MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA. Silvio A. de Araujo Socorro Rangel

MATEMÁTICA APLICADA AO PLANEJAMENTO DA PRODUÇÃO E LOGÍSTICA Silvio A. de Araujo Socorro Rangel saraujo@ibilce.unesp.br, socorro@ibilce.unesp.br Apoio Financeiro:

PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceitos básicos. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais

PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceitos básicos. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O problema integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais AULA

PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceitos básicos. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais AULA

PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceitos básicos. Problemas clássicos de logística 3. O problema de dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento de lotes 6. Outros problemas integrados Considerações Finais AULA 3

Introdução - Neste curso veremos aplicações de Pesquisa Operacional (Operations Research) Definição de Pesquisa Operacional (PO): A PO é uma ciência aplicada voltada para a resolução de problemas reais. Tendo como foco a tomada de decisões; Aplica conceitos e métodos de várias áreas científicas na concepção, planejamento ou operação de sistemas.

Como surgiu a PO: Introdução O termo Pesquisa Operacional: invenção do radar na Inglaterra em 934 (Operações Militares) Segunda Guerra Mundial: para lidar com problemas de natureza logística, tática e de estratégia militar. Criaram-se grupos multidisciplinares de matemáticos, físicos e engenheiros e cientistas sociais. Desenvolve-se a ideia de criar modelos matemáticos, apoiados em dados e fatos, que permitisse perceber os problemas em estudo, simular e avaliar o resultado hipotético de estratégias ou decisões alternativas.

O desenvolvimento da PO: Introdução Após a guerra, esses grupos de cientistas e a sua nova metodologia se transferiram para as empresas. Destaque para George Dantzig com o Método Simple para problema de otimização linear No Brasil a partir de 960 Hoje, com o apoio de meios computacionais de crescente capacidade e disseminação, permite-se trabalhar em praticamente todos os domínios da atividade humana, da Engenharia à Medicina, passando pela Economia e a Gestão Empresarial.

O desenvolvimento da PO: Introdução Em alguns países, em que prevaleceu a preocupação com os fundamentos teóricos, a PO se desenvolveu sob o nome de Ciência da Gestão ou Ciência da Decisão; Em outros, em que predominou a ênfase nas aplicações, com o nome de Engenharia Industrial ou Engenharia de Produção.

Introdução Algumas aplicações práticas Roteirização de Veículos Problema: entrega de mercadoria aos clientes. Decisão: qde de carga a ser colocada em cada caminhão; quais caminhões irão atender quais clientes. Decisão: otimizar as rotas dos veículos considerando eventual necessidade de reabastecimento. Aplicações: entrega de correspondência, empresas atacadistas, coleta de lio urbano, etc. Ensalamento em Escolas e Universidades (Timetabling) Problema: alocação de horários de aulas para os docentes e alocação de salas para as disciplinas, Decisão: gerar uma tabela de horários, visando minimizar os conflitos, maimizar preferências, compactar horários de professores e alunos Aplicações: instituições de ensino

Introdução Corte de Materiais Problema: cortar peças grandes em pedaços menores de acordo com as demandas dos clientes. Decisão: otimizar a maneira de cortar as peças grandes de modo que o desperdício seja minimizado e que as demandas dos clientes sejam atendidas. Aplicações: industrias de fabricação de vidro, metal, madeira, rolos de papel, colchões, etc. Empacotamento Problema: empacotar itens de modo que o espaço necessário para guardá-los seja o menor possível (inverso do problema de corte) Decisão: otimizar a maneira de empacotar itens minimizando o espaço necessário. Aplicações: paletização de cargas, carregamento de caminhões, etc. Escalonamento de Trabalho Humano Problema: alocar funcionários às tarefas. Decisão: otimizar tais alocações considerando restrições trabalhistas e restrições operacionais de forma que todas as tarefas sejam cumpridas e os gastos com mão-de-obra sejam minimizados Aplicações: companhias aéreas, centrais telefônicas, hospitais, transporte coletivo, etc.

Introdução Localização de Facilidades Problema: deseja-se determinar quais os melhores locais para instalação das facilidades Decisão: otimizar as decisões sobre as localizações de forma que todos os clientes sejam atendidos a um custo mínimo. Aplicações: instalação de depósitos industriais, pronto-socorro, corpo de bombeiros. Projeto de Redes Problema: projetar redes com algumas restrições de conectividade. Decisão: otimizar as ligações da rede com o menor custo possível de forma que nós importantes tenham a comunicação assegurada (inclusive com rotas alternativas para o caso de problemas de conectividade) enquanto outros menos importantes e podem servir apenas como um nó intermediário Aplicações: construção de redes em geral, energia, telefonia, computadores, etc.

Introdução Dimensionamento de Lotes (Planejamento de Produção) Problema: planejar a produção para um determinado horizonte de tempo. Decisão: decidir quanto deve produzir a cada período de forma a atender toda a demanda e minimizar os custos. Pode-se considerar restrições de capacidade de produção. Aplicações: industrias em geral; Sequenciamento de Tarefas em Máquinas Problema: fabricar determinado produto final a partir da eecução de tarefas operacionais. Decisão: otimizar a ordem em que as tarefas devem ser processadas em cada máquina de forma a minimizar o tempo de produção. As tarefas podem ter regras de precedência entre si. Aplicações: industrias em geral;

PROGRAMA Introdução. Modelagem matemática: conceitos básicos.. Problemas Construção clássicos de um modelo logística matemático 3.. O Modelos problema de de otimização dimensionamento de lotes 4. O problema de sequenciamento de tarefas.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução 5. O Problema Integrado de dimensionamento e sequenciamento.4 de Reformulações lotes e limitantes 6. Outros problemas integrados 7. Considerações Finais

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Um Eemplo Simples: da Prática para Matemática Uma empresa de consultoria financeira tem um capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 6 bons investimentos com diferentes níveis de risco e de retorno. A decisão a ser tomada consiste em escolher ou não determinado investimento. Matematicamente podemos considerar esta decisão utilizando uma variável binária: para j=,...,6 w j = se o investimento j for selecionado 0 caso contrário

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w j= j

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w j= b) no máimo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados j

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w j= b) no máimo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 w 3 j= 9 j j

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w j= b) no máimo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 j= 9 j j w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w j= b) no máimo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 j= 9 j j w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado w 4 + w 9 =

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w j= b) no máimo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 j= 9 j j w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado w 4 + w 9 = d) o investimento pode ser selecionado só se o também for

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um modelo matemático Da Prática para a Matemática: algumas relações lógicas a) pelo menos um dos oito primeiros investimentos deve ser escolhido 8 w j= b) no máimo 3 dos últimos 8 devem ser selecionados 6 j= 9 j j w 3 c) dentre os investimentos 4 e 9 um e só um deles deve ser selecionado w 4 + w 9 = d) o investimento pode ser selecionado só se o também for w w

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um Modelo Matemático Eemplo com Números: da Prática para a Matemática Elementos Conhecidos: Uma empresa tem $4.000 de capital disponível para novos investimentos. Ela pré-selecionou 4 bons investimentos cujos respectivos lucros esperados são $6.000, $.000, $.000 e $8000. Cada investimento só pode ser feito uma única vez e necessita um desembolso de $5000, $7000, $4000 e $3000, respectivamente. Formule um modelo matemático que determine os investimentos que maimizam o lucro esperado. Para construir um modelo matemático devemos considerar: Elementos Desconhecidos: o que queremos determinar? Função Objetivo: qual o objetivo que queremos otimizar? Restrições: quais são as restrições que devem ser consideras?

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um Modelo Matemático Elementos Desconhecidos: Variáveis de decisão (para j=,...,4) j = se o investimento j for escolhido 0 caso contrário Modelo matemático: Função Objetivo: ma z = 6 + + 3 + 8 4 Restrições: sujeito a 5 + 7 + 4 3 + 3 4 <= 4 j = 0 ou ; j=,,3,4

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um Modelo Matemático Considere agora as restrições adicionais:. Se se decidir pelo investimento, então tem-se que fazer também o. Se se decidir pelo investimento, então não se pode fazer o 4. Eercício: Modele estas novas situações:.. + 4

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Construção de um Modelo Matemático Modelo Final: ma z = 6 + + 3 + 8 4 sujeito a 5 + 7 + 4 3 + 3 4 <= 4 <= + 4 <= j = 0 ou ; j=,,3,4

Eemplo real: o problema da mistura Descrição do Problema: uma fundição deve produzir 30 toneladas de um tipo liga a partir de quantidades variadas de diversos produtos de forma a minimizar o custo de produção desta liga

Eemplo real: o problema da mistura Ingredientes Composição % Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono 0.5 0.9 0.5 0.5 Silício 0. - 0.0 0.9 Manganês 0.3-0.6 0.05 Custo R$/ton 90 80 5 35 Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Carbono 0.43 Silício 0.9 Manganês 0.

Eemplo real: o problema da mistura Matéria-prima: ingredientes

Eemplo real: o problema da mistura Liga Metálica (Mistura)

Eemplo real: o problema da mistura Fabricação da Peça

Eemplo real: o problema da mistura Ingredientes Composição % Descrição do Problema: dados Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono 0.5 0.9 0.5 0.5 Silício 0. - 0.0 0.9 Manganês 0.3-0.6 0.05 Custo R$/ton 90 80 5 35 Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Carbono 0.43 Silício 0.9 Manganês 0.

Eemplo real: o problema da mistura Construindo um modelo para o Problema da Mistura Neste problema temos: elementos conhecidos: composição e custo dos ingredientes elementos desconhecidos: quanto colocar de cada ingrediente na mistura objetivo a ser alcançado: obter uma mistura de baio custo restrições: a mistura deve ter uma quantidade mínima de componentes

Eemplo real: o problema da mistura Variáveis de decisão: - A mistura deve ser feita a partir mistura de 4 itens (j=,,3,4) - j : quantidade (em kg) do ingrediente j a ser colocada na mistura - Função Objetivo: Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 - Restrições de Composição Mínima: 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.43) :C 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.9) :Si 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.) :Mn - Restrições de Atendimento da Demanda: + + 3 + 4 = 30 - Restrições de Não Negatividade das Variáveis: 0; 0; 3 0; 4 0

Eemplo real: o problema da mistura Modelo Matemático Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 Sujeito a: 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.43) 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.9) 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.) + + 3 + 4 = 30 0; 0; 3 0; 4 0

Eemplo real: o problema da mistura Modelo Matemático Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 Sujeito a: 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.43) 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.9) 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.) + + 3 + 4 = 30 0; 0; 3 0; 4 0 Solução Mistura: = 9,3333; = 0; 3 = 4,66667; 4 =6 Valor do f.o.=066,666667

Modelo Matemático Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 Sujeito a: C: 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.43) Si: 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.9) Mn: 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.) => 4,447+0+0,745+0,3=5,49 3,6 + + 3 + 4 = 30 Eemplo real: o problema da mistura 0; 0; 3 0; 4 0 Solução Mistura: = 9,3333; = 0; 3 = 4,66667; 4 =6 Valor do f.o.=066,666667

Eemplo real: o problema da mistura Revisão : gerente percebe que a quantidade de manganês está ecessiva e informa que também eiste um limite máimo para cada componente. No caso do manganês 0.8*30=5.4 Ingredientes Lingotes Grafite Restos Restos Composição % Industriais Domicil. Carbono 0.5 0.9 0.5 0.5 Silício 0. - 0.0 0.9 Manganês 0.3-0.6 0.05 Custo R$/ton 90 80 5 35 Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Composição Máima Carbono 0.43 0.65 Silício 0.9 0.30 Manganês 0. 0.8

Eemplo real: o problema da mistura Modelo Matemático Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.30) :Si 30 (0.) 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.8) :Mn + + 3 + 4 = 30 0; 0; 3 0; 4 0

Eemplo real: o problema da mistura Modelo Matemático Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.30) :Si 30 (0.) 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.8) :Mn + + 3 + 4 = 30 0; 0; 3 0; 4 0 Solução Mistura: = 8,9573; = 0,34543; 3 = 4,45009; 4 =6,6805 Valor do f.o.=08,6047

Revisão : eiste uma política nova da empresa de limitar a quantidade de matéria prima estocada Ingredientes Composição % Lingotes Grafite Restos Industriais Restos Domicil. Carbono 0.5 0.9 0.5 0.5 Silício 0. - 0.0 0.9 Manganês 0.3-0.6 0.05 Custo R$/ton 90 80 5 35 Estoque (ton) 5 0 0 Ferro-gusa Composição % Composição Mínima Composição Máima Carbono 0.43 0.65 Silício 0.9 0.30 Manganês 0. 0.8

Eemplo real: o problema da mistura Modelo Matemático Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.30) :Si 30 (0.) 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.8) :Mn + + 3 + 4 = 30 0 5; 0 0; 0 3 ; 0 4 0

Eemplo real: o problema da mistura Modelo Matemático Minimizar 90 + 80 + 5 3 + 35 4 Sujeito a: 30 (0.43) 0.50 + 0.9 + 0.50 3 + 0.5 4 30 (0.65) :C 30 (0.9) 0.0 + 0.0 + 0.0 3 + 0.9 4 30 (0.30) :Si 30 (0.) 0.3 + 0.0 + 0.6 3 + 0.05 4 30 (0.8) :Mn + + 3 + 4 = 30 0 5; 0 0; 0 3 ; 0 4 0 Solução Mistura: = 5; =,7097; 3 = 3,079; 4 =9,089 Valor do f.o.=34,85485

Tela Inicial

Composição de cada Liga

Composição de cada Ingrediente

Composição de cada Liga

Cálculo da Liga

Eemplo real: o problema da mistura Diferença para algumas ligas em uma fornada 360 kg Sol. Ind Sol. Prog. % CF-8 75,55 554, 3, CF-8M 066,78 736,89 44,7 HH 984,90 748,0 3,6 CA-5 7,48 95,87 6, Diferença Significativa considerando que a indústria produz 0 cargas por dia

Eemplo real: o problema da mistura Dificuldades Encontradas Durante o Desenvolvimento Durante o desenvolvimento do programa foram detectados vários problemas - Composição Química dos Ingredientes Incorreta; - Peso de uma Compra de Ingredientes Incorretos; - Informações de Estoques Incorretas; - Custos de Estocagem Imprecisos, etc.

Eemplo real: o problema da mistura Possíveis Melhorias Obtidas Possíveis Problemas Resolvidos Após o Desenvolvimento do Programa - Melhoria na Qualidade de Informações Básicas; - Melhoria na Qualidade de Compra dos Fornecedores; - Melhoria da Qualidade da Liga Feita; - Redução nos Custos das Ligas; - Melhoria no Armazenamento de Novas Informações

Eemplo real: o problema da mistura Melhorias Inesperadas pelo Gerente Obtidas por meio de Simulações - Simular para Estabelecer Preço de Venda - Simular para Discutir Preço de Compra - Simular para Prazo de Entrega aos Clientes - Simular para Prazo de Recebimento de Matéria-prima

Eemplo real: o problema da mistura Passos para Resolução do Problema Modelagem Matemática Organização dos dados Implementação computacional: Método Simple Desenvolvimento da Interface

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Modelos de Otimização

. Modelagem matemática: conceitos básicos. Modelos de Otimização Algumas Classes de Modelos de Otimização Modelos de Otimização Linear Contínua Modelos de Otimização Inteira Modelos de Otimização Inteira Mista Modelos de Otimização Não linear

. Modelos de Otimização Linear Contínua (OL): - Se a função-objetivo e as restrições forem lineares. - Se variáveis puderem assumir qualquer valor real, temos um modelo de otimização linear contínuo (OL). min sujeitoa A z Eemplo OL: ma z=0 +6 sujeito a: = 0, c : b T 9 + 5 45-4 + 5 5 - - - 0, R Observe que, neste eemplo: c T =(0, 6), R n 9 A = 4 onde: c R n, A R m n, b R m 5 5 45 b = 5 7 z = 5 3

Modelos de Otimização Inteira (OI): - Se no Modelo anterior restringirmos as variáveis de forma que só possam assumir valores inteiros, teremos um modelo de otimização linear inteira (OI). - Em alguns modelos os valores inteiros que as variáveis podem assumir são 0 e (variáveis binárias).. min A Eemplo OI: ma z=0 +6 sujeito a: z sujeito = a b c T 0, Ζ 9 + 5 45-4 + 5 5 - - - 0, Z : Solução ótima =(5,0) e z=50 - Solução do eemplo OL está bem distante da solução do eemplo OI. - A solução arredondada (3, 3) também está distante;

. Modelos de Otimização Inteira Mista (OIM): Em determinadas circunstâncias interessa que apenas um subconjunto de variáveis esteja restrito a assumir valores inteiros. Neste caso, temos um modelo de otimização inteira mista (OIM). min sujeito A z = c 0, Ζ, =,..., Eemplo OIM:. ma z=0 +6 sujeito a: 9 + 5 45-4 + 5 5 - - - 0, R, Z a b : T j j p ( p < n) solução ótima = (3,3) 3 e z = 5 3

Modelos de Otimização não Linear (ONL): Modelos tais que a função-objetivo é não linear e/ou o conjunto de restrições é formado por equações ou inequações não lineares são chamados de modelos de otimização não-linear (ONL). - Situações que envolvam modelos não-lineares e que não possam ser representadas por modelos lineares fogem do escopo deste curso e não serão discutidas

. Modelagem matemática: conceitos básicos.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Tipos de Ferramentas Específicas Modelagem: LINGO, MPL, AMPL, OPL, XPRESS-MOSEL, ZIMPL Resolução LINGO, CPLEX, GUROBI XPRESS-MP, LPSOLVE, CLP Gerais Planilhas de cálculo EXCEL, LOTUS 3 Simulação

. Modelagem matemática: conceitos básicos.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Sistemas Algébricos de Modelagem: Objetivos Interface com sistemas de resolução Separar o modelo dos dados Facilitar a construção de um modelo Documentar Facilitar a manutenção do modelo

. Modelagem matemática: conceitos básicos.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Comerciais Sistemas de Resolução CPLEX, XPRESS-MP Problema de otimização: contínua, inteira, quadrática Arquivos no formato:mps, próprio (algébrico) Possuem linguagem de modelagem Não-Comerciais CLP (COIN-OR Linear Program Solver) LPSOLVE

. Modelagem matemática: conceitos básicos.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Sistemas Algébricos de Modelagem: Estrutura Geral Conjuntos e índices locais:{rio, SP, Goiânia}, códigos:{a, B45}, mês:{jan, fev,...} dados, parâmetros, tabelas separa o modelo de um eemplar do mesmo fornecidos em arquivos de dados; retirados de planilhas de cálculo ou banco de dados variáveis de decisão agrupar por tipos, definir para subconjuntos de índices função objetivo linear ou não linear Restrições agrupar por tipos e epandir, definir para subconjuntos de índices

MPL Modelagem: otimização contínua, inteira, não linear Formato de arquivos (MPS, CPLEX,...) Coneão com EXCEL, Banco de dados Gráfico da Estrutura da matriz de restrições Coneão com sistemas de resolução (CPLEX, FORTMP,...) XPRESS-MOSEL Linguagem Procedural Integração com Linguagens de Programação (C, Java, Visual Basic) AMPL Linguagem Procedural Modelagem otimização contínua, inteira, quadrática Interface gráfica com poucos recursos Permite a criação de subrotinas

Linguagens de Modelagem: Principais Comandos MPL TITLE INDEX DATA VARIABLES MODEL MIN (ou MAX) SUBJECT TO END XPRESS-MOSEL MODEL nome do model Instruções para compilação Definição de parâmetros Definição do modelo Definição de algoritmos END-MODEL AMPL SET define um índice; PARAM define uma estrutura (vetor ou matriz) que irá armazenar os elementos conhecidos do eemplar, fornecidos no arquivo nomemodelo.dat; VAR define variáveis de decisão; MINIMIZE (ou MAXIMIZA) define a função-objetivo e o critério de otimização SUBJECT TO define um conjunto de restrições

. Modelagem matemática: conceitos básicos.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Endereços na WWW Comerciais (versão de estudante ou Licença Acadêmica gratuita) MPL: http://www.maimal-usa.com/ XPRESS: http://www.dashoptimization.com/ AMPL: http:www.ampl.com// GUROBI: http://www.gurobi.com/products/gurobi-optimizer/try-for-yourself Não Comerciais CLP (COIN-OR Linear Program Solver) http://www.coin-or.org/clp/ LPSOLVE - http://lpsolve.sourceforge.net/5.5/ ZIMPL - http://www.zib.de/koch/zimpl/

. Modelagem matemática: conceitos básicos.3 Sistemas computacionais de modelagem e resolução Eemplo, usando o AMPL e o Ecel, de resolução do problema da mistura na fundição

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes - Considere um problema de otimização linear inteira (OI) de minimização. Eemplo min s. a. 4,, + 7 0 3 inteiros

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes - Se conhecermos um limitante inferior (LI) e um limitante superior (LS) para o valor ótimo do problema, e se a diferença (LS-LI) é igual a zero, ou menor que uma tolerância pré-estabelecida, podemos dizer que o valor LS é ótimo para o problema. LS ótimo min LI -Como obter LS e LI?

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes - Limitante Superiores (LS): também conhecidos como limitantes primais são obtidos com a obtenção de uma solução factível para o problema min min s. a. 4,, + 7 0 3 inteiros (a) =3 =0 Ótimo = -33 LS=-3 ótimo=-33 LI

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes - Limites inferiores (LI): (limites duais) podem ser obtidos pela construção de um modelo relaado, isto é, com um valor ótimo menor ou igual que o valor ótimo do problema original. - Uma relaação fácil de ser construída, e muito usada para auiliar na resolução de um problema (OI) é a Relaação Linear.

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes min min s. a. 4,, + 7 0 3 inteiros min s. a. 4, + 7 0 3 LS ótimo=-33 Ótimo = -39 LI=-39 (a) Ótimo = -33 (b)

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes - Importância de se obter bons limitantes - Quanto menor o limitante superior e maior o limitante inferior, melhor será a avaliação da qualidade da solução factível que temos. - A maioria dos sistemas computacionais inclui procedimentos para a obtenção de limites inferiores e superiores. - Estes limites são usados em métodos de enumeração implícita para a resolução dos problemas de otimização inteira e inteira mista.

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes Reformulações: - Quando se tem duas ou mais formulações para um mesmo problema, interessa saber qual delas é melhor em termos do limite inferior associado. - Basicamente: se uma formulação P é melhor que outra P, então o valor da relaação linear, z(rl), associada a um problema de OI é mais forte ou igual ( no caso de minimização) que o valor associado a P (z(rl)). - Observe que P e P definem as regiões factíveis das duas formulações.

min s. a.. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes 4, + 7 3 0 inteiros min s. a. 4, + 7 0 3 inteiros P P (a) Ótimo = -33 (a) Ótimo = -33

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes min s. a. 4, + 7 0 3 min s. a. 4, + 7 0 3 LS min P Ótimo = -37,5 P Ótimo = -39 ótimo=-33 zp=-37,5 zp=-39 (a) (b)

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes - É interessante observar também que, bons limites inferiores podem ser obtidos pela reformulação automática do problema obtida pela inclusão de inequações válidas.

. Modelagem matemática: conceitos básicos Para Saber Mais. Rangel, S. Introdução à construção de modelos de otimização linear e inteira.. ed. São Carlos-SP: Sociedade Brasileira de Matemática Aplicada e Computacional-SBMAC, 0. v. único. 8 p. (disponível em http://www.sbmac.org.br/arquivos/notas/livro_8.pdf). Wiliams, H.P., Model Building in Mathematical Programming, Ed. John Wiley & Sons, 990. 3. Wolsey, L., Integer Programming, Ed. John Wiley & Sons, 998. 4. Arenales, M., Armentano, V., Morabito, R. E Yanasse, H.-Pesquisa Operacional, Elsevier, 007.

OBRIGADO ATÉ AMANHÃ ÀS 8HS

Slides Adicionais

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes Eemplo: Branch-and-Bound min s. a. 4,, + 7 0 3 inteiros Ótimo = -39 =0 =.86 (a) Ótimo = -33 (b)

. Modelagem matemática: conceitos básicos.4 Reformulação e limitantes min s. a. Suproblema A 4 + 7, 0 3 min s. a. Subproblema B 4 + 7, 0 3 Infactível A Ótimo = 37.5 =.5 = B

Suproblema C Subproblema D 0, 3 7 4.. min + a s 0, 3 7 4.. min + a s Ótimo = 37 Ótimo = 3 C D = =0.7.4 Reformulação e limitantes. Modelagem matemática: conceitos básicos

Suproblema E Subproblema F 0, 0 3 7 4.. min + a s 0, 3 7 4.. min + a s Infactível Ótimo = 35,75 F E =0 =3.5.4 Reformulação e limitantes. Modelagem matemática: conceitos básicos

Suproblema G Subproblema H 0, 3 0 3 7 4.. min + a s 0, 4 0 3 7 4.. min + a s (a) Ótimo = -33 =3 =0.4 Reformulação e limitantes. Modelagem matemática: conceitos básicos