SC1 Sistemas de Controle 1 Cap. 4 Técnicas do Lugar Geométrico das Raízes Prof. Tiago S Vítor
Sumário 1. Introdução 2. Definição do Lugar Geométrico das Raízes 3. Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes 4. Representação Esquemática do LGR
1. Introdução LGR (ou LR) Representação gráfica dos polos em malha fechada em função da variação de um parâmetro do sistema Descrever qualitativamente e quantitativamente Resposta transiente Faixa de estabilidade
1.1 O Problema de um Sistema de Controle MA KG(s)H(s) Sistemas simples, fácil encontrar polos; Variações em K não afetam polos. FT equivalente MF T s = KG(s)/ 1 + KG s H(s) Necessário fatorar denominador (polinômio característico) para encontrar polos; Polos de T(s) variam com K.
Geralmente numeradores e denominadores de G(s) e H(s) são conhecidos Zeros de T(s) são zeros de G(s) e polos de H(s) Polos de T(s) não são conhecidos imediatamente e podem mudar com K Exemplo MA KG(s)H(s) Polos: 0, -2 e -4 Zeros: -1 e -3 MF Zeros de T(s) são zeros de G(s) e polos de H(s) Polos de T(s) não são conhecidos imediatamente e podem mudar com K. Fatorar.
Resposta Transiente e Estabilidade dependem dos polos de T(s) Não se conhece desempenho do sistema a menos que o denominador seja fatorado para valores específicos de K LR: representação dos polos de T(s) em função do ganho K
1.2 Representação vetorial de números complexos Número complexo: σ + jω Coordenadas cartesianas: representado gráfica/ como um vetor Forma polar: magnitude M e ângulo θ (M θ)
Substituição do número complexo em uma função complexa F(s) resultará em outro número complexo Exemplo: F s = s + a s = σ + jω F s = σ + a + jω n C novo n C Representação alternativa F s = s + a Zero em a Transladar o vetor em a unidades para esquerda Se origina no zero de F(s) e termina no ponto σ + jω s + a é um número complexo que pode ser representado por um vetor desenhado a partir do zero da função até o ponto s
Exemplo: (s + 7) s 5+j2 É um número complexo traçado a partir do zero da função, 7, até s = 5 + j2
m: número de zeros Cada fator do numerador é um número complexo: vetor Função complexa n: número de polos Cada fator do denominador é um número complexo: vetor Magnitude de F(s) em um ponto s qualquer Comprimento de um zero: Magnitude do vetor traçado a partir do zero de F(s) em z i até o ponto s Comprimento de um polo: Magnitude do vetor traçado a partir do polo de F(s) em p j até o ponto s
Argumento de F(s) em um ponto s qualquer Argumento do zero: ângulo do vetor traçado a partir do zero de F(s) em z i até o ponto s Argumento do polo: ângulo do vetor traçado a partir do polo de F(s) em p j até o ponto s
Exemplo 1 Determine F(s) no ponto s = 3 + j4
Vetores se originam em zeros e polos e terminam no ponto s Vetor com origem no zero = -1 Vetor com origem no polo = 0 Vetor com origem no polo = -2 Cálculo de F(s) no ponto 3 + j4
Exercício 1 Determine F(s) no pontos s = 7 + j9
Exercício 1 Resposta
2. Definição do Lugar Geométrico das Raízes Uma câmera de segurança pode rastrear automaticamente um objeto Sensores de infravermelho e microfone FT MF Polos em MF mudam em função de K LGR: analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transiente e sobre a estabilidade
Localização dos polos em função do ganho Localização individual dos polos em MF
Lugar Geométrico das Raízes Representação do percurso dos polos em MF à medida que o ganho é modificado K 0 A medida que K aumenta O polo em 10 move para direita O polo em 0 move para esquerda Se encontram em 5 Saem do eixo real Se deslocam para plano complexo Um para cima, outro para baixo Mudança na resposta transiente Polos reais para K < 25 (Superamortecido) Polos reais e múltiplos K = 25 (Criticamente Amortecido) Polos complexos K > 25 (Subamortecido) Retira-se a localização individual dos polos em MF Seus percursos são representador por linhas contínuas Região Subamortecida Parte RE{ } não muda T S proporcional 1/ RE{ } Para qualquer ganho, T S é o mesmo T s = 4 ζω n s 1,2 = ζω n ± jω n ζ 2 1
Região Subamortecida A medida que K aumenta Frequencia de oscilação amortecida ω n = Im{polos} aumenta Redução do T p Fração de amortecimento ζ diminui Sobrevalor percentual %OS aumenta s 1,2 = ζω n ± ω n ζ 2 1 T P = π ω n 1 ζ 2 %OS = e ζπ 1 ζ 2 100 LR deste sistema nunca passa para spd Sempre estável, independente de K Nunca produzirá oscilação senoidal Percursos dos polos LR é aplicável a sistemas de ordem superior a 2
3. Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Permite esboço rápido do LR para sistemas de ordem superior Sem fatorar denominador da FT em MF FT em MF Existe um polo s quando o polinômio característico se anula
Forma polar Critério do ângulo: Substituir valor de s em KG(s)H(s) obtêm-se um número complexo Se o seu ângulo for múltiplo ímpar de 180 Será um polo do sistema para um valor particular de K Critério da magnitude:
Portanto Um polo do sistema em MF faz com que o ângulo de KG(s)H(s) seja múltiplo impar de 180 A magnitude KG(s)H(s) deve ser unitária K é o inverso da amplitude de G(s)H(s) Exemplo (para câmera de segurança) K = 5, polos: 9,47 e 0,53 s = 9,47 K = 5 Para qualquer linha da tabela
Para o sistema Polos e zeros de G(s) FT em MA FT em MF Se s for um polo em MF para um K Deve satisfazer
Verificar ponto: Se for um polo em MF para algum K a diferença dos ângulos dos zeros e polos seve ser múltiplo de 180 Portanto, não é um ponto do LR, i.e., não é um polo em MF para algum ganho K
Verificar ponto: Soma dos ângulos resultará em 180 Portanto, é um ponto do LR para algum ganho K
3. Propriedades do Lugar Geométrico das Raízes Resumo Dado polos e zeros da FT em MA KG(s)H(s) Um ponto s estará sobre o LR para um valor de K Se zeros menos polos, em relação a s, somarem (2k + 1)180 Ganho K é encontrado dividindo o produto abs(polos) pelo produto abs(zeros)
Exercício 2 Para o sistema com realimentação unitário, temos a FT no canal direto Calcular o ângulo de G(s) no ponto (-3 + j0) Usando soma algébrica dos vetores Está sobre o LR? Encontrar K Usando comprimento dos vetores
Exercício 2 Soma é igual a 180 O ponto está sobre LR K = 10
4. Representação Esquemática do LGR LGR pode ser obtido Realizando-se uma varredura no plano s para localizar pontos cujos ângulos são múltiplos ímpares de 180 Trabalhoso sem auxilio computacional, mas Existem regras para representar esquematicamente (esboço) Mínimo de cálculos Visão global intuitiva do comportamento do sistema de controle Em seguida, posicionar pontos de interesse (refinamento) Pontos e ângulos sobre o LGR Requer cálculos
1ª Regra - Número de ramos Um ramo é o caminho percorrido pelo polo quando ganho é variado O número de ramos do LGR é igual ao número de polos em MF Exemplo: Dois ramos Um começa em 0, o outro em -10.
2ª Regra Simetria O LGR é simétrico em relação ao eixo real Obs.: Polos não complexo conjugados, significa coeficientes complexos. Isso não acontece para sistemas fisicamente realizáveis.
3ª Regra Segmentos sobre o eixo real Onde ocorre segmentos sobre o eixo real? propriedade angular No eixo real, para K > 0, o LGR existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos em MA sobre o eixo real Sistema em MA genérico Contribuição angular dos polos e zeros nos pontos P 1, P 2, P 3 e P 4 sobre o eixo real A contribuição angular de um par de polos (ou zeros) complexos em MA é nula A contribuição dos polos e zeros em MA à esquerda do ponto respectivo é nula Portanto, a única contribuição vem dos polos e zeros em MA sobre eixo real à direita do respectivo ponto Ângulos se alternam entre 0 e 180 180 para regiões que existem à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros
Seguimentos de eixo real estão entre -1 e -2 e entre -3 e -4 No eixo real o LGR existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos em MA sobre o eixo real
4ª Regra Pontos de início e de término Onde se inicia (ganho zero). Onde termina (ganho infinito). Expansão além dos segmentos sobre o eixo real O LGR se inicia nos polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s) São os polos e zeros em MA G(s)H(s) FT em MF K 0 Polos em MF tendem aos polos de MA G(s)H(s) Lugar onde inicia K Polos em MF tendem aos zeros de MA G(s)H(s) Lugar onde termina
Seguimentos de eixo real estão entre -1 e -2 e entre -3 e -4 complexo conjugados LGR se inicia nos polos em -1 e -2 e termina nos zeros em -3 e -4 se afastam se encontram
5ª Regra Comportamento no infinito Aplicando Regra 4 em Ocorrem polos finitos: s = 0, -1 e -2 não há zeros finitos Uma FT também pode ter polos e zeros infinitos Se FT quando s, FT terá um polo no Se FT 0 quando s, FT terá zero no Ex.: G(s) = s tem um polo no infinito Ex.: G(s) = 1/s tem um zero no infinito
Toda função de s possuirá um número igual de polos e zeros se forem incluídos Polos e zeros infinitos e bem com polos e zeros finitos Regra4: O LGR se inicia nos polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s) s 3 polos finitos 3 zeros infinitos LGR se inicia nos polos finitos de KG(s)H(s) e termina nos zeros infinitos Onde estão os zeros infinitos? Regra 5
5ª Regra Comportamento no infinito (continuação) O LGR tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A equação das assíntotas é dada pelo ponto de interseção sobre o eixo real σ a e o ângulo θ a : Onde k = 0, ±1, ±2, ±3 ângulo em radianos k fornece uma multiplicidade de retas que considera os muitos ramos de um LGR que tende a infinito Ou seja, para encontrar o ângulo de cada assíntota
Exemplo 2 Fazer esboço do LGR para o sistema
Calculando assíntotas Ponto de interseção sobre eixo real Ângulos das retas que se cruzam em 4 3 O nº de retas obtidas é igual #polos_finitos #zeros_finitos... ângulos se repetem para k aumentando Regra 4: LGR começa nos polos MA e termina nos zeros MA 4 polos finito, 1 zero finito Logo, existem zeros no infinito Assíntotas indicam como alcançar esses zeros no infinito
LGR completo com assíntotas Regra 1: O número de ramos do LGR é igual ao número de polos em MF Regra 2: O LGR é simétrico em relação ao eixo real Regra 3: No eixo real, para K>0, o LGR existe à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros finitos em MA sobre o eixo real Regra 4: O LGR se inicia nos polos finitos e infinitos de G(s)H(s) e termina nos zeros finitos e infinitos de G(s)H(s) Regra 5: O LGR tende a retas assintóticas quando o lugar tende a infinito. A equação das assíntotas é dada pelo ponto de interseção sobre o eixo real σ_a e o ângulo θ_a Seguimentos do eixo real posicionam-se à esquerda de um número ímpar de polos e/ou zeros O LGR começa nos polos em MA e termina nos zeros em MA 1 zero finito, 3 zeros no infinito Regra 5: esses 3 zeros no infinito estão nas extremidades das assíntotas
Exercício 3 Esboce LGR e suas assíntotas do sistema em MF, cuja FT em canal direto é
5. Refinando a Representação Esquemática Determinar com exatidão pontos importantes com respectivo K Pontos de entrada e de saída sobre o eixo real Pontos sobre o eixo jω Determinar ângulos De partida de polos complexos De chegada em zeros complexos Soma dos ângulos dos zeros menos a soma dos ângulos dos polos é múltiplo impar de 180 Ganho é o produto dos polos pelo produto dos zeros no ponto
5.1. Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real Regras do esboço: 1 Número de Ramos 2 Simetria 3 Segmentos sobre o eixo real 4 Pontos de início e término LGR saindo do eixo real entre -1 e -2 retornando entre 3 e 5 Ponto de Saída Ponto de Entrada Nos pontos de Entrada e de Saída os ramos do LGR formam um ângulo de 180 /n com o eixo real. n é um número de polos em MF chegando ou saindo de um ponto de entrada ou de saída no eixo real Para os 2 polos, temos ramos no ponto de saída que formam 90 com o eixo real.
5.1. Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real K = 0 polos em MF em -1 e -2. Aumentando K, polos se movem um em direção ao outro. Portanto, ganho máximo sobre eixo real no ponto de saída. Ponto de partida ocorre no ponto de ganho máximo sobre eixo real entre os polos de MA.
5.1. Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real Quando par de polos em MF volta ao eixo real, K continua aumentando até em direção aos zeros em MA O ganho no ponto de entrada é o ganho mínimo encontrado no eixo real entre os dois zeros.
5.1. Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real Curva K versus σ Ponto de saída no ganho máximo Ponto de entrada no ganho mínimo Variação do ganho sobre eixo real
5.1. Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real Existem 3 métodos para determinar estes pontos 1º) Maximizar e minimizar K utilizando cálculo diferencial Para todos pontos do LGR Nos pontos do eixo real do LGR de entrada e saída, s = σ Curva K versus σ Derivando em relação a σ e igualando a derivada a zero determina-se pontos de máximo e mínimo pontos de saída e de entrada
Exemplo Determinar pontos de entrada e saída para o LGR Pela figura, utilizamos polos e zeros em MA para representar sistema em MA
Exemplo Sobre eixo real, s = σ Para todos pontos do LGR Explicitando K Derivando e igualando a zero u v = v u u v v 2 Resolvendo σ, obtemos pontos de saída e de entrada
5.1. Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real Existem 3 método para determinar estes pontos 2º) Método de transposição Elimina etapa de derivação O pontos de saída e de entrada satisfazem à relação Onde z i e p i são os negativos dos zeros e dos polos de G(s)H(s)
Exemplo Determinar pontos de entrada e saída para o LGR sem utilizar derivação
5.1. Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real Existem 3 método para determinar estes pontos 3º) Computacionalmente Investigar ponto de ganho máximo entre -1 e -2 Investigar ponto de ganho mínimo entre +3 e +5
Exercício 4 Criar rotina no Matlab para encontrar Pontos de Saída e de Entrada no Eixo Real do exemplo mostrado
5.2. Interseção com o eixo jω Importância do ponto de interseção do eixo jω É um ponto do LGR que separa a operação estável da operação instável ω fornece a frequência de oscilação Normalmente, K será o ganho positivo máximo para a estabilidade do sistema Mas podem existir exemplos onde K sistema instável e K sistema estável LGR inicia spd e finaliza spe
5.2. Interseção com o eixo jω Para determinar ponto de interseção Critério de Rough-Hurwitz Forçar uma linha de zeros para se obter o ganho Retornar à linha anterior para Formar a eq. de polinômio par usando o K calculado Determinar raízes para se obter frequência do ponto de interseção
Exemplo Determinar frequência e ganho K onde o LGR cruza o eixo imaginário Determinar faixa de ganhos para estabilidade
Uma linha completa de zeros resulta na possibilidade de raízes sobre eixo imaginário. Como K > 0, a linha s 2 não pode resultar em linha de zeros Como K > 0, somente a linha s 1 pode resultar em linha de zeros Formando o polinômio par na linha s 2 com K = 9.65 s = LGR cruza o eixo jω em ±1.59 com ganho K = 9.65 Sistemas estável para 0 < K < 9.65
LGR cruza o eixo jω em +1.59 com ganho K = 9.65 LGR cruza o eixo jω em 1.59 com ganho K = 9.65
5.2. Interseção com o eixo jω Um outro método utilizado para determinar interseção No ponto de interseção com o eixo jω A soma dos ângulos a partir dos polos e zeros em MA finitos deve totalizar 2k + 1 180 Assim, pode-se procurar no eixo jω até encontrar o ponto que atende a essa condição de ângulo Esse método vale também para determinar qualquer ponto do LGR
5.3. Ângulos de Partida e de Chegada Refinar ainda mais o esboço do LGR Lembrando, LGR se inicia nos polos em MA e finaliza nos zeros em MA Calcular ângulo de partida do LGR a partir dos polos complexos e o ângulo de chagada dos zeros complexos Admitindo um ponto ε no LGR próximo ao polo complexo A soma dos ângulos traçados a partir de todos os polos e zeros finitos até este ponto é múltiplo impar de 180 Admite-se que estes ângulos em relação a ε são os próprios ângulos em relação ao polo próximo a ε O único ângulo desconhecido na soma é o ângulo desenhado a partir do polo que está próximo de ε Que é o ângulo de partida desse polo complexo
5.3. Ângulos de Partida e de Chegada Admitindo um ponto ε no LGR próximo ao zero complexo A soma dos ângulos traçados a partir de todos os polos e zeros finitos até este ponto é múltiplo impar de 180 Admite-se que estes ângulos em relação a ε são os próprios ângulos em relação ao zero próximo a ε O único ângulo desconhecido na soma é o ângulo desenhado a partir do zero que está próximo de ε Que é o ângulo de chegada desse zero complexo
Exemplo Para sistema com realimentação unitária Encontrar ângulos de partida para os polos complexos Esboçar LGR
Usando os polos e zeros podemos calcular a soma dos ângulos até o ponto ε, próximo ao polo complexo -1+j1 O ângulo de partida do polo complexo ajuda a refinar a forma do LGR
5.4. Traçando e Calibrando o LGR Feito o esboço Podemos ainda localizar exatamente pontos no LGR e seu ganho K Ex.: Podemos saber a coordenada exata do LGR que cruza a linha radial correspondente a 20% de sobrevalor (overshoot) e seu ganho K
5.4. Traçando e Calibrando o LGR Encontrar ponto exato no qual o LGR cruza a reta da taxa de amortecimento de 0.45 e o seu ganho K
Para alguns pontos teste na reta ζ = 0,45 avaliar suas somas angulares e localizar o ponto no qual a soma angular resulta em um múltiplo impar de 180 Ponto do LGR que cruza reta ζ = 0,45. Polos e zeros em MA. Reta para ζ = 0,45. Ex.: Ângulos do zero menos dos polos no ponto de raio r = 2 Não é múltiplo ímpar de 180. Não é ponto do LGR.
Pertence ao LR
5.4. Traçando e Calibrando o LGR Resumo Um ponto em uma reta de interesse faz parte do LGR Quando a soma dos ângulos (ângulos dos zeros ângulos dos polo) é múltiplo de 180 Seu ganho é dado Multiplicando o módulo dos polos até o ponto e dividindo pela multiplicação dos modulos dos zeros até o ponto
Exercício 5 Para o sistema com FT malha direta Esboçar LGR Achar interseção com o eixo jω Achar ganho na interseção com o eixo jω Achar ponto de chegada Encontrar ângulo de partida dos polos complexos
Exercício 5 s = ±j 21 K = 4 Ponto de chegada = -7 Ângulo de partida = -233.1
Exercício 6 Esboçar LGR para sistema e determinar O ponto exato e o ganho onde o lugar cruza a reta de fração de amortecimento igual a 0,45 O ponto exato e o ganho onde o lugar cruza o eixo jω O ponto exato e o ganho de saída sobre eixo real A faixa de valores de K para a qual o sistema é estável
Atividade computacional
Exercício 7 Para o sistema com realimentação unitária com FT Esboçar LGR Determinar O ponto de interseção com o eixo imaginário O ganho K no ponto de interseção com o eixo jω A localização do ponto de entrada O ponto onde o lugar cruza a reta de fração de amortecimento 0.5 e seu ganho K A faixa de ganho K para o qual o sistema é estável
Itens complementares (consultar livro texto) Projeto da resposta transiente através do ajuste do ganho LGR generalizado Sensibilidade de polos
7. Projeto da resposta transiente através do ajuste do ganho As expressões do sobrevalor percentual, o tempo de assentamento e o tempo de pico Foram deduzidas para sistemas com 2 polos complexos em MF e sem zeros em MF Os efeitos de polos e zeros adicionais podem ser aproximado através sistema com 2 polos complexos
7. Projeto da resposta transiente através do ajuste do ganho Condições que justificam uma aproximação de segunda ordem 1ª) Polos de ordem superior no spe estão mais afastados do eixo imaginário que o par de polos de 2ª ordem dominantes A resposta deste polo de ordem superior não muda sensivelmente a resposta transiente 2ª) Zeros em MF próximo ao par de polos de 2ª ordem em MF são quase cancelados pela proximidade dos polos em MF de ordem superior 3ª) Zeros em MF não cancelados pela proximidade de polos em MF de ordem superior estão em grande parte removidos a partir do par de polos de 2ª ordem em MF
Segundo a 1ª condição: Sistema (b) produz uma melhor aproximação de segunda ordem que o Sistema (a)
Segundo a 2ª condição: Sistema (d) produz uma melhor aproximação de segunda ordem que o Sistema (a), pois o polo em MF p 3 está mais perto de cancelar o zero em MF
Bibliografia básica Engenharia de Sistemas de Controle, autor Norman S. Nise, 5ª ed., LTC. Textos, figuras e formulações