PROPAGAÇÃO D ONDAS LCTROMAGNÉTICAS NM GIA CILÍNDRICO po Calos Vaadas e Maia mília Maso IST, Maio de 5
t j e. Itodução Vamos estuda a popagação de odas electomagéticas um guia cilídico de aio a. Podeiamos usa um pocedimeto semelhate ao utiliado o caso do guia ectagula, com a substituição das coodeadas catesiaas pelas cilídicas. Cotudo, amos segui uma outa metodologia que pemite eidecia, uma e mais, a iquea e a flexibilidade das equações de Maxwell. m coodeadas cilídicas (Figua ), a equação = t lap () escee-se a foma Figua Guia de geometia cilídica em que epeseta, idistitamete, os campos eléctico e magético. Admitido que = t () ) ( ), ( ),,, ( t β ω = (3) A equação () pode se escita a foma = t ω β (4) ou seja = (5) em que ω β = (6) ou seja ω c β ω = (7) em que c = ω (8)
epeseta a fequêcia de cote do guia. Paa além da depedêcia das caacteísticas do dieléctico que peeche o guia = (9) εµ eemos, mais tade, que esta fequêcia depede, igualmete, das caacteísticas do modo de popagação (T ou TM e odem do modo) e do aio do guia.. Compoetes dos campos eléctico e magético m guia de odas cilídico, tal como o guia de secção ectagula, supota modos T e TM. A compoete logitudial de supote dos modos T é, equato a dos modos TM é. Vamos, po isso esole a equação (5) paa a compoete dos campos eléctico ou magético segudo a diecção de popagação (eixo dos Zs), usado o método de sepaação de aiáeis. Assim, admitido que: (, ) = R( ) F( ) () podemos escee (5) a foma: ou seja d R F d F dr d R d F = d R F d R dr d F = () R R d F d d () O pimeio membo desta equação depede apeas de equato o segudo membo é uma fução de. Paa que a equação se eifique, paa todos os aloes de e de é peciso que cada um dos seus membos seja igual a uma costate R d R dr = (3) d R d d F F d = A equação (4) admite uma solução do tipo F ( ) = C cos D se (5) em que C e D são costates de itegação. Como as soluções dos campos ou são peiódicas em, isto é (, ) = (, ± m π), e o guia cilídico há simetia aimutal, podemos fae ou C= ou D=. Neste caso, optamos po fae D=. (4)
A equação (3) é do tipo d R dr R = (6) d d e admite soluções da foma R( ) = A J ( ) B N ( ) (7) ode J () e N () epesetam as fuções de Bessel de ª e ª espécie de odem (Figua ). Figua Fuções de Bessel de ª e ª espécie Como os campos têm de se fiitos em =, e com as fuções de Bessel de ª espécie são ifiitas em =, a costate B tem de se ula. Substituido (5) e (7) em (), e faedo B=D= obtemos em que (, ) = J ( )cos (8) o o = AC (9) 3
Acabamos, assim, de detemia as expessões que pemitem calcula as compoetes logitudiais dos campos eléctico e magético, espectiamete dos modos TM e T = o J ( )cos () = J ( )cos () o Cohecidas as compoetes PP e, as outas compoetes dos campos eléctico e magético podem se detemiadas esoledo as equações B ot = () t ot = ε (3) t em odem a e j = β ωµ (4) j = β ωµ (5) j = ωε β (6) j = ωε β (7) 3. Modos Tasesais Magéticos (TM l ) Os modos tasesais magéticos (TM l ) são caacteiados pelo facto de apeas o campo eléctico te uma compoete segudo a diecção de popagação, defiida po: = J ( )cos () Como esta compoete tem de se ula em =a (a é o aio do guia), paa todos os aloes de, temos que: a = ρ l (8) em que ρ l epeseta o eo de odem l da fução de Bessel J (x)=. 4
As expessões (7) e (8) pemitem detemia a elação de dispesão dos modos TMl um guia cilídico ou seja l ω = ρ (9) a ω = ω CTMl β (3) com ρ l ω c = (3) TM a As compoetes tasesais dos campos deiam-se das equações (4) a (7): β = j Asi J ( ) (3) β = j Acos J ( ) (33) ωε = j Acos J ( ) (34) = ωε j Asi J ( ) (35) A impedâcia de oda dos modos TM é: Z TM β = = = Z (36) em que Z é a impedâcia caacteística do meio que peeche o guia em espaço lie. A Figua 3 apeseta a estutua dos campos dos modos TM, TM e TM Modo Distibuição de campos a secção tasesal, um plao de máximo dos campos tasesais Distibuição de campos ao logo da liha Compoetes dos campos 5
Figua 3 stutua dos campos dos modos TM um guia cilídico 4. Modos Tasesais lécticos (T l ) Neste caso, apeas o campo magético possui compoete logitudial, dada po = J ( )cos pelo que, usado (3), cocluimos que: () = jωµ jωµ ' = B J ( ) cos (38) sta compoete do campo eléctico tem de se ula em =a, pelo que ou seja a = ρ (39) ' ρl l = (4) a ' ode ρ l epeseta o eo de odem l da fução de Bessel ( x) =. ma e mais usado as expessões (7) e (4) obtemos a elação de dispesão dos modos tasesais eléctico um guia cilidico J (37) ω = ω c β (4) em que (4) ω c = T ρ ' l a As compoetes tasesais dos campos deiam-se das equações (4) a (7): ωµ = j Bcos J ( ) (43) = ωµ j Bsi J ( ) (44) jβ = B si J ( ) (45) β = j Bcos J ( ) (46) 6
A impedâcia de oda dos modos T é: Z T = ω = = Z (47) β A Figua 4 apeseta a estutua dos campos dos modos T e T. Modo Distibuição de campos a secção tasesal, um plao de máximo dos campos tasesais Distibuição de campos ao logo da liha Compoetes dos campos Figua 4 stutua dos campos dos Modos Tasesais lécticos de um guia cilídico 5. Modo Fudametal A cosulta a uma tabela de eos das fuções de Bessel (Tabela ) pemite costui, utiliado as expessões (3) e (4), a Figua 4 que epeseta as fequêcias de cote dos modos T e TM de odem ifeio. A aálise desta figua pemite coclui o seguite: (i) Ao cotáio do que acotecia o guia ectagula, os modos T e TM da mesma odem (mesmos aloes de e l) ão possuem a mesma fequêcia de cote. (ii) O modo fudametal, isto é, o modo com a meo fequêcia de cote, é o modo T (ρ =.84). (iii) O modo tasesal magético com meo fequêcia de cote é o modo T (ρ =.45). Odem J J J J J J.45 3.83 5.36.84 3.54 5.5 7.6 8.47 3.83 5.33 6.76 3 8.654.73.6.73 8.536 9.969 7
Tabela Zoas das fuções de Bessel e das suas deiadas Figua 4 Compaação das fequêcias de cote dos modos T e TM um guia cilídico 8