Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 GRAVIACIÓN INRODUCIÓN MÉODO 1. En xeal: Debúxanse as fozas que actúan sobe o sistema. Calcúlase a esultante polo pincipio de supeposición. Aplícase a ª lei de Newton (Lei Fundamental da Dinámica). Como a aceleación ten a mesma diección e sentido que a foza esultante, pódese escibi paa os módulos F = m a. Nos poblemas de satélites, A foza gavitatoia F G que exece o asto de masa M sobe un satélite de masa m que xia aedo del nunha óbita de adio está diixida caa ao asto (é unha foza cental), e vén dada pola lei de Newton da gavitación univesal F G =G M m As taxectoias dos satélites son ciculaes aedo do cento do asto. Entón, po se a foza gavitatoia unha foza cental, a aceleación só ten compoñente nomal a N = v /, e, ao non te aceleación tanxencial, o módulo da velocidade é constante. Como a única foza a te en conta é a foza gavitatoia, queda F = F G =m a =m a N =m v m v =G M m A enexía potencial de un obxecto de masa m que se atopa a unha distancia dun asto é o taballo que fai a foza gavitatoia cando o obxecto se taslada desde a súa posición ata o infinito E P =W = F G d = G M m u d = GM m d =[ GM m = GM m ] A velocidade de escape e a velocidade mínima que hai que comunica á un copo paa que lle pemita afastalo a unha distancia infinita do asto. Alí a enexía potencial é nula. E p = 0, e a velocidade tómase como nula po se a velocidade de escape unha velocidade mínima. APROXIMACIÓNS 1. Os astos tómanse como copos esféicos homoxéneos. Así pódese considea o campo e a foza gavitatoia no exteio deles como se toda a masa do asto estivese concentada no seu cento.. ense en conta só a influencia gavitatoia do asto máis póximo especto do satélite. 3. Nas tansfeencias de óbitas, lanzamentos, caídas, suponse que a única foza que actúa é a foza gavitatoia, que é consevativa. Polo tanto a enexía mecánica se conseva.
Física P.A.U. GRAVIACIÓN RECOMENDACIÓNS 1. Faase unha lista con datos, pasándoos ao Sistema Intenacional se non o estivesen.. Faase outa lista coas incógnitas. 3. Faase unha lista de ecuacións que conteñan as incógnitas e algún dos datos, mencionando á lei ou pincipio ao que se efien. 4. Debuxaase un esbozo coas distancias coheentes coa situación. 5. No caso de te algunha efeencia, ao emata os cálculos faase unha análise do esultado paa ve se é o espeado. 6. En moitos poblemas as cifas significativas dos datos son incoheentes. Resolvease o poblema supoñendo que os datos que apaecen con unha ou dúas cifas significativas teñen a mesma pecisión que o esto dos datos (polo xeal tes cifas significativas), e ao final faase un comentaio sobe o as cifas significativas do esultado. ACLARACIÓNS 1. Os datos dos enunciados dos poblemas non adoitan te un númeo adecuado de cifas significativas, ben poque o edacto pensa que a Física é unha ama das Matemáticas e os númeos enteios son númeos «exactos» (p.ej a velocidade da luz: 3 10 8 m/s ce que é 300 000 000,000000000000000... m/s) ou poque aínda non se decatou de que se pode usa calculadoa no exame e paécelle máis sinxelo usa 3 10 8 que 99 79 458 m/s). Po iso supuxen que os datos teñen un númeo de cifas significativas azoables, case sempe tes cifas significativas. Menos cifas daían esultados, en cetos casos, con ampla maxe de eo. Así que cando tomo un dato como c = 3 10 8 m/s e eescíboo como: Cifas significativas: 3 c = 3,00 10 8 m/s o que queo indica é que supoño que o dato oixinal ten tes cifas significativas (non que as teña en ealidade) paa pode ealiza os cálculos cunha maxe de eo máis pequena que a que teía se empegásemos o dato tal como apaece. (3 10 8 m/s ten unha soa cifa significativa, e un eo elativo do 30 %. Como os eos adóitanse acumula ao longo do cálculo, o eo final seía inadmisible. Entón, paa que ealiza os cálculos? Cunha estimación seía suficiente).
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 PROBLEMAS SAÉLIES 1. O peíodo de otación da ea aedo del Sol é un año e o adio da óbita é 1,5 10 11 m. Se Xúpite ten un peíodo de apoximadamente 1 anos, e se o adio da óbita de Neptuno é de 4,5 10 1 m, calcula: a) O adio da óbita de Xúpite. b) O peíodo do movemento obital de Neptuno. (P.A.U. Set. 05) Rta.: a) ox = 7,8 10 11 m b) N = 165 anos Datos Cifas significativas: Peíodo de otación da ea aedo do Sol = 1 ano = 3, 10 7 s Radio da óbita teeste o = 1,5 10 11 m Peíodo de otación de Xúpite aedo do Sol X = 1 anos = 3,8 10 8 s Radio da óbita de Neptuno on = 4,5 10 1 m Incógnitas Radio da óbita de Xúpite ox Peíodo do movemento obital de Neptuno N 3ª lei de Keple Solución: 1 = 3 3 1 a) A 3ª lei de Keple di que os cadados dos peíodos de evolución dos planetas aedo do Sol son diectamente popocionais aos cubos dos adios R das óbitas (apoximadamente ciculaes). Aplicando isto á ea e a Xúpite (1 [ano]) (1,5 10 11 [ m]) 3=(1 [ anos]) 3 ox ox =1,5 10 11 [ m] 3 1 =7,8 10 11 m Análise: O esultado está compendido ente aas distancias Sol-ea e Sol-Neptuno: ( o = 1,5 10 11 m) < ( ox = 7,8 10 11 m) < ( on = 4,5 10 1 m) b) Aplicando a mesma lei ente a ea e Neptuno (1 [año]) (1,5 10 11 [ m]) 3= N (4,5 10 1 [ m]) 3 N =1 [ano] 30 3 =1,6 10 anos Análise: O peíodo calculado de Neptuno sae maio que o de Xúpite: ( N = 1,6 10 anos) > ( X = 1 anos). A distancia ea-lúa é apoximadamente 60 R, sendo R o adio da ea, igual a 6 400 km. Calcula: a) A velocidade lineal da Lúa no seu movemento aedo da ea. b) O coespondente peíodo de otación en días. Datos. G = 6,67 10-11 N m kg - ; masa da ea: M = 5,98 10 4 kg (P.A.U. Set. 96) Rta.: a) v = 1,0 10 3 m/s; b) = 7 días
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 Datos Cifas significativas: Radio da ea R = 6 400 km = 6,4 10 6 m Radio da óbita, e tamén a distancia do cento da Lúa ao cento da ea. = 60 R = 3,8 10 8 m Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Masa da ea M = 5,98 10 4 kg Incógnitas Valo da velocidade da Lúa na súa óbita aedo da ea. v Peíodo de otación da Lúa aedo da ea Outos símbolos Masa da Lúa m L Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea puntual sobe a Lúa puntual) G =G M m L Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: Como a única foza sobe a Lúa a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m L a = F G A Lúa descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, v m L =G M m L Despexando a velocidade v e substituíndo os datos, v= G M = 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg] =1,0 10 3 m/s=1,0 km/s 3,8 10 8 [ m] Análise: O valo da velocidade da Lúa non ten unha efeencia sinxela, só da ode de magnitude. Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade de algúns km/s. O esultado de 1,0 km/s está dento da ode de magnitude. No enunciado din que a distancia ea-lúa é apoximadamente 60 R, polo que o esultado ten que se á foza apoximado. Non ten sentido da máis de dúas cifas significativas. b) Despexando o peíodo,, da expesión da velocidade do M.C.U. = π = π 3,8 108 [ m] v 1,0 10 3 [ m/s] =,4 106 s=7 días Análise: O peíodo da Lúa é de uns 8 días. O valo obtido, 7 días, é azoable. 3. Deséxase poñe en óbita un satélite atificial a unha altua de 300 km da supeficie teeste. Calcule: a) A velocidade obital que se lle ten de comunica ao satélite. b) O peíodo de otación. Datos: G = 6,67 10-11 N m kg - ; R = 6,38 10 6 m; M = 5,98 10 4 kg. (P.A.U. Xuño 99) Rta.: a) v o = 7,73 km/s; b) = 1,50 hoas
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6,38 10 6 m Altua da óbita h = 300 km = 3,00 10 5 m Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Masa da ea M = 5,98 10 4 kg Incógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea. v Peíodo de otación do satélite aedo da ea Outos símbolos Masa do satélite m Radio da óbita do satélite, e tamén a distancia do satélite ao cento da ea Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome (M.C.U.) v= π Radio da óbita = R + h Solución: O adio da óbita vale: = R + h = 6,38 10 6 [m] + 3,00 10 5 [m] = 6,68 10 6 m Como a única foza sobe o satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F G = R +h F = F G m a = F G Supoñendo que o satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Despexando a velocidade v e substituíndo os datos, v= G M = 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg] =7,73 10 3 m/s=7,73 km/s 6,68 10 6 [m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade de algúns km/s. O esultado de 7,73 km/s está dento da ode de magnitude. b) Despexando o peíodo,, da expesión da velocidade do M.C.U. = π = π6,68 108 [m] v 7,73 10 3 [m/ s] =5,4 103 s=1 h30 min Análise: O peíodo dun satélite en óbita baixa é de hoa e media. O valo obtido coincide. 4. Euopa, satélite de Xúpite, foi descubeto po Galileo en 1610. Sabendo que o adio da óbita que descibe é de 6,7 10 5 km e o seu peíodo de 3 días, 13 hoas e 13 minutos, calcula:
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 6 a) A velocidade de Euopa elativa a Xúpite. b) A masa de Xúpite. Datos. G = 6,67 10-11 N m kg - (P.A.U. Set. 97) Rta.: a) v = 1,4 10 4 m/s; b) M X = 1,9 10 7 kg Datos Cifas significativas: Radio da óbita e distancia do cento de Euopa ao cento de Xúpite = 6,7 10 5 km = 6,7 10 8 m Peíodo de otación de Euopa na óbita aedo de Xúpite = 3 d 13 h 13 min = 3,07 10 5 s Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Incógnitas Valo da velocidade de Euopa na óbita aedo de Xúpite v Masa de Xúpite M Outos símbolos Masa de Euopa m Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece Xúpite puntual sobe a Euopa puntual) G =G M m X Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: a) v= π = π 6,7 108 [m] =1,4 10 4 m/s 3,07 10 5 [s] Euopa F G Xúpite b) Como a única foza sobe Euopa a te en conta é a foza gavitatoia que exece Xúpite F = F G m a = F G Supoñemos que Euopa descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Despexando a masa M de Xúpite: M = v [ m/s]) 6,7 10 8 [ m] G =(1,4 104 6,67 10 11 [N m =1,9 10 7 kg kg ] Análise: Este esultado ten sentido xa que a masa de Xúpite e moito maio que a da ea (6 10 4 kg) peo moito máis pequena ca do Sol ( 10 30 kg) 5. A luz do Sol tada 5 10 s en chega á ea e,6 10 3 s en chega a Xúpite. Calcula: a) O peíodo de Xúpite obitando aedo do Sol. b) A velocidade obital de Xúpite. c) A masa do Sol. Datos: ea aedo do Sol: 3,15 10 7 s; c = 3 10 8 m/s; G = 6,67 10-11 N m kg-. (Supóñense as óbitas ciculaes) (P.A.U. Set. 1)
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 7 Rta.: a) X = 3,74 10 8 s; v = 1,31 10 4 m/s; b) M =,01 10 30 kg Datos Cifas significativas: 3 empo que tada a luz do Sol en chega á ea t = 5,00 10 s = 500 s empo que tada a luz do Sol en chega a Xúpite t X =,60 10 3 s Peíodo obital da ea aedo do Sol = 3,15 10 7 s Velocidade da luz c = 3,00 10 8 m/s Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Incógnitas Peíodo obital de Xúpite X Velocidade obital de Xúpite v Masa do Sol M Outos símbolos Masa de Xúpite ou a ea m Distancia dun planeta ao Sol Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece o Sol esféico sobe un planeta puntual) G =G M m S Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: c) Pimeio calcúlanse as distancias da ea ao Sol e de Xúpite ao Sol, tendo en conta a velocidade da luz. A velocidade, v, da ea ao edo do Sol é = c t = 3,00 10 8 [m/s] 5,00 10 [s] = 1,50 10 11 m J = c t X = 3,00 10 8 [m/s],60 10 3 [s] = 7,80 10 11 m v = π = π 1,50 1011 [m] =,99 10 4 m/s 3,15 10 7 [s] Como a única foza que actúa sobe a ea é a foza gavitatoia que exece o Sol F = F G m a = F G Supoñemos que a ea descibe unha taxectoia cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, Despexando a masa M do Sol: m v =G M m M S = v [ m/s]) 1,50 10 11 [ m] G =(,99 104 6,67 10 11 [N m =,01 10 30 kg kg ] b) Aplicando a ecuación anteio paa calcula a velocidade de Xúpite, v= G M X = 6,67 10 11 [N m kg ],01 10 30 [kg] =1,31 10 4 m/ s=13,1 km /s 7,80 10 11 [ m] a) O peíodo calcúlase a pati da velocidade:
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 8 X = π X v = π 7,80 1011 [ m] =3,74 10 8 s 1,31 10 4 [m/ s] Análise: A teceia lei de Keple di que os cadados dos peíodos son diectamente popocionais aos cubos dos adiovectoes que unen ao Sol cos planetas. A maio distancia ao Sol, maio peíodo. De aplicase este método, daía X = 3 J 3 =3,15 107 [s] (7,8 1011 [m]) 3 s (1,5 10 11 [m]) 3=3,74 108 6. A meno velocidade de xio dun satélite na ea, coñecida como pimeia velocidade cósmica, é a que se obteía paa un adio obital igual o adio teeste R. Calcula: a) A pimeia velocidade cósmica. b) O peíodo de evolución coespondente. Datos: G = 6,67 10-11 N m kg - ; R = 6,38 10 6 m; M = 5,98 10 4 kg (P.A.U. Xuño 98) Rta.: a) v 1 = 7,91 km/s; b) = 1 h 4 min Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6,38 10 6 m Radio da óbita, e tamén a distancia do satélite ao cento da ea = R = 6,38 10 6 m Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Masa da ea M = 5,98 10 4 kg Incógnitas Pimeia velocidade cósmica ou o valo da velocidade do satélite na súa óbita v asante aedo da ea Peíodo de otación do satélite aedo da ea Outos símbolos Masa do satélite m Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Despexando a velocidade v e substituíndo os datos, v= G M = 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [ kg] =7,91 10 3 m/s=7,91 km/s 6,38 10 6 [m] b) Despexando o peíodo,, da expesión da velocidade do M.C.U.
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 9 = π v = π R = π 6,38 106 [ m] v 7,91 10 3 [m/s] =5,07 103 s =1 h 4 min Análise: O peíodo dun satélite en óbita baixa é de hoa e media. O valo obtido coincide apoximadamente. 7. Un satélite atificial cunha masa de 00 kg móvese nunha óbita cicula a 5 10 7 m po eniba da supeficie teeste. a) Que foza gavitatoia actúa sobe o satélite? b) Cal é o peíodo de otación do satélite? Datos: g 0 = 9,81 m/s. R = 6 370 km. (P.A.U. Xuño 00) Rta.: a) F = 5,1 N; b) = 37,0 hoas Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 370 km = 6,37 10 6 m Altua da óbita h = 5,00 10 7 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,81 m/s Masa do satélite m = 00 kg Incógnitas Foza gavitatoia que actúa sobe o satélite F G Peíodo de otación do satélite aedo da ea Outos símbolos Masa da ea M Valo da velocidade do satélite na óbita aedo da ea v Constante da gavitación univesal G Radio da óbita Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: O adio da óbita vale: = R + h = 6,37 10 6 [m] + 5,00 10 7 [m] = 5,64 10 7 m Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia satélite h m g 0 =G M m R F G R ea G M = g 0 R Po tanto, substituíndo G M po g 0 R, na expesión da foza, F G =G M m = g R m 0 = 9,81 [ m/s ](6,37 10 6 [ m]) 00 [ kg] =5,1 N ób (5,64 10 7 [ m]) (Se non se supoñen tes cifas significativas paa a altua, o esultado debeía se F G = 3 dan)
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 10 Análise: O peso diminúe coa altua sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia 10 R, o peso debeía se unhas 100 veces meno que no chan m g 0 = 1 960 N. b) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v v= G M =G M m = g 0 R = π = g 0 R = 3 ób g 0 R (5,64 10 7 [ m]) 3 =π s=37,0 hoas 9,81 [ m/s ](6,37 10 6 [m]) =1,33 105 (Se non se supoñen tes cifas significativas paa a altua, o esultado debeía se días) Análise: Pola teceia lei de Keple, tamén aplicable a satélites que xian aedo dun asto, os cadados dos peíodos son diectamente popocionais aos cubos dos semieixes maioes das elipses, ou, se as taxectoias son ciculaes, aos adios das óbitas. O peíodo da Lúa, que se atopa a uns 60 R é de 8 días. O de este satélite, que está a uns 10 R seía de 1 6 3 15 veces meno días 8. Un satélite atificial descibe unha óbita cicula de adio R en tono á ea. Calcula: a) A velocidade obital. b) O peso do satélite na óbita se na supeficie da ea pesa 5 000 N (debuxa as fozas que actúan sobe o satélite) Datos R = 6 400 km; G = 6,67 10 11 N m / kg ; g 0 = 9,8 m / s. (P.A.U. Xuño 0) Rta.: a) v = 5,6 km/s; b) P h = 1,5 kn Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 400 km = 6,40 10 6 m Radio da óbita = R = 1,8 10 7 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Peso do satélite na supeficie da ea P = 5 000 N = 5,00 10 3 N Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Incógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea. v Peso do satélite na óbita P h Outos símbolos Masa da ea M Masa do satélite m
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 11 Lei de Newton da gavitación univesal (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) F G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Solución: a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, (véxase a figua) F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia v= G M = g 0 R = g 0 R R = g 0 R m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 9,80 [m/ s ] 6,40 10 6 [m] =5,60 10 3 m/s=5,60 km /s Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade de algúns km/s. O esultado de 5,60 km/s está dento da ode de magnitude. b) A única foza que actúa sobe o satélite é o seu peso, ou sexa, a atacción gavitatoia da ea. Pola lei de Newton da gavitación univesal Na supeficie da ea: Na óbita de adio : Dividindo, P h G M m = P G M m R P =G M m R P h =G M m = R = R R = 1 = 1 4 P h = (5,00 10 3 [N]) / 4 = 1,5 10 3 N = 1,5 kn
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 Análise: O peso diminúe coa altua sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia = R, o peso debeía se 4 veces meno que na supeficie 9. Un astonauta de 75 kg xia aedo da ea (dento dun satélite atificial) nunha óbita situada a 10 000 km sobe a supeficie da ea. Calcula: a) A velocidade obital e o peíodo de otación. b) O peso do astonauta nesa óbita. Datos g 0 = 9,80 m/s ; R = 6 400 km. (P.A.U. Set. 0) Rta.: a) v = 4,95 10 3 m/s; =,08 10 4 s; b) P h = 1,1 10 N Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 400 km = 6,40 10 6 m Altua da óbita h = 10 000 km = 1,00 10 7 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Masa do astonauta m = 75,0 kg Incógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea. v Peíodo de otación do satélite aedo da ea Peso do astonauta na óbita P h Outos símbolos Constante da gavitación univesal G Masa da ea M Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: a) O adio da óbita vale: = R + h = 6,40 10 6 [m] + 1,00 10 7 [m] = 1,64 10 7 m Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo m g 0 é igual á foza gavitatoia v= G M = g 0 R m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 9,80 [ m/s ] (6,40 10 6 [ m]) =4,95 10 3 m/s=4,95 km/ s 1,64 10 7 [m]
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 13 Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade de algúns km/s. O esultado de 4,95 km/s está dento da ode de magnitude. Despexando o peíodo,, da expesión da velocidade do M.C.U. = π = π 1,64 106 [ m] v 4,95 10 3 [ m/s] =,08 104 s=5 h 47 min Análise: O peíodo dun satélite en óbita baixa (300 400 km) é de hoa e media. O valo obtido e maio, poque a altua da óbita 10 000 km tamén o é. b) A única foza que actúa sobe o astonauta é o seu peso, ou sexa, a atacción gavitatoia da ea. Pola lei de Newton da gavitación univesal, na óbita de adio : P h =G M m = g R m 0 = 9,80 [m/ s ] (6,40 10 6 [m]) 75,0[kg] =11 N ób (1,64 10 7 [ m]) Análise: O peso diminúe coa altua sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia,5 R, o peso debeía se unhas 6 veces meno que na supeficie m g 0 = 735 N. 10. Un satélite atificial de 64,5 kg xia aedo da ea nunha óbita cicula de adio R =,3 R. Calcula: a) O peíodo de otación do satélite. b) O peso do satélite na óbita. Datos: g 0 = 9,80 m/s ; R = 6 370 km (P.A.U. Xuño 05) Rta.: a) = 4 h 58 min; b) P h = 117 N Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 370 km = 6,37 10 6 m Radio da óbita R =,3 R = 1,48 10 7 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Masa do satélite m = 64,5 kg Incógnitas Peíodo de otación do satélite aedo da ea Peso do satélite na óbita = foza gavitatoia que actúa sobe o satélite P h Outos símbolos Masa da ea M Valo da velocidade do satélite na óbita aedo da ea v Constante da gavitación univesal G Radio da óbita Lei de Newton da gavitación univesal (aplicada á foza que exece a ea F esféica sobe un satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: O adio da óbita vale: =,3 R = 1,48 10 7 m
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 14 Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia m g 0 =G M m R G M = g 0 R a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Despexando a velocidade e escibindo a súa elación co peíodo v= G M que queda Da que se despexa o peíodo = g 0 R = π = g 0 R = 3 ób g 0 R (1,84 10 7 [m]) 3 =π 9,80 [ m/s ](6,37 10 6 [m]) =1,79 104 s=4 h 58 min Análise: Pola teceia lei de Keple, tamén aplicable a satélites que xian aedo dun asto, os cadados dos peíodos son diectamente popocionais aos cubos dos semieixes maioes das elipses, ou, se as taxectoias son ciculaes, aos adios das óbitas. O peíodo da Lúa, que está a uns 60 R é de 8 días. O deste satélite, que está a uns,4 R (5 veces meno) seía de 1 5 3 15 veces meno 0,5 días 6 hoas. B) Substituíndo G M po g 0 R, na expesión da foza gavitatoia, (peso) P h =F G =G M m = g R m 0 = 9,80 [ m/s ](6,37 10 6 [m]) 64,5 [ kg] =117 N ób (1,84 10 7 [m]) Análise: O peso diminúe coa altua, sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia,4 R, o peso debeía se unhas,4 = 6 veces meno que no solo mg 0 =63 N, ou sexa uns 100 N. 11. Un satélite atificial de 100 kg descibe óbitas ciculaes a unha altua de 6 000 km sobe a supeficie da ea. Calcula: a) O tempo que tada en da unha volta completa. b) O peso do satélite a esa altua.
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 15 Datos: g 0 = 9,80 m/s ; R = 6 400 km (P.A.U. Xuño 06) Rta.: a) = 3 h 48 min; b) P h = 61 N Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 400 km = 6,40 10 6 m Altua da óbita h = 6 000 km = 6,00 10 6 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Masa do satélite m = 100 kg Incógnitas empo que tada en da unha volta completa Peso do satélite a esa altua P h Outos símbolos Masa da ea M Valo da velocidade do satélite na óbita aedo da ea v Constante de la gavitación univesal G Radio da óbita Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe un satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Solución: O adio da óbita vale: = R + h = 6,40 10 6 [m] + 6,00 10 6 [m] = 1,4 10 7 m Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 4,01 10 14 m 3 /s a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, Despexando a velocidade v= G M = g 0 R e tendo en conta a súa elación co peíodo m v =G M m = 4,01 101 [ m 3 /s ] =5,69 10 3 m/ s 1,4 10 7 [m]
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 16 queda o peíodo v= π = π = π 1,4 107 [m] v 5,69 10 3 [m/ s] =1,37 104 s=3 h 48 min Análise: Pola lei de Keple, tamén aplicable a satélites que vian ao edo dun asto, os cadados dos peíodos son diectamente popocionais aos cubos dos semieixes maioes das elipses, ou, se as taxectoias son ciculaes, aos adios das óbitas. O peíodo dun satélite de óbita baixa (h = 400 km) é de hoa e media. O adio da óbita deste satélite é apoximadamente o dobe, polo que o peíodo debeía se 3 3 veces maio, dunhas cato hoas e media. b) Substituíndo G M po g 0 R, na expesión da foza gavitatoia, (peso) P h =F G =G M m = g R m 0 = 4,01 101 [ m 3 /s ] 100 [kg] =61 N ób (1,4 10 7 [ m]) Análise: O peso diminúe coa altua, sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia R, o peso debeía se unhas = 4 veces meno que no chan m g 0 = 980 N, ou sexa uns 50 N. 1. Un satélite atificial de 500 kg descibe unha óbita cicula aedo da ea cun adio de 10 4 km. Calcula: a) A velocidade obital e o peíodo. b) A enexía mecánica e a potencial. c) Se po ficción se pede algo de enexía, que lle ocoe ao adio e á velocidade? Datos g 0 = 9,8 m s - ; R = 6 370 km (P.A.U. Set. 10) Rta.: a) v = 4,5 km/s; = 7,8 h; b) E = -5,0 10 9 J; E p = -9,9 10 9 J Datos Cifas significativas: 3 Masa do satélite m = 500 kg Radio da óbita =,00 10 4 km =,00 10 7 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Radio da ea R = 6 370 km = 6,37 10 6 m Incógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea v Peíodo obital do satélite Enexía mecánica do satélite en óbita E Enexía potencial do satélite en óbita E p Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enexía cinética E c = ½ m v Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) E p = G M m
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 17 Enexía mecánica Solución: E = E c + E p a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia v= G M = g 0 R m g 0 =G M m R G M = g 0 R = 9,80 [m/s ] (6,37 10 6 [m]) =4,46 10 3 m/s=4,46 km /s,00 10 7 [ m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade de algúns km/s. O esultado de 4,46 km/s está dento da ode de magnitude. O peíodo obital do satélite é o do movemento cicula unifome de velocidade 4,46 10 3 m/s. Despexando o peíodo,, da expesión da velocidade do M.C.U. = π = π,00 107 [ m] v 4,46 10 3 [ m/s] =,8 104 s=7 h 50 min b) A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A enexía potencial vén dada po: e a enexía cinética E p = G M m = g 0 R polo que a enexía mecánica valeá m = 9,80 [ m/s ] (6,37 10 6 [m]) 500 [ kg] = 9,94 10 9 J,00 10 7 [ m] E c = ½ m v = [500 [kg] (4,46 10 3 [m/s]) ] / = 4,97 10 9 J E = E c + E p = 4,97 10 9 [J] + (-9,94 10 9 [J]) = -4,97 10 9 J Análise: Pode compobase que a enexía potencial vale o dobe que a enexía cinética, peo é negativa po se un sistema ligado. A enexía mecánica vale o mesmo que a enexía cinética, peo é negativa. c) A enexía mecánica pódese expesa en función do adio da óbita. Xa vimos antes que m v =G M m Despexando e substituíndo m v ób na expesión da enexía mecánica, quedaía E=E c +E p = 1 m v ób G M m = 1 G M m G M m = 1 G M m
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 18 Se diminúe a enexía mecánica, (é máis negativa), o adio da óbita tamén se fai máis pequeno polo que o satélite achégase á supeficie da ea. A velocidade, pola conta, aumentaá, pois a súa elación co adio pode obtese da ecuación anteio: m v =G M m v= G M e canto máis pequeno é o adio da óbita máis gande é a súa velocidade. Análise: É o mesmo que lle ocoe a calquea copo que se move ceca da supeficie da ea. Ao pede enexía pede altua, e cae caa ao chan, gañando velocidade. 13. Deséxase poñe en óbita un satélite de 1800 kg que xie a azón de 1,5 voltas po día. Calcula: a) O peíodo do satélite. b) A distancia do satélite á supeficie teeste. c) A enexía cinética do satélite nesa óbita. Datos: G = 6,67 10-11 N m kg - ; R = 6 378 km; M = 5,98 10 4 kg (P.A.U. Set. 09) Rta.: a) = 1,9 h; b) h = 1 470 km; c) E C = 4,58 10 10 J Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 378 km = 6,38 10 6 m Fecuencia de xio do satélite na óbita aedo da ea. f = 1,5 voltas/día = 1,45 10-4 Hz Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Masa da ea M = 5,98 10 4 kg Masa do satélite m = 1 800 kg Incógnitas Peíodo do satélite Distancia do satélite á supeficie teeste (altua de óbita) h Enexía cinética do satélite na óbita E C Outos símbolos Radio da óbita Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enexía cinética E C = ½ m v Solución: a) O peíodo é a invesa da fecuencia: = 1 f = 1 1,45 10 4 [ Hz] =6,91 103 s=1,9 h b) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 19 O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m v =G M 4 =G M = 3 G M = 3 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg] (6,91 10 3 [s]) =7,84 10 6 m 4 π 4 π A altua seá: h = R = 7,84 10 6 [m] 6,38 10 6 [m] = 1,47 10 6 m = 1 470 km c) A velocidade do satélite na súa óbita é: A enexía cinética é: π v= = π 7,86 106 [ m] =7,13 10 3 m/ s 6,91 10 3 [s] E c = ½ m v = [1,80 10 3 [kg] (7,13 10 3 [m/s]) ] / = 4,58 10 10 J 14. Un satélite atificial cunha masa de 00 kg móvese nunha óbita cicula aedo da tea cunha velocidade constante de 10 800 km/h, calcula: a) A que altua está situado? b) Fai un gáfico indicando que fozas actúan sobe o satélite e calcula a enexía total. Datos: g 0 = 9,8 m/s ; R = 6 370 km (P.A.U. Set. 01) Rta.: a) h = 3,8 10 7 m; b) E = -9,0 10 8 J Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 370 km = 6,37 10 6 m Valo da velocidade do satélite na óbita aedo da ea. v = 10 800 km/h = 3,00 10 3 m/s Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Masa do satélite m = 00 kg Incógnitas Altua de óbita h Enexía (mecánica) total do satélite en óbita E Outos símbolos Constante da gavitación univesal G Masa da ea M Radio da óbita Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula v= Enexía cinética E C = ½ m v
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 0 Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) Solución: E p = G M m a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia m g 0 =G M m R G M = g 0 R A altua seá: = G M v = g R 0 = 9,80 [m/ s ] (6,37 10 6 [ m]) =4,43 10 7 m v 3,00 10 3 [ m/s] h = R = 4,43 10 7 [m] 6,37 10 6 [m] = 3,79 10 7 m Análise: Unha altua da ode 6 R non paece un esultado de acodo coa pegunta. Peo ao epasa os cálculos o esultado é o mesmo. b) A enexía (mecánica) total é a suma das enexías cinética e potencial: E=E c +E p = 1 m v ób+( G M m ) = 1 mv ób g R 0 m E= 1 00 [ kg](3,00 103 [m/ s]) 9,80 [ m/s ] (6,37 10 6 [ m]) 00 [kg] = 9,00 10 8 J 4,43 10 7 [ m] 15. Deséxase pó en óbita un satélite xeoestacionaio de 5 kg. Calcula: a) O adio da óbita. b) As enexías cinética, potencial e total do satélite na óbita. Datos: G = 6,67 10-11 N m kg - ; M = 5,98 10 4 kg (P.A.U. Set. 00) Rta.: a) = 4,3 10 7 m; b) E c = 1,18 10 8 J; E p = -,36 10 8 J; E = -1,18 10 8 J Datos Cifas significativas: 3 Satélite xeoestacionaio (peíodo igual ao da ea) = 4 h = 8,64 10 4 s Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Masa da ea M = 5,98 10 4 kg Masa do satélite m = 5,0 kg Incógnitas Radio da óbita Enexías cinética, potencial e total do satélite en óbita E c, E p, E
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 1 Datos Cifas significativas: 3 Outos símbolos Valo da velocidade do satélite na óbita xeoestacionaia Lei de Newton da gavitación univesal (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) v F G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enexía cinética E c = ½ m v Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) Solución: E p = G M m a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m v =G M 4 =G M = 3 G M = 3 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg](8,64 10 4 [s]) =4,3 10 7 m 4π 4 π b) Da ecuación de v en función do adio da óbita, pódese escibi paa a enexía cinética E c = 1 mv = 1 G M m E p = G M m = 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg] 5,0 [ kg] =1,18 10 8 J 4,3 10 7 [ m] = 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [ kg] 5,0 [kg] =,36 10 8 J 4,3 10 7 [ m] A enexía (mecánica) total é a suma das enexías cinética e potencial: E = E c + E p = 1,18 10 8 [J],36 10 8 [J] = 1,18 10 8 J Análise: Pode compobase que a enexía potencial vale o dobe que a enexía cinética, peo é negativa po se un sistema ligado. A enexía mecánica vale o mesmo que a enexía cinética, peo é negativa. 16. Os satélites Meteosat son satélites xeoestacionaios (situados sobe o ecuado teeste e con peíodo obital dun día). Calcula: a) A altua a que se atopan, especto a supeficie teeste.
Física P.A.U. GRAVIACIÓN b) A foza execida sobe o satélite. c) A enexía mecánica. Datos: G = 6,67 10-11 N m kg- ; R = 6,38 10 6 m; M = 5,98 10 4 kg; m sat = 8 10 kg (P.A.U. Set. 08) Rta.: a) h = 3,60 10 7 m; b) F = 179 N ; c) E c = 3,78 10 9 J; E p = -7,56 10 9 J; E = -3,78 10 9 J Datos Cifas significativas: 3 Satélite xeoestacionaio (peíodo igual ao da ea) = 4 h = 8,64 10 4 s Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Masa da ea M = 5,98 10 4 kg Masa do satélite m = 8,00 10 kg Radio da ea R = 6,38 10 6 m Incógnitas Altua do satélite h Foza sobe o satélite F Enexías cinética, potencial e total do satélite en óbita E c, E p, E Outos símbolos Radio da óbita Valo da velocidade do satélite na óbita xeoestacionaia v Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enexía cinética E c = ½ m v Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) Solución: E p = G M m a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m v =G M 4 =G M = 3 G M = 3 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg ](8,64 10 4 [s]) =4,3 10 7 m 4π 4 π h = R = 4,4 10 7 6,38 10 6 = 3,60 10 7 m b) A foza que exece a ea sobe o satélite é a gavitatoia.
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 3 F G =G M m = 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg ] 800 [kg] =179 N (4,3 10 7 [m]) Análise: O peso diminúe coa altua, sendo invesamente popocional ao cadado da distancia ao cento da ea. A unha distancia 7 R, o peso debeía se unhas 7 50 veces meno que no chan mg 0 8 10 3 N, ou sexa uns 160 N. c) Da ecuación de v en función do adio da óbita, pódese escibi paa a enexía cinética E c = 1 mv = 1 G M m E p = G M m = 6,67 10 11 [N m kg ] 5,98 10 4 [kg ] 800 [ kg] =3,78 10 9 J 4,3 10 7 [ m] = 6,67 10 11 [N m kg ] 5,98 10 4 [ kg] 800 [kg] = 7,56 10 9 J 4,3 10 7 [m] A enexía (mecánica) total é a suma das enexías cinética e potencial: E = E c + E p = 3,78 10 9 [J] 7,56 10 9 [J] = -3,78 10 9 J Análise: Pode compobase que a enexía potencial vale o dobe que a enexía cinética, peo é negativa po se un sistema ligado. A enexía mecánica vale o mesmo que a enexía cinética, peo é negativa. 17. Un satélite atificial de 00 kg descibe unha óbita cicula a unha altua de 650 km sobe a ea. Calcula: a) O peíodo e a velocidade do satélite na óbita. b) A enexía mecánica do satélite. c) O cociente ente os valoes da intensidade de campo gavitatoio teeste no satélite e na supeficie da ea. Datos: G = 6,67 10-11 N m kg - ; R = 6,37 10 6 m; M = 5,98 10 4 kg (P.A.U. Set. 11) Rta.: a) = 1 h 38 min; v = 7,54 km/s; b) E = -5,68 10 9 J; c) g h / g 0 = 0,83 Datos Cifas significativas: 3 Masa do satélite m = 00 kg Altua da óbita h = 650 km = 6,50 10 5 m Masa da ea M = 5,98 10 4 kg Radio da ea R = 6,37 10 6 m Constante da gavitación univesal G = 6,67 10-11 - N m kg Incógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita ao edo da ea v Peíodo obital do satélite Enexía mecánica do satélite en óbita E Cociente ente os valoes de g no satélite e na supeficie da ea. g h / g 0 Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enexía cinética E c = ½ m v
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 4 Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) Enexía mecánica Intensidade do campo gavitatoio teeste a unha distancia do cento Solución: E p = G M m E = E c + E p g= F G m =G M a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula de adio = R + h = 6,37 10 6 [m] + 6,50 10 5 [m] = 7,0 10 6 m con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m v= G M = 6,67 10 11 [ N m kg ] 5,98 10 4 [kg] =7,54 10 3 m/ s=7,54 km/ s 7,0 10 6 [ m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova ao edo da ea teña unha velocidade dalgúns km/s. O esultado está dento da ode de magnitude. O peíodo obital do satélite é o do movemento cicula unifome de velocidade 4,46 10 3 m/s. Despexando o peíodo,, da expesión da velocidade do M.C.U. = π v = π 7,0 106 [m] =5,85 10 3 s=1 h 38 min 7,54 10 3 [m/s] b) A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A enexía potencial vén dada po: E p = G M m e a enexía cinética polo que a enexía mecánica valeá = 6,67 10 11 [N m kg ] 5,98 10 4 [kg] 00 [ kg] = 1,14 10 10 J 7,0 10 6 [m] E c = 1/ m v = [00 [kg] (7,54 10 3 [m/s]) ] / = 5,68 10 9 J E = E c + E p = 5,68 10 9 [J] + (- 1,14 10 10 [J]) = -5,68 10 9 J Análise: pode compobase que a enexía potencial vale o dobe que a enexía cinética, peo é negativa po se un sistema ligado. A enexía mecánica vale o mesmo que a enexía cinética, peo é negativa. c) A intensidade do campo gavitatoio nun punto que distan do cento da ea é a foza sobe a unidade de masa situada nese punto. A gavidade a unha altua h valeá: g= F G M m G m = m =G M
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 5 Na supeficie da ea vale: M g h =G ( R +h) g 0 =G M R Dividindo: g h R [m]) = g 0 ( R +h) =(6,37 106 (7,0 10 6 [m]) =0,83 18. Un satélite atificial de 300 kg xia aedo da ea nunha óbita cicula de 36378 km de adio. Calcula: a) A velocidade do satélite na óbita. b) A enexía total do satélite na óbita. Datos: g 0 = 9,80 m/s ; R = 6 378 km (P.A.U. Xuño 03) Rta.: a) v = 3,31 km/s; b) E = -1,64 10 9 J Datos Cifas significativas: 3 Radio da ea R = 6 378 km = 6,38 10 6 m Radio da óbita = 36 378 km = 3,64 10 7 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Masa do satélite m = 300 kg Incógnitas Valo da velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea. v Enexía (mecánica) total do satélite en óbita E Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Enexía cinética E c = ½ m v Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) Solución: E p = G M m a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, m v =G M m Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea, o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 6 m g 0 =G M m R v= G M = g 0 R G M = g 0 R = 9,80 [ m/s ] (6,38 10 6 [ m]) =3,31 10 3 m/s=3,31 km /s 3,64 10 7 [m] Análise: Espéase que un obxecto que se mova aedo da ea teña unha velocidade de algúns km/s. O esultado de 5,60 km/s está dento da ode de magnitude. b) A enexía (mecánica) total é a suma das enexías cinética e potencial: E m =E c +E p = 1 mv ób+( G M m ) =1 m v ób g R 0 m E= 1 300 [ kg](3,31 103 [ m/s]) 9,80 [m/ s ] (6,38 10 6 [ m]) 300 [kg] 3,64 10 7 [m] = 1,64 10 9 J 19. Un satélite de 00 kg descibe unha óbita cicula a 600 km sobe a supeficie teeste: a) Deduce a expesión da velocidade obital. b) Calcula o peíodo de xio. c) Calcula a enexía mecánica. Datos: R = 6 400 km; g 0 = 9,81 m/s (P.A.U. Xuño 13) Rta.: a) v= g 0 R ; b) = 1 h 37 min; b) E = -5,74 10 9 J Datos Cifas significativas: 3 Masa do satélite m = 00 kg Altua da óbita h = 600 km = 6,00 10 5 m Radio da ea R = 6 400 km = 6,40 10 6 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,81 m/s Incógnitas Velocidade do satélite na súa óbita aedo da ea v Peíodo obital do satélite Enexía mecánica do satélite na sua óbita E Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enexía cinética E c = ½ m v Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) Enexía mecánica Solución: E p = G M m E = E c + E p
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 7 a) Como a única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula de adio = R + h = 6,40 10 6 [m] + 6,00 10 5 [m] = 7,00 10 6 m con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, Despexando a velocidade, queda m v =G M m v= G M Como non se teñen os datos da constante da gavitación univesal nin da masa da ea, habeá que te en conta que na supeficie da ea o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia m g 0 =G M m R G M = g 0 R Substituíndo G M po g 0 R na ecuación da velocidade, queda v= = G M g 0 R = 9,81 [m/ s ] (6,40 10 6 [m]) =7,58 10 3 m/s=7,58 km /s 7,00 10 6 [m] Análise: Espéase que un satélite en óbita aedo da ea teña unha velocidade dalgúns km/s. O esultado está dento da ode de magnitude. Concetamente o enunciado do poblema non pide que se calcule a velocidade, peo mello é calculala polo si ou polo non. Ademais, vaise necesita no cálculo do peíodo obital. b) O peíodo obital do satélite é o do movemento cicula unifome de velocidade 7,58 10 3 m/s. Despexando o peíodo,, da expesión da velocidade do M.C.U. = π v = π 7,00 106 [m] =5,81 10 3 s=1 h 37 min 7,58 10 3 [m/s] c) A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A enexía potencial vén dada po: e a enexía cinética E p = G M m = g 0 R polo que a enexía mecánica valeá m = 9,81 [ m/s ] (6,40 10 6 [ m]) 00 [kg] = 1,15 10 10 J 7,00 10 6 [ m] E c = 1/ m v = [00 [kg] (7,58 10 3 [m/s]) ] / = 5,74 10 9 J E = E c + E p = 5,74 10 9 [J] 1,15 10 10 [J] = -5,74 10 9 J Análise: pode compobase que a enexía potencial vale o dobe que a enexía cinética, peo é negativa po se un sistema ligado. A enexía mecánica vale o mesmo que a enexía cinética, peo é negativa.
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 8 0. Deséxase poñe un satélite de masa 10 3 kg en óbita aedo da ea e a unha altua dúas veces o adio teeste. Calcula: a) A enexía que hai que comunicalle desde a supeficie da ea. b) A foza centípeta necesaia paa que desciba a óbita. c) O peíodo do satélite na devandita óbita. Datos: R = 6 370 km; g 0 = 9,8 m/s (P.A.U. Set. 13) Rta.: a) E = 5,0 10 10 J; b) F = 1,09 10 3 N; c) = 7 h 19 min Datos Cifas significativas: 3 Masa do satélite m = 10 3 kg = 1,00 10 3 kg Radio da ea R = 6 370 km = 6,37 10 6 m Altua da óbita h = 6 370 km = 1,7 10 7 m Aceleación da gavidade na supeficie da ea g 0 = 9,80 m/s Incógnitas Enexía que hai que comunicalle desde a supeficie da ea E Foza centípeta necesaia paa que desciba a óbita F Peíodo obital do satélite Outos símbolos Masa da ea M Constante da gavitación univesal G Lei de Newton da gavitación univesal F (aplicada á foza que exece a ea esféica sobe o satélite puntual) G =G M m Aceleación nomal (nun movemento cicula de adio ) a N = v ª lei de Newton da Dinámica F = m a Velocidade nun movemento cicula unifome de adio (M.C.U.) v= π Enexía cinética E c = ½ m v Enexía potencial gavitatoia (efeida ao infinito) Enexía mecánica Solución: a) A enexía mecánica é a suma das enexías cinética e potencial. A expesión da enexía potencial: E p = G M m E p = G M m E = E c + E p non pode calculase de momento poque non temos os datos da constante G da gavitación univesal nin a masa M da ea. Peo tendo en conta que na supeficie da ea o peso dun copo mg 0 é igual á foza gavitatoia m g 0 =G M m R G M = g 0 R Substitúese G M po g 0 R na ecuación da enexía potencial, e queda E p = G M m = g R m 0 Suponse que na supeficie da ea está en epouso 1, polo que só ten enexía potencial, que vale: 1 Paa un sistema de efeencia no cento da ea, calquea punto da supeficie ten velocidade debido á otación teeste. A velocidade dun punto da supeficie teeste vale: v = ω R = π R / = 463 m/s. Paa un obxecto de 1 000 kg, a enexía cinética seía E c = 1/ m v = 1,07 10 8 J moito meno que o valo absoluto da enexía potencial
Física P.A.U. GRAVIACIÓN 9 m E p s = G M m R = g 0 R R = g 0 R m=9,80 [m/s ] 6,37 10 6 [m] 1,00 10 3 [kg]= 6,4 10 10 J O adio dunha óbita cicula a unha altua dúas veces o adio teeste é A enexía potencial na óbita é: E p o = G M m = R + h = R + R = 3 R = 3 6,37 10 6 [m] = 1,91 10 7 m = g R 0 m = g R m 0 = E p s J 3 R 3 3 = 6,4 1010 =,08 10 10 J 3 Paa calcula a enexía cinética na óbita necesitamos calcula a velocidade obital. A única foza sobe do satélite a te en conta é a foza gavitatoia que exece a ea, F = F G m a = F G O satélite descibe unha taxectoia apoximadamente cicula con velocidade de valo constante, polo que a aceleación só ten compoñente nomal a N, Despexando a velocidade, queda m v =G M m v= G M Substituíndo G M po g 0 R na ecuación da velocidade, queda v= = G M g = 0 R g 0 R 3 R 3 = 9,80 [m/ s ] 6,37 10 6 [m] =4,56 10 3 m/s=4,56 km /s 3 Análise: Espéase que un satélite en óbita aedo da ea teña unha velocidade dalgúns km/s. O esultado está dento da ode de magnitude. A enexía cinética en óbita é: E c o = 1 m v = 1 m g 0 R 3 =1 6 1,00 103 [kg] 9,80 [m/s ] 6,37 10 6 [m]=1,04 10 10 J A enexía mecánica en óbita valeá E o =E c o +E p o =1,04 10 10 [ J]+(,08 10 10 [ J])= 1,04 10 10 J E o = E c o + E p o = 1,04 10 10 [J],08 10 10 [J] = -1,04 10 10 J Análise: pode compobase que a enexía potencial vale o dobe que a enexía cinética, peo é negativa po se un sistema ligado. A enexía mecánica vale o mesmo que a enexía cinética, peo é negativa. A enexía que hai que comunicalle ao satélite na supeficie da ea é a difeenza ente a que teá en óbita e a que ten no chan: b) A foza centípeta é: E = E o E s = -1,04 10 10 (-6,4 10 10 J) = 5,0 10 10 J (6,4 10 10 J)