ROBABILIDADE DE EVENTOS INDEENDENTES: Uma Revisão rática rof. Lafayette Jota O tema probabilidades é sempre presente no ENEM, em grande parte devido a sua grande aplicação a nossa vida diária. Frequentemente pensamos sobre a probabilidade de nosso time ganhar uma partida; de chover em Goiânia antes do fim de Outubro; e até de conquistar aquela tão sonhada vaga na faculdade. Aqui veremos uma breve revisão sobre parte desta matéria, que é a análise da probabilidade de vários eventos ocorrerem juntos. O que são eventos independentes: Em uma compreensão do dia-a-dia, eventos independentes entre si são aqueles que não oferecem qualquer interferência um no outro. or exemplo, ao lançarmos uma moeda e um dado para cima, observando as faces que cairão voltadas para cima. Todos sabemos que o resultado da moeda não sofre qualquer influência do resultado do dado. Ou mesmo, ao colocar três ovos para chocar em uma chocadeira, considerando o sexo dos pintinhos que irão nascer: um não é capaz de afetar ao outro; de forma que para qualquer um dos ovos teremos que a probabilidade de eclodir macho ou fêmea é sempre de 50%. De uma maneira geral, embora existam fórmulas que permitam determinar quando eventos são independentes, iremos usar nosso conhecimento de mundo para saber quais eventos são independentes. robabilidade de Eventos Independentes ocorrerem juntos: A probabilidade de dois eventos independentes ocorrerem juntos é dada pela multiplicação das probabilidades dos dois eventos. Assim, se um evento tem 40% de probabilidade de ocorrência e outro evento independente dele tem 80% de probabilidade de ocorrência, a probabilidade de ambos ocorrerem é:
40 80 4 0 80 = 100 100 100 100 32 = = 32% 100 Ou se a minha probabilidade de passar na Unicamp é de 3 ; e a minha probabilidade de passar 4 na UFG é de 4, a probabilidade de passar em ambas supondo que sejam eventos 5 independentes é dada pela multiplicação 3 4 3 =. 4 5 5 A fórmula que simboliza isso é: ( A e B ) = A ( ) B ( ) Vamos a um exemplo: Amanda, do 3 ano H, convidou Ana Victória e Aila para irem almoçar juntas no shopping antes de uma prova de sexta-feira. No entanto, Ana Victória só comparece a 80% dos almoços que marca; já Aila comparece a 90% deles. Nesta situação, considerando que Amanda chegue antes e fique esperando um pouco, veja como calculamos algumas probabilidades. A probabilidade de ambas as amigas irem: ( ) ( ) Ana e Aila = Ana (Aila) 80 90 ( Ana e Aila ) = = 72% 100 100 A probabilidade de apenas Ana comparecer. Neste caso, Ana vai (80% de probabilidade) e Aila não vai (10% de probabilidade) ( ) ( ) Ana vai e Aila falta = Ana vai (Aila falta) 80 10 ( Ana vai e Aila falta ) = = 8% 100 100 Observe que usamos uma probabilidade chamada de probabilidade complementar: como Aila tem 90% de probabilidade de ir, então ela tem 10% de probabilidade de não ir. A probabilidade
complementar de um evento é o que falta para inteirar 100% ou 1, e representa a probabilidade de ele não ocorrer. A probabilidade de Amanda almoçar sozinha. Esta pergunta deve ser lida como: qual é a probabilidade de Amanda e Aila faltarem? Neste caso, ( ) ( ) Ana falta e Aila falta = Ana falta (Aila falta) 20 10 ( Ana falta e Aila falta ) = = 2% 100 100 Os eventos independentes, e sua ocorrência ou não, também podem ser representados por um diagrama de Venn-Euler: Note: a fórmula poderia facilmente ser estendida para mais de dois eventos. A probabilidade de três eventos independentes ocorrerem juntos é a multiplicação das três probabilidades, por exemplo. Um exemplo para você praticar: Agora, analise a seguinte situação. Em minha família, muitas pessoas não são adeptas da tecnologia, e preferem ligar umas para as outras para se informarem dos acontecimentos. Certo
dia, minha esposa e eu iremos fazer uma curta viagem e, para que ninguém se preocupe, pretendemos ligar para minha mãe, meu avô e minha sogra para que saibam onde estaremos. Em média, cada ligação telefônica tem 80% de probabilidade de ser atendida; e eu irei ligar uma vez para cada uma das pessoas listadas. Calcule a probabilidade de: a) Todos os três atenderem. b) Apenas minha mãe atender. c) Ninguém atender. Caro leitor, este é o momento em que você tampa a resolução e tenta resolver em um pedaço de papel. Coragem! Vamos à resolução: a) b) c) 80 80 80 512 = = = 0,512 ou 51,2% 100 100 100 1000 80 20 20 32 = = = 100 100 100 1000 mãe avô sogra 0, 032 ou 3,2% 20 20 20 8 = = = 0, 008 ou 0,8% 100 100 100 1000 Uma pergunta típica de vestibulares: Ainda considerando a situação anterior as três ligações telefônicas uma das perguntas mais típicas em um vestibular é: qual é a probabilidade de ao menos uma pessoa me atender? Neste caso, fique muito atento à leitura. Dizer que ao menos uma pessoa irá atender engloba vários casos: todos atenderem; apenas a mãe atender; apenas o avô atender; apenas a sogra e o avô atenderem etc. Ao todos, são sete casos (você conseguiria listar todos?) Neste caso, poderíamos listar todos os sete casos, calcular suas probabilidades separadamente, e somar. orém, existe um caminho mais simples, que é o seguinte: ( Alguém atender) = 1 ( Ninguém atender)
Isto ocorre porque alguém atender é o evento complementar de ninguém atender, e assim, podemos calcular apenas o evento mais fácil, que já foi calculado na letra c do exercício anterior. Assim, 8 992 ( Alguém atender) = 1 = 1000 1000 ( ) Alguém atender = 99, 2% Um exemplo parecido, para sua prática: Certo dia, em uma maternidade em Goiânia, estão programados os nascimentos apenas de três bebês, de mães diferentes. Os pais de cada bebê marcaram os partos mas ainda não sabem os sexos dos bebês. Ninguém sabe. Desta forma, a probabilidade de nascer pelo menos um menino é: a) 1 2 b) 1 4 c) 1 8 d) 3 4 e) 7 8 Resolução: O mais fácil é perceber que nascer ao menos um menino é o evento complementar de nascerem somente meninas. or isso, ( menina 1,menina 2,menina 3 ) = = 2 2 2 8 Assim, a probabilidade procurada é: 1 = 1 8 7 = 8 Veja três exercícios interessantes do Enem sobre este assunto: 1. (Enem 2015) Em uma escola, a probabilidade de um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção de intercâmbio, aguardam,
em uma sala, serem chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz, oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser respondida por qualquer um dos alunos. A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter sua pergunta oralmente respondida em inglês é a) 23,7% b) 30,0% c) 44,1% d) 65,7% e) 90,0% Resolução: Aplicando a ideia de probabilidade do evento complementar, podemos calcular a probabilidade de o entrevistador não ser entendido. Isso só acontecerá se nenhum dos alunos falar inglês. A probabilidade de os três não falarem inglês é: N N = 0,7 0,7 0,7 = 0,343 = 34,3% Em qualquer outra situação, pelo menos um dos alunos entenderá. A probabilidade procurada é 100% - 34,3% = 65,7%. Alternativa D 2.(Enem/13) Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico: A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B. Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012?
a) 1 20 d) 6 25 b) 3 242 e) 7 15 c) 5 22 Resolução: Definindo dois eventos: A: o sorteado do produto A fez as compras em fevereiro. B: o sorteado do produto B fez as compras em fevereiro. A probabilidade do evento A é: 30 3 A ( ) = A ( ) = 10 + 30 + 60 10 A probabilidade do evento B é: 20 1 B ( ) = B ( ) = 20 + 20 + 80 6 A probabilidade de ocorrência de dois eventos independentes é dada pela fórmula: A ( e B) = A ( ) B ( ) 3 1 A ( e B) = 10 6 1 A ( e B) = 20 Alternativa A. 3. (Enem/16) Um adolescente vai a um parque de diversões tendo, prioritariamente, o desejo de ir a um brinquedo que se encontra na área IV, dentre as áreas I, II, III, IV e V existentes. O esquema ilustra o mapa do parque, com a localização da entrada, das cinco áreas com os brinquedos disponíveis e dos possíveis caminhos para se chegar a cada área. O adolescente não tem conhecimento do mapa do parque e decide ir caminhando da entrada até chegar à área IV.
Suponha que relativamente a cada ramificação as opções existentes de percurso pelos caminhos apresentem iguais probabilidades de escolha, que a caminhada foi feita escolhendo ao acaso os caminhos existentes e que, ao tomar um caminho que chegue a uma área distinta da IV, o adolescente necessariamente passa por ela ou retorna. Nessas condições, a probabilidade de ele chegar à área IV sem passar por outras áreas e sem retornar é igual a a) 1 96 d) 1 4 b) 1 64 e) 5 12 c) 5 24 Resolução: Existem dois caminhos possíveis, destacados nas duas figuras acima. Em cada um deles, os círculos marcam os pontos de decisão, em que ele deve fazer uma escolha. Fica implícito no exercício que ao fazer uma escolha, ele escolhe com a mesma probabilidade entre os caminhos disponíveis. robabilidade de chegar ao IV direto pelo primeiro caminho: 1 = = 2 2 3 12 A multiplicação é feita porque ele deve primeiro escolher o caminho de cima, depois o correto (entre dois) e na segunda decisão também o caminho correto (entre os três).
Da mesma forma, probabilidade de chegar ao IV direto pelo segundo caminho: 2 = = 2 2 2 8 A probabilidade pedida é a soma das duas: 1 1 5 = + = 12 8 24 Alternativa C. Um caso um pouco mais desafiador... Regresse momentaneamente ao exemplo dos três partos na maternidade. Você conseguiria calcular a probabilidade de nascer um único menino? Ele se faz assim: nascer um único menino corresponde, na verdade, a três casos diferentes. Vamos simbolizar os sexos por H e M para continuar: 1 Caso: menino no primeiro nascimento. ( H,M,M) = = 2 2 2 8 2 Caso: menino no segundo nascimento. ( M,H,M) = = 2 2 2 8 3 Caso: menino no terceiro nascimento. ( M,M,H) = = 2 2 2 8 E por se tratarem de casos distintos, a probabilidade pedida é a soma: ( nascer exatamente 1 menino) ( nascer exatamente 1 menino) 1 1 1 = + + 8 8 8 3 = 8
Aqui ocorre uma dúvida muito comum: não seriam os três casos iguais? Não. Apesar de terem a mesma probabilidade, os três bebês a nascer são distintos entre si, então faz diferença se é o primeiro, segundo ou terceiro a nascer menino. or mais que sejam três bebês desconhecidos ao problema, existe o bebê 1, o bebê 2 e o bebê 3. Este raciocínio pode e deve ser estendido a outros casos, como por exemplo no lançamento de duas moedas: o correto é considerar duas moedas distintas. Mesmo que pareçam iguais aos seus olhos, são duas entidades físicas distintas. Assim, qualquer solução correta irá considerar a existência de moeda 1 e moeda 2.