Morgana Pizzolato, Dr a. Aula 22 Experimentos de dois fatores DPS1037 SISTEMAS DA QUALIDADE II ENGENHARIA DE PRODUÇÃO CT/UFSM
TÓPICOS DESTA AULA Projetos de Experimentos de dois fatores Projetos fatoriais ANOVA de dois fatores com repetição ANOVA de dois fatores sem repetição 2
PROJETOS FATORIAS Muitos experimentos envolvem o estudo de dois ou mais fatores Quando todas as combinações de níveis dos fatores são investigadas tem-se um projeto fatorial 3
EXEMPLO DO QUE SE FAZ NA INDÚSTRIA Uma empresa estava interessada em aumentar o teor de pureza de uma substancia química Sabia-se que os dois fatores mais importantes que influenciavam o teor de pureza eram a temperatura e a pressão do reator Objetivo: determinar os níveis de temperatura e pressão que maximizem o teor de pureza (%) Como: primeiro fixar a temperatura em 65 o C e variar pressão; e segundo, fixar a melhor pressão e variar a temperatura obtendo a resposta 4
GRAFICAMENTE Temperatura fixada em 65 o C Pressão fixada em 14,3 atm Neste exemplo os fatores foram testados um de cada vez 5
OUTRO TIPO DE GRÁFICO Curvas de nível da pureza em função da pressão e temperatura 6
RESULTADO DO EXPERIMENTO Para os FC testados um de cada vez 77% 75% 72% 7
MODIFICANDO A FORMA DE REALIZAR O EXPERIMENTO 01/11/2011 Condições operacionais atuais: Temperatura: 68 C Pressão: 14,3 atm Pureza: 75% FC testados ao mesmo tempo (2 níveis cada): Temperatura: 63 C e 73 C Pressão: 13,3 atm e 15,3 atm 8
RESULTADO DO EXPERIMENTO 9
PROJETOS FATORIAIS É aquele no qual, para cada repetição completa do experimento, todas as possíveis combinações dos níveis dos FC são pesquisadas Cada uma das possíveis combinações de níveis é chamada de Tratamento B1 B2 A1 20 30 A2 40 52 10
PROJETOS FATORIAIS O efeito de um fator é definido como a mudança que aparece na resposta quando muda-se o nível deste fator Efeito de A = = 21 passando do nível A1 para o nível A2 há uma mudança média na resposta de 21 unidades. Similarmente, 40 + 52 20+ 30 2 2 30 + 52 20+ 40 2 2 Efeito de B = = 11 B1 B2 A1 20 30 A2 40 52 11
PROJETOS FATORIAIS Em alguns experimentos a diferença na resposta observada quando se modifica os níveis de um dos fatores irá depender do nível do outro fator. B1 B2 A1 20 40 A2 50 12 Nesse caso, diz-se que há uma interação entre A e B. 12
PROJETOS FATORIAIS Os gráficos de dois fatores são úteis para esclarecer a natureza da interação Quando a interação é forte, os efeitos principais têm pouco interesse prático, por exemplo, para esses dados: 50 + 12 20+ 40 2 2 Efeito A = = 1 O fator A tem um efeito pequeno? ERRADO!! O fator A tem um efeito pronunciado, mas esse efeito depende do nível do fator B: Em B1 >> Efeito de A = 50-20 = 30 Em B2 >> Efeito de A = 12-40 = -28 A1 B1 20 B2 40 A2 50 12 13
PORQUE UTILIZAR PROJETOS FATORIAIS? Comparar: B1 B2 A1 XX XX A2 XX Um fator de cada vez B1 B2 A1 X X A2 X X Fatorial cruzado Fatoriais cruzados são mais econômicos Fatoriais cruzados permitem que se avalie interações 14
ANÁLISE ESTATÍSTICA DE EXPERIMENTOS FATORIAS COM 2 FATORES Fator A com "a" níveis e Fator B com "b" níveis Cada repetição completa do experimento envolve "ab" ensaios 01/11/2011 Fator B 1 2... b 1 y 111, y 112,..., y 11n y 121, y 122,..., y 12n... y 1b1, y 1b2,..., y 1bn Fator A 2 y 211, y 212,..., y 21n y 221, y 222,..., y 22n... y 2b1, y 2b2,..., y 2bn............... a y a11, y a12,..., y a1n y a21, y a22,..., y a2n... y ab1, y ab2,..., y abn 15
ANOVA PARA DOIS FATORES Fonte de variação SQ GL MQ Teste F A SQA (a-1) MQA MQA / MQR B SQB (b-1) MQB MQB / MQR AB SQAB (a-1)(b-1) MQAB MQAB / MQR Erro (Resíduo) SQR ab(n-1) MQR Total SQT abn-1 16
EQUAÇÕES (1) (y ij. ) Fator B Fator A (y i.. ) TC= SQA SQB ( y... ) abn 2 ( y ) 2 a i.. = i= 1 j= 1 bn ( ) b y. j. 2 (y.j. ) TC = TC an SQAB ( ) a b y ij. i= 1 j= 1 a b n a b 2 yijk i= 1 j= 1 k= 1 i= 1 j= 1 i= 1 j= 1 k= 1 2 ijk 2 = TC SQA SQB n ( y ) ij. SQR= a b n SQT = y TC SQT = SQA + SQB + SQAB + SQ n 2 17
EQUAÇÕES (2) SQA MQA= GDL SQB MQB= GDL A B SQAB MQAB= GDL SQR MQR= GDL R AB F F F cal ( A) cal ( B) cal ( AB) = = = MQA GDL R MQB GDL R MQAB GDL R 18
INTERPRETAÇÃO DO RESULTADO DA ANOVA F calculado calculado > F tabelado F = F α tab tabelado, GL1, GL2 O efeito correspondente é significativo Se um fator ou interação não é significativo, o valor esperado de sua MQ é igual ao valor esperado da MQR Se um fator ou interação é significativo, o valor esperado de sua MQG será maior que o valor esperado da MQR 19
EXEMPLO 1 Suspeita-se que a máxima voltagem de saída de um tipo de bateria é afetada pelo material usado nas placas e pela temperatura. Quatro repetições completas de um experimento fatorial cruzado foram rodadas em laboratório e os dados obtidos são apresentados a seguir: 20
DADOS COLETADOS Temperatura (B) Material (A) 50 65 80 1 130 34 20 155 40 70 74 80 82 180 75 58 2 150 151 50 188 137 100 159 121 83 126 130 60 3 138 174 96 110 120 104 168 150 82 160 139 60 21
ANÁLISE DOS DADOS Fazer a ANOVA para dois fatores; Fazer gráficos se o efeito da interação for significativo; Fazer a comparação múltipla de médias para verificar qual a combinação dos níveis dos FC é mais adequada para o caso; 22
COMPARAÇÃO MÚLTIPLA DE MÉDIAS Se existir efeitos significativos Observações para CMM na ANOVA de dois fatores Se apenas os fatores puros são significativos CMM para cada fator individualmente Usar gráfico de barras Se a interação é significativa (independentemente se os fatores puros são ou não significativos) CMM somente para a interação As comparações devem ser feitas fixando-se um nível de um dos fatores e comparando as médias dos níveis do outro fator. Usar gráfico de linhas 23
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO Lembrando, o número de GDL do termo de erro vem dado por: ab(n-1) Se não existem repetições do experimento n = 1 não sobram GDL para calcular de modo independente a MQR MQR = SQR ab( n 1) Indeterminado se o denominador é zero F cal = MQG MQR Logo o F cal também vai ser indeterminado 24
EXPERIMENTOS FATORIAIS SEM REPETIÇÃO Quando há motivos para acreditar que a interação AB não é significativa, então: E(MQAB) = E(MQR) é possível fazer a análise usando a MQAB como uma estimativa do termo de erro: FV SQ GDL MQ Teste F A SQA (a-1) MQA MQA / MQAB B SQB (b-1) MQB MQB / MQAB Erro (AB) SQAB (a-1)(b-1) MQAB Total SQT ab-1 25
EXEMPLO 2 Um pesquisador acredita que a resistência à tração de certos corpos de prova (CP) de argamassa depende da % de microssílica utilizada na sua fabricação e do operador que confecciona os CP. Os dados revelaram: Operador % microssílica 0 5 10 15 20 1 4 5 6 5 3 2 1 3 4 3 2 3 1 1 3 2 1 26
ANOVA Fonte de variação Soma dos quadrados GL Médias quadradas F calc F tab Operador (A) 23,33 2 11,67 46,7 4,46 % Microssílica (B) 11,60 4 2,90 11,6 3,84 Erro (AB) 2,00 8 0,25 Total 36,93 14 Os efeitos do operador e do % de microssílica são significativos Próximo passo: conduzir uma CMM tanto para A quanto para B