O Modelo de FitzHugh-Nagumo

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1 O Modelo de FitzHugh-Nagumo Introdução à Neurociência Computacional (Graduação) Antonio Roque Aula 14 A partir da análise do modelo de Hodgkin-Huxley no plano de fase rápido-lento (veja a aula 1), FitzHugh propôs um modelo bi-dimensional muito simples, mas capaz de produzir oscilações qualitativamente similares aos disparos de um neurônio. FitzHugh sabia muito bem que suas equações não forneciam uma descrição detalhada dos potenciais de ação de um neurônio, mas, como ele mesmo disse (FitzHugh, 1969): para alguns propósitos é útil ter um modelo de uma membrana excitável que seja matematicamente tão simples quanto possível, mesmo que os resultados experimentais sejam reproduzidos de forma menos precisa. O modelo de FitzHugh (1961), posteriormente aperfeiçoado por Nagumo et al. (196) e, por isso, chamado hoje em dia de modelo de FitzHugh-Nagumo, possui duas variáveis: a voltagem de membrana V (variável rápida) e uma variável de repolarização lenta w. A variável w pode ser interpretada como representando o efeito dominante da condutância de K + para fora da célula após o pico do potencial de ação. As equações do modelo de FitzHugh-Nagumo são as seguintes: dv V τ = V w + I inj (1) dt dw τ w = w + bv + a. () dt Diferentes autores usam diferentes valores para os parâmetros dessas equações. Aqui, vamos usar os seguintes valores (Wilson, 1999): τ = 0,1 ms; τ w = 1,5 ms; b = 1,5; e a = 1,5. I inj é a corrente injetada na membrana e será tratada como um parâmetro livre, podendo assumir diferentes valores. Note que a constante de tempo para V é bem menor que a constante de tempo para w, refletindo o fato de que os processos de ativação do potencial de membrana são bem mais rápidos que os processos de repolarização. As equações que serão consideradas nesta aula são, portanto: dv dt dw dt V = 10 V w + I inj ( w + 1,5 1,5) = 0,8 V + (). (4) Consideremos inicialmente o caso em que I inj = 0. Para este caso, as equações das isóclinas nulas de V e w podem ser obtidas fazendo dv/dt = 0 e dw/dt = 0. Isto nos dá as seguintes equações: 1

2 = 0 = 0 𝑉³ 𝑤1 =𝑉 Introdução à Neurociência Computacional (Graduação) Antonio Roque Aula 14 Assim,teremos: = 0!! De (), temos:!! =!! Assim,teremos: (5) 𝑑𝑤 = 0,8( 𝑤 +nula 1,5𝑉 (isóclina V)1,5) = 0!+! = 1,5!! +!de!1,5 𝑑𝑡!! =!! e seguida, traçando essas que são as isóclinas nulas. Em0,8( 𝑤 + 1,5𝑉 + 1,5) = 0equação em um plano de fase (!!!!!),temos:! = 1,5!! +!1,5 (6) 𝑤 = 1,5𝑉 + 1,5 que são as isóclinas nulas. Em seguida, traçando essas equação em um plano de fase (isóclina nula de w). (!!!!!),temos: Plotando o gráfico de w versus V, obtemos então: O gráfico de w versus V (plano de fase) para este caso está mostrado abaixo. Só existe um ponto de intersecção entre as duas isóclinas nulas, portanto só há um ponto de equilíbrio. Os w1 com os pontos quais as curvas das isóclinas nulas valores deb)v eigualando w nesse ponto são:w V =podemos 1,5 e w obter = 0,75 (mostreosisso como exercício). se cruzam e assim obter os pontos de equilíbrio do sistema. Para analisar a estabilidade desse ponto de equilíbrio, devemos primeiramente linearizar o sistema de equações ()-(4). Para fazer isso, vamos considerar pequenas perturbações em torno do ponto de equilíbrio:!( +! ) V = V* +( δv +! )! = 10 +! ( +! ) * w = w + δw,!( +! ) =do0,8 ((V+* =! 1,5, ) + 1,5( +! )! +!1,5 onde (V*, w*) é o ponto de equilíbrio sistema w* = 0,75). Substituindo estas expressões no sistema de equações ()-(4) e desprezando os termos de ordem rearranjandoestasequaçõesesimplificandoostermosdesegundaordem,éobtido: quadrática ou superior em δv e δw obtemos (note que dv*/dt = dw*/dt = 0):!() = 10(1!! )!!10!() = 0,8 Esteresultadoemformamatricialecomopontodeequilíbrio(! = 1,5!;!!! =,6) iráfornecer:

3 Esse sistema pode ser escrito em forma matricial como: ond (7) A matriz p r q é chamada de matriz jacobiana do sistema no ponto de equilíbrio (V *, w * ). Cada ponto s de equilíbrio de um sistema tem uma matriz jacobiana diferente. (8) Para analisar o tipo de estabilidade de um dado ponto de equilíbrio, é necessário determinar os autovalores da sua matriz jacobiana. Os livros de texto sobre Álgebra Linear ensinam como calcular os autovalores e os autovetores de uma matriz arbitrária. Seja uma matriz L = característica: p r q. Para encontrar os seus autovalores, deve-se resolver a chamada equação s p λ q det = 0. r s λ Esta equação pode ser posta na forma polinomial (p λ)(s λ) qr = 0, ou: onde λ τλ + Δ = 0, τ = tr L = p + s e Δ = det L = ps qr são, respectivamente, o traço e o determinante da matriz L. A forma polinomial quadrática acima tem duas soluções da forma: 1 τ + = τ 4Δ λ e τ = τ 4Δ λ, (9) que são números reais (quando τ 4Δ 0) ou complexos conjugados (quando τ 4Δ < 0).

4 v11 v1 Em geral, uma matriz x têm dois autovalores com autovetores distintos, v 1 = e v = v. Nesses 1 v casos, a solução geral do sistema linearizado é da forma: δv = c1e δw 1 v + c e v λ t λt 1 onde c 1 e c são constantes que dependem das condições iniciais., (10) Quando os dois autovalores são reais e negativos, ou complexos com as partes reais negativas, a equação (10) implica que as perturbações δv e δw decaem para zero com o tempo e, portanto, o ponto de equilíbrio (V *, w * ) é assintoticamente estável. Quando pelo menos um dos autovalores é real e positivo, ou é complexo com a parte real positiva, então o ponto de equilíbrio (V *, w * ) é instável. Voltando ao nosso caso, os autovalores da matriz em (8) são λ 1 = 1,7 e λ = 11,57. Portanto, como os autovalores são reais e negativos o ponto de equilíbrio do modelo de FitzHugh- Nagumo para I inj = 0 é estável. Os autovalores da matriz jacobiana de um ponto de equilíbrio também determinam a maneira como o sistema converge (ou diverge) para o ponto de equilíbrio nas suas vizinhanças no plano de fase. Há três tipos de convergência (ou divergência), correspondendo a três tipos de pontos de equilíbrio chamados na literatura de nó, sela e foco (ou espiral). Um nó ocorre quando os autovalores são reais e do mesmo sinal. Se eles forem negativos, o nó é estável, e se eles forem positivos o nó é instável. Um ponto de sela ocorre quando os autovalores são reais e de sinais opostos. Os pontos de sela são sempre instáveis. Um foco ocorre quando os autovalores são complexos conjugados. Quando as suas partes reais são negativas, o foco é estável, e quando as suas partes reais são positivas o foco é instável. A figura abaixo, adaptada do livro de Izhikevich (007), ilustra os tipos de convergência (divergência). 4

5 Quando os dois autovalores forem puramente imaginários, isto é, forem números complexos com suas partes reais nulas, então o ponto de equilíbrio é chamado de centro. Neste caso, as trajetórias do sistema são órbitas fechadas em torno do ponto de equilíbrio (veja a figura abaixo). Um centro é um ponto de equilíbrio chamado de neutralmente estável. Todos os tipos de estabilidade de um ponto de equilíbrio podem ser mostrados em um gráfico de τ versus Δ (o traço da matriz jacobiana versus o seu determinante). A figura abaixo, reproduzida de Izhikevich (007), ilustra isso (a linha indicada na figura como bifurcação de Andronov-Hopf corresponde à região do plano τ versus Δ para a qual os pontos de equilíbrio são centros). Na figura, a região pintada indica os valores de τ e Δ para os quais ocorrem pontos de equilíbrio estáveis. 5

6 Voltando ao nosso caso, como os dois autovalores são reais e negativos, o ponto de equilíbrio do modelo de FitzHugh-Nagumo para I inj = 0 é um nó estável. Se os autovalores da matriz jacobiana de um ponto de equilíbrio forem reais e não nulos, ou complexos conjugados com a parte real diferente de zero, então o ponto de equilíbrio é chamado de hiperbólico (estável ou instável). A importância dos pontos de equilíbrio hiperbólicos é que, segundo o teorema de Hartman-Grobman (Izhikevich, 007), o seu tipo de estabilidade é robusto, isto é, o tipo de estabilidade determinado pela linearização do sistema (como feito acima) mantém-se para o sistema não-linear sem desprezar os termos de ordem superior em δv e δw. Dizemos que a dinâmica do sistema não linear nas vizinhanças de um ponto de equilíbrio hiperbólico é topologicamente equivalente à dinâmica da sua versão linearizada. Isto quer dizer que os termos de ordem superior que foram desprezados na análise linearizada do sistema não desempenham qualquer papel qualitativo na sua dinâmica. Em linguagem mais matemática, em tal caso existe um homeomorfismo (uma deformação contínua com inversa contínua) que mapeia o plano de fase do sistema linearizado no plano de fase do sistema nãolinear. As trajetórias e as direções das setas são preservadas quando se mapeia um diagrama no outro. Em uma linguagem mais livre, dois planos de fase topologicamente equivalentes são como versões distorcidas um do outro. Eles podem estar dobrados ou esticados (mas não rasgados), de maneira que trajetórias fechadas em um plano continuam fechadas no outro. 6

7 Quando um ponto de equilíbrio tem autovalores reais nulos, ou complexos conjugados com a parte real nula, ele é chamado de não-hiperbólico. Os pontos de equilíbrio não-hiperbólicos não são robustos e a técnica de linearização não pode determinar o seu tipo de estabilidade no caso geral. O aparecimento de autovalores reais nulos ou de complexos conjugados com a parte real nula ocorre quando o ponto de equilíbrio passa por uma bifurcação (veja o diagrama do livro de Izhikevich (007) acima). Voltando ao nosso caso, como os autovalores do modelo de FitzHugh-Nagumo para I inj = 0 são reais e não nulos, o ponto de equilíbrio para este caso é hiperbólico. Na lista 5, você continuará a análise iniciada nesta aula para os casos em que I inj = 0,5 e I inj = 1,5. Referências FitzHugh, R., Impulses and physiological states in models of nerve membrane. Biophysical Journal, 1: , FitzHugh, R., Mathematical models of excitation and propagation in nerve. In: Schwan, H. P. (Ed.), Biological Engineering, Nova York: McGraw-Hill, 1969, pp Izhikevich, E. M., Dynamic Systems in Neuroscience: the geometry of excitability and bursting. Cambridge, MA: MIT Press, 007. Nagumo, J. S., Arimoto, S., and Yoshizawa, S., An active pulse transmission line simulating nerve axon. Proceedings of the IRE, 50: , 196. Wilson, H., Spikes, Decisions and Actions: the dynamical foundations of neuroscience. Oxford: Oxford University Press,