UNIDADE I I funções CAPÍTULO Função quadrática Banco de questões 1 (FURG RS) Determine os números reais a e b b para que a função quadrática f x a x x a tenha valor máximo no ponto x = 3 e que esse valor máximo seja : a ) a = 6, b = 1, b ) a = 3, b = 1, c ) a = 3, b = 10 d ) a = 6, b = 10 e ) a = 6, b = 1 (UEL PR) A média aritmética dos números a e b é a + b e a média geométrica de a e b é a b. Dois números têm média aritmética, 1 e média geométrica. A alternativa correta que apresenta o maior deles é: a ) 1 b ) c ) d ) 8, e ) 3 (UEPB PB) O conjunto solução da inequação x x ( 0, 0) > 0, 008 é igual a: a ) S = { x x < 3} b ) S = { x x < 1 ou x > 3} c ) S = { x 1< x < 3} d ) S = { x x > 1 ou x < 3} e ) S = { x 1< x < 3} + +, (UEPB PB) A função f x Ax Bx C A 0 tem como gráfico a figura abaixo. Podemos então concluir que: a ) A > 0, B < AC, b ) A > 0, B = AC, c ) A > 0, B > AC, d ) A < 0, B > AC, e ) A > 0, B < AC, C < 0 (UFES ES) A temperatura de uma certa cidade num determinado dia foi expressa por uma função quadrática. Sabendo que nesse dia a temperatura atingiu o valor de 0 C nos dois horários, às 8 horas e às 18 horas, e que a temperatura máxima desse dia foi de 30 C, determine: a ) a expressão da temperatura em C em função da hora t desse dia, para 8 t 18; b ) os horários desse dia nos quais a temperatura atingiu o valor de 6, C. (, ( )) é um ponto 6 (UFV MG) Dizemos que a f a fixo do gráfico de uma função real f: se f ( a) = a. Se f ( x) = x + 8x + 6, então a distância entre os pontos fixos do gráfico de f é: a ) 7 b ) c ) 8 d ) e ) 6 7 (UFV MG) Sejam f e g funções reais tais que f ( g( x) ) = x 3x + e g( x) = x 3, para todo x. A partir dessas informações, considere as seguintes afirmativas, atribuindo V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): ( ) As raízes de f são 1 e 1. ( ) O produto de f 3 ( ) O resto da divisão de f g x a 1. ( ) e g( f ( 7) ) é igual a 60. ( ( )) por g( x) é igual ( ) Para todo x 3 tem-se que f ( g( x) ). A seqüência correta é: a ) F, F, V, F b ) V, F, V, F c ) F, V, V, F d ) V, V, F, V e ) F, V, F, V
8 (FGV SP) Na parte sombreada da figura, as extremidades dos segmentos de reta paralelos ao eixo y são pontos das representações gráficas das funções definidas por f ( x) = x e g( x) = x + 6, conforme indicado abaixo. c ) h h 3x d ) h + h + 3hx e ) h + hx + 3hx 11 (UEMS MS) A figura abaixo representa a trajetória de um projétil descrita pela função do 1. grau f ( x) = x + x. Pode-se afirmar que a 8 altura máxima h atingida por esse projétil é de: A medida do comprimento do maior desses segmentos localizado na região indicada na figura é: a ) 6 b ) 6, c ) 6, d ) 6, 7 e ) 7 9 (FGV SP) Um importante conceito usado em economia para analisar o quanto uma variação do preço unitário p > 0 influencia na variação da receita é o de elasticidade da demanda, denotado por E( p), uma vez que a elasticidade E é dada em função de p. Se E( p) > 1, então se diz que a demanda é elástica, o que quer dizer que um pequeno aumento do preço unitário resulta em uma diminuição da receita, ao passo que um pequeno decréscimo do preço unitário irá causar um aumento da receita. Admitindo a elasticidade da demanda dada por E( p) = + 1 p p p + 1, então, o intervalo de p para o qual a demanda é elástica é: a ) 0 1, 1, + + b ) 1 8, c ) 0, d ) 0 1,, + 1 e ), + + 10 (Udesc SC) Sejam f e g funções, definidas no conjunto dos números reais, dadas por f x x h + e g x x xh 3x h 3, h. A relação ( ) entre x e h, para que se tenha f x g( x) = 3, é: a ) h + xh + 3x b ) h + h + 3x a ) 8 m b ) 1 m c ) 16 m d ) m e ) 3 m + + 1 (UEMS MS) Para que a função f :, definida por f x x qx q, possua raiz dupla positiva e distinta, é necessário que: a ) q b ) q = 8 c ) 0 < q < 8 d ) q < 0 ou q > 8 e ) f ( x) possui apenas uma raiz real, independente do valor de q 13 (UEMS MS) Os gráficos de duas funções f e g estão representados na figura abaixo. As funções são definidas por f ( x) = x e g x x x 1. ( )( + ) Pode-se concluir que as coordenadas dos pontos A e B são, respectivamente: 1 a ), e 3, 6 1 3 b ), 3 e, 1 c ), 3 e 1 9 d ), e e ) 3, 3, 1 9, e 3,
1 (UEMS MS) Pode-se afirmar que o conjunto ( )( + ) < { 3 } { 3 ou } { 3 e 0} { e 3} { } solução da inequação x 3 x 7x 1 0 é: a ) S = x < x < b ) S = x x < x > c ) S = x x < x d ) S = x x < x e ) S = x x > 1 (UEMS MS) A figura representa um quadrado ABCD de área. Considere o triângulo SBR determinado pelos pontos S, B e R com S AB e R BC. Se CR = SB, pode-se afirmar que a área máxima do triângulo SBR será: a ) 1 b ) 3 c ) 1 d ) 3 e ) 16 (UFC CE) Seja Γ uma semicircunferência de diâmetro AB e raio 1. Encontre o maior valor possível para a área de um retângulo PQRS, construído de tal modo que R e S estejam sobre AB e P e Q sobre Γ. 17 (UFMT MT) Em 1996, fez-se uma previsão inicial indicando que a temperatura média global no período 000 100 aumentaria em até C. Todavia, novas pesquisas sugeriram uma hipótese mais pessimista: no mesmo período, o aumento da temperatura média global poderá ser de até 6 C. A figura abaixo apresenta as duas previsões de elevação da temperatura média global no período citado. Adaptado de <www.clubemundo.com.br>. Acesso em: 1 jun. 00. Admitindo que f x ( ) e g( x) são funções quadráticas reais de variáveis reais, então ( ) ( ) é dada por: h x g x f x 7 1 a ) h( x) = x + x 60 10 13 b ) h( x) = x + x 90 60 1 7 c ) h( x) = x + x 0 0 1 7 d ) h( x) = x + x 10 60 1 7 e ) h( x) = x + x 60 30 18 (UFPE PE) Seja f a função, tendo o conjunto dos números reais como domínio e dada, para x ( )( + + ) real, por f x x 1 x x 1. Julgue em verdadeiras ou falsas as afirmações seguintes relativas a f: 0 são x = 1 e x = 1 ( ) as raízes de f x ( ) f ( x) < 0 para todo x real com x < 1 ( ) o gráfico de f intercepta o eixo das ordenadas no ponto ( 0, 1) 6 18 ( ) f 10 10 ( ) > ( + 1) ( 1) ( ) f x x x, para todo x real 19 (UFPR PR) Considere as afirmativas abaixo a respeito das funções f x x x 3 e 1 g( x) = x 1, com x : 1. A função f x g x ( ) + ( ) tem exatamente três zeros.. A função f ( x) + g( x) é crescente no intervalo fechado,. ( ) ( ) é positiva no intervalo 3. A função g x f x aberto ( 0, 3).. Quando x, tem-se f g x g f x ( ) ( )( ). Assinale a alternativa correta: a ) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras. b ) Somente as afirmativas e 3 são verdadeiras. c ) Somente as afirmativas 3 e são verdadeiras. d ) Somente as afirmativas 1 e são verdadeiras. e ) Somente as afirmativas e são verdadeiras. 0 (UFPR PR) Um determinado tipo de canhão para artilharia antiaérea dispara projéteis que descrevem uma trajetória parabólica. Após vários disparos, um grupo de engenheiros militares constatou que, desprezando-se a resistência do ar, os projéteis lançados a partir do solo descrevem uma parábola de equação y = 16k x kx, sendo x e y dados em metros e k um fator positivo relacionado à inclinação que pode ser ajustado diretamente no canhão. a ) Que valor se deve atribuir a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja o solo a exatamente 00 m do ponto de disparo? b ) Qual é o menor valor que se deve atribuir a k para que um projétil lançado por esse canhão atinja a altura de 1000 m?
1 (Unifor CE) Seja f uma função quadrática cujos zeros são e 3. Se o gráfico de f corta o eixo das ordenadas no ponto ( 0, ), então: a ) o conjunto imagem de f é o intervalo 9 +, b ) f é crescente para todo x > c ) f é decrescente para todo x < 0 d ) f é positiva para todo x > 0 e ) o valor máximo de f é 7 8 + + ( ) Se a função quadrática h x ax x c admite valor máximo 1 no ponto de abscissa, então c a =. ( ) Se a função real f ( x) = ax + bx + c, com a 0, possui apenas duas raízes reais positivas distintas entre suas raízes, então a função quadrática g( x) = ax + bx + c possui duas raízes reais positivas distintas. (UFG GO) A região do plano cartesiano, destacada na figura abaixo, é determinada por uma parábola, com vértice na origem, e duas retas. (UFAC AC) Dois números positivos m e n, com m > n, estão em uma proporção de ouro se ocorre que m + n m =. Se é este o caso, quando o m n menor número é igual a 1, o maior número é chamado de número de ouro e é denotado pela letra grega ϕ homenagem ao arquiteto grego Phidias (90 30 a.c.). Qual dentre os valores abaixo é o número de ouro? a ) ϕ = 3,1196... b ) ϕ = 1 c ) ϕ = 1+ d ) ϕ = 1,7079637... e ) ϕ =,01010101... 3 (UFBA BA) Com base nos conhecimentos sobre funções, julgue as afirmações abaixo em verdadeiras ou falsas. ( ) Se a função afim m( x) = ax + b, a 0, é crescente, então a > 0 ou x >. b a ( ) Se a função afim p( x) = ax + b, a 0, é decrescente, então a função é negativa para todo b x <. a ( ) Se a função quadrática n( x) = ax + bx + c é par, então b. ( ) Se a figura representa um esboço do gráfico da função quadrática r( x) = ax + bx + c, então b é um número real negativo. Esta região pode ser descrita como o conjunto dos pares ordenados ( x, y), satisfazendo: x x 3 a ) x e y + x x 3 b ) x e y + x 3 c ) x e x y + x 3 d ) x e x y + x x 3 e ) x e y + (UFMS MS) Considere que a função quadrática f : definida por f ( x) = x x + 3, onde representa o conjunto dos números reais. Julgue as alternativas em verdadeiras ou falsas. ( ) o gráfico de f é uma parábola com vértice no ponto, 0 ( ) ( ) o maior valor assumido pela função f no intervalo fechado 1, 3 é 0 x + x f ( x ) f x 1 1 ( ) f + ( ), quaisquer que sejam x 1 e x números reais ( ) a reta de equação dada por x y 6 corta o gráfico de f em apenas um ponto ( ) se x + x =, então f x f x 1 1 x representam números reais ( ), onde x 1 e
6 (UFPB PB) A função L( x)= 100x + 100x 700 representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações: I. Se vender apenas unidades, a empresa terá lucro. II. Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo. III. Se vender 1 unidades, a empresa terá prejuízo. Está(ão) correta(s) apenas: a ) I b ) II c ) III d ) I e II e ) II e III 7 (UFPI PI) Seja m a quantidade de números inteiros pertencentes ao conjunto solução, nos números reais, da inequação x x < 0. Então, m é igual a: a ) 1 b ) c ) 3 d ) e ) 8 (UFPI PI) Um retângulo está inscrito em um triângulo retângulo isósceles, com sua base sobre a hipotenusa e seus vértices superiores sobre os catetos do triângulo. Se a hipotenusa mede 10 cm, então, a área máxima que um retângulo nessas condições pode alcançar é igual, em cm, a: a ) 8, b ) 10, c ) 1, d ) 1, e ) 16, 9 (UFRN RN) a ) Esboce, no mesmo sistema de eixos, os gráficos das funções reais de variável real f x x 3 e g x x 8x 1 + + ( ) de todos os b ) Determine as coordenadas x, y pontos em que os gráficos das funções dadas se cruzam. 30 (Ufscar SP) Considere que a representação gráfica da função f :, dada por f ( x) = mx x + n, com m e n reais, é uma parábola com ordenada do vértice maior que n. Se m n > 1, uma possível representação gráfica de f é: a ) b ) c ) d ) e ) 31 (Unesp SP) A expressão que define a função quadrática f ( x), cujo gráfico está esboçado, é: + + + + + a ) f x x x b ) f x x x c ) f x x x d ) f x x x e ) f x x x
3 (Unesp SP) Considere as funções polinomiais + + + + 3 3 f x x x x 1 e g x x 3x 1, cujos gráficos se interceptam em dois pontos como esboçado na figura (não em escala). Determine para quais valores reais f ( x) g( x), isto é, determine o conjunto = { ( ) ( )} S x f x g x.
Respostas do capítulo 1 c e 3 e c a ) T t t t b ) 10h e 16h 6 d 7 b 8 b 9 d 10 b 11 e 1 d 13 d 1 d 1 a 16 A PQRS = 1 17 d 18 V, F, V, V, V + 19 b 0 a ) k = b ) k =, 1 a c 3 V, F, V, V, V, V a F, V, F, V, V 6 e 7 e 8 c 9 a ) 188 ( ) e ( 9 1) b ) 1,, 30 c 31 d 3 S = x x 1 ou x { }