Univrsidad Fdral do Rio d Janiro Instituto d Matmática Dpartamnto d Matmática Gabarito da Prova Final d Cálculo Difrncial Intgral II - 07-I (MAC 8 - IQN+IFN+Mto, 6/06/07 Qustão : (.5 pontos Rsolva { xy. o PVI: = x x + y, x > 0 y( =. a EDO: y + y = sin(x. Part.(.0 A quação é d primira ordm linar, pois para todo x > 0 la pod sr scrita na forma y x y = x. Para x > 0, o fator intgrant é I(x = x dx = ln(x = ln(x = x Multiplicando a quação na forma padrão plo fator intgrant, nós obtmos x y x y = ( x x y = x x y = x + C y = x x + Cx. Como y( =, sgu qu = + C C =. Logo, y = x x + x. Part.(.5 A quação homogêna associada é y + y = 0, cuja quação caractrística é r + = 0, com raízs ±i. Logo, a solução gral da quação homogêna associada é y h (x = C cos(x+c sin(x. A solução particular nss caso dv sr da forma y p (x = Ax cos(x + Bx sin(x. Not qu y p(x = A(cos(x x sin(x + B(sin(x + x cos(x
Assim, y p(x = A( sin(x x cos(x + B( cos(x x sin(x. y + y = sin(x A( sin(x x cos(x + B( cos(x x sin(x + Ax cos(x + Bx sin(x = sin(x A sin(x + B cos(x = sin(x A = B = 0. Logo, y p (x = x cos(x a solução gral da quação é y(x = C cos(x + C sin(x x cos(x. Qustão : (.5 pontos Sja C a curva paramtrizada por r(t = (cos(t, sin(t, at, 0 t π, ond a > 0.. Dtrmin o valor d a para qu o comprimnto d C sja π 0.. Supondo a =, dtrmin a paramtrização da rta tangnt a quação do plano normal a C no ponto (0,, π. Part.(.0 Not qu r (t = ( sin(t, cos(t, a, d modo qu r (t = sin (t + cos (t + a = + a. Assim, para qu o comprimnto da curva sja π 0, nós dvmos tr π 0 = uma vz qu a > 0. π 0 + a dt π 0 = π + a a =, Part.(.5 Com a =, a paramtrização s torna r(t = (cos(t, sin(t, ( t π assim, r (t = ( sin(t, cos(t,. Not qu nss caso, (0,, π = r.
( π Como r = (, 0,, sgu qu uma paramtrização da rta tangnt no ponto (0,, π é u(s = (0,, π + s(, 0,, s R ou u(s = ( s,, s + π, s R a quação do plano normal nss ponto é (x 0, y, z π (, 0, = 0 x + z = π. Qustão : ( pontos Sja a função f(x, y = 4 9x 4y.. Dtrmin a quação ( cartsiana do plano tangnt ao gráfico da função f(x, y no ponto,, 5. (. Sja F (s, t = f s t, s t. Dtrminar a taxa d variação d F (s, t, no ponto (, 0, na dirção do vtor (,.. Dtrmin a quação( cartsiana da curva d nívl C, da função f(x, y, qu contém o ponto,. Part.(.0 As drivadas parciais d f(x, y são ( Logo, f x, = ( 5 f y, tangnt ao gráfico d f m 9x f x (x, y = 4 9x 4y 4y f y (x, y = 4 9x 4y. (,, 5 é = 8 5. Portanto, a quação do plano
z 5 = ( 5 x 8 5 (y. Part.(.0 F (s, t = f(x(s, t, y(s, t, ond x(s, t = s t y(s, t = s t. Então x s = s, x t =, s = t t = 6st. Para calcular ( a drivada dircional d F (s, t m (, 0 na dirção do vtor u :=,, dvmos calcular o gradint d F m (, 0. Obsrvamos qu: x(, 0 = x, y(, 0 =, Usando a rgra da cadia F s (, 0 = f x F t (, 0 = f x Assim F (, 0 = D u F (, 0 = (, s (, 0 =, x s (, 0 + f y ( x, ( 8 5, 45 5 t (, 0 + f y ( 8 5, 45 5 x (, 0 =, t (, 0 = s (, 8 (, 0 = s 5 (, 45 (, 0 = t 5.. Portanto (, = 6 5 6. (, 0 = 6. t Part.(.0 Dvmos ( ncontrar k 0 tal qu a curva C sja dscrita como f(x, y = k, ond f, = k. Tmos ( f, 4 9 7 = = k, daí concluímos k =. Portanto, a curva C é a curva d nívl k = d f qu pod sr rscrita como 4 9x 4y = ou x 4 + y 9 =. 4
Portanto, C é a lips com cntro na origm com smi-ixos, rspctivamnt. Qustão 4: ( pontos Dtrmin os sguints.. Sja S a suprfíci qu é o gráfico d f(x, y = 4x + 4y + 4xy 4x 0y + 5. Encontr sus pontos críticos m R classifiqu-os m máximo local, mínimo local sla.. Encontr os pontos d máximo mínimo absolutos o valor máximo mínimo absolutos da função f(x, y, z = x +y +z na curva d intrsção do plano x + 4y + z = 0 com o cilindro x + y =. Part.(.0 Como a função tm drivada contínua m todo o domínio, basta invstigar os pontos m qu f(x, y = (0, 0. ( Tmos qu f(x, y = (8x + 4y 4, 4x + 8y 0. Rsolvndo obtmos qu, é o único ponto crítico. Plo tst da drivada sgunda tmos qu A = f x = 8, C = f = 8 B = f x = 4. Então como D = AC B > 0 A > 0, conclui-s qu (, é um ponto d mínimo local. Part.(.0 A curva C dnota a intrsção do plano o cilindro qu é um lips obliqua no spaço. Assim C é um conjunto limitado fchado. Logo, a rstrição d f a C tm pontos máximo mínimo absolutos. Podmos paramtrizar C do sguint modo, considr x = x(θ = cos θ y = y(θ = sin θ, com θ [0, π, isso garanta pontos no cilindro. Pla quação do plano, tmos qu z = z(θ = x 4y = cos θ 4 sin θ, portanto r(θ = (cos θ, sin θ, cos θ 4 sin θ, é a paramtrização da curva C. Estudmos f rstrita a r(θ, isto é, F (θ = f(r(θ = f(x(θ, y(θ, z(θ = 6 cos θ 8 sin θ, ond θ [0, π. 5
O problma é rduzido a achar los pontos máx. mín. m R, qu é studado m Cálculo I. Achamos pontos críticos F (θ = 6 sin θ 8 cos θ = 0 tan θ = 4, xistm θ, θ [0, π difrnts tal qu x = cos θ = 5, y = sin θ = 4 5, x = cos θ = 5 y = sin θ = 4 5. ( Usando a quação do plano tmos z = 5 z = 5, considr P = 5, 4 5, 5 ( P = 5, 4 5, 5, assim f(p = é o valos máx. abs. f(p = 9 é o valos mín. abs. m consquência P é o ponto máx. abs. P é o ponto mín. abs Boa sort!! 6