Uma Aplicação de Modelagem em Espaço de Estado para o Cálculo de Curvas de Juros Estáveis 17/04/2013

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1 Uma Aplicação de Modelagem em Espaço de Estado para o Cálculo de Curvas de Juros Estáveis 17/04/2013 Equipe: Luciano Vereda Oliveira (UFF), Adrian Heringer Pizzinga (UFF) e Leonardo Henrique Costa (UNIFAL).

2 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

3 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

4 Avaliação de Fluxos Futuros Qual o preço VP t que um indivíduo estaria disposto a pagar por um ativo que promete pagar 1000 reais τ períodos à frente? Suponha que esse pagamento é líquido e certo, ou seja, que não há risco de default. R$ 1000 VP t = 1000 ( 1+ R ) τ, t τ t t + τ VP t

5 Avaliação de Fluxos Futuros (2) Qual o valor VP t que um indivíduo precisa guardar para garantir o pagamento de uma dívida de 1000 reais a vencer τ períodos à frente? Suponha que esse desembolso também é líquido e certo. VP t VP t = 1000 ( 1+ R ) τ, t τ t t + τ R$ 1000

6 Curva de Juros: Definição Onde coletar as taxas R τ,t avaliações? necessárias para fazer as A fonte é a estrutura a termo das taxas de juros (ETTJ), ou curva de juros. Define-se, portanto, a ETTJ com base em sua principal função, que é mostrar a relação existente entre as taxas de juros utilizadas para descontar pagamentos e recebimentos futuros livres de risco e os prazos nos quais esses fluxos ocorrem. Sob uma perspectiva econômica, a ETTJ é um indicador do valor puro do dinheiro no tempo.

7 Curva de Juros: Definição (2) Graficamente, a ETTJ é um mapa que informa as taxas de juros anuais correspondentes aos mais diversos prazos. Taxa (% ao ano) R τ 2,t R τ1,t τ 1 τ 2 Prazo

8 Avaliação de Fluxos Futuros (3) Generalização: o valor em t de uma corrente de fluxos certos {,,, } Xt Xt + 1 Xt + τ t, t + 1, t + 2,... é dado por: a serem recebidos nos instantes X t+1 X t... t+2 t t+1 X t+τ-1 t+τ-1 X t+τ t+τ A probabilidade do fluxo não ocorrer da maneira prevista é zero! X t+2 VP t = τ X t+ j ( ) j= 0 1+ Rjt, j

9 Avaliação de Empresas Empresa enquanto entidade que possui receitas a auferir e despesas a pagar. Sob o ponto de vista do período corrente, toda empresa tem uma programação de receitas (ou recebimentos) e despesas (ou pagamentos) que se distribuem ao longo do tempo. Como verificar a saúde de uma empresa? Métrica bastante utilizada: verificação da solvência.

10 Avaliação de Empresas (2) Solvência: diz-se que uma empresa está solvente se o seu ativo é maior do que o seu passivo, ou seja, se ela consegue cumprir os seus compromissos presentes e futuros com os recursos que constituem o seu patrimônio ou o seu ativo. Condição suficiente de solvência: o somatório dos valores presentes descontados dos recebimentos deve ser maior do que o somatório dos valores presentes descontados dos pagamentos.

11 Avaliação de Empresas (3) Xt+1 X t+2 Xt+τ-1 X t+τ X t... t t+1 t+2 t+τ-1 t+τ A t = τ j= 0 X t+ j ( 1+ R ) jt, j t t+1 t+2 t+τ-1 t+τ... P t = τ j= 0 Y t+ j ( 1+ R ) jt, j X t Xt+1 X t+2 X t+τ X t+τ-1 Solvência At P t

12 Avaliação de Empresas (4) O que ocorre se P t > A t? Essa é uma situação que pode levar à falência! Em mercados estratégicos regulados pelo governo, exige-se que a empresa aumente o colchão de recursos disponíveis. Esse é precisamente o caso do mercado segurador. O órgão regulador (Superintendência de Seguros Privados: SUSEP) exige que a seguradora aumente as suas reservas (o que é uma forma de aumentar A t ) a fim de restabelecer a condição de solvência. Ver principalmente a Circular SUSEP n o 410, de 22 de dezembro de 2010, que define os procedimentos necessários para executar o teste de adequação de passivos (TAP).

13 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

14 Representação do Problema Ver planilha Exemplo para a palestra.xls. Moral da história : as reservas oscilam consideravelmente à medida que a ETTJ utilizada para descontar os fluxos se movimenta. 26/12/ /06/ /12/ /06/ /12/ /06/ /12/ /06/2012 ATIVO PASSIVO A-P Movimentações Solução: utilização de uma curva de juros estável, definida como aquela que estipula uma probabilidade mínima para as reservas existentes em t permanecerem estáveis em t + x.

15 Representação do Problema (2) O que fazer para reduzir essa variabilidade? Solução: utilização de uma curva de juros estável, definida como aquela que amarra uma probabilidade mínima para as reservas existentes em t permanecerem estáveis em t + x. Como as reservas exigidas pelo TAP tendem a aumentar à medida que as taxas de juros diminuem, a curva de juros estável reflete uma fronteira inferior cujo rompimento ocorre com uma probabilidade pequena. A taxa de juros relativa a algum prazo fica abaixo da taxa de juros correspondente pertencente à fronteira inferior.

16 Representação do Problema (3) Quais são os elementos necessários para resolver o problema? 1) Estimar a ETTJ vigente a cada t. 2) Calcular intervalos de confiança para taxas de juros individuais. Com base nesses intervalos é possível dizer que... ( inf sup ), t, t, t P r r, r 1 τ τ τ α (cont...)

17 Representação do Problema (4) (cont...) 3) Calcular intervalos de confiança conjuntos para as taxas de juros. Com base nesses intervalos é possível dizer que... (( inf ) ( inf ) ( inf )), t, t, t, t, t, t P r < r r < r r < r τ τ τ τ τ τ α N N 4) Fazer previsões para o comportamento da ETTJ, dado que o seu estado futuro determina as reservas a constituir (cujos valores desejamos estabilizar).

18 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

19 Estimação da ETTJ É necessário estimar a ETTJ! A ETTJ não é diretamente observável, ela precisa ser estimada a partir das cotações de mercado de títulos de renda fixa ou instrumentos financeiros derivativos. Esses dados são ruidosos e estão disponíveis apenas para um número finito de vencimentos. Output desejável: estimativa pontual da ETTJ verdadeira + representação da incerteza em torno dessa estimativa, explicitada sob a forma de um intervalo de confiança.

20 Estimação da ETTJ (2) Taxas Pré-fixadas /05/09 02/08/09 02/11/09 02/02/10 02/05/10 02/08/10 02/11/10 02/02/11 02/02/05 02/05/05 02/08/05 02/11/05 02/02/06 02/05/06 02/08/06 02/11/06 02/02/07 02/05/07 02/08/07 02/11/07 02/02/08 02/05/08 02/08/08 02/11/08 02/02/09 02/05/11 Cross-section Time series Modelos de Equilíbrio Splines Modelos Paramétricos Modelos Exponenciais Fonte: Zero-coupon Yield Curves: Technical Documentation, Working Paper n o 25, Bank of International Settlements, 2005.

21 Estimação da ETTJ (3) Modelos Paramétricos: Idéia Básica 1) Especificar uma única função válida para todo o domínio de maturidades k; λk λk λk 1 e 1 e λk 1 e λk rˆ k = β1+ β2 + β3 e + β4 e λk λk λk Padrão SUSEP: Svensson β0, β1, β2, β3, λ, λ

22 Estimação da ETTJ (4) Modelos Paramétricos: Idéia Básica (cont.) 2) Determinar os parâmetros minimizando os desvios entre taxas observadas e ajustadas pelo modelo (válido também para preços de mercado). P min { } d,,, ( r rˆ α α α ) 1 2 n k k k K Taxa observada Svensson r ˆk Taxa teórica correspondente k K Conjunto de prazos utilizado na estimação

23 Estimação da ETTJ (5) ( ) rˆ = f k, α, α,, α k 1 2 n 9.5% 9.0% 8.5% 8.0% 7.5% 7.0% 6.5% 6.0% 5.5% 5.0% r k k f f

24 Estimação da ETTJ (6) SUSEP: estimação cross-section da ETTJ utilizando o modelo de Svensson, utilização de algoritmos genéticos (método matemático) para resolver o problema P. Nossa opção: método time series, processo estatístico. Estabilização dos resultados de estimação. Consegue-se entregar os elementos 1 a 4! Inferência: intervalos de confiança + previsões fora da amostra (curva estável) + diagnósticos (análise de resíduos)

25 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

26 Svensson - Versão Dinâmica R t r 1 r rτ N τ, t τ, t 2 =, t N 1 Vetor com N taxas de juros observadas, referentes aos prazos τ 1,τ 2,...,τ N. X t x1, t x 2, t = x Kt, K 1 Vetor com K variáveis de estado (fatores comuns, driving processes). Idéia: o conjunto de taxas se movimenta ao sabor de um número reduzido de fatores condicionantes K N

27 Svensson - Versão Dinâmica (2) ( τ1) 1( τ1) 2( τ1) ( τ ) ( τ ) ( τ ) r 1 F G G β ε τ, t 1, t 1, t 1 r τ 2, t 1 F 2 G1 2 G β 2 2 2, t ε 2, t = + β 3, t r 1 F, ( τn) G1( τn) G2( τn) β τ 4 4, t ε 41 N, t N t N 1 N N 1 F ( τ ) = 1 e λτ λτ G 1 ( τ ) λτ 1 e λτ = e Equação de medição λτ G 2 ( τ ) λτ 1 e = e λτ λτ

28 Svensson - Versão Dinâmica (3) β1, t β1 φ1, β1, t 1 η1, t β 2, t 0 φ 2 2,2 0 0 β β 2, t 1 η 2, t = + + β 3, t φ3,3 0 β 3, t 1 η 3, t β φ β η 4, t ,4 44 4, t , t 41 Equação de estado

29 Svensson - Versão Dinâmica (4) ε1, t ε 2, t εt = N diag σε σε σ ε ε Nt, N 1 4, t 41 (,1,2, N) ( 0,,,, ) η1, t η 2, t ηt = N diag ση ση ση σ η η3, t η ε η t t Corr (,1,2,3,4 ) ( 0,,,, ) ( εt, εt j) = 0 j Corr ( t t j) 2 2 ; σε, n = σε; n= 1,2,, N σ η, η = 0 j ou = f ( τ ) 2 ε,n n

30 Svensson - Versão Dinâmica (5) β 0 β1,0 β 2,0 = β3,0 β 4,0 41 : Estado inicial do sistema E ( β ) = b Var ( ) 0 0 ( kt k ) β = P 0 0 E η, β,0 = 0; k = 1, 2,3, 4; t = 1, 2,, T ( nt k ) E ε, β,0 = 0; n= 1, 2,, N ; k = 1, 2,3, 4; t = 1, 2,, T

31 Svensson - Versão Dinâmica (6) Rt = MXt + εt β = β +Φ β + η t+ 1 t t+ 1 Equação de Medição Equação de Estado Modelo em Espaço de Estado Toda uma tecnologia para estimação e inferência! Peças-chave: MLE + filtro de Kalman

32 Svensson - Versão Dinâmica (7) Rt = MXt + εt β = β +Φ β + η t+ 1 t t+ 1 Equação de Medição Equação de Estado Parâmetros λ, λσ,, σ,, σ, φ,, φ, β, β Resultados de Estimação 13 Estado X, t = 1,2,, T t ε η,1 η,4 1,1 4,4 1 2

33 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

34 Modelos em Espaço de Estado Y = Zγ + d + ε, ε ~ NID(0, H ) Equação de Medição t t t t t t t γ = t 1 Ttγ + t c + + t Rtηt, ηt ~ NID(0, Qt) Equação de Estado Correspondências: Y = R, Z = M, γ = β, d = 0, t t t t t t T, c, R I, t =Φ t = β t = 4 4

35 Modelos em Espaço de Estado (2) Y, Y,, YT 1 2 : T observações de Y I σ ( Y, Y,..., Y ): j 1 2 j σ-álgebra produzida pelas medidas até o instante j Momentos condicionais: ˆ γ E( γ I ) tj t j (( )( ) tr ) ˆ ˆ P E γ γ γ γ I tj t tj t tj j

36 Modelos em Espaço de Estado (3) Previsão: j = t 1 ˆ γ = T ˆ γ + c t+ 1 t t tt t Atualização: j t P = TPT + RQR tr tr t+ 1 t t tt t t t t υt t tγ tt 1 t = tr ˆ γ = ˆ γ + P Z F υ 1 tt tt 1 tt 1 t t t P = P P Z F Z P tr 1 tt tt 1 tt 1 t t t tt 1 = Y Z ˆ d F = ZP Z + H tr t t tt 1 t t

37 Modelos em Espaço de Estado (4) Suavização: j = T ˆ γ tt tt 1 tt 1 t 1 r = Z F υ + ( T TP Z F Z ) r tr 1 tr 1 tr t 1 t t t t t tt 1 t t t t tt tt 1 tt 1 t 1 tt 1 tr 1 t 1 t t t + ( T TP Z F Z ) N ( T TP Z F Z ) T = ˆ γ + P P = P P N P N = Z F Z + r tr 1 tr tr 1 t t tt 1 t t t t t t tt 1 t t t = 0, N = 0 T r

38 Modelos em Espaço de Estado (5) Cálculo de intervalos de confiança: a distribuição de probabilidades condicional da v.a. Atγ t + bt dada a informação contida em I σ ( Y, Y,..., Y ) para algum j 1 2 j ˆ t t j t instante j, é normal com média Aγ + b e variância A P A. tr t t j t

39 Modelos em Espaço de Estado (6) Logo... IC Condicional Aγ + b ;100 1 % t t t ( α) ( ˆ γ ) At t j + bt z1 /2 AP t t jat ', α = ( A ˆ ) tγ t j + bt + z1 α /2 AP t t jat ' ( ) t t j t 1 t t j t Condicional IC = A ˆ γ + b z A P A ', γ + ;100 1 α % α + A b t t t ( ) ( ) Yˆ = Z ˆ γ + d tj t tj t

40 Modelos em Espaço de Estado (7) Previsão: ( ) ˆ γ = T ˆ γ + c ˆ γ = ˆ γ t+ xt t+ x t+ x 1 t+ x t tt ( ) P = T P T + R Q R P = P tr tr t+ xt t+ x t+ x 1 t t+ x t+ x t+ x t+ x tt t Yˆ = Z ˆ γ + d t+ xt t+ x t+ xt t+ x ( ˆ ) MSE Y = Z P Z + H tr t+ xt t+ x t+ xt t+ x t+ x

41 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

42 Intervalos de Confiança Intervalos de confiança. Faixas nas quais as taxas de juros para diversos prazos estão contidas com uma determinada probabilidade. Com base neles é possível dizer, por exemplo, que a estimativa pontual para a taxa de juros de τ períodos no instante t é r τ,t, e que o valor verdadeiro dessa taxa está r, r inf sup τ, t τ, t contido no intervalo com probabilidade 0,95 (ou seja, constrói-se um intervalo cujo nível de confiança é 95%).

43 7,00% 6,80% 6,60% 6,40% 6,20% 6,00% Curva Observada Curva Ajustada Limite Superior Limite Inferior Taxas de juros embutidas nos contratos de swap DI x IPCA negociados no dia 30/06/2010: estimativa pontual (linha contínua), dados originais (quadrados), limites superior e inferior da faixa formada por intervalos de confiança com nível de confiança de 95%.

44 6,00% 5,80% 5,60% 5,40% 5,20% 5,00% 4,80% 4,60% 4,40% 4,20% 4,00% Curva Observada Curva Ajustada Limite Superior Limite Inferior Taxas de juros embutidas nos contratos de swap DI x IPCA negociados no dia 29/12/2011: estimativa pontual (linha contínua), dados originais (quadrados), limites superior e inferior da faixa formada por intervalos de confiança com nível de confiança de 95%.

45 Tópicos Tópicos a serem enfocados: 1) Alguns conceitos básicos: avaliação de fluxos futuros, definição de ETTJ, verificação da saúde de uma empresa. 2) Representação estilizada do problema. 3) Estimação da curva de juros. 4) Versão dinâmica do modelo de Svensson. 5) Breve revisão do filtro de Kalman. 6) Intervalos de confiança. 7) Curvas estáveis.

46 Curvas estáveis. Curvas Estáveis Definidas como aquelas que estipulam uma probabilidade mínima para as reservas existentes em t permanecerem estáveis em t + x Fronteira inferior para a curva prevista em t para t + x: l, l,, l k1 k2 k N ( ) k t+ x k k t+ x k k t+ x k P r l r l r l α > > >,,, N N : E

47 Curvas estáveis. Curvas Estáveis (2) Definidas como aquelas que estipulam uma probabilidade máxima de alguma taxa romper para baixo a fronteira inferior da curva de juros prevista para t + x Fronteira inferior para a curva prevista em t para t + x: l, l,, l k1 k2 k N ( ) k, t+ x k k, t+ x k k, t+ x k P r l r l r l α N N : OU

48 Curvas Estáveis (3) Versão Dinâmica do Modelo de Svensson Intervalos de Confiança Individuais ( ) k t x k P r, + > l = 1 p 1 1 ( ) k t x k P r, + > l = 1 p 2 2 ( ) k t x k P r, + > l = 1 p N N Intervalo de Confiança Conjunto Correção de Bonferroni

49 Curvas Estáveis (4) Correção de Bonferroni. N N P Ak 1 P A k = 1 k = 1 ( ) k Ak Ak : : Evento A taxa para operações de τ períodos vigente em t + x é maior do que o seu respectivo limiar. Evento A taxa para operações de τ períodos vigente em t + x é menor ou igual do que o seu respectivo limiar. A probabilidade de ocorrência desse evento é p = α N. P r > l = 1 p P r l = p ( ) ( ) k, t+ x k k, t+ x k n n n n

50 Curvas Estáveis (5) Correção de Bonferroni. Logo... N N α P A 1 ( ) k P Ak = Np = N = α k = 1 k = 1 N ( ) k t+ x k k t+ x k k t+ x k P r > l r > l r > l α,,, N N

51 Curvas Estáveis (6) α 10% N α/n 5 2,00% 10 1,00% 15 0,67% 20 0,50% Curvas de juros com mais vértices Diminuição de p Diminuição dos limiares Curva conservadora mais baixa

52 Curvas Estáveis (7) N 10 1-α α/n 80% 2,00% 90% 1,00% 95% 0,50% 99% 0,10% Aumento da probabilidade de nenhuma taxa romper para baixo o seu limiar Diminuição de p Diminuição dos limiares Curva conservadora mais baixa Quanto mais potente o seguro, mais caro ele é!

53 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0, Curva Observada em 30/06/2010 Curva Prevista em 31/03/2010 para 30/06/2010 Curva Conservadora calculada em 31/03/2010 para 30/06/2010 Curva Prevista em 26/05/2010 para 30/06/2010 Curva Conservadora calculada em 26/05/2010 para 30/06/2010 Taxas de juros indexadas ao IPCA, 30/06/2010: dados originais (quadrados), previsões (linhas pontilhadas nas cores azul (26/03/2010) e vermelha (31/05/2010)) e curvas conservadoras (linhas contínuas nas cores azul (26/03/2010) e vermelha (31/05/2010)), α = 5%.

54 Curvas Estáveis (9) Testes de sensibilidade: Efeitos de mudanças em α. Efeitos de postergar x.

55 Taxas (% a.a.) 12,0 Influência de α 10,0 8,0 Curva Observada em 23/08/2012 6,0 4,0 Curva Prevista em 24/05/2012 para 23/08/2012 Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 23/08/2012, α =10% Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 23/08/2012, α = 5% Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 23/08/2012, α = 1% 2,0 0, Prazo (meses) Taxas de juros pré-fixadas, curva prevista em 24/05/2012 para 23/08/2012, curvas conservadoras calculadas em 24/05/2012 para 23/08/2012 (13 semanas à frente) com α = 10%, 5% e 1%.

56 Taxas (% a.a.) 10,0 9,0 Postergar x 8,0 7,0 6,0 5,0 4,0 3,0 Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 21/06/2012, 4 passos, α =10% Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 23/08/2012, 13 passos, α =10% Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 22/11/2012, 26 passos, α =10% Curva Conservadora calculada em 24/05/2012 para 20/06/2013, 56 passos, α =10% 2,0 1,0 0, Prazo (meses) Taxas de juros pré-fixadas, curvas conservadoras calculadas em 24/05/2012 para 21/06/2012 (4 semanas à frente), 23/08/2012 (13 semanas à frente), 22/11/2012 (26 semanas à frente) e 20/06/2013 (56 semanas à frente) com α = 10%.