Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha.

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1 Energia Potencial Elétrica Física I revisitada 1 Seja um corpo de massa m que se move em linha reta sob ação de uma força F que atua ao longo da linha. O trabalho feito pela força para deslocar o corpo de a para b é dado por: W = A segunda lei de Newton nos dá: Fdx. F = ma = m dv dt. Substituindo na expressão para o trabalho: W = A definição de velocidade nos dá: v = dx dt m dv dt dx. dx = vdt. 1 Nota: Não será feita aqui uma revisão pormenorizada do conteúdo de Física I. Apenas alguns conceitos 1

2 Substituindo na expressão para o trabalho: W = m dv dt vdt = Como a massa do corpo é constante, mvdv. W = m vdv = m v 2 v. 2 A energia cinética do corpo é definida por: K = 1 2 mv. Portanto, podemos escrever o trabalho feito pela força F como igual à variação da energia cinética: W = 1 2 mv 1 2 mv = K b K a = ΔK. (1) Este resultado é conhecido como teorema do trabalho-energia e ele vale mesmo quando o movimento não se dá em linha reta e a força não aponta na mesma direção do movimento (veja a figura abaixo). 2

3 Física III (teórica) FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 7 Nesta figura, a curva C indica a trajetória do corpo (note que ela é orientada) e 𝑑ℓ𝓁 é o vetor elemento de linha (um vetor infinitesimal com a direção da reta tangente à trajetória em cada ponto e o sentido do movimento do corpo). A força atuando sobre o corpo também está indicada no desenho. Note que ela faz um ângulo com 𝑑ℓ𝓁. Se o elemento de trabalho feito pela força 𝐹 para deslocar o corpo ao longo de C por um elemento de linha 𝑑ℓ𝓁 for indicado por 𝑑𝑊 = 𝐹 𝑑ℓ𝓁 = 𝐹 cos 𝜙 𝑑ℓ𝓁, (2) onde φ é o ângulo entre 𝐹 e 𝑑ℓ𝓁, então o trabalho feito por 𝐹 para deslocar o corpo ao longo da trajetória C de a para b é indicado por 𝑊 = 𝐹 𝑑ℓ𝓁 = 𝐹 cos 𝜙 𝑑ℓ𝓁, (3) e o teorema do trabalho-energia nos diz que: 𝑊 = Δ𝐾 = 𝐾 𝑏 𝐾 𝑎. (4) Note que, em geral, o trabalho feito pela força 𝐹 para levar o corpo de a para b depende da trajetória C por onde o corpo vai de a para b. Uma pergunta que podemos fazer é se existe algum tipo de força tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo de a para b não depende da trajetória C. 3

4 Não sabemos se existe tal tipo de força 2, mas por ora vamos supor que existe. Portanto, nos próximos parágrafos vamos assumir como hipótese que a força do nosso problema é tal que o trabalho feito por ela não depende da trajetória. Assumindo que o trabalho feito pela força independe da trajetória, a equação (4) nos diz que a variação da energia cinética do corpo quando ele se move de a para b depende apenas desses dois pontos. Uma característica do movimento do corpo que está implícita na afirmação acima é que a energia cinética do corpo varia quando ele vai de a para b. Outra pergunta que podemos fazer neste caso é se não seria possível inventar uma grandeza que não varie durante o movimento do corpo, isto é, que permaneça constante durante o movimento. Vamos designar essa possível grandeza invariante por E e vamos chamá-la de energia do corpo 3. 2 Na verdade sabemos, pois já fizemos Física I. 3 A palavra energia vem do grego energeia (ἐνέργεια) e significa força, vigor, atividade, firmeza. 4

5 Como a energia cinética K não permanece constante durante o movimento do corpo, para que essa nova grandeza E permaneça constante é necessário adicionar algo a K para que a soma de K com esse algo permaneça constante e seja igual a E: E K + algo. Já que estamos usando o termo energia, vamos chamar este algo de energia potencial. Vamos designá-lo por U. Então, E K + U. (5) Como queremos que E permaneça constante durante o movimento do corpo, devemos ter: ΔE = 0 Δ K + U = 0. Ou seja, ΔK + ΔU = 0. Ou ainda, ΔU = ΔK. O símbolo Δ indica o valor da grandeza em b menos o valor da grandeza em a. Logo: U b U a = K b K(a). Então: K a + U a = K b + U(b), ou, 5

6 E a = E b. Nossa conclusão é que, dada a hipótese central sob a qual se baseou nosso estudo acima: A força F é tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo de um ponto a para um ponto b não depende da trajetória usada. Então é possível inventar uma grandeza energia E que permanece constante ao longo do movimento do corpo. A constância da energia é possível porque inventamos outra grandeza, denominada energia potencial U, que depende apenas do ponto ocupado pelo corpo, U = U(x), tal que variações na energia cinética K correspondem exatamente a variações opostas na energia potencial U: ΔK = ΔU. Uma força tal que o trabalho feito por ela para levar um corpo de um ponto inicial a para um ponto final b dependa apenas dos pontos e não da trajetória usada é chamada de conservativa. Podemos resumir o que fizemos acima dizendo que: i. Se encontrarmos uma força conservativa, 6

7 ii. iii. Podemos definir uma energia potencial U associada à força, cujo valor depende apenas do ponto onde está o corpo, tal que variações em U sejam exatamente iguais a variações na energia cinética K, mas de sinal contrário, e Portanto, é possível definir uma energia E = K + U que permanece constante durante o movimento do corpo. Um tipo importante de força em física é o que se chama de força central. Uma força central tem sua origem num centro de força e atua sobre um corpo ao longo da linha reta que une o corpo ao centro de forças. Exemplos são a força gravitacional (p. ex., o centro do Sol é o centro de força da força gravitacional que ele exerce sobre a Terra) e a força elétrica (p. ex., o centro de uma carga puntiforme é o centro de força da força elétrica que ela exerce sobre uma carga de prova à distância r dela). Uma força central pode ser expressa como F = F r r, (6) onde r é o versor que define a direção radial entre o centro de força e o ponto à distância r do centro. Note que F pode ser atrativa ou repulsiva. 7

8 Quando uma partícula se move se um ponto a para um ponto b ao longo de uma trajetória C sob a ação de uma força central, o trabalho feito pela força é dado por (3): W = F dll = F(r)r dll. Esta equação pode ser reescrita decompondo-se o vetor elemento de linha dll nas suas componentes ao longo da direção radial r e da direção perpendicular a r, que vamos chamar aqui de p (veja a figura abaixo). Sendo assim: W = F(r)r dll = F(r)drr r + F(r)dpr p 8

9 W = F r dr. Note que F(r) só depende da variável r, de maneira que o resultado da integral acima só vai depender dos pontos inicial e final (e não mais da trajetória C). Portanto, no caso de uma força central o trabalho feito pela força para levar um corpo de um ponto a a um ponto b não depende da trajetória: W = F r dr. (7) Portanto, forças centrais são conservativas. Energia potencial elétrica A força elétrica é uma força central. Por exemplo, a força exercida por uma carga Q sobre uma carga de prova q é F = qe = q Q r 4πε r = F(r)r. Portanto, como visto na revisão acima, é possível associar uma energia potencial à força elétrica. 9

10 Essa energia potencial só depende da posição r em que está a carga q em relação ao centro de força. Ela será indicada por U e será chamada de energia potencial elétrica. Devido ao fato de a força elétrica ser conservativa, o trabalho feito por essa força para levar uma carga q de um ponto a a um ponto b independe da trajetória e satisfaz: W = ΔU = U U. (8) Segundo esta equação, quando o trabalho feito pela força elétrica é positivo W > 0, a variação na energia potencial é negativa (ΔU < 0) e vice-versa. Para exemplificar isso, consideremos o caso de uma carga de prova q 0 movendo-se em um campo elétrico uniforme (por exemplo, o campo gerado no interior de duas placas planas e paralelas como mostra a figura abaixo). 10

11 Consideremos dois pontos, a e b, ao longo de uma linha horizontal no interior das placas. A distância entre os pontos é d (veja a figura acima) Vamos considerar inicialmente o caso em que a carga q 0 é positiva (q 0 > 0). Quando a carga se move no mesmo sentido do campo, ou seja, de a para b, o trabalho feito pela força elétrica é: W = De (8) temos: q E dx = q E b a = q Ed > 0. ΔU = W < 0. A energia potencial elétrica diminui quando a carga positiva q 0 passa de a para b (mesmo sentido do campo elétrico e mesmo sentido da força elétrica sobre q 0 ). Por outro lado, quando essa carga positiva q 0 se move no sentido contrário ao do campo elétrico, por exemplo de b para a, o trabalho feito pela força elétrica é: Neste caso, W = q E dx = q E a b = q Ed < 0. ΔU = W > 0, 11

12 ou seja, a energia potencial elétrica aumenta quando a carga q 0 se move no sentido contrário ao do campo elétrico (e sentido contrário ao da força elétrica sobre q 0 ). Consideremos agora o caso em que a carga q 0 é negativa (q 0 < 0). Quando a carga se move no mesmo sentido do campo, de a para b, o trabalho feito pela força elétrica é: Portanto: W = q E dx = q E b a = q Ed < 0. ΔU = W > 0. A energia potencial elétrica aumenta quando a carga negativa q 0 se movimenta no mesmo sentido do campo elétrico (que é o sentido contrário ao da força elétrica sobre q 0 ). Por fim, quando a carga negativa q 0 se move no sentido contrário ao do campo elétrico, de b para a, o trabalho feito pela força elétrica é: Neste caso, W = q E dx = q E a b = q Ed > 0. ΔU = W < 0, 12

13 ou seja, a energia potencial elétrica diminui quando a carga negativa q 0 se move no sentido contrário ao do campo elétrico (mas que é o mesmo sentido da força elétrica sobre ela). Observe com cuidado os resultados acima. Note que, independentemente do sinal da carga q 0, quando ela se move no mesmo sentido da força elétrica a energia potencial elétrica diminui. Por outro lado, quando a carga q 0 se move no sentido contrário ao da força elétrica atuando sobre ela a energia potencial elétrica aumenta. Compare este resultado com o de uma partícula de massa m movendo-se em um campo gravitacional uniforme g. Quando a partícula cai, indo de uma altura maior para uma menor, ela se move no mesmo sentido da força gravitacional. Neste caso ela perde energia potencial gravitacional. Já quando a partícula sobe, indo de uma altura mais baixa para uma maior, ela se move no sentido contrário ao da força gravitacional. Neste caso, ela ganha energia potencial gravitacional. O resultado acima vale para um campo elétrico uniforme. Como será no caso geral de uma carga de prova q 0 movendo-se ao longo de uma trajetória qualquer de um ponto a para um ponto b na presença de um campo elétrico gerado por uma carga Q? 13

14 Veja a figura abaixo. Vamos supor, para simplificar, que a origem do sistema de coordenadas coincide com o centro da carga Q (o centro de força). O trabalho feito pela força elétrica quando a carga q se move de a para b é (lembre-se que a trajetória pode ser qualquer uma): W = F dll = q E dll = q Q dr r r 4πε r 14

15 Física III (teórica) FFCLRP USP Prof. Antônio Roque Aula 7 𝑊 = 𝑊 = 𝑞 𝑄 𝑑𝑟 𝑞 𝑄 1 = 4𝜋𝜀 𝑟 4𝜋𝜀 𝑟 = 𝑞 𝑄 𝜋𝜀 𝑟 𝑟 𝑞 𝑄 1 1 = Δ𝑈 = 𝑈 𝑏 𝑈(𝑎) 4𝜋𝜀 𝑟 𝑟 𝑈 𝑏 𝑈(𝑎) = 1 𝑞 𝑄 1 𝑞 𝑄. 4𝜋𝜀 𝑟 4𝜋𝜀 𝑟 Portanto, podemos definir a energia potencial elétrica associada às cargas q0 e Q quando elas estão separadas pela distância r por 𝑈 𝑟 = 1 𝑞 𝑄. (9) 4𝜋𝜀 𝑟 Note que esta definição é absolutamente geral. Na dedução acima não foi feita qualquer restrição quanto aos sinais das cargas q0 e Q. Quando as duas cargas têm o mesmo sinal a energia potencial é positiva e quando elas têm sinais contrários a energia potencial é negativa. A energia potencial elétrica varia com a distância r entre as cargas de acordo com r-1. Isto significa que a energia potencial elétrica tende a zero quando a distância r. Portanto, é natural definir o zero da energia potencial elétrica no infinito: U 0, r. 15

16 Adotando esta definição para o zero da energia potencial elétrica, podemos interpretar a energia potencial U(r) associada às duas cargas Q e q 0 como o negativo do trabalho feito pela força elétrica para trazer a carga q 0 do infinito até uma distância r da carga Q. No caso em que Q e q 0 têm o mesmo sinal, a força entre elas é repulsiva e o trabalho para trazer q 0 de até r é negativo (a carga q 0 é movida no sentido contrário ao da força elétrica). Como o trabalho é negativo, a variação na energia potencial é positiva. Portanto, quando as duas cargas têm o mesmo sinal, a energia potencial elétrica aumenta quando q 0 se aproxima de Q. A análise feita acima se inverte quando as duas cargas têm sinais contrários. O trabalho para trazer q 0 de até r é positivo (a carga q 0 é movida no mesmo sentido da força elétrica, que neste caso é atrativa). Como o trabalho é positivo, a variação na energia potencial é negativa. Portanto, quando as duas cargas têm sinais contrários, a energia potencial elétrica diminui quando q 0 se aproxima de Q. Observe os gráficos de U versus r feitos abaixo. Eles mostram como a energia potencial U(r) de duas cargas puntiformes varia com a distância r entre elas quando elas têm o mesmo sinal ou sinais contrários. 16

17 Note que estamos sempre nos referindo à energia potencial associada às duas cargas, q 0 e Q. A energia potencial elétrica não é uma propriedade de uma carga única, mas das duas cargas. Ela está associada à interação elétrica entre elas. Lembrando das aulas sobre lei de Gauss, o campo elétrico na parte de fora de uma distribuição de cargas esfericamente simétrica é o mesmo que o gerado por uma carga puntiforme no centro da distribuição com a mesma carga líquida dela. Sendo assim, a equação (9) para a energia potencial é a mesma quando a carga de prova q 0 está do lado de fora da distribuição esfericamente simétrica de carga a uma distância r do seu centro. Quando existem N cargas puntiformes no espaço (q 1, q 2, q 3,..., q N ), a energia potencial elétrica associada a essas cargas e a uma carga de prova q 0 em um ponto P qualquer do espaço é dada, pelo princípio da superposição, por: 17

18 U = q q + q + q + + q = q N q. (10) 4πε r r r r 4πε r A situação está ilustrada pela figura abaixo. Note que quando todas as distâncias r i, isto é, quando q 0 estiver a uma distância muito grande de todas as cargas q i, a energia potencial associada às cargas e a q 0 tende a zero (U ). Como podemos representar qualquer distribuição de cargas por um conjunto de cargas puntiformes, a energia potencial elétrica associada a qualquer distribuição de cargas e a uma carga de prova q 0 é dada pela expressão acima. 18

19 Note que isto implica que existe a energia potencial elétrica associada à distribuição de cargas e à carga q 0. Portanto, o campo elétrico produzido por qualquer distribuição estática de cargas dá origem a uma força conservativa. Podemos também definir a energia potencial elétrica de uma distribuição arbitrária de cargas, q 1, q 2, q 3,..., q N, como a energia potencial associada às interações entre cada par de cargas. Note que não tem sentido definir a energia potencial associada à interação de uma partícula com ela mesma (seria infinita) e nem se deve contar duas vezes a mesma interação (da partícula i com a partícula j e da j com a i). Portanto, podemos escrever a energia potencial elétrica de um conjunto de N cargas puntiformes como: U = 1 4πε q q r ". (11) Note que também é possível escrever esta energia como uma soma por todas as combinações ij (i j), só que então será necessário dividir por dois para descontar os termos duplicados. A expressão ficaria assim: U = 1 8πε q q r ". (12), 19