Universidade Federal do ABC Eng. De Instrumentação, Automação e Robótica Circuitos Elétricos I Prof. José Azcue; Dr. Eng. Excitação Senoidal e Fasores Impedância Admitância 1
Propriedades das Senóides Onda senoidal Amplitude V m Frequência angular ω [rad/s] A senóide é uma função periódica Período ω = 2πf [rad/s] T = 2π ω [s] Frequência f = 1 T = ω 2π [Hz] Expressão geral Na qual φ é o ângulo de fase. v t = V m sin(ωt + φ) 2
Propriedades das Senóides Senóide defasada de φ radianos. Uma senóide pode ser expressada na forma de seno ou cosseno 3
Propriedades das Senóides Exemplo: Determine de quanto uma senóide antecede ou segue outra da mesma frequência. v 1 está defasada de (108 30 = 78 ) em relação a v 2 sin ωt ± 180 = sin(ωt) cos ωt ± 180 = cos(ωt) 4
Exemplo de um circuito RL Encontrar a resposta forçada i f [3] Aplicando LKT 77 Por tentativa, temos 5
Exemplo de um circuito RL Então Resolvendo o sistema de equações: 6
Exemplo de um circuito RL Portanto, a resposta forçada será [3][7] mas Finalmente 7
Exemplo de um circuito RL Então, podemos reescrever a resposta forçada como: Onde E a resposta natural é A corrente se estabiliza em seu valor de regime permanente CA dado pela corrente forçada. Método muito trabalhoso para a obtenção da corrente! 8
Fasores Um fasor é um número complexo que representa a magnitude e a fase de uma senóide. A ideia de representação fasorial é baseado na fórmula de Euler. 9
Fasores Dada uma senóide ou Assim, Na qual é a representação fasorial de v(t) 10
Fasores Função senoidal Fasor Procedimento 1. Expresse a senóide na forma de cosseno, 2. Retire o fator temporal e jωt e tudo o que resta é o fasor correspondente à senóide. Suprimindo a fator temporal, nós transformamos a senóide no domínio temporal para o domínio fasorial (ou domínio da frequência) Domínio Temporal Domínio Fasorial 11
Fasores Fasor Senóide Para obter uma senóide correspondente a um determinado fasor, multiplique o fasor pelo fator e jωt e calcule a parte real. Como qualquer numero complexo um fasor pode ser expressado na forma retangular, forma polar ou forma exponencial. 12
Fasores Se Observa-se que a derivada de v(t) se transformou em jωv no domínio fasorial. (Domínio Temporal) De forma semelhante, pode-se mostra que (Domínio Temporal) (Domínio Fasorial) (Domínio Fasorial) 13
Exemplos Transforme estas senóides para fasores 1. 2. 3. Dado as correntes Determine i 1 t + i 2 (t) 14
Exemplo Utilizando o método fasorial, determine a corrente i(t) no circuito descrito pela seguinte equação. 15
Relações Fasoriais: Resistor Se a corrente através de um resistor é Então a tensão será (lei de Ohm) Seu fasor Relação tensão-corrente para o resistor [6] Portanto, Os fasores V e I têm a mesma fase φ Diagrama fasorial [6] 16
Relações Fasoriais: Resistor Simulação do circuito RLC no Simulink/Matlab 17
Relações Fasoriais: Resistor Tensão e corrente no resistor R Corrente IR Tensão VR 18
Relações Fasoriais: Indutor Se a corrente através de um indutor é Pela definição de tensão no indutor Seu fasor Relação tensão-corrente para o indutor [6] Portanto, A corrente está atrasada de 90 Diagrama fasorial [6] 19
Relações Fasoriais: Indutor Tensão e corrente no indutor L Corrente IL Tensão VL 20
Relações Fasoriais: Capacitor Se a tensão no capacitor é Pela definição de corrente no capacitor Seu fasor Relação tensão-corrente para o indutor [6] A corrente está adiantada de 90 Diagrama fasorial [6] 21
Relações Fasoriais: Capacitor Tensão e corrente no capacitor C Corrente IC Tensão VC 22
Relações Fasoriais: Capacitor Tensão e corrente na entrada do circuito A fonte enxerga um circuito indutivo XL > XC Corrente IC Tensão VC 23
Impedância e Admitância Obteve-se as seguintes relações fasoriais Estas expressões podem reescritas Tem-se a lei de Ohm na forma fasorial Na qual Z é uma quantidade que depende da frequência e será denominada de impedância. 24
Impedância e Admitância A impedância Z segue as mesmas regras dos resistores em circuitos. (associação serie/paralelo de impedâncias) A impedância é um número complexo mas não é um fasor. Impedância na forma retangular: Na qual: 25
Impedância e Admitância Note que No caso do resistor, a impedância é puramente resistiva, sendo a reatância zero. No caso do indutor e do capacitor, a impedância é reatância pura, sem componente resistiva. 26
Impedância e Admitância Reatância indutiva: Reatância capacitiva: A reatância indutiva é positiva e a reatância capacitiva é negativa. No caso geral, podemos ter as seguintes situações: 27
Impedância e Admitância A reciproca da impedância é a admitância Condutância: Susceptância: [Siemens] 28
Impedância e Admitância Relação entra as componentes de Y e Z Assim OBS: R e G (assim como X e B) não são recíprocos. 29
Exemplo: Circuito RL Calculando as respectivas impedâncias Lei de Kirchhoff de tensões no circuito fasorial: 30
Exemplo: Circuito RL Isolando a corrente No domínio temporal 31
Exercício 1 p1. Calcule a condutância e a susceptância para Z a) Z = 3+j4 b) Z = 0,4+j0,3 p2. A corrente no indutor de 75mH é de 4cos(40000t - 38) ma. Calcule: a) Reatância indutiva b) A impedância no indutor c) O fasor da tensão d) A expressão para v(t) 32
Exercício 2 A tensão nos terminais do capacitor de 0,2 uf é de 40cos(10 5 t-50). Calcule: a) Reatância capacitiva b) A impedância do capacitor c) O fasor da corrente d) A expressão para i(t) 33
Exercício 3 No circuito abaixo, determinar a tensão E (forma fasorial e temporal). R=3Ω; L=1,6mH; C=20uF. (trabalhar no domínio da frequência). Neste circuito i(t) = 3cos(5000t-60). 34
Problema 9.6 Para os pares de senoides a seguir, determine qual delas está adiantada e por quanto? Respostas: (a) i(t) adiantada em relação à v(t) em 20 35
Problema 9.25 Usando fasores, determine i(t) nas seguintes equações: Respostas: (a) i(t)=800cos(2t-8,13 ) ma 36
Problema 9.39 Para o circuito da figura abaixo, determine Zeq e use esta para determinar a corrente I. Considere ω=10 rad/s. Respostas: Zeq = 9,135 + j27,47 Ω 37
Problema 9.50 Determine vx no circuito da figura abaixo. Considere is(t)=5cos(100t+40) A. Respostas: vx(t)=50cos(100t-50 ) 38
Problema 9.65 Determine Zt e I no circuito da figura abaixo. Respostas: Zt=6,83 + j1,094 Ω 39
Problema 9.66 Para o circuito da figura abaixo, calcule Zt e Vab. Respostas: Vab = 52,94 273 40
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Referências [1] ALEXANDER, C. K.; SADIKU, M. N. O. Fundamentos de Circuitos Elétricos, 5ª edição, Ed. Mc Graw Hill, 2013. [2] ORSINI, L.Q.; CONSONNI, D. Curso de Circuitos Elétricos, Vol. 1( 2ª Ed. 2002 ), Ed. Blücher, São Paulo. [3] CONSONNI, D. Transparências de Circuitos Elétricos I, EPUSP. [4] BALDINI, R. Transparências de Circuitos Elétricos, UNICAMP. [5] BELATI, E. Transparências de Circuitos Elétricos I, UFABC. [6] NILSSON, J.W., RIEDEL, S. A. Circuitos Elétricos, 8ª Ed., Editora Pearson, 2009. [7] D.E. Johnson, J.L. Hilburn, J.R. Johnson Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos, 4ta edição, Prentice Hall Brasil, 1994. 42