MATEMÁTICA Questões comentadas Daniela Arboite TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é punível como crime, com pena de prisão e multa (art. 184 e parágrafos do Código Penal), conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei nº 9.610, de 19/02/98 Lei dos Direitos Autorais). Daniela Arboite
OPERADORES LÓGICOS Negação: ou (não, não é verdade que, é falso que...) Conjunção: (e, mas, porém, entretanto,...) Disjunção Inclusiva: (ou) Disjunção exclusiva: (Ou... ou...) Implicação ou Condicional: (Se..., então... / Caso / Quando / Implica) Dupla implicação ou bicondicional: (Se, e somente se) OPERAÇÕES LÓGICAS Símbolo Linguagem corrente Valor lógico Exemplo Negação não, não é verdade que, é falso que Contrário ao da proposição 3 é ímpar. (V) 3 não é ímpar. (F) Conjunção e, mas, porém, entretanto V quando ambas V Haverá aula de Português e de Raciocínio Lógico. Disjunção Inclusiva Disjunção Exclusiva ou F quando ambas F Ou... ou... V quando VF ou FV Bia foi aprovada no concurso do TRT ou no concurso do MP. Ou Ana é gaúcha ou Ana é carioca. Condicional Se..., então... F quando VF Se Ana nasceu no RS, então Ana é brasileira. Bicondicional se, e somente se, V quando ambas V ou ambas F Viajo se, e somente se, tenho dinheiro. Daniela Arboite 1
NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS Operação Conjunção p q Viajo e estudo. p q Negação Não viajo ou não estudo. Disjunção Inclusiva p q Caso ou compro uma bicicleta. p q Não caso e não compro uma bicicleta. Condicional p q Se viajo, então leio. p q Viajo e não leio. Bicondicional p q Estudo se, e somente se, tenho prova. p q Ou estudo ou tenho prova. NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES CATEGÓRICAS TODO aluno que estuda é aprovado. Negação: algum não, pelo menos um não, existe um que não Algum aluno que estuda não é aprovado. Pelo menos um aluno que estuda não é aprovado. Existe aluno que estuda e não é aprovado. NENHUM aluno será reprovado. Negação: algum, pelo menos um, existe um Algum aluno será reprovado. Pelo menos um aluno será reprovado. Existe aluno que será reprovado. 2 Daniela Arboite
PROPRIEDADES COMUTATIVA E DISTRIBUTIVA PROPRIEDADE COMUTATIVA (A B) (B A) Paulo é atleta e Ana é juíza é equivalente a Ana é juíza e Paulo é atleta. (A B) (B A) Viajo ou estudo é equivalente a Estudo ou viajo. PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA A (B C) (A B) (A C) A (B C) (A B) (A C) Chove, mas não faz frio ou neva. A (B C) Chove e não faz frio ou chove e neva. (A B) (A C) Estudo ou reprovo e fico chateado. A (B C) Estudo ou reprovo e estudo ou fico chateado. (A B) (A C) Daniela Arboite 3
LEIS DE DE MORGAN (A B) A B (A B) A B Chove e faz frio. Negação: Não chove ou não faz frio. Estudo ou reprovo. Negação: Não estudo e não reprovo. TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA TAUTOLOGIA CONTRADIÇÃO CONTINGÊNCIA OU INDETERMINADA DEFINIÇÃO É toda proposição cujo valor lógico é sempre a verdade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. É toda proposição cujo valor lógico é sempre a falsidade, quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições componentes. É toda proposição que não é tautologia nem contradição. EXEMPLO p p p p p q TODOS OS DIREITOS RESERVADOS. É vedada a reprodução total ou parcial deste material, por qualquer meio ou processo. A violação de direitos autorais é punível como crime, com pena de prisão e multa (art. 184 e parágrafos do Código Penal), conjuntamente com busca e apreensão e indenizações diversas (arts. 101 a 110 da Lei nº 9.610, de 19/02/98 Lei dos Direitos Autorais). 4 Daniela Arboite
Proposições simples e compostas; Álgebra proposicional; Implicação lógica; Equivalência lógica; Propriedades Comutativa, Distributiva e Leis de De Morgan; Tautologia, contradição e contingência; Sentenças abertas; Proposições categóricas; Diagramas lógicos; Afirmação e negação; Lógica de argumentação. Analogias. Análise Combinatória: raciocínio multiplicativo, raciocínio aditivo; combinação, arranjo e permutação. Progressões aritméticas e progressões geométricas. Daniela Arboite 5
Prefeitura de Foz do Iguaçu PR 2011 1. Considere as sentenças a seguir: I. Faça o trabalho com atenção! II. Se chover muito, haverá inundação. III. Quanto custa este carro? É CORRETO afirmar que (A) apenas II é uma proposição. (B) apenas I e II são proposições. (C) apenas I e III são proposições. (D) I, II e III não são proposições. (E) I, II e III são proposições. Proposições são frases declarativas, constituídas por sujeito e predicado. I. Faça o trabalho com atenção! Frase imperativa. Não é proposição. II. Se chover muito, haverá inundação. Frase declarativa. É uma proposição condicional. III. Quanto custa este carro? Frase interrogativa. Não é proposição. ALTERNATIVA A PGE RS 2014 Assistente Administrativo 2. Considerando as seguintes sentenças: I. Está chovendo. II. Pedro é médico ou Paula é engenheira. III. Faça o seu trabalho em silêncio. IV. Quem fez isso? Analisando as sentenças acima, é correto afirmar que: (A) Apenas II não é uma proposição. (B) Apenas I e II são proposições. (C) Apenas I e III não são proposições. (D) I, III e IV não são proposições. (E) I, II e III são proposições. Proposições são frases declarativas, constituídas por sujeito e predicado. Não são proposições: III. Faça o seu trabalho em silêncio. IV. Quem fez isso? ALTERNATIVA B SUSEPE RS 2014 Agente Penitenciário 3. Sejam dadas as proposições a seguir: I. 3x 6 9. II. 4 + 5 8. III. O lucro da empresa cresceu apenas 2% em 2013. IV. 2 é o único número primo que é par. Quais delas são proposições lógicas? 6 Daniela Arboite
(A) Apenas I. (B) Apenas III. (C) Apenas I e III. (D) Apenas II e III. (E) Apenas II e IV. Proposição é uma sentença declarativa. Uma proposição é lógica ou fechada quando é possível julgá-la como verdadeira ou falsa. I. 3x 6 9. É uma proposição aberta. II. 4 + 5 8. É uma proposição lógica (fechada). III. O lucro da empresa cresceu apenas 2% em 2013. É uma proposição aberta. IV. 2 é o único número primo que é par. É uma proposição lógica (fechada). ALTERNATIVA E PGE RS 2014 Cargos de nível superior 4. Dadas as sentenças: I. Hoje choveu em Porto Alegre-RS. II. Quando chegam visitas na minha casa, todos os cachorros latem. III. Vire à esquerda e siga em frente. IV. Que dia lindo! V. Quando será a próxima prova de Raciocínio Lógico? É correto afirmar que: (A) A sentença I é uma proposição lógica ou fechada. (B) A sentença II é uma proposição condicional. (C) A sentença III é uma proposição conjuntiva. (D) A sentença IV é uma proposição exclamativa. (E) A sentença V é uma proposição interrogativa. Proposição é uma sentença declarativa. Uma proposição é fechada quando é possível julgá-la como verdadeira ou falsa. I. Hoje choveu em Porto Alegre-RS. Não é uma proposição fechada. II. Quando chegam visitas na minha casa, todos os cachorros latem. É uma proposição condicional. III. Vire à esquerda e siga em frente. Não é proposição frase imperativa. IV. Que dia lindo! Não é proposição frase exclamativa. V. Quando será a próxima prova de Raciocínio Lógico? Não é proposição frase interrogativa. A sentença II é uma proposição condicional. ALTERNATIVA B Daniela Arboite 7
IRGA 2013 médio 5. Considere as seguintes sentenças: I. João viajou ontem. II. Vamos estudar! III. O número 2 é um número natural. Levando-se em conta o conceito de proposição, pode-se concluir que (A) I é uma proposição categórica. (B) II é uma proposição verdadeira. (C) I e III são proposições. (D) II e III são proposições lógicas. (E) I, II e III são proposições falsas. Proposições são frases declarativas, constituídas por sujeito e predicado. I. João viajou ontem. Frase declarativa. É uma proposição. II. Vamos estudar! Frase imperativa. Não é proposição. III. O número 2 é um número natural. Frase declarativa. É uma proposição lógica falsa. ALTERNATIVA C IPASEM 2016 Cargos de nível médio 6. A alternativa correta para uma proposição é: (A) Camila terminou o ensino básico em dezembro de 2015. (B) Pare, o semáforo está vermelho. (C) Bom dia! (D) Feche a porta ao sair do carro. (E) Qual o nome do atual presidente do Brasil? Proposições são frases declarativas, constituídas por sujeito e predicado. (A) Camila terminou o ensino básico em dezembro de 2015. Frase declarativa. É uma proposição. (B) Pare, o semáforo está vermelho. Frase imperativa. Não é proposição. (C) Bom dia! Frase exclamativa. Não é proposição. (D) Feche a porta ao sair do carro. Frase imperativa. Não é proposição. (E) Qual o nome do atual presidente do Brasil? Frase interrogativa. Não é proposição. ALTERNATIVA A 8 Daniela Arboite