e versfcação ngênua (gualtára), ana que não seja possível escartar a hpótese e que tal superorae seja eva ao acaso. 1.1 OBJETIVOS O objetvo geral este trabalho é avalar o efeto a nserção e nformações a respeto a tenênca e o momento o mercao no Moelo e Markowtz sobre a gestão atva e um portfólo e ações e alta lquez negocaas na Bovespa, por meo e ncaores e Análse Técnca, fazeno uso o refero moelo como metoologa para a etermnação a composção o portfólo. Para tanto, apresentam-se os seguntes objetvos específcos: a) Estabelecer relações entre os ncaores técncos e o PAR, e forma a aequar a nformação conta nesses ncaores à formulação e à regulagem o moelo; b) Analsar o comportamento e rsco o moelo proposto frente às versas confgurações o mercao; c) Comparar o esempenho ex post o moelo proposto com o o mercao, o a cartera e versfcação ngênua e com carteras e PAR fxo; ) Avalar a vablae a gestão atva com base no períoo analsao; e) Verfcar evêncas que corroborem ou refutem a Hpótese os Mercaos Efcentes, em sua forma fraca. 1. JUSTIFICATIVA Para a formulação o Moelo e Markowtz é necessáro spor e uma base e aos hstórcos a respeto os retornos os atvos seleconaos. Esses aos são utlzaos na estmatva o vetor e méas e a matrz e

16 covarânca os retornos, que nformam ao moelo qual a expectatva e retorno e qual a varablae a que esses retornos estão sujetos, respectvamente. No entanto, tas nformações servem tão somente para estmar os parâmetros e retorno e rsco, esconserano os mecansmos e formação a sére e preços. O moelo não tem o objetvo e enxergar a formação, o fm ou a reversão e possíves tenêncas. Seno assm, agregar a nformação conta em ncaores técncos é uma forma e amplar o moelo e aprmorar sua capacae e compor portfólos lucratvos, além e reuzr substancalmente o grau e subjetvae na escolha o nível e exposção ao rsco. A lteratura sobre otmzação e portfólos é relatvamente abunante, bem como sobre a Análse Técnca e ações. Porém, pesqusas envolveno a junção ou a concatenação essas metoologas é bastante escassa. Um exemplo é o trabalho realzao por Marasovc, Poklepovc e Aljnovc (011, p. 1-13), que conuzram uma experênca voltaa para o mercao croata e ações e concluíram que ncaores técncos e funamentalstas poem suplementar o moelo e otmzação e forma a torná-lo mas efcaz. No que z respeto a pesqusas sobre gestão atva e carteras, as conclusões a respeto e sua vablae prátca vergem. Saff (003, p. 953-974) e Hea e Oa (1998, p. 1-11) obtveram resultaos negatvos, enquanto Santos e Tessar (01, p. 369-394) apresentaram evêncas a efcáca essa moalae e gestão. Em meo a esta polêmca, o presente trabalho se propõe a contrbur com novos resultaos sobre o tema. Outro assunto controverso e que é bastante íntmo à gestão atva e carteras é a teora a efcênca os mercaos, em partcular o mercao e ações braslero. Os resultaos apresentaos neste trabalho também contrbuem para a scussão sobre esse tema. A smulação as negocações em que consste o teste empírco as estratégas propostas neste trabalho basea-se estrtamente num métoo quanttatvo e composção e portfólo. Ou seja, trata-se a smulação e um Quant Fun, ou Funo Quanttatvo, que é um portfólo e ações gerencao através a mplementação e um algortmo almentao com aos sobre o mercao e que retorna a composção ótma o portfólo e acoro com algum crtéro estabeleco. A negocação algorítmca (Algorthmc Trang, ou

17 smplesmente Algo Trang) tem conqustao espaço à mea que os computaores e os meos e transmssão e aos evoluem. É estmao que metae as negocações no mercao norte-amercano sejam orunas e algortmos (BRABAZON; O NEILL; DEMPSEY, 008). Portanto, aa a relevânca prátca o assunto, é convenente que os resultaos ora apresentaos somem-se ao volume e experêncas sobre o tema, ana que e moo colateral. 1.3 ESTRUTURA DO TRABALHO O presente trabalho está organzao e forma a satsfazer os objetvos propostos e está estruturao em cnco capítulos. Prmeramente, esta ntroução apresenta o tema e estuo, os objetvos e as justfcatvas para sua elaboração. No capítulo é apresentaa a funamentação teórca relaconaa ao tema, baseaa em referencas atualzaos e relevantes ao estuo. Nesse capítulo são apresentaos os prncípos báscos a gestão atva e carteras, o moelo e otmzação e carteras proposto por Markowtz, os funamentos o Captal Asset Prcng Moel (CAPM), a Escola Técnca e análse e ações e os ncaores técncos utlzaos nas smulações, os funamentos a negocação algorítmca (Algorthmc Trang) no gerencamento e negocações em funos quanttatvos e alguns os métoos e análse e esempenho a gestão atva e carteras composta por atvos fnanceros. O capítulo 3 escreve com etalhes os procementos metoológcos e os aos utlzaos na pesqusa empírca. O capítulo 4 traz os resultaos as smulações e apresenta a análse os testes e esempenho a gestão baseaa nos moelos propostos. Por fm, segue a conclusão e sugestões para trabalhos futuros, além o elenco e referêncas utlzaas na elaboração este trabalho.

18 FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Este capítulo apresenta a base teórca que sustenta a pesqusa empírca e os resultaos obtos..1 GESTÃO ATIVA DE CARTEIRAS Até o fm o século XX, a ferença entre o gestor atvo e o passvo era que este aplcava em atvos atrelaos a ínces e referênca o mercao como o Ibovespa, por exemplo enquanto que aquele buscava alguma alternatva a essa estratéga. Com a evolução as técncas e gestão, essa aboragem tornou-se nsufcente para ferencar tas moalaes. Elton et al. (004, p. 581-595) propõe que, recentemente, a metoologa e ecsão e nvestmentos tornou-se o ferencal: classfca-se como atvo o gestor que basea suas ecsões em prevsões. A (FIGURA.1) lustra as estruturas operaconas e caa moalae e gestão. FIGURA.1 ABORDAGEM MODERNA DAS MODALIDADES DE GESTÃO DE CARTEIRAS FONTE: Elton et al. (004)

19 O exemplo mas smples e gestão passva é o funo nexao, que é consttuío e moo a replcar a cartera teórca e algum ínce o mercao. Assm, os retornos obtos e o rsco assumo são exatamente guas aos o ínce. Ao se replcar uma cartera teórca, surgem alguns problemas como o custo e transação há ínces cuja cartera teórca é composta por mas e 100 atvos, além a constante necessae e rebalanceamento por conta e pagamentos e venos. Para lar com esses problemas, o gestor poe optar por formar uma cartera com um número máxmo e ações com maor correlação hstórca com o ínce, reuzno assm os custos operaconas sem exar e acompanhar os movmentos o mercao. Seguno Elton et al. (004, p. 581-595), o esempenho hstórco os funos nexaos tem superao o os funos e gestão atva. Entre 1999 e 004, o ínce S&P 500, que representa as ações as 500 prncpas empresas nustras e captal aberto nos Estaos Unos, superou cerca e 75% os gestores atvos amercanos. A gestão atva parte e prevsões para assumr posções ferentes as carteras atrelaas a ínces, buscano realzar potencas ganhos superores ao mercao. Seguno Elton et al. (004, p. 581-595), há bascamente três categoras e gestores atvos: o que procura o tmng o mercao, o que selecona setores e o que selecona títulos. Este últmo, fazeno uso e métoos e otmzação e moelos e precfcação, constró portfólos apostano que a cartera que serve como benchmark, ou seja, aquela atrelaa ao ínce o mercao, não tem proporções ótmas e aplcação em caa título. A ampla maora os gestores atvos são enquaraos nessa categora. Assm, o gestor atvo faz o rebalanceamento a cartera à mea que suas prevsões e estmações e valor se alteram. A gestão atva caracterza-se naturalmente por ser mas arrojaa, no ntuto e obter excessos e retorno. Por sso, a exposção ao rsco precsa ser compensaa para que a gestão atva seja vável. Além sso, o custo e rebalanceamento a cartera é proporconal à sua frequênca; atualzações muto frequentes culmnam nvaravelmente na corrosão os lucros por corretagens e mpostos. Em geral, quanto menor for o períoo o trae, maor a carga trbutára que sobre ele nce.

0 O nvestor que busca a gestão atva espera alcançar excessos e retorno apostano na nefcênca o mercao. No entanto, mesmo que se suponha vála essa nefcênca, há ana poucas evêncas e que tas excessos sejam sgnfcatvos. Em termos prátcos, vencer o mercao equvale a obter retornos resuas postvos com baxo rsco resual. Por rsco e retorno resuas entenem-se aqueles não correlaconaos com o mercao, que são nerentes a caa portfólo em partcular. Portanto, para que seja vável a gestão atva, a relação entre a magntue o retorno esperao e sua varablae eve ser superor à o mercao. O ncaor que possblta a avalação a vablae a gestão atva em etermnao mercao é a Informaton Rato ou Razão e Informação (IR). Esse ncaor poe ser calculao como a razão entre a esperança e o esvoparão os resíuos (GRINOLD; KAHN, 1999). p IR (.1) p em que μ α e p α p resuas, respectvamente. σ são o valor esperao e o esvo-parão os retornos Quanto maor o valor e IR, maor o grau e vablae a gestão atva. Seguno Grnol e Kahn (1999, p. 113-117), 5% os gestores alcançam IR maor ou gual a 0,5, valor conserao satsfatóro, enquanto apenas 10% classfcam-se como excepconas, obteno IR maor ou gual a 1. Há os aspectos que efnem o nível o IR: a hablae e prevsão e excessos e retorno e a quantae e oportunaes e que se spõe para a aplcação essa hablae. A hablae e prevsão é mensuraa pelo Coefcente e Informação (IC), que é calculao como a correlação entre os valores prevstos e os valores reas os retornos resuas, conforme a expressão (.). IC (.) ˆ p, p

1 Por outro lao, a quantae e oportunaes é mea em termos o número e negocações baseaas nas prevsões realzaas; essa mea é enomnaa largura (BR). A largura é mea com base anual. Dessa forma, ao comparar os gestores com mesma hablae e prevsão, classfcar-se-á como melhor o que mas prouzr negocações em termos quanttatvos. Essa aboragem é sntetzaa pela Le Funamental a Gestão Atva e Carteras (GRINOLD; KAHN, 1999), caracterzaa pela expressão (.3). IR IC BR (.3) Desse moo, se a correlação entre as prevsões e a realae for aproxmaamente nula, têm-se que não há nformação relevante na gestão o portfólo, o que snalza que a gestão passva sera uma melhor opção. Naturalmente, a gestão atva exge montoramento e atualzação constantes e consstentes. No entanto, a prosperae e qualquer nvestmento não epene apenas a estratéga aplcaa, mas também e aspectos materas nerentes aos atvos envolvos. Por representarem partes o captal socal e uma empresa, o retorno sobre o nvestmento em ações sofre relevante nfluênca os resultaos operaconas, as perspectvas futuras e, sobretuo, o estlo e gestão e sua retora.. MODELO DE MARKOWITZ E O CAPITAL ASSET PRICING MODEL Prmoralmente, o problema e quem nveste em atvos fnanceros é escobrr quanto eve nvestr em caa atvo que tem à sposção e moo a maxmzar o retorno sobre o nvestmento. Esta seção eca-se a apresentar a formulação o moelo e otmzação méa-varânca proposto por Markowtz (195, p. 84-87) e o Captal Asset Prcng Moel (CAPM), que é um consagrao moelo e precfcação e atvos fnanceros (BRUNI; FAMÁ, 1998).

..1 Moelo e Otmzação Méa-Varânca e Frontera Efcente Seja P(t) o preço e etermnao atvo no nstante t. O retorno aleatóro bruto R(t) e o retorno aleatóro total r(t) sobre o nvestmento aplcao a esse atvo são aos pelas expressões (.4) e (.5), respectvamente. R t r t 1 Pt P t (.4) 1 Pt Pt P t R t 1 (.5) Tas retornos são tos aleatóros porque assumem que o preço P(t + 1) é uma varável aleatóra. Seja a quantae e atvos sponíves para nvestmento e W o captal que se eseja aplcar. Naturalmente, assume-se W > 0. Seja ana W a quantae e captal, em unaes monetáras, alocaa ao atvo, = 1,...,. Se W > 0, há uma posção compraa; por outro lao, se W é negatvo, há uma posção vena. Isso sgnfca que, para valores postvos e W, compram-se títulos o atvo, enquanto que para valores negatvos, alugam-se os títulos e venem-se, com o compromsso e recomprá-los e evolvê-los ao térmno o contrato o aluguel (MINOZZO, 010). Funamentalmente, o nvestor assume uma posção compraa quano acreta na valorzação o atvo e assume uma posção vena quano crê na sua esvalorzação. Com base nessas premssas, o retorno total sobre o nvestmento versfcao em atvos, com a quanta W estnaa aos atvos = 1,...,, é aa pela expressão (.6). R t.w w r t.w 1 1 1 r w t r t. (.6) W 1 W w 1 w

3 torna-se: Seno x a proporção o captal W aplcaa ao atvo, a expressão (.6) t t. r r x (.7) w 1 Portanto, o retorno total sobre o nvestmento em atvos é gual ao somatóro os retornos e caa atvo poneraos pela proporção o captal a caa um eles aplcao. Um portfólo com atvos é matematcamente representao por um vetor. Defne-se o vetor portfólo x = (x 1,...,x ) t tal que suas componentes x, com = 1,...,, corresponem às proporções o captal W alocao a caa atvo. Assm, a soma as coorenaas o vetor portfolo eve ser gual a 1, o que representa a totalae o captal nvesto. Doravante, r(t) será enotao smplesmente por r. A formulação o moelo e otmzação leva em conseração um únco períoo, ou seja, o portfólo é avalao no tempo presente t com o objetvo e maxmzar a esperança o retorno total aleatóro E[r], penalzaa por uma mea e rsco, representaa pela varablae em torno a méa, ou seja, pela varânca V[r]. Sejam = E[r ], = V[r ], j a covarânca entre os retornos os atvos e j e j a correlação entre os retornos os atvos e j; assume-se que toos esses parâmetros sejam constantes através o tempo. Então, o retorno esperao e a varânca o retorno sobre o portfólo x são aos pelas expressões (.8) e (.9), respectvamente. x r x Er.x E. x (.8) 1 1 x V r x Vr.x j.x. x j (.9) 1 1 j1 Por prncípo, assume-se que too nvestor eseja o máxmo retorno, sujeto ao mínmo rsco possível; a estratéga que proporcona a reução a exposção ao rsco é a versfcação.

4 Sejam atvos, toos com retorno esperao e varânca e caa par e atvos esse portfólo apresenta correlação nula, ou seja, j = 0 para too ferente e j. Sejam os portfólos x e y tas que x = (1,0,...,0) t, ou seja, com too o captal aplcao ao atvo 1, e y = (1/). (1,1,...,1) t, com toos os atvos recebeno uma parcela gual o captal. Os retornos totas e caa portfólo são aos pelas expressões (.10) e (.11). x E r. x 1 (.10) 1 1 E r.y (.11) 1 1 y. Portanto, os retornos esperaos sobre ambos são êntcos. No entanto, calculano as varâncas os portfólos x e y, respectvamente, obtêm-se: x V 1 r. x (.1) y V 1 r.y 1 1. (.13) o que mostra que versfcar o nvestmento reuz substancalmente o rsco assocao. O moelo e otmzação méa-varânca generalza esta ea para atvos com méas e varâncas ferentes e correlações não necessaramente nulas. Na formulação o moelo e otmzação e portfólos, Markowtz (195, p. 84-87) assume que o retorno e um portfólo, equvalente à esperança o retorno e o rsco, representao pelo esvo-parão os retornos são os parâmetros e nteresse o nvestor. Para caa nível e volatlae, há um ferente nível e retorno esperao, e moo que, quanto maor o rsco assumo, maor a expectatva e retorno. Portanto, se os portfólos x e y apresentam o mesmo esvo-parão, porém com x > y, o portfólo x é prefero a y. Em outras palavras, o portfólo x paga ao nvestor um prêmo mas alto pelo mesmo nível e exposção ao rsco.

5 No entanto, ao, exste um lmte superor para x, vsto que as esperanças e caa atvo são constantes. Assm, o melhor portfólo para esse nível e rsco é aquele que maxmza a esperança os retornos, seno nfactível alcançar retornos maores e nesejao esperar retornos menores que esse máxmo. Dsso ecorre a efnção a e frontera efcente (LUENBERGER, 1998). A frontera efcente é efna como o conjunto os portfólos com retorno máxmo para caa nível e exposção ao rsco. A solução o moelo e otmzação quarátca (.14), aos x e x, fornece o portfólo ótmo x * (MARKOWITZ, 195). mnz 1 1.x x 1 1 r j1.x.x j j (.14) Nesse caso, r é o mínmo retorno esejao, escolho pelo nvestor. Esse moelo partcularmente consste na mnmzação o rsco para certo nível e retorno; porém, há formulações alternatvas para este problema, como a apresentaa por Kenrck, Mercao e Amman (006, p. 11), que consste na maxmzação o retorno esperao penalzao por um múltplo a varânca. Tal moelo é convenente por ser e resolução mas smples, forneceno resultao equvalente ao anteror. maxz 1 x 1 1.x. 1 j1 j.x.x j (.15) Nessa formulação, é o Parâmetro e Aversão ao Rsco (PAR). Em notação matrcal, o moelo passa a ser escrto a segunte forma:

6 maxz t 1.x 1 t x.x.x..x t (.16) one x é o vetor e retornos esperaos, é a matrz e covarâncas os retornos e 1 é o vetor untáro e mensão, ou seja, com toas as componentes guas a 1. A caa valor e,> 0, assoca-se um nível e volatlae e, portanto, um portfólo que maxmza o retorno esperao para esse nível. A vantagem a formulação (.16) é que esta é e smples resolução. Utlzano a função lagrangeana, é possível encontrar a expressão analítca para o portfólo ótmo: L t t t x,.x.x..x 1.x 1; L L x, x x...x.1 (.17) 1. 1 x, 0 x...1 ; x Substtuno o valor e x encontrao acma na restrção o moelo (.16): 1 1... t t 1 1 x 1.x 1 1... x.1 1 t 1. (.18) 1..1 t E, fnalmente, mplementano o valor e encontrao em (.18) na expressão para x em (.17), conclu-se que o portfolo ótmo é ao por: 1 x.. 1. x t 1 1.. t 1. x 1..1.1 (.19) Para ferentes valores e, formam-se os ferentes portfólos que compõem a frontera efcente. De acoro com a efnção e frontera efcente, esta é formaa por portfólos e máxmo retorno, aos níves stntos e rsco. De moo

7 equvalente, aos valores específcos e retorno, os portfólos que compõem a frontera efcente são os que apresentam o mínmo nível e rsco. Tas portfolos são tos efcentes. Para esclarecer a aplcablae geral o moelo e otmzação méavarânca, ncalmente supõe-se que haja apenas os atvos sponíves para nvestmento e, em segua, estene-se o cálculo para uma quantae qualquer e atvos. Sejam os atvos fnanceros tas que o atvo 1 tem retorno esperao e varânca 1 e 1, respectvamente, e o atvo tem retorno esperao e varânca e, respectvamente. Seja a correlação entre os retornos os atvos 1 e gual a. Dessa forma, o portfólo formao pela versfcação entre os os atvos é ao por (x, 1 x) t, em que x é a proporção o captal aplcao ao atvo 1. Assm, o retorno esperao e a varânca relatva ao portfolo são aos pelas expressões (.0) e (.1), respectvamente. 1. x 1.x 1 x (.0) 1 1 1 1 x....x. 1 x. x.x.x (.1) j j 1 O moelo méa-varânca para o problema a composção o portfólo e mínmo rsco é ao pela expressão (.): mnz.x 1 1.x 1 x r 1 x....x. 1 x 1 (.) Especfcano um retorno alvo r, procura-se um portfólo que seja capaz e alcançá-lo com um mínmo e rsco corresponente. A formulação o problema com uma restrção e gualae (em vez e esgualae, como em (.14)) tem o objetvo e smplfcar a solução o moelo. Assm, a restrção em (.) tem-se que:

8 r x 1 1 1 r 1 x (.3) e aplcano (.3) à expressão a varânca em (.1), para o nível e retorno especfcao, tem-se: r r 1 a.r r. 1 b.r c 1 r. 1... 1 r. 1 1 r. 1 (.4) A expressão acma fornece a relação entre a varânca o portfólo e o retorno alvo r. As constantes a, b e c epenem e 1,, 1, e. Assm, fxao r, a mínma varânca corresponente é aa pela expressão (.4). Nota-se que a varânca é uma função quarátca e r, o que mplca que o gráfco a solução seja uma parábola, como mostra o (GRÁFICO.1). O fato e que a volatlae seja uma função não njetora o retorno esperao mplca que não exste uma função nversa, ou seja, o retorno esperao não poe ser escrto como uma função a volatlae. No (GRÁFICO.1), apenas a parte superor (em azul) correspone ao conjunto e portfólos efcentes. Nota-se que os valores nferores ao exo e smetra a parábola representam portfolos cujos retornos não são máxmos para o nível e rsco corresponente; estes, portanto, não são portfólos efcentes (em vermelho). A parte nferor a parábola correspone à solução o moelo (.), formulao com a restrção e gualae; caso a restrção seja e esgualae, a solução será composta apenas pelos portfolos realmente efcentes. Generalzano o problema e otmzação e carteras para um portfólo composto por atvos e rsco, o moelo quarátco passa a ser smlar a (.14); porém, para efeto e extensão o resultao em (.4), consera-se aqu a restrção que se refere ao retorno mínmo como e gualae em vez e esgualae.

9 Efcente Não efcente GRÁFICO.1 EXEMPLO DE SOLUÇÃO PARA O MODELO DE MINIMIZAÇÃO DE RISCO COM DOIS ATIVOS FONTE: Luenberger (1998) Utlza-se a função Lagrangeana com u e v como multplcaores: L x,u,v j.x.x j v..x r u. x 1 (.5) 1 j1 1 1 e solucona-se o problema rrestrto: L x 0. j1.x j j v. u 0 (.6) para caa = 1,...,. Além as equações a expressão acma, evem ser respetaas as restrções mpostas no moelo. Assm, a solução para o problema e otmzação correspone à o sstema lnear representao pela expressão matrcal (.7).

30... 1 1 11 1 1... 1 1... 1 1 0 0 1 1 x1 0 1 x 0. 1 x 0 0 v r 0 u 1 (.7) A matrz os coefcentes referente ao sstema anteror é quaraa e orem + ; se exstr a nversa essa matrz, a solução será únca e, portanto, haverá um únco portfolo factível e ótmo para caa nível r ao. É possível gerar a frontera efcente através a versfcação entre apenas os portfolos efcentes. Toos os portfólos efcentes poem ser construíos através a versfcação entre quasquer os portfólos efcentes com ferentes retornos esperaos. Sejam r 1 e r retornos esperaos aos, com r 1 ferente e r ; sejam ana x (1) = (x (1) 1,...,x (1) ) t e x () = (x () 1,...,x () ) t portfólos ótmos para r 1 e r, respectvamente. Sejam r um retorno esperao qualquer, =(r r 1 )/(r r 1 ) e o vetor y = (1 ).x (1) +.x (), seno este últmo o suposto portfolo ótmo para o retorno r; Assm, eve-se verfcar se y é e fato um portfólo, se é factível para too r e se é ótmo ao. 1 y (1) () 1. x. x 1 1 1 1 (.8) Portanto, por efnção, y é um portfólo. Se 1,..., são as esperanças os retornos para os atvos x 1,...,x, então: 1 1 1..x..x 1.r 1.r r. y 1 1 (.9) e, logo, o portfólo y é factível para qualquer retorno r. Desse moo, conserano v = (1 - ).v 1 +.v e u = (1 - ).u 1 +.u, como os pares (v 1,u 1 ) e (v,u ) os multplcaores e Lagrange que fazem parte a solução o sstema

31 (.7) para os retornos r 1 e r, respectvamente, tem-se a resolução algébrca expressa em (.30). L y 1 1.x j.x j 1.v 1.v 1 1 1.. j.x j v1. u 1.. j.x j j1 0... j j1.y j1 1.0.0 j j v. u j1 v..u 1 u.u (.30) Esse resultao ecorre o fato e que x (1) e x () são portfólo ótmos; fca provao, portanto, que y reúne as conções e otmalae para o retorno r. Assm, conclu-se que, aos os portfólos efcentes x (1) e x (), é possível construr um portfolo y com qualquer valor e retorno a ele assocao. O portfolo ótmo para o retorno r é tal que: y * r r r.x r 1 1 1 1 x x r. r r1 r.g h r r1.x r r 1 r.x r r1.x r 1 (.31) e, portanto: r r. j.g.g j.r. j.g.h j j.h.h j (.3) 1 j1 1 j1 1 j1 Comparano a expressão acma com a obta em (.4), nota-se que a frontera efcente para um mercao com atvos tem a mesma estrutura que a e um mercao com apenas os atvos. Portanto, basta que haja os portfólos efcentes para que qualquer nvestor possa buscar o nível e retorno que esejar, versfcano seu

3 captal entre esses portfólos. No entanto, a versae e metoologas e cálculo e estmatvas e e perfs e nvestores, além a nefcênca observaa na prátca, acarreta a exstênca e mlhares e portfólos stntos, o que torna tal resultao pouco verossíml... Moelo Méa-Varânca com Um Atvo Lvre e Rsco Seja r f o retorno pago pelo nvestmento em um atvo lvre e rsco, ou seja, completamente etermnístco; seja ana x 0 a fração o captal a ser alocaa nesse atvo. Ao nserr tal atvo no moelo e otmzação méavarânca, eve-se notar que o nvestmento nele não está sujeto à penalzação por rsco, pos não contrbu com a varablae o retorno o portfólo. O moelo e otmzação o retorno ajustao pelo rsco, nessas conções, tornase conforme a expressão (.33). maxz r.x x 0 1 x f 0 1 1.x. 1 j1 j.x.x j (.33) Assume-se que r é maor ou gual a r f pos, caso o retorno sobre um atvo lvre e rsco for maor que sobre um atvo e rsco, a solução o problema torna-se trval. Da restrção no moelo (.33) tem-se que: x 1 (.34) 0 x 1 e, portanto, o problema e otmzação torna-se rrestrto: rf.x. j.x. x j max z rf (.35) 1 1 1

33 A ferença entre o retorno esperao para o atvo e o retorno o atvo lvre e rsco é o enomnao excesso e retorno o atvo e é ao por ˆ r. f A solução o moelo (.33) é obta através a ervação a função objetvo: ˆ.. j1.x j j 0 (.36) com = 1,...,. Se é a matrz e covarâncas os atvos e rsco, então: 1 x.. 1.ˆ (.37) Nota-se que x epene e ; portanto o conjunto e portfolos efcentes em função e com não-negatvo, é ao pelos vetores a forma: 1 x (.38) x 1 A prmera componente esse vetor é equvalente à parte lvre e rsco o portfólo, enquanto que a seguna expressa a parte e rsco. A partr essa perspectva, é possível construr um portfólo apenas com atvos e rsco a partr e x(). Isso permte elaborar um moelo e otmzação que versfcará o nvestmento entre um portfólo e rsco e outro sem rsco, o que equvale ao moelo e versfcação entre apenas os atvos, semelhante a (.). De fato, x() em (.38) não é um portfólo. Para que o seja, é precso vr o valor e caa componente pelo somatóro essas componentes. Seja s esse portfólo crao a partr e x(). Então:

34 s 1 1.x x 1.....ˆ 1 1.ˆ.ˆ 1 1 1. 1 1 1. 1.ˆ (.39) A expressão acma mostra que, nepenente o perfl e rsco o nvestor, s é o portfolo ótmo para a parte e rsco o nvestmento. Assumno a efcênca o mercao, esse resultao mplca que caa nvestor aplca x 0 no atvo lvre e rsco e 1 x 0 em s. Assm, o conjunto e portfólos efcentes, para valores reas e x 0, passa a ser ao pelos vetores a forma: x 0 1 x 0. s (.40) Toos os portfólos efcentes num mercao com um atvo lvre e rsco poem ser construíos através a versfcação entre o atvo lvre e rsco e o portfólo s. Isso ecorre o fato já scuto nesta seção e que toos os portfólos efcentes poem ser construíos através a versfcação entre os portfólos stntos quasquer, especfcamente, conserano o atvo lvre e rsco como um portfólo e s como o outro. O retorno esperao e o rsco relatvos a s são aos, respectvamente, por: s 1. s (.41) s 1 j1 j. s. s (.4) j e, assm, o retorno esperao e o rsco relatvos a um portfólo gerao através a versfcação entre s e um atvo lvre e rsco são aos, respectvamente, por: x x0.r f 1 x0. s (.43)

35 x 1 x0. s (.44) O (GRÁFICO.) exbe a representação os portfólos que resultam a versfcação entre o atvo sem rsco e a cartera s. O conjunto esses portfólos é representao pela lnha reta que une os pontos (0,r f ) e ( s, s ). Essa é a frontera efcente para o caso e haver um atvo lvre e rsco. ( s, s ) (0,r f ) GRÁFICO. FRONTEIRA EFICIENTE PARA MERCADO COM UM ATIVO LIVRE DE RISCO FONTE: Luenberger (1998) Como o retorno r f é lvre e rsco, ao assumr uma posção com qualquer nível e exposção a varablaes o nvestor busca retornos maores que r f. Vsto que s é um portfólo efcente composto apenas por atvos e rsco, sabe-se que s pertence à frontera efcente os portfólos e rsco; portanto, s é representao pelo ponto e ntersecção entre as fronteras efcentes para os portfólos lvres e rsco e para as carteras com um atvo lvre e rsco, como mostra o (GRÁFICO.3):

36 ( s, s ) (0,r f ) GRÁFICO.3 INTERSECÇÃO ENTRE AS FRONTEIRAS EFICIENTES DE MERCADOS COM E SEM UM ATIVO LIVRE DE RISCO FONTE: Luenberger (1998) O ângulo é formao pela reta horzontal e retorno gual a r f e a reta que representa os portfólos versfcaos entre o atvo lvre e rsco e o portfólo s. Esse ângulo é máxmo quano a reta é tangente à frontera os portfólos e rsco; esse ponto e tangênca é exatamente o que representa o portfólo s. Portanto, s maxmza, ou, e moo equvalente, maxmza a tangente e, que é aa por: f 1 tg (.45) 1.x j1 r.x.x j j que representa a razão entre o excesso e retorno esperao e a volatlae. Essa razão fo observaa e efna por Sharpe (1994, p. 49-58). O Ínce Sharpe (ou Sharpe Rato) e um portfólo ou e um atvo é efno como a razão entre o excesso e retorno esperao e a volatlae, expressa pelo esvo-parão o retorno. Esta efnção trata o Ínce Sharpe ex ante, ou seja, avalao para o futuro. O Ínce ex post, por sua vez, avala resultaos obtos. As méas e os

37 esvos-parão são anuas e, caso os aos obtos não estejam em base anual é necessáro transformar o Ínce através a segunte expressão (SHARPE, 1994): St t. S anual (.46) em que t é o número e períoos. No caso e aos áros, t vale aproxmaamente 50, número que representa a quantae e as em que há negocações na bolsa e valores urante um ano. Essa transformação erva a epenênca o Ínce Sharpe em relação ao tempo: assumno a méa e a varânca constantes e a correlação seral nula os retornos, têmse que a méa e a varânca no ntervalo com t períoos são equvalentes a t. e t., respectvamente (SHARPE, 1994); aí conclu-se que o Ínce Sharpe anualzao é ao pela expressão.46. Conserano um mercao com um atvo lvre e rsco, o portfolo Sharpe ótmo é efno como aquele cujo Ínce Sharpe é máxmo. Supono a efcênca o mercao, toos os nvestores versfcam seus captas entre o atvo lvre e rsco e o portfólo Sharpe ótmo. Sob essa aboragem, os nvestmentos estão strbuíos entre os város atvos e rsco e forma proporconal, o que mplca que os preços e os retornos os atvos e rsco evem ser bem correlaconaos. Essa éa é o prncípo que leva à formulação o Captal Asset Prcng Moel (CAPM), escrto na seção segunte...3 Captal Asset Prcng Moel (CAPM) Incalmente, é necessáro efnr o portfólo o mercao para posterormente verfcar sua relação com o portfólo Sharpe ótmo. Seja c, = 1,...,, a captalzação o mercao para os atvos que nele são negocaos; efne-se o portfólo o mercao, x (m), e moo que:

38 c m x (.47) j1 c j Sejam m o retorno esperao e m a volatlae o portfólo x (m) ; se toos os nvestores têm acesso à mesma nformação e ao mesmo tempo e, além sso, toos nvestem e forma efcente, ou seja, buscam a otmzação méa-varânca, então toos usarão a mesma estratéga e nvestmento, qual seja, versfcar entre o atvo lvre e rsco e o portfólo Sharpe ótmo s. Portanto, se w (k) é o valor, em unaes monetáras, nvesto pelo k-ésmo nvestor e x (k) 0 é a fração o captal o k-ésmo nvestor aplcaa ao atvo lvre e rsco, então a captalzação o mercao para caa atvo c será aa por: k k 0 k. s c w.1 x (.48) em que o somatóro em k representa toas as posções e toos os nvestores que partcpam o mercao. De fato, o portfólo o mercao x (m) é gual ao portfólo Sharpe ótmo s. De (.47), caa componente o portfólo o mercao é aa por: x m j1 j1 j1 k s. s s k 1 w j j k s. c k w k c j.1 x k w k w.1 x k 0 k 0.1 x k 0.1 x.s.s k 0 j k (.49)

39 Este resultao mostra que caa componente o portfólo o mercao é aa pela fração corresponente o portfólo Sharpe ótmo para caa atvo ; ou seja, x (m) é exatamente gual a s. É possível construr portfólos compostos por um únco atvo e rsco. Seja j esse atvo; assm, x (j) = (0,...,1,...,0) t, com 1 na j-ésma componente e zero nas emas, é um portfólo no qual too o nvestmento é alocao ao atvo j. Dversfcano entre x (j) e x (m), seno a fração o captal alocao ao atvo j, tem-se que o nvestmento total é ao por.x (j) + (1 - x (m). O retorno e a volatlae para esse portfólo são aos, respectvamente, por: j 1. m. (.50) 1..... j m jm 1 (.51) De (.45) e e (.49), sabe-se que o portfólo o mercao maxmza a razão entre o excesso e retorno esperao e a volatlae. Além sso, para a versfcação entre o atvo j e o portfólo o mercao, a razão ótma ocorre para = 0, o que correspone à aplcação e too o captal no portfólo x (m). Assm, tem-se que: j m.... j j 1. m. jm.. 1 1. m 1. jm. jm (.5) e, aplcano = 0 na expressão acma e gualano a (.45): j j m m. jm jm r. m m m m f m rf m m

40 jm j rf m rf. (.53) m Esse resultao sntetza o que é conheco como Captal Asset Prcng Moel (CAPM), ou Moelo e Precfcação e Atvos e Captal. O termo jm / m, que é a razão entre a covarânca entre o atvo j e o mercao e a varânca o mercao é o chamao Ínce Beta o atvo j ( j ). Em ecorrênca essa fórmula, o excesso e retorno em caa atvo em partcular é etermnao pelo excesso e retorno obto pelo mercao. Por outro lao, aplcano a regressão lnear sobre o excesso e retorno obto pelo atvo j em relação ao excesso e retorno obto pelo mercao temse a expressão (.54). r r r r ˆ ˆ. (.54) j f j j m f O coefcente ˆ j é calculao através os estmaores e covarânca entre os excessos e retornos o atvo j e o mercao e a varânca os excessos e retorno o mercao. O valor e ˆ j é o ntercepto a função e regressão e representa os resíuos, que têm correlação nula com os excessos e retorno o mercao. Comparano as expressões (.53) e (.54) conclu-se que, sob a aboragem o CAPM, ˆ j = 0 para qualquer atvo j e que a relação efetva entre os excessos e retornos o atvo j e o mercao resume-se à expressão (.55). r r r r ˆ. (.55) j f j m f Isso ratfca o fato e que, assumno as hpóteses o CAPM, os excessos e retorno para qualquer atvo são etermnaos pelos excessos e retorno o mercao, somaos a um erro aleatóro, o que sgnfca que o únco meo e um nvestor qualquer superar o esempenho o mercao é contano com a sorte.

41 No entanto, analsano a varânca os excessos os retornos o atvo j sob a ótca o CAPM: ˆ (.56) r r j. r r j. j f m f m one o termo j. m é o que representa a volatlae o mercao, enquanto que refere-se ao rsco resual o atvo j em partcular. Dessa forma, versfcano o portfólo através a nclusão e mas atvos além e j, é possível reuzr substancalmente o rsco resual; por outro lao, o rsco assocao à varablae o mercao não é versfcável. Apesar a smplcae e a elegânca a funamentação teórca o CAPM, suas hpóteses escapam à realae. O moelo assume que as nformações sobre o mercao são conhecas por toos os nvestores e que toos têm a mesma projeção a respeto os retornos futuros. O CAPM ana assume que toos os nvestores agem e forma efcente, negocano com base na otmzação a relação entre méa e varânca. Ambas as hpóteses, são bastante questonáves e suas falhas fazem com que o CAPM se stance a realae. No entanto, se a conção e que ˆ j = 0 em (.54) for relaxaa, ou seja, se for amta a possblae e ganhos sstemátcos além aqueles obtos pelo mercao, a stânca entre a proposta o moelo e a realae torna-se bastante reuza, pos é assumo que, caso algum nvestor tenha nformações ou hablaes que lhe eem vantagem sgnfcatva frente aos emas, poerá auferr lucros superores aos obtos pelo mercao. O termo ˆ em (.54) é chamao Alfa e Jensen. Se ˆ j 0, j caracterza-se a subprecfcação o atvo j e, portanto, é uma boa oportunae e compra, vsto que a expectatva e retorno resual é postva para esse atvo; por outro lao, quano ˆ j 0, recomena-se a vena, por motvos análogos. Outra forma e utlzar o Alfa e Jensen como ferramenta e análse é, conserano os resultaos obtos por um gestor e um portfólo qualquer, caso o Alfa seja postvo e sgnfcantemente ferente e zero, há níco e

4 que tal gestor seja etentor e nformações ou hablaes que o tornam ferencao em relação aos emas nvestores. Outra hpótese o CAPM não conz com a realae: mesmo os atvos mas seguros não têm retorno lvre e rsco; além sso, na base ára, os retornos relatvos a esse tpo e atvo são muto próxmos e zero. Por esse motvo, o presente estuo espreza os retornos r f que no mercao braslero poe ser representao pela taxa SELIC ou pela taxa e juros CDI e, quano a avalação e excessos e retorno, os aproxma pelos retornos, sem conserar o o atvo lvre e rsco. Cabe ressaltar que, apesar e tal postura ser aotaa nesta pesqusa, a taxa e retorno r f não é usualmente esprezaa para o cômputo e uma sére e excessos e retornos. Sera formável se para vencer o mercao bastasse nvestr captal alocao a rsco na cartera Sharpe ótma. Porém, a cartera com a melhor relação hstórca entre rsco e retorno não garante sequer um bom resultao. Hea e Oa (1998, p. 9-11) realzaram um teste, smulano a gestão e um funo com base na estratéga e acompanhar a cartera Sharpe ótma, recalculano a posção a caa quatro meses, no períoo e 1994 a 1998. A conclusão a experênca fo e que a cartera Sharpe ótma, para os aos o períoo analsao, apresentou esempenho nferor ao a estratéga e versfcação ngênua e ao Ibovespa, o que reflete nconstânca os parâmetros méa e varânca para períoos futuros. Dessa forma, a otmzação e um portfólo, com base em aos passaos e no ntuto e auferr maores ganhos no futuro, mostrou-se nefcaz. Outro fato é que a cartera Sharpe ótma, conseraa a cartera o mercao, poe ser substtuía pela cartera o Ibovespa, pos nesta estão representaas cerca e 80% as negocações áras na Bolsa e São Paulo. Por sso, utlza-se o esempenho o Ibovespa como benchmark, ou seja, como parâmetro e comparação, aa a sua representatvae o mercao.

43..4 Hpótese os Mercaos Efcentes A ea e efcênca no mercao e captas refere-se à aequablae os preços às expectatvas o mercao (ALDRIGHI; MILANEZ, 005). O fluxo constante e nformações relevantes sobre etermnaa empresa ou etermnao setor proutvo, ou ana sobre a economa naconal e munal, gera nfluêncas nas estmatvas e valor as ações que se manfestam em forma e flutuação os preços. De acoro com a Hpótese os Mercaos Efcentes (HME), essa flutuação se eve ao constante ajuste os preços ao valor que melhor reflete as expectatvas os nvestores face às nformações aas. Há, portanto, um mecansmo que faz com que os preços sejam representações justas os valores (CAMARGOS; BARBOSA, 003). Dao o caráter não-etermnístco os fatores que movem a economa, a HME não aceta a prevsblae e preços nem a formação e parões e comportamento a partr a análse os preços passaos. Há três formas e efcênca nformaconal, que ão suporte a ferentes versões a HME (BRUNI; FAMÁ, 1998). A forma fraca refere-se a aos sobre a sére hstórca e preços e propõe que não é possível obter retornos sstematcamente superores ao mercao através a análse e preços anterores; retornos futuros seram nepenentes e retornos passaos. Por sua vez, a forma semforte é concernente a nformações sponíves ao públco em geral: não é possível vencer o mercao fazeno uso e nformações públcas, pos o mecansmo e ajustes e preços fara com que a nfluênca essas nformações fosse exerca e forma nstantânea. Há ana a forma forte, que z respeto a nformações não-públcas, chamaas nser nformaton. A forma forte propõe que, mesmo e posse esse tpo e nformações, não é possível obter vantagem sobre o mercao; sob esse ponto e vsta, too e qualquer nvestor estara estnao a obter o mesmo retorno que os emas partcpantes o mercao, exceto em casos e esequlíbros ocasonas entre oferta e emana. A aplcablae a HME pressupõe (ALDRIGHI; MILANEZ, 005): concorrênca perfeta; nvestores têm preferêncas estáves, expectatvas raconas e buscam maxmzar suas utlaes; nvestores têm expectatvas

44 homogêneas, ao o acesso gualtáro às nformações relevantes; aleatoreae o surgmento e novas nformações, cujas nfluêncas são nstantaneamente absorvas pelos preços; atvos homogêneos, vsíves e sem custos e transação; capacae ótma e processamento e aos pelos partcpantes o mercao. Os pressupostos elencaos no parágrafo anteror são uma ealzação a realae, motvo pelo qual há vergêncas nos entenmentos sobre a valae a HME. Dversas experêncas têm so conuzas e moo a testar a aplcablae a HME, especalmente a partr a écaa e 1960, quano foram formalzaos os moelos matemátcos relaconaos à Teora e Fnanças (CAMARGOS; BARBOSA, 003). Brun e Famá (1998, p. 79-8) e Camargos e Barbosa (003, p. 50-5) relaconam ezenas e estuos realzaos no ntuto e verfcar a HME aplcaa a versos mercaos e ações, nos quas os resultaos obtos forma bastante versos. Em síntese, a forma mas acetável é a forma fraca; Saff (009, p. 97) chegou a essa mesma conclusão quano testou a valae e ferramentas e Análse Técnca. A pesqusa empírca ora realzaa faz uso a sére hstórca e preços para estmar parâmetros e méa e varânca e retornos e para calcular os valores os ncaores técncos utlzaos. Um resultao sgnfcatvamente superor ao mercao sera um níco contra a HME; por outro lao, um resultao pouco sgnfcatvo vra a corroborar a HME na forma fraca..3 ANÁLISE TÉCNICA DE AÇÕES A chamaa Escola Técnca e análse e ações tem por objeto e estuo a formação e parões e comportamento a sére e preços esses atvos, com base em valores passaos, bascamente, as cotações e os volumes as negocações, no ntuto e prezer os próxmos movmentos os preços. Além a entfcação e parões gráfcos, a Análse Técnca fornece ncaores numércos para a entfcação e tenêncas e para a