GABARITO COMENTADO MATEMÁTICA SIMULADO EDUCON ENEM 2012 Questão 46. D Divide o círculo em 6 partes iguais Custo = C/6. Questão 47. D R + 2R = 1m 5R = 100 cm R = 20 cm = 3.(200).100 = 60000cm 3 M = 60000.(0,9) = 54000g = 54 kg Questão 48 C Teorema de Pitágoras no triângulo AED: AD 2 = 9 + 16 AD = 5 AB é a altura relativa à hipotenusa: AB.ED = AE.AD 5.AB = 3.4 AB = 2,4 m Questão 49 A 3 1 0,333... = 9 ; 2-1 = 2 ; 16 2 16 4 = = 1 9 9 3 ; 0,52 = 4 ; 1 A expressão fica: 1 1 4 1 2. 3 2 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 4 4 4 2 4 Questão 50 A A metade de 4 10 é: 2 2 10 10 20 4 2 19 2. 2 2 2 Questão 51. C x = 3200000 = 32. 10 5 y = 0,00002 = 2. 10-5 x. y = 32. 10 5. 2. 10-5 = 64. 10 0 = 64 Questão 52 E (a + b) 2 - (a - b) 2 = a 2 + 2a.b + b 2 a 2 + 2.a.b b 2 = 4.a.b
Questão 53. D 84 km/h...5 h/d...12 dias 105 km/h...3 h/d...x velocidade e dias são inversamente proporcionais horas por dia e dias são inversamente proporcionais 12/X = 105/84 * 3/5 105 : 5 = 21: 7 = 3 84 : 3 = 28 : 7 = 4 12/X = 3/4 12/X = 3/4 12 * 4 = 48 X = 48/3 -> 16 Questão 54 B x + 2 + y + x = x+2 + x+3 + x+ 4 y = x + 7 a+ x+3 + b = x + b + x + 4 a = 2x + 4 x -3 a = x+1 x+2 + a + 16 = x+2 + x+ 3 + x+ 4 a = 3x + 9 x 18 a = 2x 9 Logo: 2x -9 = x+ 1 x = 10. O valor de y é: y = x + 7 = 10 + 7 y = 17. Questão 55 C 1,05. 1,04. 1,1 = 1,2012 -> 20,12% Questão 56 D y = a. (x 0). (x 6) p/x = 3 -> y = 9 9 = a. 3. (-3) a = -1 y = -1. (x 2 6x) y = -x 2 + 6x a = -1 ; b = 6 ; c = 0 Questão 57 D V(0) = 720 V(12) = 0 -> V(0) = a. 6 2 + b = 720 V(12) = a. 12 2 + b = 0* *144ª = -720 a = -5 -> V(t) = -5t 2 + 720 V(10) = -5. 10 2 + 720 = 220
Questão 58 B x x x y 3x + y = 180 -> y = 180 3x * A = x. y A = x. (180 3x) A = 180x 3x 2 x = 180 = 30 * y = 180 3. 30 y = 90 2( 3) Questão 59 A mx 2 4x 2 = 0 m < 0 0 m < 0 (-4) 2 4. m(-2) 0 * * 16 + 8m 0 8m -16 m -2 Questão 60 E f ( f(2) ) f(2) = -3 f(-3) = 1 Logo: = f(-3) = 1 Questão 61 B 30º 01 59 0º 2 20 30º 3 79 30. 60. 60 + 3. 60 + 19 = 108.199 -> 30º 4 19 segundos perímetro 30. 60. 60 2π. 6375 108199 x 360. 60. 60. x = 2π. 6375. 108199 -> x 3342 Questão 62 A 5x = 140 -> x = 28 3x + y = 180 -> y = 96
Questão 63 E Homens Mulheres total maiores 0,60x 0,25x 0,85x menores 0,12x 0,03x 0,15x total 0,72x 0,28x X Logo: 0,03x 0,15x = 0,20 = 20% Questão 64 B 80% das mulheres não jogam xadrez; logo, 20% das mulheres jogam xadrez; se 20% dos homens jogam xadrez, então 20% de todo o grupo jogam xadrez. Como foi dito que 14 pessoas jogam xadrez, então: 20% 14 100% x portanto x = 70 Questão 65 D Com os dados do problema podemos construir a figura abaixo, onde D é o ponto procurado e h altura do prédio: a Consideramos o DBC; pelo teorema do ângulo externo: 60º = 30º + portanto = 30º e o DBC é isósceles, logo DB + BC. O BAC é retângulo; então: cos 60º = AB 1 = AB BC = 2AB = 2 X 90 = 180 BC 2 BC Então DB = 180 e DA = DB + AB = 180 + 90 = 270 Questão 66 B Construamos a figura onde: A B 0,7x x O = 25km X Y Ax: trecho em descida (de A para B) XY : trecho plano YB: trecho em subida
Pelos dados do problema e pela figura, sendo BY > XÁ, o ciclista demora mais tempo para ir de A para B do que para ir de B para A. Tempo para ir de A para B: tab Tempo de ir de B para A: t BA Então tab= t BA + 48(min) ou tab = t BA + 4 5 (h) (I) Com as velocidades dadas podemos fazer: tab = 0,7x 30 + XY 25 + x 15 e t BA = x + XY + 0,7x 30 25 15 Substituindo esses valores na equação (I) 0,7x 30 + XY 25 + x 15 = x 30 + XY 25 + 0,7x 15 + 4 5 0,7x + 2x = x + 1,4x + 24 0,3x = 24 x = 80 Então: Ax = 56 km, YB = 80 e XY = 156 (56 + 80) = 20 Questão 67 C Chamando de E a expressão a ser simplificada: E = 2 3 + 2 12 2 75 ; fatorando 12 e 75 em fatores primos temos: E = 2 3 + 2 2 2 X 3 2 3 X 5 2 ou E = 2 3 + 4 3 10 3 = - 4 3 Questão 68 C A expressão a 2 + b 2 + 2ab 4c 2 pode ser reescrita como uma diferença de quadrados ou seja: a 2 + b 2 + 2ab 4c 2 = (a + b) 2 4c 2 = (a + b + 2c) (a + b 2c) = 35 5 7 Questão 69 E O Bufê oferece 7 opções das quais 3 (alface, cebola e tomate) sempre devem constar das saladas. Como a salada deve conter 5 componentes, restam 2, que serão escolhidos entre os 4 componentes restantes: agrião, pepino, beterraba e cenoura. Trata-se de um problema de combinação: 4! 4 X 3 X 2 C 4,2 = = = 6 há 6 opções de saladas. 2!2! 2 X 2 Questão 70 B Se à vista o produto custa R$ 700,00 e esse valor contém um desconto de 30% sobre o preço de tabela, então o preço de tabela é: 700,00 1 0,3 = 1.000,00 Como na compra com cartão há um acréscimo de 10% sobre o preço de tabela, então esse valor será: 1.000,00 X 1,1 = 1.100,00
Questão 71 A Consideremos que a cartolina quadrada tem lado medindo 2ª ; pelo enunciado podemos construir a figura: MD é a linha de dobra onde M é o ponto médio de BC Após a dobra o ponto C ocupará a posição C Polígono P resultante: BMDA Chamemos de S p = área do polígono P S Q = área do quadrado ABCD S T = área do triangulo MC D Então S p = S Q S T = 4ª 2 a 2 = 3ª 2 Chamemos agora de S B a área branca visível da cartolina após a dobra; pela figura temos: S B = S p S T = 3ª 2 a 2 = 2ª 2 Logo S B S T = 2ª 2 = 2 66,66% - melhor aproximação: 67% 3ª 2 3 Questão 72 E Seja x o número de moedas de 50 centavos existentes no cofre; logo, teremos nesse cofre (60 x) moedas de 10 centavos. A quantia T existente no cofre será: T= 0,5x + (60 x). 0,1, em reais Foi dado que 24,00 < T < 26,00 Então 24 < 0,5x = (60 x). 0,1 < 26 ou 24 < 0,5x + 6 0,1x < 26 ou 18 < 0,4x < 20 45 < x < 50 Logo, x poderá valer: 46, 47, 48 ou 49. Há, portanto, 4 soluções. Questão 73. B Idade de Rafael, R = 20 Idade de Patrícia, P = 18 Seja R2 a idade de Rafael daqui a X anos, R2 = R + X = 20 + X Seja P2 a idade de Patrícia daqui a X anos, P2 = P + X = 18 + X Em quantos anos X que P2 = 0,92*R2, ou seja, em quantos anos X em que (18+X) = 0,92*(20+X) 18 + X = 0,92*20 + 0,92 *X 18 + X = 18,4 + 0,92*X X 0,92*X = 18,4 18 0,08*X = 0,4 X = 0,4/0,08 X = 5 Daqui a 5 anos, a idade de Patrícia é 92% da idade de Rafael.
Questão 74 B A soma das raízes é: x + x = -p 4 O produto das raízes é: x.x = 1 4 A soma dos inversos das raízes é: Questão 75 D -p " ' 1 1 x x 5 5 4 5 p = 5 ' '' ' " x x x. x 1 4 b + 60 o = 120 o b = 60 o x + b +60 o = 180 o x + 120 o = 180 o x = 60 o f = m + 100 ou m = f 100 f= r/2 ou r = 2f 2000m + 200f+25r = 700 000 Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000 2000f 200 000 + 200f + 50 f = 700 000 2250f = 900 000 f = 400 Como m = f 100 m = R$ 300,00 Questão 76 C f = m + 100 ou m = f 100 f= r/2 ou r = 2f 2000m + 200f+25r = 700 000 Logo: 2000(f-100) + 200f + 25.2f = 700 000 2000f 200 000 + 200f + 50 f = 700 000 2250f = 900 000 f = 400 Como m = f 100 m = R$ 300,00
Questão 77 D Usa semelhança de triângulos. x/10 = 1,8/0,5 0,5x = 18 x = 36m Questão 78 D Questão 79 D AC = 2a 2a = 100 a = 50 m BD = 2b 2b = 60 m b 30 m a 2 = b 2 + c 2 50 2 = 30 2 + c 2 c 2 = 1 600 c = 40 m A distância entre os focos vale: 2c = 2. 40 = 80 m. Questão 80 B Para o jogo final ficam dois participantes. Para um determinado participante ganhar um dos prêmios é 50%. Questão 81 E Duas faces hexagonais: 2.6 = 12 arestas Seis faces retangulares: 6,4 = 24 arestas. Para que a mesma aresta não seja contada duplamente temos: A = 12 + 24 36 = = 18 arestas 2 2. Questão 82 C M(t) = 32 x 0,835t sendo t em dias, para t=1 (um dia) temos: M(1)= 32 x 0,835 x 1 M(1)= 26.72g ao final de um dia a massa dessa substância será 26,72g. Então a massa desintegrada é: massa desintegrada = massa inicial - massa final massa desintegrada = 32-26,72 massa desintegrada= 5,28g Portanto ocorreu uma desintegração de 5,28 g da massa dessa substância, após 1 dia
Questão 83 B Consideramos o sistema de juros compostos. M = C.(1 + i) para cada mês 1590 = 1 500(1 + i) 1590 = 1500 + 1500i 1500i = 90 i = 1590.1,06 = 1 685,40 1685,40.1,06 =1 786,52 1,786,52.1,06 = 1 893, 51 1 893,51.1,06 = 2 007, 24 2 007,34.1,06 = 2 127,78 Questão 84 A 90 0,06 1500. tg = 0,05 1 = 5 y 100 y = 20 m Teorema de Pitágoras: x 2 = 1 2 + 20 2 x 2 = 401 x = 401 = 20,02 m. Questão 85 C h = x 3 2 S S 1 2 81 100 H-h 9 = H 10 k 2 k = 9 10 10H -10h = 9H 10h = H h = H 1 L 3 =. 10 10 2 = 3 L 20
Questão 86 C PG (x, 1200, y, 2500) y 2 = 1200.2500 y = 1000 3 A razão dessa PG é: q = 1000 3 5 3 = 1200 6. Portanto no ano de 1800 a população mundial era aproximadamente: X = 1200 7200 1440 1440 3 = = = = 480 3 830 mi 5 3 5 3 3 3 6 Questão 87 A Questão 88 A PA (1500; 2 200, 2 900;...) No vigésimo dia: a 20 = a 1 + 19.700 = 1500 + 13 300 = 14 800 m = 14,8 km. A soma dos 20 dias é dada por: a + a.20 = 1500 + 14800.10 = 163 000 m 1 20 S 20 = 2 A média diária é: 163 000 X = = 8150 m ou 8,15 km 20 Questão 89 B A esfera em I não cabe totalmente na caixa porque seu diâmetro é maior que a altura da caixa, o mesmo ocorrendo com o cubo, que possui aresta maior que a altura da caixa. O cilindro em II cabe inteiramente na caixa, basta colocá-lo deitado e paralelo ao lado 4 dm da caixa. Questão 90 D Considere X o número de faces do dado de cima que está em contato com o dado de baixo. Se somarmos as noves faces visíveis com este X temos 32 + X. Como cada par da face tem soma 7, a soma dessas 10 faces tem soma 35, pois temos cinco pares de soma 7 cada. Assim, X + 32 = 35, ou seja, X = 3. A face superior do dado tem um número Y tal que X + Y = 7. Portanto Y = 4.