Pontifícia Universidade Católica de Goiás Escola de Engenharia Sistemas de Controle 1 Cap5 Redução de Subsistemas Múltiplos Prof. Filipe Fraga
Sistemas de Controle 1 5. Redução de Subsistemas Múltiplos 5.1 Introdução 5.2 Diagramas de Blocos 5.3 Análise e Projeto de Sistemas com Retroação 5.4 Diagramas de Fluxo de Sinal 5.5 Regra de Mason 5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado 5.7 Representações Alternativas no Espaço de Estados 5.8 Transformações de Similaridade
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Desenho de diagramas de fluxo de sinal a partir das equações de estado. Considere as seguintes equações de estado e de saída: Passo 1) Identifique três nós como variáveis de estado, x1, x2 e x3. Passo 2) Posicione 1 nó representando a derivada do sinal a esquerda de cada nó anterior.
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 3) Identifique também um nó como entrada, r, e um outro nó como saída, y. Passo 4) Interconecte as variáveis de estado e suas derivadas com a integração, 1/s. Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equação 1 do sistema:
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equações 1 e 2 do sistema:
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equações 1, 2 e 3 do sistema:
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Passo 5) Alimente cada um dos nós com os sinais indicados pelo sistema de equações. Equação da saída: Diagrama pronto!
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Multiplicando matrizes para construir equações:
5.6 Diagramas de Fluxo de Sinal das Equações de Estado Esboçando o diagrama
Os sistemas podem ser representados no espaço de estados usando variáveis de fase, conforme visto no Cap. 3. Contudo, a modelagem de sistemas no espaço de estados pode assumir muitas formas de representação além da que resulta com as variáveis de fase. Motivos para representar sistemas de diferentes formas: - Aplicações específicas: Um conjunto de variáveis de estado, com sua representação exclusiva, pode modelar as variáveis físicas reais de um sistema, como as saídas de amplificadores e de filtros. - A facilidade de solução: Uma escolha particular de variáveis de estado pode desacoplar o sistema de equações diferenciais simultâneas. - A facilidade de modelagem Formas de representação abordadas: Forma em Cascata Forma Paralela Forma Canônica do Controlador Forma Canônica do Observador
Forma em Cascata Representação utilizada no Cap. 3 com variáveis de fase: Construindo representação alternativa em cascata: Dividindo função em blocos: Função equivalente:
Forma em Cascata Função de transferência para cada um dos blocos: Aplicando transformada inversa Representação em diagrama de fluxo de sinal para um bloco. Isolando a derivada
Forma em Cascata Colocando em cascata o diagrama de fluxo de sinal:
Forma em Cascata Diagrama de fluxo de sinal:
Forma em Cascata x 3 x 2 x 1 Montando sistema de equações de estado a partir do diagrama:
Comparando diagrama e as matrizes x 3 x 2 x 1 Matriz B Entrada Matriz C Saída Representação no Espaço dos Estados Matriz A Sistema Função de transferência Pólos do sistema na diagonal da matriz
Comparando matrizes desenvolvidas no Cap. 3 para variáveis de fase e a representação alternativa em cascata: As matrizes são diferentes porém o sistema é equivalente Representação com variáveis de fase Representação alternativa em cascata Polinômio característico do sistema aparece ao longo da última linha Raízes da equação característica aparecem ao longo da diagonal.
Forma Paralela Conduz a uma matriz A diagonal, desde que não haja pólo como raiz repetida da equação característica. Deduzida a partir de uma expansão em frações parciais da função de transferência do sistema. x 1 Representação no Espaço dos Estados: x 2 x 3
Forma Paralela Representação no Espaço dos Estados: Representação matricial vetorial: Detalhes da representação A matriz de sistema é diagonal. Cada uma das equações é uma equação diferencial de primeira ordem com uma única variável. As equações podem ser resolvidas de forma independente. As equações estão desacopladas. x 1 x 2 x 3
Forma Paralela Caso em que o denominador da função de transferência possui raízes reais repetidas. Matriz do sistema não é diagonal. x 2 x 1 Representação no Espaço dos Estados: (escrito por inspeção a partir do diagrama de fluxo de sinal) x 3
Forma Paralela Representação no Espaço dos Estados: (escrito por inspeção a partir do diagrama de fluxo de sinal) Representação matricial vetorial: Embora a matriz do sistema não seja diagonal, possui os pólos do sistema ao longo da diagonal. A forma da matriz de sistema é conhecida como forma canônica de Jordan.
Forma Canônica do Controlador Uma outra representação que usa variáveis de fase é chamada de forma canônica do controlador, assim designada devido ao seu uso no projeto de controladores, abordado no Cap. 12 (Nise). Exemplo: Representação matricial (dedução no exemplo 3.5 do livro) Renumerando as variáveis de fase em ordem inversa
Forma Canônica do Controlador Rearranjando em ordem numérica crescente, temos a forma canônica do controlador Linhas e colunas são reordenadas: Linha 1 Linha 3 Linha 3 Linha 1 Coluna 1 Coluna 3 Coluna 3 Coluna 1
Forma Canônica do Controlador Comparando formas de representação: Forma em variáveis de fase Forma canônica do controlador
Forma Canônica do Controlador Forma em variáveis de fase Matriz de sistema companheira inferior Forma canônica do controlador Matriz de sistema companheira superior Observações: A forma em variáveis de fase e a forma canônica do controlador contêm os coeficientes do polinômio característico na linha superior ou inferior, respectivamente. As matrizes de sistema que contêm os coeficientes do polinômio característico são chamadas matrizes companheiras do polinômio característico.
Forma Canônica do Observador Assim designada por seu uso no projeto de observadores (tratado no Cap. 12) Conduz a matriz de sistema a uma forma matriz companheira à esquerda. Exemplo: Dividindo por s 3 em cima e embaixo Multiplicando cruzado Realizando distributiva e isolando termo C(s) com fator de multiplicação 1. Combinando os termos de mesma potência de integração Ou Equação com apenas integrações simples
Forma Canônica do Observador Montando diagrama de fluxo de sinal
Forma Canônica do Observador Montando diagrama de fluxo de sinal
Forma Canônica do Observador Montando diagrama de fluxo de sinal
Forma Canônica do Observador Montando diagrama de fluxo de sinal
Forma Canônica do Observador Representação no Espaço dos Estados Variáveis de estado como saída dos integradores Forma matricial vetorial y x 3 x 2 x 1
Forma Canônica do Observador Analisando forma matricial Função de transferência Semelhante a forma com variáveis de fase. Coeficientes do denominador da função de transferência estão na primeira coluna e que os coeficientes do numerador formam a matriz de entrada B A matriz A é a transposta da forma canônica do controlador. O vetor B que é o transposto do vetor C da forma canônica do controlador. O vetor C que é o transposto do vetor B da forma canônica do controlador. Forma Canônica do Observador e a forma canônica do controlador são duais.
Forma Canônica do Observador A D B D Forma Canônica do Controlador A T C T C D B T Forma Canônica do Observador e a forma canônica do controlador são duais. Se um sistema for descrito por A, B e C, seu dual será descrito por A D = A T, B D = C T e C D = B T.
Forma Canônica do Observador Forma Canônica do Controlador Comparando diagramas de fluxo duais
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata.
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Separar função de transferência no caminho direto em blocos: R(s) 1 1 X 1 (s) 100 C(s) s + 5 (s + 2) (s + 3) Escrever blocos como diagrama de fluxo de sinal
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. R(s) X 1 2 (s) 1 X 1 (s) 100 C(s) s + 5 (s + 2) (s + 3) R(s)
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Montando diagrama para o zero da função: X 1 (s) s + 5 C(s) x 1 s C s = s + 5 X 1 (s) C s = sx 1 s + 5X 1 s C s = X 1 s + 5X 1 s
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Inserindo malha de retroação: Forma em cascata
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Escrevendo por inspeção as equações de estado: x 2 s x 1 s
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Escrevendo por inspeção as equações de estado: x 2 s x 1 s
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Escrevendo por inspeção as equações de estado: x 2 s x 1 s
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Simplificando o sistema: x 2 s x 1 s
Representação de sistemas com retroação no espaço de estado Problema Representar, no espaço de estados, o sistema de controle com retroação mostrado na Fig. 5.29. Modele a função de transferência do canal de ação à frente na forma em cascata. Escrevendo em forma matricial vetorial: