INTEGRAIS Definição: Uma fnção F é ma antierivaa e f em m intervalo I se F' ) f ) para too em I Chamaremos tamém F ) ma antierivaa e f ) eterminação e F, o F ), é chamao ANTIDIFERENCIAÇÃO O processo e Eemplos: a) F ) é ma antierivaa e f ) Por qe F' ) D ) f ) Há mitas otras erivaas e, tais como, De moo geral, se C é ma constante ARBITRÁRIA, então antierivaa e, porqe D C) Assim, há ma família e antierivaas e one C é ma constante aritrária e C é ma a forma F ) C ) Otros eemplos fnções f ) Antierivaas e f ) cos ; ; sen; sen ; ; ; C C sen C Definição:Se F é ma antierivaa e f em I, então a família e F ) C, C constante, será chamaa e INTEGRAL INDEFINIDA e f em I e enotaa por: f ) F ) C, se F' ) f ) I Oservação: O símolo sao na efinição acima é o SINAL DE INTEGRAL Chamamos e f ) a INTEGRAL DEFINIDA e f ) A epressão f ) é o INTEGRANDO e o C é a CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
) Fórmlas fnamentais e integração a) f ) f ) C ; ) C ; c) v) v; ) a a, one a é ma constante qalqer; n n e) C, se n ; n f) ln C ; a g) a C, se a ; ln a a h) e e C, one a é ma constante qalqer; a i) sen cos C ; j) cos sen C a Eemplos: Calcle as integrais inefinias: a) C C ) C C C c) C C C z z z z ) z z C C z C z z e) ) C C RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
C f) ) ) C C g) s ) s s s ) s s s sss s s ss s s s C s h) s s C s s s C ) ) C C i) cos ) cos cos sen C sen C ) j) ) ) C C s Um prolema aplicao poe ser ennciao em termos e ma EQUAÇÃO DIFERENCIAL, isto é, ma eqação qe envolve erivaas e ma fnção incognita Uma fnção f é ma solção e ma eqaçãoviferencial se verifica a eqação, isto é, se a sstitição a fnção incógnita por f reslta em ma afirmação veraeira Resolver ma eqação iferencial significa achar toas as sas solções Eemplos: a) Resolva a eqação iferencial f ' ), sjeita à conição inicial f ) RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
f ' ) ) C f ) ) C C ) ) C C Logo a solção e f a eqação iferencial, com conição inicial f ), é ) Resolva a eqação iferencial f " ) cos sen, sjeita às conições iniciais f ) e f ') f " ) cos sen) cos sen cos sen cos) C sen cos C Portanto f ' ) sen cos C Aplicano a conição inicial f '), temos: sen cos C C C Logo f ' ) sen cos f ' ) sen cos ) sen cos sen sen cos cos ) sen) C cos sen C Aplicano agora a otra conição inicial f ) otemos: cos sen C C C Portanto, a solção a eqação iferencial com conições iniciais aas é f ) cos sen Eercícios ) Calcle: a) ) ) ) ) t t t 7) t e) z z z g) h) c) t t ) t 7 f) zz 7 z z i) v v v v RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
j) v v v k) l) m) ) n) ) ) o) p) t q) s) cos ) t t t) sen r) t ) t t ) Calcle a integral para a e constantes a ) a c) at ) t a) e) a ) f) a ) a ) t t ) Resolva a eqação iferencial sjeita às conições aas a) f ' ) ; f ) ) f ' ) ; f ) c) ; 7 se 7 ) ; se e) f " ) ; f ') ; f ) f) f " ) ; f ') ; f ) g) sen cos ; f ) 7 e ' se h) cos sen ; ) ; ' se ) Calcle as integrais inefinias a) ) ) ) ) g) j) sen ) m) ) z c) z z z e) ) f) ) h) ) ) i) k) cos n) l) sen cos) o) z cos sen) RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Gaarito ) a) C ; ) C t t t ; c ) t t t C ; ) 7 C ; 7 z e) C ; f) C ; g) C ; h) C ; z z z z v v v i) v C ; j) C ; k) C ; l) C; v m) C ; n) C ; o) C ; p) C ; q) C ; r) C ; s) sen C ; t) cos C t t t t t t at at ) a) a C ; ) a C ; c) t C ; ) C ; e) a ) C ; f) a ) C ) a) f ) ; ) f ) ; c) f ) ; ) f ) ; e) f ) ; f) f ) ; g) f ) sen cos ; h) f ) cos sen ) a) C ; ) ln z C ; c) C ; z z ) C ; e) C ; f) C ; g) C ; h) C ; i) C ; j) cos C ; k) sen C ; l) cos se C ; m) C ; n) ln ln C ; z o) sen cos C RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
7 ) Mança e variável o métoo e sstitição Definição: Se F é ma antierivaa e f, então f g )) g' ) F g )) C Se g) e g' ), então f ) F ) C Eemplos: Calcle as erivaas a) C C Portanto C C ) 7 7 7 Portanto 7) 7 C 7) C C 7 7 C C c) cos cos cos cos sen C RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Portanto cos sen C sen C cos) cos 7 ) 7 7 7 7 7! C 7 Portanto C 7 7 C C C e) 7 7 7 Portanto 7 7 C C 7 C 7 ) 7 C C f) cos sen cos sen sen cos sen C C C RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) - Professor Maricio Ltz Portanto C sen cos cos sen sen C cos ) cos cos g) cos C sen cos cos cos Portanto C sen cos C sen cos cos h) ) ) ) C C C Portanto C C ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) C
Eercícios ) Calcle a integral por meio a sstitição inicaa, e epresse a resposta em termos e ; ) a) ; c) 7; 7 ) ; e) ; f) ; g) cos ; h) ) ; i) ; j) ; ) Calcle as integrais a) ) c) t t ) t t g) v v v z f) z e) z zz h) v v v i) s j) k) s l) m) n) t t t p) cos q) sen ) cos s) v v v s t o) t r) vsen v t) cos sen t s t t v t ) Resolva a eqação iferencial sjeita às conições inicaas a) f ' ) ; f ) ) ; se c) f " ) cos sen; f ), f ') ) f " ) sen cos ; f ), f ') RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Gaarito: )a) C e) C i) C ; ) C ) ; c) 7 C ; ) C ; f) C ; g) sen C ) j) C ; ; h) C )a) C ; ) C ; c) t C ; ) t C e) z C ; f) z C ; g) v C ; h) v C i) C ; j) C m) C q) cos ) C ; r) cosv C ; s) sen v C s s s s s ; k) s C ; l) C ; ; n) t t C ; o) t t C ; t) sen C ) a) f ) ; ) f ) ; c) f ) cos sen ; ) f ) sen cos C ; p) sen C ; ; ; ; ) Integração por partes Sejam f ), v g) fnções eriváveis com erivaascontínas O métoo a integração por partes é aseao na regra a erivaa o proto e as fnções f ) g ) f ' ) g ) f ) g' ) f ) g' ) f ) g ) f ' ) g ) Assim f ) g' ) f ) g ) f ' ) g ) Em otra lingagem f ), f ' ) v g), v g' ) Assim v v v RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Eemplos: Calcle as integrais a) e, v e, v v v e v e e e e Portanto e e ) C e ) C e ) e e e C e ) C ) e, v e, v e v v v e e e e e e e e C e ) C Portanto e e ) C e ) C e ) ) e e e e C c) e, v e, v v v e v e e e e e e e e e C e ) C Portanto e e ) C e ) C e ) C e ) ) e e RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
) e, v e, ) e v v v Calclano A, v e, e v v e e e e e e e e v v v e Sstitino em ) temos: e C C e e e e e C C Portanto e e C C e e e e e A e) ln ln, v, v v v v ln ln Portanto ln ln ) C ln ) C ln ln ln ln C ln ) C RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
f) ln ln, v, v v v v ln ln ln ln Portanto ln ln C ln C ln ln) C g) sen, v sen, v cos ) v v v Calclano A, v cos, v sen v v v sen sen cos ) cos sen Sstitino em ) temos: Portanto cos sen cos C sen sen sen cos cos sen cos C cos cos A sen sen cos C cos sen cos C cos sen sen cos sen sen RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Eercícios )Calcle as integrais a) e ) sen c) sen ) cos e) e f) ln g) ln h) ) e i) e j) ) e k) l) m) ) n) ) o) ) Gaarito ) a) e ) C ; ) cos sen C ; c) cos sen cos C ; sen cos ) C ; e) e C ; f) ln C ; g) ln C ; h) e 7) C ; i) e C ; j) e ) C ; k) C ; ln ln l) C ; m) ln ln o) ) ) C ; C ; n) ) C ; INTEGRAL DEFINIDA f ) g ) C Seja f ) ma fnção e g ) ma e sea primitivas Portanto Teorema fnamental o cálclo: Sponhamos f contína em m intervalo fechao [ a, ] Definimos a integral efinia e f ) entre os limites a e como a iferença g ) g a), e inicamos simolicamente a g ) o a f ) g ) g a) A iferença g ) g a) tamém costma ser inicaa pelo símolo g ) a RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Esta efinição não epene a primitiva consieraa, pois se h ) for otra primitiva e f ), então a iferença entre h) e g ) é ma constante; conseqêntemente g ) g a) h ) h a) ) Proprieaes a integral efinia a a) ) g ) a f f ) g ) ) ) C a a a Cf f ) ; C é ma constante real c) ) a a f f ) ) f ) a e) Se a c a c então ) f ) a c f f ) a Eemplos: Calcle as intregais efinias a) Como Assim: C 7, ma as primitivas a fnção aa é ) Temos: ln ln ln ln c) ) ) RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
7 ) ) 7 7 7 ) ) 7 7 7 7 7 7 e) f) Eercícios ) Calcle as integrais efinias a) ) c) z z ) z z z e) f) 7 g) h) t i) t t z RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
t 7 j) t t m) p) k) n) s s l) s s s s o) q) s) t) r) Gaarito )a) ; ) k) ; l) ; m) 7 ; c) ; ) ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) ; 7 7 ; n) ; o) ; p) ; q) ; r) ; s) ; t) Seja f ) a, A integral efinia a ma fnção contína e não negativa efinia nm intervalo f ) representa a área a região compreenia entre o gráfico e f ), o eio e as vertivais qe passam por a e Veja afigra aaio A área estacaa representa a integral efinia e f ) entre a e Assim, inicano por A a área estacaa a figra acima, teremos: Caso ) A f ) a f seja negativa no intervalo a,, a área A a a região elimitaa pelo gráfico e f ), eio, e pelas verticais qe passam por a e por é ao por: A f ) a RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Vejamos a figra aaio A área estacaa é o oposto a integral efinia De fato, se consierarmos a fnção h ) f ) efinia no intervalo a,, teremos o gráfico a figra aaio: Gráfico e f ) é f ) Como os gráficos e f ) e h) são simétricos em relação ao eio, a área compreenia entre h ), eio, e as verticais qe passam por a e é igal à área compreenia entre f ), eio, e as verticais qe passam por a e Logo, inicano por A a referia área teremos: a a a A h ) f ) f ) Eemplos: Calcle as áreas estacaas aaio: a) A RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
) A Logo, a área estacaa A vale: c) Chamano e A a área estacaa qano f ) é negativa, e A qano f ) é positiva, teremos: A A Logo a área estacaa vale A A RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
Eercícios )Otenha as áreas estacaas a) ) c) ) e) f) g) h) RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
i) Gaarito ) a) ; ) ; c) ln ; ) ln ; e) ; f) ; g) ; h) ; i) INTEGRAIS DUPLAS Se f for contína no retânglo R, / a ; c, então calclamos a integral pla e f em R através e integrais iteraas, como mostraa aaio na figra e pelo Teorema e Fini Teorema e Fini: A integral pla e ma fnção contína f, ) nm retânglo R a, c, é igal à integral iteraa em qalqer orem): R f, ) A f, ) a c c f, ) a Eemplos: a) Calcle o valor a integral R A A, one R,, R 7 RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) - Professor Maricio Ltz o A R 7 ) Calcle a integral A R,one,, R A R Poe-se efinir como a integral ma integral pla iteraa sore a região R o R o tipo eiio aaio: f f a g g a g g ) ) ) ) ), ), f f c h h c h h ) ) ) ) ), ), Eemplos: Calcle as integrais plas a)
) cos cos cos sen sen sen cos cos cos cos cos cos Calclo e *): sen sen cos cos *) Eercícios ) Calcle as integrais plas a) ) e ) g) cos j) 7 e) h) e k) c) f) i) cos l) Gaarito a) ; ) ; c) sen i) ; j) ; k) ; l) 7 ; ) e e ; e) 7 ; f) ; g) cos ; h) e ; RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
INTEGRAIS TRIPLAS As integrais triplas e fnções f,, z) e três variáveis são ma generalização astante imeiata as integrais plas Em vez e m retângl a figra aaio Q,, z / a ; c ; p z q pontos,, z) em Consistino em toos os R Teorema e Fini para integrais triplas: Se f,, z) for contína em a, c, p q Q, então eiste a integral tripla e é igal à integral iteraa: Q c f,, z) V f,, z) z a q p Além isso, a integral iteraa poe ser calclaa em qalqer orem Oservação: A notação A, saa anteriormente, sgere área e ocorre nas integrais plas em omínios no plano Analogamente, V sgere volme e ocorre em integrais triplas em região e R Eemplos: Calcle as integrais triplas a) z Q V se, z Q, / ; ; z z z z z z z RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -
RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) - Professor Maricio Ltz 7 7 7 7 7 7 ) zz z zz zz 7 7 7 7 c) z z z z
7 Eercícios ) Calcle as integrais triplas ) z z a) zz z z c) z e) z z z g) z z i) z Gaarito z z z ) zz z f) zz a) ; ) 77 ; c) ; ) ; e) h) z j) z 7 ; f) ; g) ; h) ; i) ; j) 7 RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ) -