CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de uma função; Apresentar e utilizar o teste da primeira derivada para determinar extremos relativos. 1 Funções Crescentes e Decrescentes Segue a denição abaixo: Denição 1. Sejam f : A B uma função e x 1, x 2 D f. Denimos que f é uma (i) função crescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); (ii) função sempre crescente ou estritamente crescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) < f(x 2 ); (iii) função decrescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) f(x 2 ); (iv) função sempre decrescente ou estritamente decrescente se x 1 < x 2 então f(x 1 ) > f(x 2 ); Seguem abaixo alguns exemplos. Figura 1: Exemplo de uma função crescente. 1
Figura 2: Exemplo de uma função estritamente crescente. Figura 3: Exemplo de uma função decrescente. Figura 4: Exemplo de uma função estritamente decrescente. Existem funções que não são crescentes e nem decrescentes em todo o seu domínio, ou seja, uma função pode ser crescente em uma parte do seu domínio e decrescente em outra parte. Um exemplo de função Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 2
com essa propriedade é a função quadrática, dada por f(x) = x 2 + 1 ; note que para x < 0 a função é 2 decrescente e para x > 0 a função é crescente, como podemos ver no gráco de f. Figura 5: 2 Intervalos de Crescimento e Decrescimento Uma das aplicações do Teorema do Valor Médio é demonstrar o teorema que nos permite obter os intervalos de crescimento e de decrescimento de uma função. Tal resultado nos diz que podemos determinar esses intervalos apenas analisando o sinal de sua derivada. Teorema 1. Seja f uma função contínua em um intervalo fechado [a, b] e derivável no aberto (a, b), então: (a) se f (x) > 0 para todo x (a, b), então f é crescente em (a, b). (b) se f (x) < 0 para todo x (a, b), então f é decrescente em (a, b). Exemplo 1. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x 2 + 1 2. Derivando a função, temos f (x) = 2x. Como f (x) = 2x > 0 para todo x > 0, então f(x) cresce no intervalo (0, + ). De forma análoga, como f (x) = 2x < 0 para todo x < 0, então f(x) decresce no intervalo (, 0). Exemplo 2. Determine o intervalo de crescimento e/ou de decrescimento da função f(x) = x 3. Derivando a função, temos f (x) = 3x 2. Como x 2 0 para todo x, o intervalo de crescimento é R = (, + ). Desta forma não temos intervalo de decrescimento. Exemplo 3. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 +5. Derivando a função, temos: f (x) = 12x 3 12x 2 24x = 12x(x 2)(x + 1). Para fazer o estudo do sinal, utilizamos o seguinte quadro Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 3
Desse modo, f é decrescente em (, 1) (0, 2) e crescente em ( 1, 0) (2, + ). Observe gracamente: Figura 6: Gráco da função f(x) = 3x 4 4x 3 12x 2 + 5 Exemplo 4. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 2 cos x + cos 2 x, x [0, 2π]. Note que f (x) = 2 sen(x) 2 cos(x) sen(x) Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 4
Para estudar o sinal de f, podemos determinar os pontos em [0, 2π] tais que f (x) > 0 2 sen(x) 2 cos(x) sen(x) > 0 sen(x) + cos(x) sen(x) < 0 sen(x)(1 + cos(x)) < 0 Note que 1 + cos(x) 0 para todo x [0, 2π], logo, para que f (x) < 0, devemos obter os pontos nos quais o seno de x é negativo. Dessa forma, f (x) > 0 se π < x < 2π Analogamente, obtermos que f (x) < 0 se 0 < x < π E assim, temos que f é decrescente em (0, π) e crescente em (π, 2π), como pode ser mostrado no gráco abaixo: Exemplo 5. Determine o intervalo de crescimento e decrescimento da função f(x) = 4x 2 + 1 x. Note que f (x) = 8x 1 x 2 = 8x3 1 x 2 Como x 2 > 0 para todo x R então o sinal de f é determinado pela função que está no numerador. Fatorando, temos que 8x 3 1 = (2x) 3 1 3 = (2x 1)(4x 2 + 2x + 1) Como o segundo fator é um polinômio irredutível de grau 2 e com concavidade para cima, então podemos concluir que 4x 2 + 2x + 1 > 0 para todo x R. Logo, o sinal de f é( determinado ) pelo fator 2x 1 1 que pode ser entendido como uma reta que passa pelos pontos (0, 1) e 2, 0. Logo, o sinal de f e os intervalos de crescimentos são dados pelo quadro abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 5
( Sendo assim, a função f decresce no intervalo (, 0) 0, 1 ) ( ) 1 e cresce no intervalo 2 2, +. Observe gracamente: Figura 7: Gráco da função f(x) = 4x 2 + 1 x 3 Teste da Primeira Derivada Mostramos anteriormente que se f tem um máximo ou mínimo local em x = c, então c deve ser um número crítico de f, mas nem todo número crítico dá origem a um máximo ou mínimo. Consequentemente, necessitamos de um teste que nos diga se f tem ou não um máximo ou mínimo local em um certo ponto crítico. Teorema 2. Suponha que c seja um número crítico de uma função derivável f. 1. Se o sinal de f mudar de positivo para negativo em x = c, então f tem um máximo local em x = c. 2. Se o sinal de f mudar de negativo para positivo em x = c, então f tem um mínimo local em x = c. Exemplo 6. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = 2x 3 + 3x 2 36x e seus extremos relativos. Derivando f, obtemos f (x) = 6x 2 + 6x 36 = 6(x 2)(x + 3). Os números críticos ocorrem quando f (x) = 0, logo x = 2 e x = 3. Fazendo o estudo do sinal de f : Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 6
obtemos então que: f é crescente no intervalo (, 3) (2, + ) f é decrescente no intervalo ( 3, 2) Portanto, pelo Teste da Primeira Derivada, podemos concluir que -3 é um ponto máximo relativo de f e 2 é um mínimo relativo. Os valores da função nestes pontos, isto é, f( 3) = 81 é dito um valor máximo relativo de f e f(2) = 44 um valor mínimo relativo. Veja um esboço do gráco de f abaixo: Figura 8: Gráco da função f(x) = 2x 3 + 3x 2 36x Exemplo 7. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x 2 e x e seus extremos relativos. Calculando f, temos que f (x) = (x 2 ) e x + x 2 (e x ) = 2xe x x 2 e x = (2 x)xe x Logo, como f está denida para todo x R, então os seus pontos críticos são os zeros da sua derivada. Desse modo, como e x > 0 para todo x R, apenas o fator (2 x)x determinará o sinal de f. Logo, utilizando o quadro abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 7
Desse modo, f é decrescente no intervalo (, 0) (2, + ) f é crescente no intervalo (0, 2) Pelo Teste da Primeira Derivada segue que 0 é mínimo local e 2 é máximo local. Gracamente, Figura 9: Gráco da função f(x) = x 2 e x Exemplo 8. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = extremos relativos. x x 2 +1 e seus Derivando f, temos que f (x) = (x) (x 2 + 1) x(x 2 + 1) (x 2 + 1) 2 = x2 + 1 2x 2 (x 2 + 1) 2 = 1 x2 (x 2 + 1) 2 Antes de estudarmos o sinal de f, notamos que (x 2 + 1) 2 > 0 para todo x R. Logo, apenas a função g(x) = 1 x 2 determinará o sinal de f. Dessa forma, utilizando o quadro abaixo: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 8
obtemos que f é decrescente no intervalo (, 1) (1, + ) f é crescente no intervalo ( 1, 1) Pelo Teste da Primeira Derivada segue que 1 é mínimo local e 1 é máximo local. Gracamente, Figura 10: Gráco da função f(x) = x x 2 + 1 Exemplo 9. Determine os intervalos de crescimento ou decrescimento da função f(x) = x e seus extremos relativos, se existirem. Note que f (x) = 1 2 x Agora, note que em x = 0 a função f não está denida, porém,a função f está, pois f(0) = 0. Logo, x = 0 é um ponto crítico da função f. E, observe que f (x) > 0 para todo x > 0. Logo, a função f é estritamente crescente para x > 0. Como o teste da primeira derivada necessita do sinal de f antes e depois do ponto crítico, não podemos aplicá-lo nesse exemplo. Mas perceba que se a função f é estritamente crescente, então para todo x > 0 teremos que f(x) > f(0) e assim, constatamos que x = 0 é mínimo global da função f. Gracamente, podemos vericar esse fato no gráco da função raiz quadrada: Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 9
Figura 11: Gráco da função f(x) = x Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 262-264 do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios das páginas 269-271 do livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior 10