AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho º 0 - Probabilidades - 1º ao Metas (C.A.) 1. Um cojuto X tem 10 elemetos. Quatos subcojutos de X, com 3 elemetos, é possível formar?. Exprima cada uma das seguites somas algébricas como uma úica fração e simplifique-a tato quato possível. 1 1. A A 1! ( )!!.1. 3. Determie para que valor atural de se verifica: 3.1. ( )! 6 3.. 1 1 3 C 3 C4 C5 C 1 0! 4. Cosidere os subcojutos A e B de um cojuto U. Simplifique as seguites expressões. 4.1. B B A 4.. AB A 4.3. AB A 4.4. B A B A 4.5. A B A A 5. Seis joves, a Aa, a Beatriz, o Carlos, a Dália, o Eduardo e a Filipa vão cocorrer a um sorteio de seis viages, a saber, a Barceloa, Berlim, Lodres, Madrid, Paris e Roma. Supodo que cada jovem vai gahar uma viagem, de quatas maeiras diferetes pode resultar este sorteio? 6. Os 5 aluos de uma turma vão participar um toreio de adebol de cico, sedo distribuídos por cico equipas, idetificadas pelas letras A, B, C, D e E. De quatas maeiras diferetes poderá ser feita a distribuição dos aluos pelas equipas? 7. Laçou-se um dado cúbico com as faces umeradas de 1 a 6 e um dado octaédrico com as faces umeradas de 1 a 8 e registaram-se os úmeros das faces que ficaram voltadas para cima. Idetifique o úmero de resultados possíveis para esta experiêcia. 8. * Um cojuto tem 4096 subcojutos. Quatos desses subcojutos tem exatamete 6 elemetos? 9. Um código é formado por sete caracteres dos quais quatro têm de ser algarismos e três têm de ser vogais. Quatos códigos diferetes é possível formar tais que: 9.1. os algarismos e as vogais sejam dispostos de forma alterada? 9.. os símbolos iiciais e fiais sejam algarismos e as vogais estejam jutas? 9.3. as vogais fiquem os lugares cetrais e os algarismos sejam todos ímpares? 9.4. * haja uicamete dois algarismos iguais a 3? 9.5. * ão haja qualquer restrição à forma como se dispõem? 10. Utilizado os algarismos do cojuto A={1,,3,4,5,8,9}, quatos úmeros de três algarismos é possível formar de modo que: 10.1. teham exatamete dois algarismos iguais a 3? 10.. os úmeros sejam múltiplos de 5? 10.3. * o produto dos algarismos seja um úmero par? 11. Quatos códigos de 4 algarismos é possível formar sabedo que cada código tem exatamete um algarismo igual a 5? 1. Foram extraídas sucessivamete e com reposição quatro cartas de um baralho de 5 cartas. Determie de quatas maeiras diferetes é possível obter: 1.1. por esta ordem, um ás, duas figuras e um úmero superior a 5. 1.. primeiro duas cartas vermelhas e depois duas cartas de espadas. 13. Cosidere o cojuto A={1,,3,4,5,6,7,8,9 }. Quatos úmeros de quatro algarismos diferetes é possível formar que sejam: 13.1. superiores a 3000? 13.. pares? 13.3. múltiplos de 5? 13.4. * iferiores a 5840? 14. A turma da Beatriz tem 8 aluos dos quais 1 são rapazes. De quatas maeiras diferetes pode resultar a eleição do delegado e subdelegado de turma se: 14.1. O delegado for rapariga e o subdelegado for rapaz? 14.. O delegado e o subdelegado forem do mesmo sexo? 14.3. A Beatriz, for eleita?
15. Um saco cotém sete cartões idistiguíveis ao tato e umerados de 1 a 7. Foram extraídos sem reposição três cartões e dispostos por ordem formado um úmero. 15.1. Quatos úmeros é possível formar? 15.. Dos úmeros que é possível formar, quatos 15..1. têm dois algarismos pares? 15... são ímpares? 16. De quatas maeiras diferetes é possível dispor 6 livros uma prateleira de forma que fiquem jutos e ecostados 4 livros um extremo e outro? 17. * Num debate participam, para além do moderador, 8 pessoas, havedo dois represetates por cada uma das quatro orgaizações covidadas. De quatas maeiras se podem dispor uma mesa quadrada se o moderador ficar um lado fixo e os participates em lados opostos de modo que os elemetos da mesma orgaização fiquem jutos e haja o mesmo úmero de pessoas em ambos os lados? 18. Uma sequêcia de letras diz-se um «aagrama» de uma outra se o úmero de ocorrêcias de qualquer letra for igual em ambas. Quatos aagramas existem da palavra MARGARIDA? 19. Cosidere todos os úmeros que se podem obter alterado a ordem dos algarismos do úmero 344 451. 19.1. Quatos úmeros é possível formar? 19.. Quatos desses úmeros são ímpares? 0. ** Dez livros de Matemática e cico de Física vão ser dispostos, lado a lado, uma prateleira. De quatas formas distitas se poderão arrumar os livros de modo que ão fiquem dois livros de Física lado a lado? 1. De quatas maeiras diferetes podem 8 automóveis ser arrumados um parque com 1 lugares dispoíveis?. Cosidere os potos (distitos) A, B, C, D e E pertecetes a uma circuferêcia. Quatas cordas existem com extremos estes potos? 3. Numa gelataria há oito sabores diferetes, sedo cico sabores de fruta e aida sabor a café, a chocolate e a amêdoa. De quatas maeiras é possível escolher três sabores diferetes para um copo, se: 3.1. ão houver qualquer restrição? 3.. uicamete dois dos sabores forem de fruta? 3.3. pelo meos um dos sabores for de fruta? 3.4. o sabor a café e a iwi ão forem pedidos simultaeamete? 3.5. os sabores a café e a amêdoa forem sempre pedidos em cojuto? 4. De quatas maeiras é possível selecioar cico cartas de um baralho de 5 cartas de forma que quatro sejam figuras e uma seja ás? 5. Quatos divisores aturais tem o úmero 400= 5 x3x5? 6. Cosidere um prisma hexagoal reto. 6.1. * Quatas retas distitas passam por dois vértices do prisma e ão cotêm qualquer aresta do prisma? 6.. Das retas idetificadas a alíea aterior, quatas são paralelas às bases? 6.3. *Um vértice de uma base e dois vértices da outra base são vértices de um mesmo triâgulo. Quatos desses triâgulos existem? 7. Quatos camihos existem, seguido as lihas da quadrícula, que liguem o poto A ao poto B, passado por C, e sem adar da direita para a esquerda em de cima para baixo? 11 11 8. Determie os valores possíveis de tais que C C 1 8 9. O sexto e o sétimo elemetos de uma liha do triâgulo de Pascal são iguais. Qual é o elemeto cetral da liha seguite? 11 11 1 30. Determie C C C sabedo que e que 13 C 3 1716 e que p<8. p1 p p3 31. *Sabedo que, dados úmeros aturais e p, p, que Cp 343, Cp 00 e que determie 3. Sabe-se que 3.1. 1 C, C, C e C 1 p1 p p p 4 i0 C 4096( IN). Determie: C 3.. * i i0 C i 5 p 1 C p 1 6435, x 33. Determie o desevolvimeto x, utilizado a fórmula do biómio de Newto e simplificado tato 3 quato possível cada uma das parcelas assim obtidas.
34. Determie, para x 0, o 6.º termo do desevolvimeto pelo biómio de Newto de cada uma das seguites expressões e apresete-o a forma mais simplificada. 34.1 x 3 6 x 35. * Cosidere a seguite expressão Biómio de Newto, o termo: 35.1 idepedete de x 35. de grau 3 8 34. * 3 x x x A( x) x x 6. Determie, relativamete ao desevolvimeto de Ax ( ) pelo 36. Utilizado o desevolvimeto do biómio de Newto, determie o valor de cada uma das seguites expressões, ode é um úmero atural. 1 1 1 36.1 C 4 ( ) 36. 0 0 C ( 1) 37. ** Determie a soma dos coeficietes dos termos de uma forma reduzida do poliómio x 3 11, utilizado o Biómio de Newto. 38. O código de um cofre é formado por 3 vogais seguidas de 4 algarismos. Selecioado um código deste tipo ao acaso, qual a probabilidade de ter: 38.1 pelo meos duas vogais diferetes e os algarismos todos iguais? 38. uicamete uma letra a e dois algarismos iguais a 7? 38.3 * pelo meos um algarismo igual a 4? 39. Num saco existem bolas idistiguíveis ao tato, das quais cico são azuis e umeradas de 1 a 5 e seis são vermelhas e umeradas de 6 a 11. 39.1. Extrai-se uma bola ao acaso e observou-se a cor e o úmero. Qual a probabilidade de obter: 39.1.1 uma bola com úmero par? 39.1. uma bola azul com úmero ímpar? 39.1.3 uma bola vermelha com um úmero primo? 39.. Extraiu-se uma bola e depois outra bola repodo a primeira e observou-se a cor e o úmero de cada uma delas. Qual a probabilidade de obter: 39..1 duas bolas da mesma cor? 39.. uma bola com úmero par e outra com úmero ímpar? 39..3 duas bolas iguais? 39.3. Extraiu-se simultaeamete três bolas e observou-se a respetiva cor e úmero. Qual a probabilidade de obter: 39.3.1 três bolas da mesma cor? 39.3. duas bolas com úmero par e uma com úmero ímpar? 39.3.3 uma bola azul e duas bolas vermelhas, ambas com úmeros pares? 40. Cosidere todos os úmeros compostos por três algarismos diferetes. Selecioado um deles ao acaso, qual a probabilidade de: 40.1. ter todos os algarismos pares? 40.. ser divisível por 5? 40.3. * ser superior a 50? 41. A Joaa e cico amigos vão ao ciema e os bilhetes correspodem a seis lugares cosecutivos de uma dada fila. Sabedo que vão distribuir os bilhetes aleatoriamete, qual a probabilidade de: 41.1. a Joaa ficar com um bilhete correspodete a um lugar uma das potas? 41.. a Amélia e a Joaa terem bilhetes correspodetes a lugares seguidos? 41.3. a Joaa e a Luísa ão ficarem ao lado uma da outra? 4. Cosidere uma grelha quadrada com 16 quadrículas. Nesta grelha vão ser colocadas aleatoriamete 8 fichas iguais, ão mais do que uma por quadrícula. Qual a probabilidade de: 4.1. as duas diagoais ficarem preechidas? 4.. uicamete uma liha ficar totalmete preechida? 4.3. ficarem preechidas duas coluas?
43. Cosidere um octógoo regular. 43.1. Selecioado dois vértices ao acaso, qual a probabilidade de o segmeto por eles determiado: 43.1.1 correspoder a um lado do octógoo? 43.1. passar pelo cetro do octógoo? 43.. * Selecioado três vértices ao acaso, qual a probabilidade de o triâgulo por eles determiado ser retâgulo? 44. *Uma ura tem 1 cartões umerados de 1 a 1. Retiram-se sucessivamete dez cartões e dispõem-se lado a lado. Qual a probabilidade de: 44.1. ficarem 5 cartões com úmeros pares, seguidos de 5 cartões com úmero ímpares? 44.. somete os últimos quatro cartões terem úmeros pares? 44.3. os cartões com os úmeros 7, 8 e 9 ficarem seguidos? 45. * Escolheram-se aleatoriamete duas das parcelas do desevolvimeto pelo biómio de Newto da expressãox 11 com x>0. Determie a probabilidade de que o respetivo produto seja egativo. 46. Dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos A,BP(E) tais que P(A)=0,3, P(A B)=0, e PB 0,3, determie P A B e P A B 47. Dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos A,BP(E), prove que: 47.1. P A B P A B 1 47.. P A P B P A B * * 47.3. P A P B P A B P A B 47.4. P A B P A P A B 48. Dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos possíveis e equiprováveis A,BP(E) tais que PB A 1, P A B 5. Determie P A e P A B 3 6 49. Prove, dado um cojuto fiito E, uma probabilidade P em P(E) e dois acotecimetos A,BP(E), PA ( ) 0, que P A B 1 P( A) P( B A) 50. Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E) tais que 3 13 P A B, P( A) P( B) e P A B 8 0 50.1. Justifique que os acotecimetos A B e A B P A B em fução de P(A). são disjutos e exprima 50.. Determie: 50..1. P(A) 50... P(A B) 51. Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E) tais que 1 P A B, P( A) P( B) e P A B. Averigue se A e B são acotecimetos idepedetes. 3 6 5. Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E), ( ) 0 P B A 1 P( B A) PA. Prove que 53. * Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E). Prove que se A é idepedete de B etão também A é idepedete de B 54. ** Seja E um cojuto fiito, P uma probabilidade em P(E) e A,BP(E), A possível mas ão certo. Prove que se A é idepedete de B se e somete se PB A PB A 55. Duas uras A e B têm bolas verdes e pretas. A ura A tem 5 bolas verdes e bolas pretas e a ura B tem 4 bolas verdes e 3 bolas pretas. 55.1. Foi retirada uma bola da ura B e colocada a ura A e, de seguida, foi tirada uma bola da ura A. Determie a probabilidade de: 55.1.1. obter bola verde sabedo que a bola retirada da ura B era preta. 55.1.. obter bola preta. 55.. Foi selecioada uma ura ao acaso e tirada uma bola dessa ura. Determie a probabilidade de: 55..1. ser bola verde sabedo que saiu da ura A. 55... ser bola preta sabedo que saiu da ura B. 55..3. ser bola verde. 55..4. ter saído da ura A sabedo que é bola preta.
56. Num saco existem duas moedas falsas e cico moedas verdadeiras. Vão ser tiradas aleatoriamete duas moedas do saco, uma a seguir à outra. Qual a probabilidade de: 56.1. as duas moedas serem verdadeiras? 56.. pelo meos uma delas ser verdadeira? 56.3. a seguda ser falsa sabedo que a primeira era verdadeira? 57. *O João tem duas moedas o bolso, sedo uma equilibrada e a outra viciada. Sabe que a probabilidade de sair cara a moeda viciada é. Ele retira do bolso uma moeda ao acaso e laça-a, tedo obtido coroa. Qual a 3 probabilidade de ter laçado a moeda viciada? 58. * Uma caixa tem 0 bolas, das quais 5 são bracas e um saco tem 15 bolas das quais algumas são bracas. Ao tirar ao acaso uma bola da caixa e uma bola do saco, a probabilidade de se obter pelo meos uma bola braca é igual a 75%. Quatas bolas bracas existem o saco? 59. Uma fábrica utiliza três máquias diferetes para produzir um tipo de peças mas que têm íveis diferetes de eficiêcia. A máquia A produz metade do total da produção e as máquias B e C dividem a restate produção em partes iguais. Cerca de 98,5% da produção da máquia A ão tem qualquer defeito; a máquia B produz cerca de % de peças defeituosas e a máquia C tem uma eficiêcia de 97%. 59.1. Selecioado aleatoriamete uma peça desse tipo produzida essa fábrica qual é a probabilidade de que seja defeituosa? 59.. Foi selecioada uma dessas peças ao acaso e era defeituosa. Qual é a probabilidade de ter sido produzida pela máquia C? 46 Sol : 110.1. 3.113.44.1U 4.4.3 A B4.4 B4.5U 5 6! 7488949.11500009.37500009.378159.416509.54375000 10.1 11 1.111501.1144413.13513.134413.333613.4161414.11914.3714.354 15.1 16 17 18 19.1 0 1 103.1563.303.3553.4503.56419805366. 1486. 186.3180 6.3. * 73508ou 7994301716313003,5005,11440,114403.13303.16384 70 633607431510 0 18 10. 49 10.3 79 916 10 15..1 7 15.. 10 1440 384 3040 840 19. 360 0118067000 19958400 1 5 10 10 5 19 13608 34. 43 81 7 9 3 x 11 x 60 35. 4096 36. 0 3 1458 3439 5 3 61 60 1 315 7815 10000 11 11 11 11 11 11 4 1 17 181 1 1 1 38 39.3.1 39.3. 39.3.3 40.1 40. 40.3 41.1 41. 41.3 4.1 4. 11 11 55 7 81 16 3 3 3 145 145 4.3 1 1 3 1 1 6 7 43.1.1 43.1. 43. 44.1 44. 44. 3 45 46 0,8e0,8 48 e 145 7 7 7 46 94 65 11 1 3 3 13 11 7 8 1 5 17 50.1 PA ( ) 50..1 50.. 51 NãoP( A) e P( A B) 55.1.1 55.1. 0 0 11 17 6 8 56 5 3 9 10 0 1 55..1 55.. 55..3 55..4 56.1 56. 56.3 57 58 10 59.1 0, 0 59. 0,375 7 7 14 5 1 1 3 5 5 6 7 8 9 10 3 33 x x x x x x 34.1 35.1 x 36.1 37 138.1 38. 38.3 39.1.1 39.1. 39.1.3 39..1 39.. 39..3 joseladeira@gmail.com http://www.aemrt.pt/course/view.php?id=8