APLICAÇÃO DA TEORIA FUZZY EM MODELOS DE TRANSPORTE DE MASSA PARA O CÁLCULO DO RISCO NA CONCESSÃO DE OUTORGA PARA LANÇAMENTO DE EFLUENTES EM RIOS

UNIVERSIDADE FEDERAL DO EARÁ ENTRO DE TENOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA HIDRÁULIA E AMBIENTAL DOUTORADO EM ENGENHARIA IVIL ÁREA DE ONENTRAÇÃO: REURSOS HÍDRIOS APLIAÇÃO DA TEORIA FUZZY EM MODELOS DE TRANSPORTE DE MASSA PARA O ÁLULO DO RISO NA ONESSÃO DE OUTORGA PARA LANÇAMENTO DE EFLUENTES EM RIOS SÍLVIA HELENA LIMA DOS SANTOS FORTALEZA EARÁ 202

SÍLVIA HELENA LIMA DOS SANTOS APLIAÇÃO DA TEORIA FUZZY EM MODELOS DE TRANSPORTE DE MASSA PARA O ÁLULO DO RISO NA ONESSÃO DE OUTORGA PARA LANÇAMENTO DE EFLUENTES EM RIOS Tese submetda à coordenação do urso de Pósgraduação em Engenhara vl, área de concentração em Recursos Hídrcos, da Unversdade Federal do eará, como requsto parcal para a obtenção do grau de Doutor. Área de oncentração: Recursos Hídrcos ORIENTADOR: Prof. Ramundo Olvera de Souza, Dr. FORTALEZA EARÁ 202

Ao meu mardo, Sérgo Santos, e aos meus querdos flhos Dav e Lev.

AGRADEIMENTOS À Deus, pela ncontáves dádvas e por me guar em todos os momentos da vda. Aos meus amados pas, Ramundo e Benedta, por serem o alcerce da mnha vda, pelo ncentvo e conselhos de vda que sempre me deram. Aos meus querdos rmãos, Ana Paula, Ana rstna, Francsco José, Edson Dantas e Argeu, pela torcda e pela alegra que demonstram em cada uma de mnhas conqustas. Ao meu mardo, Sérgo Santos, pelo amor, auda e por ser o grande ncentvador dos meus estudos. Ao meu orentador, Dr. Ramundo Olvera de Souza por sua excelente orentação, ensnamentos, dedcação e amzade. À Unversdade Federal do eará, em especal ao Departamento de Engenhara Hdráulca e Ambental, pelo apoo ao desenvolvmento desta pesqusa. À coordenação do urso de Pós-Graduação em Recursos Hídrcos e a todos seus professores. Aos professores: Dr. Antôno Idvan Vera Nunes; Drª. Ada Améla Sanders Lopes; Drª. arla Fretas de Andrade e Drª. Marsete Dantas de Aquno pelas valosas sugestões e contrbuções no exame de qualfcação. Aos professores: Dr. Antôno léco Fontelles Thomas; Dr. Antôno Idvan Vera Nunes; Drª. arla Fretas de Andrade e Drª. Vanda Tereza osta Malvera pela dsposção em partcpar da banca examnadora. Às amgas de pesqusa, Ada e Vanessa, por suas demonstrações de amzade e companhersmo. A todos os funconáros do Departamento de Engenhara Hdráulca e Ambental, e em especal a: Umbelna, Júnor, Shrley e Ervelton. Aos amgos, láudo Damasceno, Mauro, Edson Pessoa e Andréa ysne pelos momentos agradáves de estudo no decorrer de algumas dscplnas. À coordenação de Aperfeçoamento de Nível Superor APES, pela bolsa de pesqusa.

RESUMO Este trabalho desenvolveu uma metodologa, com base na aplcação da teora fuzzy, em modelos de transporte de poluentes, para estudar o rsco fuzzy de contamnação, na concessão de outorga de lançamentos de efluentes em ros. Para sso, as equações dferencas do modelo de transporte são transformadas em equações dferencas fuzzys, de modo que o campo de concentrações representado pelo modelo matemátco sea transformado em campos de funções de pertnêncas de concentrações. O estudo se utlza de parâmetros defndos na le para estabelecer a classe do ro e, assm, calcular, para cada tpo de lançamento, o rsco de contamnação e a capacdade de assmlação do mesmo. Para a solução do modelo matemátco fo usado o método das dferenças fntas, com esquema mplícto para o equaconamento das equações das dferenças. Para a realzação das smulações fo desenvolvdo um programa computaconal, em lnguagem FORTRAN que deu suporte na obtenção dos resultados para os mas dversos cenáros propostos. Os resultados mostraram que a teora fuzzy pode se tornar uma alternatva segura no auxlo do controle de polução dos ros em geral, fornecendo, assm, fundamentos para a gestão dos recursos hídrcos.

ABSTRAT Ths research developed a methodology, based on applcaton of fuzzy theory n the pollutant transport models, to study the fuzzy rsk of contamnaton, n awardng grants for dscharge of effluents nto rvers. In such way, the dfferental equatons of the transport model are transformed nto fuzzy dfferental equatons, so that, the feld of concentratons, represented by the mathematcal model s transformed nto felds of concentraton membershp functons. The study makes use of parameters defned n the law to establsh the class of the rver, so that, t calculates, for each type of release, the rsk and ts assmlatve capacty of the rver to receve effluents. For the soluton of the mathematcal model the fnte dfference method was used, wth mplct scheme on order to get the dfference equaton. For the accomplshment of the smulatons a computatonal program, n FORTRAN language, was developed, that gave support n the obtanng of the results for the most several proposed sceneres. The results have shown that the fuzzy theory can become a safe alternatve to help control polluton of rvers n general, provdng, n such way, subsdes for resources management.

LISTA DE FIGURAS Fgura 2. Fluxo de massa em um volume de controle (Fscher, 979)....3 Fgura 2.2 Lançamentos dfuso e pontual em um ro...35 Fgura 2.3 Exemplos de funções de pertnênca...4 Fgura 2.4 onunto fuzzy convexo....43 Fgura 2.5 onunto fuzzy não convexo....43 Fgura 2.6 Prncípo da Extensão (Pedrycz, 998)....45 Fgura 2.7 - Número fuzzy trangular......48 Fgura 2.8 Adção de dos números fuzzy trangulares à e B ɶ...49 Fgura 2.9 Subtração de dos números fuzzy trangulares à e B ɶ...49 Fgura 3. Representação de uma função de pertnênca para a função margnal de segurança....57 Fgura 3.2 Esquema mplícto para solução da equação da dfusão advectva: Fonte: (HAGAS, 2005)...58 Fgura 3.3 Fluxograma completo do programa...63 Fgura 4. omportamento da concentração com a dstânca em tempos dferentes...66 Fgura 4.2 omportamento das funções de pertnênca para as concentrações em tempos dferentes, seção....67 Fgura 4.3 omportamento da função margnal de segurança para as concentrações em tempos dferentes, em uma seção 0 km da orgem...68 Fgura 4.4 omportamento das funções de pertnênca para as concentrações no tempo de 4 horas, em dferentes seções....69

Fgura 4.5 omportamento da função margnal de segurança para as concentrações no tempo de 4 horas, em dferentes seções....70 Fgura 4.6 omportamento do rsco com a dstânca em dferentes tempos....70 Fgura 4.7 omportamento da garanta com a dstânca em dferentes tempos...7 Fgura 4.8 omportamento do rsco e da garanta com o tempo...72 Fgura 4.9 Perfl de concentração com a dstânca para dferentes tempos =50mg/L...73 Fgura 4.0 Função margnal de segurança para dferentes seções no tempo de 4 horas. =50mg/L...73 Fgura 4. omportamento do rsco com a dstânca para dferentes tempos. =50mg/L...74 Fgura 4.2 omportamento do rsco e da garanta ao longo do tempo. =50mg/L....75 Fgura 4.3 Perfl de concentração em 4horas para dferentes lançamentos...76 Fgura 4.4 omportamento da função margnal para dferentes lançamentos a 0 km em 4 horas...77 Fgura 4.5 omportamento do rsco com a dstânca para dferentes lançamentos em 2 horas....77 Fgura 4.6 omportamento do rsco com o tempo para dferentes lançamentos.78 Fgura 4.7 Função margnal de segurança para =50mg/L, em t=2 horas, 0 km para dferentes classes....79 Fgura 4.8 Função margnal de segurança para =50mg/L, em 8 horas, 0 km para dferentes classes....79 Fgura 4.9 omportamento do rsco com a dstânca para =50 mg/l, notempo de 8 horas para dferentes classes...80 Fgura 4.20 omportamento do rsco com o tempo para =50mg/Lpara dferentes classes...8

Fgura 4.2 Perfl de concentração, vazão 5 m 3 /s, para dferentes tempos...8 Fgura 4.22 Perfl de concentração, vazão 0 m 3 /s, para dferentes tempos...82 Fgura 4.23 Perfl de concentração, vazão 20 m 3 /s, para dferentes tempos...83 Fgura 4.24 omportamento do perfl de concentração para dferentes vazões...83 Fgura 4.25 omportamento da função margnal de segurança, para o tempo de 8 horas em dferentes seções e vazão 0m 3 /s...84 Fgura 4.26 omportamento da função margnal de segurança, em 8h e 5km, para dferentes vazões....85 Fgura 4.27 omportamento da função margnal de segurança a 5km para dferentes horas e dferentes classes....85 Fgura 4.28 omportamento do rsco com a dstânca para dferentes horas e uma vazão de 5 m 3 /s...86 Fgura 4.29 omportamento do rsco com a dstânca para dferentes horas e uma vazão de 0 m 3 /s...87 Fgura 4.30 omportamento do rsco com a dstânca para dferentes horas e uma vazão de 20 m 3 /s...88 Fgura 4.3 omportamento do rsco e da garanta para dferentes vazões a 0 km do ponto de lançamento em 20 horas e =200 mg/l...88 Fgura 4.32 Dstrbução da concentração para um lançamento de uma carga dfusa ao longo do canal para uma substânca conservatva....89 Fgura 4.33 Funções de pertnênca para dferentes tempos na seção a 5 km da orgem....90 Fgura 4.34 Função margnal de segurança para dferentes seções em t=6h...90 Fgura 4.35 omportamento do rsco com a dstânca em dferentes tempos....9 Fgura 4.36 omportamento da garanta com a dstânca em dferentes tempos..92

Fgura 4.37 omportamento do rsco e da garanta ao longo do tempo para um lançamento de uma carga dfusa ao longo do canal para uma substânca conservatva....92 Fgura 4.38 omportamento do rsco e da garanta do Ro Wndy para dferentes vazões a 5 km do ponto de lançamento em t = 6 horas...93 Fgura 4.39 omportamento do rsco e da garanta do Ro Wndy para dferentes concentrações a 0 km do ponto de lançamento em t = 6 horas....94 Fgura 4.40 omportamento do rsco do Ro Sabne para dferentes concentrações a 0 km do ponto de lançamento em t = 0 horas...95

LISTA DE SÍMBOLOS A - Área de seção transversal - [L 2 ] a(h) - Nível de pertnênca h para a representação de um número fuzzy A ~ - Representação fuzzy para a área transversal [L 2 ] b(h) - Nível de pertnênca h para uma representação fuzzy c - oncentração de uma substânca em um campo turbulento - [M/L 3 ] c - Méda temporal da concentração em um campo turbulento - [M/L 3 ] c - Flutuação da concentração em um campo turbulento - [M/L 3 ] (x,y,z,t) - Representação matemátca de um campo de concentração -[M/L 3 ] - oncentração de uma substânca poluente - [M/L 3 ] c(h) - Nível de pertnênca h para uma representação fuzzy ~ - Representação fuzzy para a concentração da substânca poluente - [M/L 3 ] dt - Dferencal em relação ao tempo - [T] dx - Dferencal em relação ao exo dos x - [L] dy - Dferencal em relação ao exo dos y - [L] dz - Dferencal em relação ao exo dos z - [L] D - oefcente de dfusão molecular - [L 2 /T] E - oefcente de dspersão longtudnal - [L 2 /T] E ~ - Representação fuzzy para o coefcente de dspersão longtudnal - [L 2 /T] E x - omponente do coefcente da dfusão turbulenta na dreção x - [L 2 /T] E y - omponente do coefcente da dfusão turbulenta na dreção y - [L 2 /T] E z - omponente do coefcente da dfusão turbulenta na dreção z - [L 2 /T] K - oefcente de Decamento para uma substânca poluente - [T - ]

K ~ - Representação fuzzy para o decamento da substanca poluente - [T - ] L - oncentração de demanda boquímca de oxgêno - [M/L 3 ] L ~ - Representação fuzzy para a concentração de DBO - [M/L 3 ] L() - Fonte ou sumdouro de um lançamento de substânca poluente em um ro - [M/L 3 ] M Massa - [M] M ~ - Representação fuzzy para a margem de segurança em um sstema hídrco - [M] n - oefcente de rugosdade de Mannng para ros naturas n l, n u - Valores do domíno com menor nível de pertnênca para o coefcente de rugosdade n m - Valor do domíno com maor nível de pertnênca para o coefcente de rugosdade n ~ - Representação fuzzy para o coefcente de rugosdade do Mannng R e - Função de onfabldade para um sstema qualquer R f - Função Rsco de falha para um sstema qualquer Q Vazão - [L 3 /T] Q 0 - ondção ncal para a vazão em um canal - [L 3 /T] ~ Q 0 - Representação fuzzy da vazão para a condção ncal - [L 3 /T] Q ~ - Função de pertnênca para a vazão - [L 3 /T] q - Vazão lateral por undade de largura - [L 3 /T/L] q ~ - Representação fuzzy para o nfluxo lateral - [L 3 /T/L] q - Fluxo de massa por undade de área - [M/T/L 2 ] S D - Lançamento dfuso de uma substânca poluente [M/L 3 ]

S m - Valor do domíno com maor nível de pertnênca para a declvdade de fundo [L/L] S ~ D - Representação fuzzy para o lançamento dfuso de concentração - [M/L 3 ] S 0 - Declvdade do fundo do canal [L/L] S 0x - Declvdade do fundo do canal na dreção longtudnal [L/L] S 0y - Declvdade do fundo do canal na dreção transversal [L/L] ~ S 0 - Representação fuzzy para a declvdade de fundo [L/L] t Tempo - [T] T Temperatura - [ 0 K] T(x,y,z,t) - Representação matemátca de um campo de temperatura - [ 0 K] u - omponente da velocdade na dreção x - [L/T] u ~ - Representação fuzzy da velocdade longtudnal - [L/T] u - Méda temporal da componente do campo turbulento na dreção x - [L/T] u - Flutuação da componente do campo turbulento na dreção x - [L/T] U - Velocdade méda do escoamento na dreção longtudnal - [L/T] v - omponente da velocdade na dreção y - [L/T] v - Méda temporal da componente do campo turbulento na dreção y - [L/T] v - Flutuação da componente do campo turbulento na dreção y V - Vetor Velocdade de um fludo - [L/T] V (x,y,z,t) - Representação matemátca de um campo de velocdade - [L/T] - Volume de ontrole - [L 3 ] w - omponente da velocdade na dreção z - [L/T] w - Méda temporal da componente do campo turbulento na dreção z - [L/T] w - Flutuação da componente do campo turbulento na dreção z - [L/T] x - Dstânca longtudnal ao longo do canal - [L/T]

y - Profunddade de canal - [L] - Dervada parcal em relação a t - [T - ] t x y - Dervação parcal em relação a x - [L - ] - Dervada parcal em relação a y - [L - ] - Dervada parcal com relação à z - [L - ] z - Operador Dferencal Vetoral - [L - ] t - Incremento no tempo para a solução numérca - [T] x - Incremento em no espaço para a solução numérca - [L] ~ µ - Representação de uma função de pertnênca x

SUMÁRIO. INTRODUÇÃO...7. Obetvos da Pesqusa...9.2 Organzação do Trabalho...20 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFIA...2 2. Instrumentos de Gestão de Recursos Hídrcos...2 2.. Outorga de dreto do uso da água...22 2..2 Outorga para Lançamentos de Efluentes...24 2.2 Transporte de massa...27 2.2. Le de Fck...29 2.2.2 Prncípo de onservação das Massas...30 2.2.3. Equação da dfusão advectva...3 2.3 Teora Fuzzy...37 2.3. oncetos...37 2.3.2 onuntos Fuzzy...39 2.3.3 Operações om onuntos Fuzzy...45 2.3.4 Números Fuzzy...47 2.3.5 Rscos e ncertezas...50 2.3.6 Rsco e onfabldade Fuzzy...52 3. METODOLOGIA...54 3.. Formulação do Modelo Matemátco...54 3.2 Rsco e onfabldade Fuzzy...56 3.3 Esquema Numérco para a Solução do Modelo de Transporte...58 3.4 Programa omputaconal...62 3.5 Aplcação do modelo a Ros Amercanos...64 4. RESULTADOS...66 5. ONLUSÕES E REOMENDAÇÕES...97 6. REFERÊNIAS BIBLIOGRÁFIAS...00

7. INTRODUÇÃO A crescente polução dos corpos hídrcos é um problema mundal e o seu controle representa um desafo para os gestores de recursos dos recursos hídrcos, não só no Brasl, mas também no mundo. Este problema é mas ntenso nos grandes centros urbanos, onde há uma maor demanda por água potável e os lançamentos de poluentes são mas frequentes e concentrados (NAHON, 2006). Para dscplnar os usos dos corpos aquátcos, nclusve no que dz respeto à assmlação de efluentes, surgram les especfcamente para recursos hídrcos, pos embora á houvesse legslações ambentas que contemplassem essa área, as meddas tomadas eram nsufcentes para evtar a polução dos corpos aquátcos e assegurar dsponbldade hídrca para os usuáros, com padrões de qualdade para seus respectvos usos. Neste contexto, a Polítca Naconal de Recursos Hídrcos, nsttuída no Brasl pela Le Federal 9.433, de 08 de anero de 997, é uma mportante ferramenta legal para o gerencamento da água, pela qual é sugerda a utlzação de modelos matemátcos e computaconas no suporte à decsão entre alternatvas de gestão ou de uso dos recursos hídrcos. Um dos prncpas nstrumentos de gestão para redução e controle da polução desses recursos é a outorga para lançamentos de efluentes que, apesar de estar legalmente nsttuída, anda não fo devdamente mplantada em nível naconal. Para sso, é necessáro defnr crtéros de outorga, organzar e manter uma base de dados de qualdade da água e desenvolver ferramentas adequadas para análse ntegrada dos aspectos de quantdade e qualdade da água. omo todo sstema natural, os sstemas hídrcos são complexos e seu entendmento envolve a nteração entre dversos ramos da cênca, tas como hdrologa, hdráulca e transporte de massa. Deste modo, a modelagem de um processo físco, presente em um sstema hídrco qualquer não se consttu uma tarefa smples. Outro aspecto que deve ser levado em conta nesta modelagem são as ncertezas presentes. Estas estão relaconadas com os dados, com as medções dos parâmetros, com os métodos de análses e até mesmo com as aproxmações das soluções. Desta forma, a análse de ncertezas tem um papel fundamental na gestão

8 de recursos hídrcos bem como a técnca aproprada para ldar com o problema consttu-se nos fundamentos da análse de rsco. Dentre as mportantes teoras dsponíves para se quantfcar rscos podem-se destacar a teora probablístca e a teora fuzzy. A prmera, que é bem conhecda no meo centfco, é a que trata da aplcação da teora das probabldades nos modelos determnístcos. Esta metodologa, bem desenvolvda nos das presentes, necessta para um completo sucesso de sua aplcação, um banco de dados consstente. om sso, em regões em que não há uma tradção em bancos de dados hstórcos, o sucesso desta metodologa fca comprometdo. Outra metodologa que está começando a ser usada nos estudos das ncertezas e na análse de rsco em recursos hídrcos é a teora fuzzy. Esta teora, desenvolvda nos anos 60, vem se tornando uma ferramenta útl para a análse desta classe de problema, por não depender de um banco de dados tão completo. A grande dfculdade, com relação à aplcação da teora fuzzy nos problemas ambentas resde no fato de que as equações dferencas que governam os processos de transporte da massa de poluentes precsam ser fuzzfcadas. Isto quer dzer, em outras palavras, que essas equações dferencas têm que ser transformadas em novas equações dferencas com característcas fuzzy. Evdentemente que esta transformação anda se encontra em fase de desenvolvmento em sua estrutura matemátca. Este trabalho desenvolveu uma metodologa que combnou a teora fuzzy com os processos de transporte de poluentes e a legslação braslera, para estudar o rsco fuzzy de contamnação de ros naturas, na concessão de outorga para lançamentos de efluentes. O estudo prevê o desenvolvmento de um programa computaconal que permta a solução numérca da equação dferencal fuzzy de transporte de massa e, assm, permta que se desenvolvam algumas smulações para os mas dversos cenáros de lançamentos.

9. Obetvos da Pesqusa Geral Desenvolver estudos, com base na teora fuzzy, combnado com a teora de transporte de massa e a legslação braslera, para estudar o rsco fuzzy de contamnação de ros naturas, na concessão de outorga para lançamentos de efluentes. Específcos Desenvolvmento de um modelo que permta a combnação da teora de transporte de poluentes e da teora fuzzy para estudar funções de pertnêncas em sstemas de ros naturas, suetos a lançamentos de efluentes; Aplcação deste modelo matemátco para o cálculo do rsco fuzzy destes sstemas hídrcos, quando suetos a lançamentos de efluentes; Desenvolvmento de um programa computaconal que permta a realzação de smulações para város cenáros propostos; Analsar a teora proposta para alguns ros e verfcar a efcênca da metodologa proposta;

20.2 Organzação do Trabalho Este documento fo organzado em ses capítulos: apítulo - Descreve a ntrodução do trabalho, seus obetvos e mostra como o mesmo fo organzado. apítulo 2 - Apresenta a fundamentação teórca do trabalho, onde são encontrados os prncípos da modelagem de qualdade de água e seus avanços nas dversas aplcações da engenhara ambental. Também está descrto neste capítulo a teora do transporte de massa, a teora fuzzy e a teora de análse de rsco que são usadas para quantfcar os rscos de mpactos ambentas, após o lançamento de uma carga poluente. apítulo 3 Mostra a metodologa onde se encontram as fases a serem segudas no desenvolvmento do programa computaconal, em lnguagem Fortran, para soluconar o conunto de equações dferencas exstentes nas dversas etapas da pesqusa. Neste capítulo foram apresentados os passos necessáros à quantfcação do rsco, bem como os dversos cenáros de aplcação deste modelo. apítulo 4 - Apresenta uma análse dos resultados obtdos para as mas dversas smulações, apresentando dscussões para os dferentes cenáros de smulações, mostrando alguns campos de concentração e termnando nas questões pertnentes à análse de rsco. apítulo 5 - Apresenta as conclusões desta pesqusa e faz algumas recomendações sobre estudos futuros. apítulo 6 - Apresenta a bblografa dos prncpas trabalhos consultados para a realzação desta pesqusa.

2 2. REVISÃO BIBLIOGRÁFIA 2. Instrumentos de Gestão de Recursos Hídrcos A Polítca Naconal de Recursos Hídrcos (PNRH), nsttuída pela Le Federal 9.433, de 8 de anero de 997, tem em um de seus obetvos assegurar à atual e às futuras gerações a necessára dsponbldade de água, em padrões de qualdade adequados aos respectvos usos. Esta le, em seu art.5º, defnu teorcamente ses nstrumentos envolvdos na gestão dos recursos hídrcos com a fnaldade de promover a oferta de água em qualdade e quantdade aos usuáros, assm como assegurar este acesso às futuras gerações. Os nstrumentos são os meos através dos quas serão atngdos os obetvos da PNRH. Assm, é necessáro que haa cautela por parte dos gestores de recursos hídrcos no ntuto de que sea evtada a supervalorzação de qualquer dos nstrumentos em detrmento dos demas (BEZERRA, 2008). São os seguntes os nstrumentos da Polítca Naconal de Recursos Hídrcos, prevstos no art. 5 da Le 9.433/97: os planos de recursos hídrcos; o enquadramento dos corpos de água em classes, segundo os usos preponderantes da água; a outorga e a cobrança pelo uso da água; e o Sstema Naconal de Informações sobre Recursos Hídrcos. Os Planos de Recursos Hídrcos vsam orentar e vablzar a mplementação da Polítca Naconal de Recursos Hídrcos e o gerencamento dos recursos hídrcos. Este plano artcula, compatblza, orenta e estabelece lmtes aos dversos planos setoras de usos dos recursos hídrcos, tendo em vsta a raconalzação da apropração deste recurso e o equaconamento dos potencas confltos de uso, ntersetoras, e dos setores usuáros com o ambente (LANNA, 999). São elaborados por baca hdrográfca, por estado e para o país; são planos de longo prazo, com horzonte de planeamento compatível com o período de mplantação de seus programas e proetos. O enquadramento dos corpos de água em classes, segundo os usos preponderantes vsa assegurar às águas qualdade compatíves com os usos mas exgentes a que foram destnadas e dmnur os custos de combate à polução das águas, medante ações preventvas permanentes (MELO, 2006).

22 omo observa Kelman (997), o enquadramento dos corpos d água em classes de uso permte fazer a lgação entre a gestão de quantdade da água e a gestão de qualdade da água. A classfcação das águas é o reconhecmento da dferença e multplcdade de usos desse recurso. Os usos pretenddos serão dscutdos e apontados nos planos de recursos hídrcos (MAHADO et al., 2003). O enquadramento é defndo pela resolução do ONAMA 357/2005 e tem como prncípo norteador o estabelecmento de meta de qualdade de água a ser alcançada ou mantda em um segmento de um corpo hídrco, de acordo com seus usos preponderantes pretenddos, ao longo do tempo. De acordo com Rodrgues (2005), a outorga de dreto de uso de recursos hídrcos tem como obetvos assegurar o controle quanttatvo e qualtatvo dos usos da água e o efetvo exercíco dos dretos de acesso à água, assocado a uma garanta. A cobrança está condconada aos usos suetos à outorga e obetva reconhecer a água como um bem econômco, ncentvar a raconalzação do uso da água e obter recursos fnanceros para atendmento das metas estabelecdas nos Planos de Recursos Hídrcos. De acordo com Porto (2002), a le federal prevê a cobrança pelo uso da água levando em conta o volume utlzado, quer para lançamentos, quer para captações. Fnalmente, o Sstema de Informações de Recursos Hídrcos tem como obetvo coletar, tratar e armazenar nformações sobre recursos hídrcos. Funcona como uma base dnâmca de nformações para o sstema de gestão de recursos hídrcos. 2.. Outorga de dreto do uso da água onforme menconado anterormente, a Le n.º 9.433/97 estabeleceu como um de seus nstrumentos (Art. 5º, III) a outorga de dreto de uso dos recursos hídrcos, que consttu o elemento central de controle dos recursos hídrcos e ndutor do ordenamento dos usos. A ANA Agênca Naconal de Águas defne outorga como o ato admnstratvo medante o qual o poder públco outorgante (Unão, Estado ou Dstrto

23 Federal) faculta ao outorgado (requerente) o dreto de uso de recurso hídrco, por prazo determnado, nos termos e nas condções expressas no respectvo ato admnstratvo (ANA, 20). A outorga, consderada um nstrumento de comando e controle, está condconada às prordades de uso estabelecdas nos planos de bacas e deve respetar a classe em que o corpo de água estver enquadrado e a manutenção das condções adequadas ao transporte aquaváro, quando couber (art.3, da Le nº 9.433/97). De acordo com Lanna (2000), a função da outorga será ratear a água dsponível entre as demandas exstentes ou potencas de modo que os melhores resultados seam gerados para a socedade. Deste modo, conforme o art.2, da Le nº 9.433/97 os usos da água suetos à outorga pelo Poder Públco são: Dervação ou captação de parcela da água exstente em um corpo de água para consumo fnal, nclusve abastecmento públco, ou nsumo de processo produtvo; Extração de água de aquífero subterrâneo para consumo fnal ou nsumo de processo produtvo; Lançamentos em corpo de água de esgotos e demas resíduos líqudos ou gasosos, tratados ou não, com o fm de sua dlução, transporte ou dsposção fnal; Aprovetamento dos potencas hdrelétrcos; Outros usos que alterem o regme, a quantdade ou a qualdade da água exstente em um corpo de água. Por outro lado, de acordo com o parágrafo º, art. 2, da referda le, ndependem de outorga: o uso de recursos hídrcos para a satsfação das necessdades de pequenos núcleos populaconas, dstrbuídos no meo rural e as dervações, captações, lançamentos e as acumulações de volumes de água consderados nsgnfcantes. Os crtéros específcos de vazões e acumulações de volumes de água consderadas nsgnfcantes devem ser estabelecdos nos planos de recursos

24 hídrcos, devdamente aprovados pelos respectvos comtês de baca hdrográfca ou, na nexstênca destes, pelo órgão outorgante competente. De forma geral, a outorga é concedda após avalações quanto à compatbldade entre demandas e a dsponbldade hídrca do corpo de água, assm como pelas fnaldades do uso e os mpactos causados nos recursos hídrcos. Nos ros do domíno da Unão, a Agênca Naconal de Águas (ANA), detém a competênca legal para conceder a outorga de dreto de uso aos usuáros. Nos ros do domíno dos Estados, os órgãos gestores de recursos hídrcos estaduas são competentes para outorgar o uso de suas águas. 2..2 Outorga para Lançamentos de Efluentes A Resolução do ONAMA n 357, de 7 de março de 2005, representa um grande avanço na área de gestão de recursos hídrcos, á que a mesma consegue promover no plano legal a conclação dos nstrumentos de gestão, prncpalmente, no que dz respeto ao enquadramento, a metas, a obetvos e ao lançamento de efluentes. Esta resolução estabelece os padrões de qualdade de água dos corpos receptores e de lançamentos de efluentes. Por meo desta resolução, as águas do terrtóro naconal são classfcadas em: doces, salobras e salnas e também em treze classes de qualdade. Um dos prncpas nstrumentos de gestão para redução e controle da polução desses recursos é a outorga para dlução de efluentes que, apesar de estar legalmente nsttuída, anda não está devdamente mplantada em nível naconal. Para sso, será necessáro defnr crtéros de outorga, organzar e manter uma base de dados de qualdade da água e desenvolver ferramentas adequadas para análse ntegrada dos aspectos de quantdade e qualdade da água. Essa é uma área anda pouco explorada cua dscussão e nvestgação devem ser ncentvadas (AZEVEDO et al., 2003). A outorga para assmlação de efluentes, conforme consta na Le Federal Nº 9.433/97, tem como base permtr que após a descarga de poluentes em um curso de água, depos de ocorrdos todos os processos de dspersão, a qualdade da água neste manancal permaneça satsfatóra, conforme seus obetvos de qualdade estabelecdos pela classe de uso (RUZ, 200).

25 Quando um usuáro lança um efluente num curso d água, na realdade, está se aproprando de certa vazão de água para dlur (ou transportar) os poluentes contdos nesse efluente. Obvamente, alguns poluentes não poderão ser lançados nos cursos d água, pos o própro enquadramento prevsto o proíbe. O valor dessa quantdade a ser aproprada é função de fatores tas como: Vazão de lançamento dos efluentes; oncentração de cada um dos poluentes presentes na vazão de lançamento; Vazão crítca do curso receptor (defnda pelo órgão gestor pertnente); oncentração exstente do poluente no curso d água; oncentração máxma permssível do poluente no curso d água, defndo pela classe adotada para o corpo hídrco; aracterístcas conservatvas ou não conservatvas do poluente. Para que os processos de outorga e cobrança pelo uso da água seam gerdos em quantdade e qualdade, exste a necessdade de se consderar de forma artculada o enquadramento em classes de uso preponderante, o regme de vazões e a capacdade de autodepuração do corpo hídrco, tudo sto dante do cenáro real da baca hdrográfca. Logo, exste a necessdade de se trabalhar com um modelo de qualdade da água que possblte a entrada de dados de qualdade e quantdade da água, assm como, exste, também, a necessdade de se trabalhar com um modelo de outorga e cobrança pelo uso da água (RODRIGUES, 2005). Dessa forma, para que a outorga para lançamento sea vável e também, de fato, contrbua para a gestão da qualdade da água, é precso que se estabeleça que a concentração lmte, correspondente à classe enquadramento, sea uma meta a ser alcançada dentro de algum tempo (SUDERSHA, 2002). om relação aos parâmetros que devem ser analsados na avalação da outorga para lançamento de efluentes, Porto (2002) apud Neves (2005) estabelece que devam ser consderados os poluentes que representem mpactos mas sgnfcatvos na baca, ou sea, aqueles que utlzam maor quantdade de água para o decamento ou a dlução.

26 Assm, de acordo com Neves, (2005), a avalação do pleto de outorga deve se concentrar nos poluentes de maor mpacto, enquanto que o lcencamento tem de se preocupar com todos os poluentes que mpactam os usos desgnados Do mesmo modo, cabe à outorga garantr a dsponbldade hídrca que o lcencamento supõe haver na baca para transportar os poluentes lançados (ROQUES, 2006). Segundo Johnsson et al., (2003), o parâmetro DBO, além de ser representatvo de esgotos doméstcos, é também um dos elementos mas presentes nos dferentes tpos de efluentes ndustras. Defne-se Demanda Boquímca de Oxgêno (DBO) como sendo a quantdade necessára de oxgêno para metabolzação da matéra orgânca bodegradável exstente no meo aquátco (HAPRA, 997). Embora o conceto de DBO não srva como únca medda para avalar o mpacto em um ro através do despeo de poluentes, possblta uma avalação bem sgnfcatva do estado da qualdade da água de um determnado meo, pos é uma medda dreta do potencal consumo de oxgêno dssolvdo (OD) neste meo. Von Sperlng (996) descreve que a matéra orgânca presente nos corpos de água é uma característca de prmordal mportânca, sendo a causadora do prncpal problema decorrente da polução das águas: o consumo de oxgêno dssolvdo pelos mcroorgansmos responsáves pela establzação da mesma. de orgem predomnantemente orgânca. O oxgêno dssolvdo na água é um dos ndcadores mas usados para avalar a qualdade do corpo hídrco. Para Braga et al. (2004), o conhecmento da DBO do esgoto como um todo, á é um ndcatvo sufcente para determnar o mpacto do despeo desse materal na concentração de oxgêno dssolvdo no corpo de água receptor. Os padrões de qualdade de água de corpos receptores e de lançamentos de efluentes são apresentados pela resolução ONAMA 357/2005. Os valores permssíves da classe no corpo receptor, enfatzando os parâmetros de DBO e OD, são destacados na Tabela 2..

27 Tabela 2.: Parâmetros DBO e OD permssíves segundo a Resolução ONAMA 357/2005. Doces Salnas Salobras Parâmetro Esp. 2 3 4 Esp. 2 3 Esp. 2 3 DBO (mg O 2 / L) OD (mg O 2 / L) - < 3 < 5 < 0 - - - - - - - - - - > 6 > 5 > 4 > 2 - > 6 > 5 > 4 - > 5 > 4 >3 2.2 Transporte de massa Segundo Fscher (979), a teora do transporte de poluentes tem como base fundamental a combnação da Le de Fck com a teora de conservação das massas. Através desta combnação é possível fazer uma análse do comportamento de uma massa poluente em um campo de escoamento mono, b ou trdmensonal, e também avalar os três processos pertnentes ao movmento da massa poluente no corpo hídrco: Dfusão molecular O transporte de uma espéce químca em um corpo hídrco, por meo de dfusão molecular, é resultado dos movmentos aleatóros de suas moléculas da regão de maor para a de menor concentração. Este processo é fnalzado quando uma condção de equlíbro é estabelecda, resultando na completa unformzação da concentração no meo (LOPES, 2009). Descreve o espalhamento da massa poluente causado, exclusvamente, pelo movmento molecular presente no sstema. Esta análse é feta através da clássca equação da dfusão, uma equação dferencal parcal de 2ª ordem. De acordo com Welty et al., (200), a dfusão molecular é o transporte de massa determnada pela Le de Fck que descreve o fluxo undmensonal de massa, onde a taxa de transporte na dreção X é dada por:

28 q = D x (2.) Onde: q 2 representa o fluxo de massa por undade de área [ MT L ]; 2 D representa o coefcente de dfusão molecular [ L T ]; 3 representa a concentração da amostra [ ML ] Advecção O segundo processo trata da teora advectva que corresponde ao espalhamento da massa poluente através do movmento do campo advectvo. Isto sgnfca dzer que é o campo de velocdade assocado ao fludo o responsável pelo espalhamento advectvo da massa. Dfusão Turbulenta A dfusão é defnda como turbulenta quando as grandezas que as caracterzam como, por exemplo, a velocdade, concentração e a pressão apresentam valores nstantâneos com o comportamento aleatóro em forma de pulsos (BIRD et al., 200). A dfusão turbulenta atua em escalas maores e ocorre pelo movmento aleatóro do fludo (HAPRA, 997). Neste caso, o espalhamento ocorre devdo à energa contda no campo turbulento. Esse processo é controlado pelo coefcente de dfusão turbulenta que depende dretamente da energa de turbulênca contda no campo de velocdade. Desta forma, quanto maor for a turbulênca, maor será este coefcente e, em consequênca, maor será o processo de espalhamento. A combnação destes três processos, menconados anterormente, numa análse do comportamento da concentração recebe o nome de dspersão. Ou sea, a dspersão de poluentes representa o efeto combnado da dfusão molecular, da dfusão advectva, e da dfusão turbulenta.

29 2.2. Le de Fck A le de Fck é uma analoga da le de Fourer para o processo de transferênca de calor. Segundo Fourer, o fluxo de calor que é transferdo de um ponto A(x a,y a,z a ) para um ponto B(x b,y b,z b ) é proporconal ao gradente de temperatura entre os pontos A e B. Matematcamente, esta le pode ser representada através da equação: T = K T (2.2) t Onde: T(x,y,z,t) representa o campo de Temperatura; K representa um coefcente de proporconaldade; representa o operador dferencal Nabla defndo por: = x y k z (2.3) Onde: x, y, z representam as coordenadas do espaço trdmensonal;,, k representam os vetores untáros nas dreções x, y, e z. Desta forma, a le de Fck para um processo de transferênca de massa é dada, consderando um processo advectvo, causado por um campo de velocdade, por: q = V ( D ) (2.4) Onde: q representa o vetor fluxo de massa por undade de área; (x,y,z,t) representa o campo de concentração da substânca ; V (x,y,z,t) representa o campo de velocdade do meo fludo; e D representa o coefcente de Dfusão Molecular.

30 O prmero termo do segundo membro da equação (2.4) representa o fluxo advectvo causado pelo campo de velocdade. Já o segundo, representa o fluxo dfusvo causado pelo movmento molecular da massa poluente. É mportante notar que a equação, que representa a le de Fck, afrma que o fluxo de massa que atravessa uma seção qualquer é proporconal ao gradente de concentração. Sendo assm, fca estabelecdo que exste um fluxo de massa na dreção da maor varação de concentração. onsequentemente, a equação acma descreve o espalhamento da matéra, no espaço e no tempo, sempre que houver varação ou gradente espacal de concentração. 2.2.2 Prncípo de onservação das Massas Para expressar o prncípo da conservação das massas em forma matemátca, consdere um volume de controle d com uma superfíce da. Admtndo que a massa em estudo é uma função f (x,y,z,t), a massa total contda no volume de controle é dada por: ( x, y, z, t) d (2.5) Se o fluxo de massa, por undade de área, é dado por q (x,y,z,t), o prncípo da conservação das massas estabelece (FISHER, 979): t V (2.6) ( x, y, z, t) d q( x, y, z, t) da = 0 S Onde da representa um vetor da área elementar, perpendcular à superfíce de controle. Aplcando o Teorema de Green, para dferencação de vetores, pode-se transformar a Equação (2.5) na forma dferencal da equação do balanço de massa: t ( q) d = V (2.7) 0

3 omo o volume de controle (Fgura 2.) é escolhdo arbtraramente, temse a forma dferencal da equação do balanço de massa: q = 0 t (2.8) y área untára q vvdy q q dx x dy dessssd dx x Fgura 2. Fluxo de massa em um volume de controle (Fscher, 979). 2.2.3. Equação da dfusão advectva ombnando a Equação (2.7) com a equação que descreve a le de Fck, descrta anterormente, tem-se a clássca equação da dfusão advectva, em três dmensões, defnda por: ( V) = ( D ) t (2.9) onsderando anda que, pelo prncípo da contnudade, para um volume fludo, V = 0, a Equação (2.9) pode ser smplfcada para: (2.0) V = D 2 t

32 Esta equação anda pode ser apresentada na forma: u v w t x y z 2 2 2 = D 2 2 2 x y z (2.) Onde u, v, w são as componentes do vetor que descreve o campo de velocdade V(x,y,z,t). A equação acma é conhecda com o nome de Equação da Dfusão Advectva, e é largamente aplcada em qualquer análse que procure avalar o comportamento de um campo de concentração (x, y, z, t), em um meo qualquer (HUNG et al., 993). Esta é uma equação dferencal parcal de segunda ordem e tem, como prncpal característca, o fato de ser uma equação lnear, o que faclta sua manpulação analítca. Efeto da turbulênca Na aplcação da Equação (2.), para os estudos da concentração, há certa dfculdade relaconada com a nstantanedade das funções transentes contdas nos processos de transporte. As prncpas funções que merecem destaque são a velocdade e a concentração. Essas grandezas, presentes na Equação (2.), representam seus valores nstantâneos, fato este que complca a análse generalzada do modelo, tendo em vsta a presença, no campo de velocdade, de um movmento turbulento. Este movmento, presente em todos os meos fludos, ncorpora componentes aleatóras na velocdade méda e torna este campo extremamente complexo para suas análses. Atualmente, mutos são os estudos que tentam apresentar uma formulação adequada para a modelagem dos movmentos turbulentos. onsderando os fortes aspectos estatístcos presentes nestes movmentos fludos, uma grande varedade de teoras estatístcas tem sdo apresentada e proposta. Entretanto, este campo de estudo, contnua aberto.

33 Segundo James (993), para se apresentar uma formulação mas adequada da Equação (2.), onde se ncorporam os aspectos turbulentos do escoamento, as funções velocdade e concentração podem ser formuladas: ' = u u ; u ' = v v ; v ' = w (2.2) w w c ' = c c (2.3) Onde: u, v, w, representam os valores nstantâneos do vetor velocdade nas dreções x, y, z; u, v, w, representam os valores médos, no tempo, das componentes do vetor velocdade; u, v, w representam os valores aleatóros das componentes da velocdade, causada pelo efeto turbulento em relação às suas velocdades médas; c representa o valor nstantâneo da concentração; c representa a méda temporal da concentração; c representa a componente aleatóra da concentração causada pelo efeto turbulento, em relação à concentração méda. As grandezas u, v, w, c são defndas como sendo a méda temporal das componentes das velocdades e da concentração. Suas formulações matemátcas têm a forma: f = T t T t fdt (2.4) Onde T é o tempo consderado para a medda da grandeza f.

34 olocando essas formulações na equação da contnudade e consderando o fato de que V = 0, encontra-se para a equação do transporte de massa: ' ' ' ' ' ' u v w = ( u c ) ( v c ) ( w c ) t x y z x y z (2.5) Os produtos do tpo u c representam a taxa de convecção de massa causada pelas flutuações turbulentas e, através da comparação com a le de Fck para dfusão molecular, esses produtos podem ser representados por uma expressão equvalente a um modelo dfusvo, só que, nestas condções, causados pela presença da energa turbulenta do escoamento. Assm: ' ' u c = E x x (2.6) ' ' v c = E y y (2.7) ' ' wc = Ez z (2.8) Onde, E x, E y, E z representam os coefcentes de dfusão turbulenta nas dreções x, y e z. A formulação fnal para avalar o campo de concentração que escoa em regme turbulento, omtndo-se as barras das funções médas, pode ser apresentada na forma:

35 u v w = t x y z ( E x x ) ( E x y y ) ( E y z z ) L( ) S z D (2.9) A Equação (2.9), que é conhecda como a equação geral da dfusão advectva, leva em consderação todos os processos combnados no transporte de massa. No níco do processo, predomna a dfusão molecular espalhando as moléculas do consttunte mesmo que o meo apresente velocdade méda nula. Fnalmente, a dfusão turbulenta e a advecção determnam a completa mstura do poluente. O termo S D representa uma fonte dstrbuída que contrbu ao longo do corpo hídrco. Neste caso, se W for à carga poluente por undade de comprmento e por undade de tempo, o fluxo de concentração dfusa sendo S D pode ser defndo como W / A. O termo L() representa uma fonte ou um sumdouro de massa no meo aquátco (Fgura 2.2). Área de recreação L() XL M W LT. Fgura 2.2 Lançamentos dfuso e pontual em um ro.

36 Normalmente, a função L() é consderada como sendo uma fonte postva, ou sea, uma fonte de lançamento de matéra no processo de avalação. Este é o caso, por exemplo, de um crescmento populaconal, em uma colôna de bactéra. Sua expressão matemátca tem a forma: L ( ) = K (2.20) Onde K representa a taxa de crescmento populaconal. No caso de L() representar um sumdouro, ou um decamento qualquer, que ocorre, normalmente, com substâncas não conservatvas, a formulação matemátca assume a forma: L( ) = K (2.2) Onde K, neste caso, representa a taxa de decamento de prmera ordem. Algumas consderações devem ser fetas quando se compara o coefcente de dfusão molecular D e os coefcentes de dfusão turbulenta, E x, E y, E z. Para se ter uma dea da ordem de grandeza desses dos coefcentes, basta notar o quanto se esperara para adoçar uma xícara de café, sem qualquer ntervenção humana, após o lançamento de uma pedra de açúcar na xícara. Neste caso, o processo de homogenezação da mstura se dá, exclusvamente, por dfusão molecular, razão pela qual o processo é muto demorado. Para que o processo sea acelerado provoca-se um movmento na mstura, ntroduzndo fetos turbulentos na mesma. Isto acelera, consderavelmente, o processo de homogenezação da mstura. Esta smples análse permte conclur que o coefcente de dfusão turbulenta possu uma ordem de grandeza bem maor do que o coefcente de dfusão molecular. Desta forma, a dspersão provocada em um campo de escoamento turbulento é bem mas rápda do que em um campo de escoamento lamnar, onde somente ocorre dspersão causada por dfusão advectva e dfusão molecular. Nos problemas hdroambentas, este fato permte conclur que em ros com velocdades altas e com um turblhonamento mas latente, o processo de

37 autodepuração é mas presente do que em ros com baxa velocdade, ou com águas calmas. omo pode ser observado, o processo da dspersão é consttuído de váras etapas, sendo cada uma delas dependente de parâmetros de natureza dversfcada. Parâmetros de natureza hdrológca, hdráulca, fatores determnantes do escoamento, têm nfluênca sgnfcatva na capacdade de dspersão de poluentes em um corpo d água. Tpos de lançamento, se pontual ou dfuso, se provenente de sstemas urbanos ou de setores ndustras, se provenente de áreas rrgadas, com alto teor de agrotóxcos também afetam o processo dspersvo. Dante do exposto percebe-se a complexdade da modelagem do transporte de poluentes em sstemas hídrcos. Entretanto, muto tem sdo feto na busca de se encontrar um melhor entendmento da equação geral da dspersão e suas aplcações no campo da Engenhara Hdroambental. 2.3 Teora Fuzzy 2.3. oncetos Segundo Saavedra (2003), a lógca convenconal trata as nformações de modo bnáro, classfcando-as como verdaderas ou falsas. Talvez a defnção desses dos estados da nformação, em alguns casos, sea sufcente, porém, mutas experêncas humanas necesstam de uma manpulação mas abrangente do que o smples tratamento de falso ou verdadero, sm ou não, certo ou errado. É neste contexto que a lógca fuzzy (dfusa) se torna uma ferramenta aproprada para tratar nformações vagas e ncertas, em geral descrtas em uma lnguagem natural (LIMA, 2002). Um fator emnente dessa teora é a sua capacdade de capturar concetos ntutvos, além de consderar aspectos pscológcos utlzados pelos seres humanos em seu racocíno usual, evtando que sua representação sea engessada por modelos tradconas (OLIVEIRA, 999). Fo em 965, pensando em atrbur sgnfcados a termos lnguístcos de cunho qualtatvo, subetvo, como perto, longe, alto, aproxmadamente, que o matemátco Loft Zadeh, ntroduzu o conceto de conuntos fuzzy (dfusos). Através de tas conuntos, sera possível armazenar dados não precsos em computadores,

38 gerar respostas baseadas em nformações vagas ou ambíguas, em processos análogos ao do racocíno humano. Nesta lógca, são utlzados modelos matemátcos para mapear varáves subetvas, como fro, agradável e quente, para valores concretos que podem ser manpulados matematcamente. A lógca fuzzy ou nebulosa é baseada no uso de aproxmações, ao contráro da exatdão, com que se está naturalmente acostumado a trabalhar. O prncípo fundamental da teora fuzzy, prncípo da dualdade, estabelece que dos eventos opostos possam coexstr, sto é, um elemento pode pertencer, com um certo grau, a um conunto e, em um outro grau, a um outro conunto. Nota-se sso em város casos na natureza e na vda cotdana, prncpalmente quando se tratam de concetos abstratos como beleza, conforto, etc... Por exemplo, uma pessoa pode achar que está calor, enquanto outra, no mesmo ambente, acha que está fro. Os conuntos fuzzy podem ser encarados como uma extensão da teora clássca dos conuntos (conuntos crsp), cuos valores varam no ntervalo entre 0 (zero) e (um). Ou sea, uma regra pode ter resultados 00% falsos e 00% verdaderos, ou um resultado entre esse ntervalo, por exemplo: 60% verdadero. No sstema lógco convenconal, chamado também de crsp, quando se desea classfcar uma casa de grande ou pequena, usa-se regras smplóras se ela tem até 00 m 2 é pequena. Se tem mas que 00 m 2, é grande. Mas e se ela tver 99 m 2? É pequena? Já na lógca fuzzy, não se pode tratar uma varável como tendo apenas um estado atual, mas sm com n estados, cada um com um grau de assocação. Por exemplo, não se afrma que uma casa é grande, mas sm que ela é 0,8 grande, 0,2 méda e 0,0 pequena. Isto faz com que seam defndos conuntos em que um dado valor pode ser enquadrado. om a lógca dfusa, a pergunta muda: não se trata mas de saber se uma pessoa é maor de dade, mas o quanto essa pessoa pertence ao conunto dos maores de dade. Assm, basta defnr a função matemátca que va descrever o conunto dfuso dos adultos e aplcar a dade atual do ndvíduo à equação para saber o quão adulto ele é. Mutas vezes, quando se defne um conunto, encontram-se dfculdades em classfcar elementos de sua frontera, pos esses podem segur algumas característcas do conunto, mas não exatamente todas. Se um veículo ultrapassa o lmte de velocdade de uma rodova, pode receber uma multa. Se o lmte é fxado,

39 por exemplo, em 70 km/h, então quem ultrapassá-lo por apenas um qulômetro horáro, 7 km/h, deve ser multado? Mesmo que haa uma margem de segurança, pela lógca arstotélca, o lmte (com ou sem margem) dvde os motorstas em dos conuntos: o dos nfratores e o dos respetadores da le. Mas quem ultrapassa o lmte por "pouco" deve ser consderado pertencente ao mesmo conunto que quem, por exemplo, fo pego a uma velocdade equvalente ao dobro do lmte? A Lógca Nebulosa permte que se resolvam alguns paradoxos tradconas da matemátca e da lógca arstotélca. omo as varáves podem assumr valores contínuos, as soluções para alguns paradoxos clásscos podem ser encontradas admtndo-se, para cada alternatva da solução, um valor fuzzfcado, ou sea, um grau de verdade, que não precsa, necessaramente, ser zero ou um (SANTOS, 2008). Bogard e Ducksten (2002) aplcaram os concetos da teora fuzzy, para gerencar o rsco de enchentes, em sstemas com alto grau de ncertezas. Neste caso, foram dentfcados quatro elementos fundamentas para modelar o problema: ) exposção do sstema, L; 2) a resstênca do sstema, ; 3) falha no sstema, L> e 4) conseqüênca da falha. Ao fnal do estudo, dentfcou-se a ação preferencal para evtar conseqüêncas ndeseáves tanto do ponto de vsta econômco, como ecológco. 2.3.2 onuntos Fuzzy Na teora tradconal dos conuntos, um conunto A pertencente a um unverso de dscurso X pode ser representado por uma função característca A( x), x X, sto é:, se x X A( x) = 0, se x X (2.22) A estrutura acma é aplcada para conuntos com lmtes bem defndos, pos para qualquer obeto que pertença ao unverso X é possível determnar com exatdão se o mesmo pertence ou não ao conunto A. Assm, segundo hagas

40 (2005), nos conuntos clásscos exste uma dstnção rígda entre os elementos que pertencem ou não a um conunto. O conceto fundamental dos conuntos fuzzy é suavzar esta restrção, pos esta teora possblta a exstênca de um grau de pertnênca para cada elemento de um determnado conunto. A pertnênca de um elemento em um determnado conunto ocorre de modo gradatvo. Segundo Zmmermann (99), nos casos extremos o grau de pertnênca é 0, caso ele não pertença ao conunto ou o grau de pertnênca é, caso em que o elemento pertença 00 % ao conunto. Desta forma, um conunto fuzzy surge a partr da expansão de um conunto tradconal, passando a ncorporar ncertezas (LIMA, 2002). De acordo com Ganouls et al., (994), o conceto central da teora dos números fuzzy basea-se na exstênca de uma função de pertnênca para representar numercamente o grau através do qual determnado elemento pertence a um conunto. Assm, conforme Zadeh (965), um conunto fuzzy é caracterzado por uma função de pertnênca que rá mapear os elementos de um determnado domíno para um número real pertencente ao ntervalo [0,]. Normalmente, uma função de pertnênca está na forma Ã: X [0,]. Assm sendo, qualquer função assm representada pode ser assocada a um conunto fuzzy, dependendo dos concetos e das propredades que se desea representar, consderando-se, anda, o contexto no qual o conunto está nserdo. Um conunto fuzzy é um conunto de pares ordenados onde o prmero elemento é x X e o segundo é a função de pertnênca µ à (x) que mapea x no ntervalo [0,]. Assm, a representação de um conunto fuzzy é matematcamente defnda por: {(, µ ( )) ; µ ( ) [ 0, à à ]} à = x x x X x (2.23) Onde: µ ( x ) é o grau de pertnênca de x no conunto à à Exstem város tpos de funções de pertnênca parametrzadas como, por exemplo: trangular, trapezodal, exponencal, gaussana. As funções mas utlzadas são as trapezodas e as trangulares.