Universidade Federal de Lavras Departamento de Engenharia -GNE219 - Controle em Espaço de Estados Prof. Daniel Leite E-mail: daniel.leite@deg.ufla.br 2/2017 1/35
Sumário Conceitos básicos de modelos em espaço de estados Obtenção de modelos lineares contínuos em espaço de estados a partir de equações diferenciais Obtenção de função de transferência a partir de modelo de estados 2/35
Controle no domínio do tempo Em controle clássico, a transformada de Laplace é utilizada para transformar uma eq. diferencial no domínio do tempo em eq. algébrica em função da variável complexa = + (f.t.) Computadores digitais facilitaram a solução a partir da formulação no domínio do tempo controle moderno Domínio do tempo: é um domínio matemático que incorpora a a descrição do sistema e a resposta em função do tempo 3/35
Sistemas em tempo contínuo Representações Domínio do tempo Paradigma: transformação da eq. dif. em eq. algébrica Equação diferencial Paradigma: redução da ordem da eq. dif. original Controle clássico Função de transferência Espaço de estados Controle moderno Domínio da frequência Domínio do tempo 4/35
Variáveis de estado Estado: conjunto de variáveis necessário e suficiente para caracterizar a situação física de um sistema As variáveis de estado (), (),, ()descrevem o comportamento atual de um sistema dinâmico Em conjunto com as variáveis de entrada e equações dinâmicas (modelo) fornecem estados e saídas futuras do sistema (0): condição inicial (Entradas) () (Variáveis internas),,, Modelo (Saídas)!() 5/35
Variáveis de estado devem ser linearmente independentes* (LI) e.g. sistema de 2ª ordem duas variáveis de estados LI Se conhecemos ()em = #, juntamente com o conhecimento das entradas ()para #, determinamos completamente o comportamento do sistema Variáveis de estado não precisam ser quantidades fisicamente mensuráveis ou observáveis. Na prática é conveniente serem * Conceito a ser introduzido formalmente 6/35
Podem ser variáveis de estado: Condição de um interruptor liga/desliga Posição, velocidade, ângulo de um robô móvel Tensões em capacitores e correntes em indutores (Entradas) = % &' % (' % )' * MI 3φ (Saídas)! =, -. (Estados possíveis) = 1 ' 1,, -. 7/35
Independência linear Os vetores 3, 3,, 3 são linearmente independentes (LI) quando a relação: 4 3 + 4 3 + + 4 3 = 0 é verdadeira somente fazendo todas as constantes 4 6 iguais a 0 De modo recíproco, 3, 3,, 3 são linearmente dependentes (LD) se 3 6 pode ser escrito como combinação linear de 3 7, 8, i.e. 3 6 = = : 7 3 7 : 7 = 4 7 4 6 7> 6?7 8/35
Exemplo Os vetores 3 = 1 2 3, 3 = dependentes logo que 1 0 1, 3 C = 2 2 4 são linearmente 13 + 13 13 C = 0 Os vetores 3 = 1 2 3, 3 = 1 0 1, 3 C = 2 2 2 são linearmente independentesjá que, para que 4 3 + 4 3 + 4 C 3 C seja igual a 0, é necessário fazer 4 = 4 = 4 C = 0 9/35
Classes de sistemas dinâmicos Dinâmica: lei de variação do estado Dinâmica não-linear contínua ( forma mais geral ) Equação de estado: E = *,, Equação de saída:! = h,, Estado inicial: (0) = # onde E = F F; * e h são funções quaisquer Sistema autônomo ouinvariante no tempo: funções *e h não dependem explicitamente do tempo Sistema homogêneoou não forçado: = 0 10/35
Diagrama de blocos () E() * H(. ) F () h!() E = *,,! = h,, 11/35
Se * e hsão lineares E() = J() () + K()()!() = L() () + M()() Se * e hsão lineares e invariantes no tempo E() = J () + K()!() = L () + M() Se, além disso, a entrada é nula E() = J ()!() = L () 12/35
Linear não-linear Caso contínuo NO(P) NP 4! = () : Linear N Q O(P) NP Q + tanh S!() 5 = 0 : Linear N U O(P) NP U + NO(P) NP Caso discreto! C = 0 : Não-linear! V + 1 2! V = (V) : Linear! V + 2 V + 1! V V = 0 : Linear! V + 3! V 3! V 2 = 0 : Não-linear 13/35
Definições Espaço de estados: espaço W-dimensional cujos eixos são as variáveis de estado, e.g. vide caos de Lorenz Sistema linear, contínuo e invariante no tempo,no espaço de estados, é descrito por: Equações de estado: conjunto de Wequações diferenciais de 1ª ordem contendo W variáveis de estado e X entradas de controle Equações de saída: conjunto de Yequações algébricas de 1ª ordem que exprimem as variáveis de saída como uma combinação linear das variáveis de estado e das entradas 14/35
Equação linear de estado Assume-se sistemas contínuos descritos por equações do tipo: E = Z + Z + + Z + [ + [ \ \ E = Z + Z + + Z + [ + [ \ \ E = Z + Z + + Z + [ + [ \ \ onde E6 = F 6 F. Na forma matricial: E E E = Z Z Z Z Z Z Z Z Z + [ [ \ [ [ \ \ ou, de maneira compacta, E() = J () + K() 15/35
Diagrama de blocos Modelo linear de estado M () K + + E() H () L + +!() J E() = J () + K()!() = L () + M() 16/35
Sobre parâmetros e variáveis (0): condição inicial onde E() = J () + K()!() = L () + M() () (Variáveis internas) () () () (Parâmetros) J K L M!() J R K R \ L R b M R b \ : matriz do sistema : matriz de entrada : matriz de saída : matriz de transmissão direta R : vetor de estados R \ : vetor de controle! R b : vetor de saída 17/35
Obtenção de modelo de estado Sistemas mecânico translacional X!f + [!E + V! = (EDO de 2ª ordem) Escolha de variáveis de estado: =!(); =!E() Logo, E =!E = E =!f = V! [!E = g \ \ \ ( \ 18/35
A forma padrão é: Logo, E() = J () + K()!() = L () + M() E E = 0 1 g \ ( \ + 0 \! = 1 0 + 0 E H 1 X + E = H! = + + [ X V X 19/35
Espaço de estados função de transferência E = J + K!() = L () + M() Transformada de Laplace com condições iniciais nulas: sendo Logo, Então, i = Ji + Kj k() = Li() + Mj() i = i i i () l = () l. i = 1 J m Kj(), onde 1 é matriz identidade. k() = L 1 J m Kj() + Mj() Espaço de estados n = o(') p(') = L 1 J m K + M Função de transferência 20/35
n = o(') p(') = L 1 J m K + M j() n() k() Relembre que 1 J m = N.P 'rms ZF 1 J Os polos da f.t.são as raízes do polinômio Ft 1 J Os polos de n()são os autovaloresde J! 21/35
Determinante Ft J ou J : determinante da matriz quadrada J Seja uma linha arbitrária V de J, então Ft J = 7> Z g7 L g7 ou, ainda, uma coluna w qualquer de J, então Ft J = 6> Z 6x L 6x onde L by são cofatores dados por L by = 1 bzy { by e { by são os menoresassociados aos elementos Z by de J. Um menor { by é o determinante da matriz J m m com a linha Ye a coluna excluídas 22/35
Determinantes de J, para W = 1, 2, 3 J = Z Ft J = Z Z J = Z Z Z Ft J = Z Z Z Z J = Z Z Z C Z Z Z C Z C Z C Z CC Ft J = Z Z Z CC + Z Z C Z C + Z C Z Z C Z C Z Z C Z Z Z CC Z Z C Z C 23/35
Matriz conjugada J (J C \ ) J = 1 1 + 0 3 3 1 5 0 4 1 +, J = 1 1 0 3 + 3 1 + 5 0 4 1 Matriz conjugada transposta J J = 1 3 + 3 0 1 4 0 1 + 5 1 J + K = J + K, JK = K J, 4 C 4J = 4 J Prove 24/35
Propriedades de determinantes Se duas linhas ou colunas são trocadas, troca-se o sinal Se Jtem duas linhas ou duas colunas idênticas, Ft J = 0 Ft J = Ft J, Ft J = Ft J Ft JK = Ft J Ft K Ft J = Ft J, J R Ft J K 0 M = Ft J 0 L M = Ft J Ft M Se Ft J = 0, então Jé dita matriz singular 25/35
Autovalor e autovetor Seja Juma matriz W W Os vetores 3 0para os quais existem um escalar que resolve o sistema homogêneo: J 1 3 = 0 são ditos autovetoresde J. Os valores de que conjuntamente com 3 resolvem o sistema são autovaloresde J Para solução além da trivial (3 = 0) é necessário que: J 1 = 0 O polinômio resultante do determinante tem grau Wem. Suas raízes são os autovalores de J 26/35
Para obter os autovetores 3 de Jbasta substituir cada um dos (um por vez) em: J 1 3 = 0 Qualquer múltiplo de um autovetor também é autovetor Autovalores podem ser complexos pares conjugados a forma de resolução é a mesma Note que 1 J = J 1 27/35
Exemplo: Seja J = 0 1 0 0 0 1 6 11 6 A equação característica é: 1 J = 1 0 0 1 6 11 + 6 C + 6 C + 11 + 6 = 0 = 0 + 1 + 2 + 3 = 0 Os autovalores de Jsão as raízes da eq. característica, i.e., 1, 2 e 3 Jpode ser reescrita na forma diagonal como: Jƒ = 1 0 0 0 2 0 0 0 3 O sistema descrito por Jou Jƒ é estável 28/35
Matriz inversa J possui inversa K = J m se JK = KJ = 1 A inversa de Jé dada por: J m = N.P s ZF J onde ZF J = 4 * J é matriz adjunta; e 4 * J é matriz cofatora Os elementos cofatores são: L 67 = 1 6z7 { 67 onde { 67 é o menor de Ft J m m excluidas a linha 8e coluna 29/35
Exemplo: Seja Os cofatores são: L = 1 z { = 1. 3 = 3 L = 1 z { = 1. 4 = 4 L = 1 z { = 1. 1 = 1 L = 1 z { = 1. 2 = 2 Logo, 4 * J = 3 4 1 2 ZF J = 4 * J = 3 1 4 2 Ft J = 3. 2 4. 1 = 2 30/35
Método da eliminação de Gauss-Jordan (alternativo) Transforma-se J 1 em 1 J m a partir de operações elementares sobre linhas. Ex.: 31/35
Obtenção de função de transferência a partir de modelo de estados Modelo em espaço de estados: E E = 0 1 g \ ( \ + 0 \! = 1 0 Tem-se que + 0 n = L 1 J m K + M = 1 0 1 g + ( \ \ m 0 \ + 0 32/35
Cálculo da inversa: g 1 \ + ( \ m = ' z ˆ 'z Š + ( \ 1 g \ Logo, n() = 1 0 ' z ˆ 'z Š + ( \ 1 g \ 0 \ n() = \' z('zg 33/35
Exercícios sugeridos Deduzir o modelo em espaço de estados de: [Ogata] exercícios A.3.2; A.3.3; B.3.9 [Dorf] exercícios E3.2; E3.3; E3.12; E3.13; E.3.19; E.3.21 Questões de revisão [Nise] cap. 3, pág. 118, 14 questões Tão análogo de repente à criança que fui outrora Quando brincava na quinta e não sabia álgebra Álvaro de Campos
Observação Este material refere-se às notas de aula do curso GNE- 219, Controle em Espaço de Estados, do Departamento de Engenharia da UFLA. Ele não substitui os livros-texto e referências recomendadas. Este material não pode ser reproduzido sem autorização dos autores. Quando autorizado, seu uso é exclusivo para ensino em instituições sem fins lucrativos. 35/35