Resistência dos Materiais

Transcrição

1 Resistência dos Materiais Prof. Antonio Dias Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 1

2 Torção Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 2

3 Introdução A princípio vamos estudar eixos circulares Analisaremos tensões e deformações de eixos circulares, submetidos a momentos de torção ou torque Os momentos de torção ou torque são grandezas vetoriais e podem ser representadas da seguinte forma: Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 3

4 Aplicação As mais diversas possíveis, desde o mecanismo de funcionamento do relógio até um veículo automotivo de última geração. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 4

5 Aplicação(2) Análise de esforços / Sistema dividido em 3 módulos Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 5

6 Propriedades dos eixos circulares Quando um eixo circular é submetido à torção, todas as seções transversais permanecem planas e indeformadas. (apesar de haver uma deformação angular entre as seções dentro de cada seção não há deslocamento entre os pontos da mesma seção, cada seção se comporta como um disco sólido). Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 6

7 Propriedades dos eixos circulares(2) Determinação da distribuição de deformações específicas de cisalhamento em um eixo circular e concluir que a deformação específica de cisalhamento varia linearmente com a distância ao centro do eixo. φ T Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 7

8 Tensões em uma barra de seção circular T = T ρ Centro da Barra ρ. df = T df se df = τ. da ρ. τ. da = T τ tensão de cisalhamento no elemento de área da Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 8

9 Considerações importantes Tensões nos planos longitudinais e perpendiculares Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 9

10 Distribuição de deformações no cisalhamento Comprimento => L Raio máximo => c Desl. Angular => Φ Raio do elemento => ρ Def. de Cisalhamento => γ [rad] AA = γ. L AA = ρ. φ A Portanto : γ. L = ρ. φ γ = γ max. = c.φ L ρ. φ L A Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção γ = ρ c. γ max. 10

11 Distribuição de deformações no cisalhamento(2) Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 11

12 Tensões no regime elástico (T < τ E ) Fase elástica => lei de Hooke Lei de Hooke para cisalhamento => τ = G. γ G => módulo de elasticidade transversal do material. Utilizando a equação de deformação por cisalhamento: γ = ρ. γ c max. E multiplicando ambos os membros por G temos: Gγ = ρ. G. γ c max. Portanto: τ = ρ c. τ max. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 12

13 Tensões no regime elástico (T < τ E )(2) Tensão de cisalhamento na barra circular varia linearmente com a distância até o eixo da barra. τ = ρ c. τ max. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 13

14 Torque x momento polar de inércia (J) Soma dos momentos das forças elementares deve ser igual a intensidade T => ρ. τ. da = T Substituindo τ podemos escrever: T = ρ. τ. da = τ max. c. ρ 2. da Mas ρ 2. da representa o momento polar de inércia Jda seção transversal com relação ao centro. Portanto: T = τ max.. J c Para τ max. : T. c τ max. = J Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 14

15 Exemplo Uma barra circular vazada de aço cilíndrica tem 1,5 m de comprimento e diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm. a) Qual é o maior torque que pode ser aplicado à barra circular se a tensão de cisalhamento não deve exceder 120 Mpa? b) Qual é o valor mínimo correspondente da tensão de cisalhamento na barra circular? Lembrando que o momento polar de inércia da barra circular vazada é : J = 1 2 π (c ext. c 4 int. ) 4 Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 15

16 Exercício: Uma barra circular vazada de aço cilíndrica com diâmetros interno e externo, respectivamente, iguais a 40 mm e 60 mm, sofre um torque de 2,5 kn.m a) Qual a tensão de cisalhamento máxima? b) Determine para o mesmo carregamento do item a) o diâmetro de um eixo cheio para o qual a tensão de cisalhamento máxima é a mesma do item a) Lembrando que o momento polar de inércia da barra circular vazada é : J = 1 π (c 4 2 ext. c 4 int. ) e para a barra cheia J = 1 π (c 4 2 ext. ) Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 16

17 Transmissão de Potência Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 17

18 Transmissão de potência Potência trabalho realizado por unidade de tempo O trabalho transmitido por um eixo rotativo é igual ao torque aplicado multiplicado pelo ângulo de rotação. P = Tdθ dt Velocidade angular é: ω = dθ dt portanto podemos expressar a potência como: P = T. ω ou P = 2. π. f. T Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 18

19 Unidades SI FPS Potênica Watts ft.lb/s ou hp ou BTU/h Torque N.m Ft.lbf ω rad/s rad/s unidade símbolo equivalência watt W 1 J/s = 1 Nm/s = 1 kgm 2 /s 3 horse power hp 1 hp = 745,7 W = 550 ft.lbf/s cavalo vapor cv 1 cv = 0,9863 hp = 735,5 W velocidade angular ω 1 rad/s = 2π f [hz] rad/s tensão τ 1 Pa = 145, psi ou 1 M Pa = 145,0377 psi 1 G pa = 145,0377 ksi Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 19

20 Projeto do eixo Potência e frequência: P = 2. π. f. T => T = P 2.π.f se T = τ max..j c J c = P τ máx.. 2. π. f Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 20

21 Exemplo O eixo maciço AB da figura deve ser usado para transmitir 5 hp do motor M ao qual está acoplado. Supondo que o eixo gire a 175 rpm e o aço tenha a tensão de cisalhamento admissível de 14,5 ksi, determine o diâmetro do eixo necessário de acordo com o padrão de mercado. diâmetros padrão [mm] Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 21

22 Exercício O eixo maciço de 30 mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos C e D do eixo. Indicar a tensão de cisalhamento nos elementos de volume localizados nesses pontos. Sabendo-se que o eixo gira a 3600 rpm, qual a potência transferida em cada uma das engrenagens? Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 22

23 Ângulo de torção Limitação de projeto ao ângulo de torção Importante na analise de reações em eixos estaticamente indeterminados Iremos desenvolver â fórmula para o ângulo de torção φ Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 23

24 Suposições Eixo com seção transversal circular que pode variar gradualmente ao longo do seu comprimento Material homogêneo com comportamento linear-elástico quando o torque é aplicado Desprezar as deformações localizadas nos pontos de aplicação dos torques (cargas) e onde a seção transversal muda abruptamente suas dimensões. (princípio de Saint-Venant) Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 24

25 Dedução Método das seções / disco infinitesimal: Disco dx na posição x Torque T (x) (pode variar ao longo da linha de centro do eixo) Rotação relativa de face em relação a outra - dφ Elemento num raio arbitrário ρ Sofre deformação por cisalhamento γ dφ = γ. dx ρ Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 25

26 Dedução(2) Aplica-se a Lei de Hooke => γ = τ G Tensão de cisalhamento expressa em torque em funçào d posição x => τ = T (x).ρ J (x) Portanto => γ = T (x).ρ Integrando: J (x).g dφ = γ. dx ρ φ = 0 L dφ = T (x) J (x).g dx T (x) J (x). G dx Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 26

27 Equação do ângulo de torção Onde: φ = 0 L T (x) J (x). G dx φ T (x) J (x) G Ângulo de torção de uma extremidade em relação a outra, em radianos Torque interno na posição arbitrária x, determinado pelo método das seções e pela equação do momento na condição de equilíbrio aplicada em torno da linha de centro do eixo Momento de Inércia polar do eixo expresso como função da posição x Módulo de elasticidade ao cisalhamento do material Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 27

28 Caso particular: Torque e área da seção transversal constantes T x = T J x = J Integrando a equação do ângulo de torção temos: T. L φ = J. G Ou seja, em cada trecho onde não tem variação do torque e do diâmetro, pode ser utilizada a formula acima, e eixos escalonados, ou com várias cargas de torque, podem ser calculados cada trecho que atenda a condição acima e no final somar todos os ângulos de torção. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 28

29 Determinação do G φ = T.L J.G ou φ = T.L J.G Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 29

30 Convenção de sinais Regra da mão direita Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 30

31 Exemplo da convenção de sinais φ A/D =? Três seções: AB / BC / CD φ A/D = +80Nm. L AB J. G + 70Nm. L BC J. G + 10Nm. L CD J. G Se φ A/D > 0 o ângulo de torção relativo é no sentido positivo do torque e se for negativo é no sentido contrário. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 31

32 Procedimento de análise Torque interno: Determinação do torque em um ponto na linha de centro pelo método das seções. Se houver variação da seção deve-se fazer o troque em posição arbitrária x do eixo e o torque deve ser expresso em função da posição, T (x) Se houver vários torques atuando no mesmo eixo, deve-se determinar o torque em cada segmento do eixo, e o resultado pode ser apresentado como um diagrama de torque. Ângulo de torção: Quando a área da seção transversal varia ao longo da linha de centro do eixo o momento polar de inércia deve ser expresso em função da posição x, ou seja, J (x) Se o momento polar de inércia, ou o torque interno do eixo mudarem subitamente entre as extremidades, então deve ser analisado cada segmento Utilizar convenção de sinais consistente Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 32

33 Exemplo As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma das extremidades fixa estão sujeitas aos torques mostrados na figura abaixo. Supondo que o módulo de elasticidadede cisalhamento seja 80 G Pa e o eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar o deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo gira livremente no mancal em B Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 33

34 Solução Torque interno: Diagrama de corpo livre Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 34

35 Exercício Um eixo está submetido a um torque T. Comparar a eficácia do tubo mostrado na figura com a de um eixo de seção maciça de raio c. Para isto, calcular a porcentagem de aumento de tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de comprimento do tubo em relação aos valores do eixo de seção maciça. τ max. = φ = T.L J.G T. c J J = 1 π (c 4 2 ext. c 4 int. ) J = 1 2 π (c 4 ext. ) Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 35

36 Eixos Sólidos não-circulares Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 36

37 Conceito(1) Eixos circulares se comportam como discos sólidos e mediante a aplicação de torque os deslocamentos não provocam a mudança de geometria da seção transversal. Formas com seção transversal não circular como os incrementos de volume não possuem simetria com o eixo de aplicação de torque a tensão de cisalhamento na seção transversal é distribuída de maneira muito complexa. Fazendo com que as seções transversais arqueiem ou entortem quando há a deformação por torque. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 37

38 Conceito(2) Utilizando a análise matemática baseada na teoria da elasticidade: Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 38

39 Conceito(3) Dedução extremamente complexa Formas mais comuns tabela Eficiência do eixo circular Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 39

40 Concentração de Tensão Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 40

41 Características Equação τ máx = T.c J destinada a eixo circular constante ou levemente cônico. Alterações bruscas da seção transversal resultam em comportamento extremamente complexo Solução experimental ou métodos de análise matemática baseados na teoria da elasticidade. Para simplificar o dia-a-dia dos engenheiros as descontinuidades mais comuns foram estudadas e correlacionadas a geometria base através de um fator K fator de concentração de tensões de torção T. c τ máx = K. J Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 41

42 Geometrias mais comuns Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 42

43 Fator de concentração de tensões A equação é aplicada para o menor dos eixos sendo que a 𝜏𝑚á𝑥 ocorre na base da curva de concordância. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 43

44 Exemplo O eixo em degrau mostrado na figura abaixo é apoiado por mancais em A e B. Determinar a tensão máxima nele desenvolvida devido aos torques aplicados. A curva de concordância na junção de cada eixo tem raio r = 6 mm. Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 44

45 Solução 𝐷 =2 𝑑 𝑟 = 0,15 𝑑 𝐾 = 1,3 𝜏𝑚á𝑥 = 𝑲. 𝑇. 𝑐 𝐽 Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 45

46 Solução: distribuição de tensão verdadeira Antonio Dias / Resistência dos Materiais / Torção 46