Prof. Danillo Alves REVISÃO PROVA GLOBAL 1) ESTATÍSTICA; 2) TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO; 3) TRIÂNGULOS QUAISQUER. 4) Trigonometria na circunferência Frações e números decimais
Professor: DANILLO ALVES revisão prova global 1º trimestre ESTATÍSTICA MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL; Média; Mediana; Moda; MEDIDAS DE DISPERSÃO; Variância; Desvio Padrão. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO; Seno; Cosseno; tangente.; Lei dos senos; Lei dos cossenos; Mathimathica TRIGONOMETRIA NA CIRCUNFERÊNCIA A medida da circunferência em radiano Transformações de unidades Arcos côngruos Variação de sinal do seno, sinal do cosseno e sinal da tangente. Redução ao 1º quadrante As funções seno, cosseno e tangente Período das funções seno e cosseno Problemas com funções trigonométricas
Unidades para medir arcos de circunferência (ou ângulos) Grau: é a unidade usada Radiano: um arco de um quando dividimos uma radiano (1 rad) é aquele cujo circunferência em 360 comprimento é igual ao raio partes congruentes. Cada da circunferência. parte é um arco de um grau (1º). arco de 90º arco de 180º ou arco de rad ou arco de rad 2 Importante: 180º rad arco de 360º ou arco de 2 rad 3
Arcos côngruos (ou congruentes) Dois arcos são côngruos (ou congruentes) quando suas medidas diferem de um múltiplo de 2 rad ou 360º Exemplos: 4
Redução ao 1 quadrante
Seno, cosseno e tangente na circunferência trigonométrica A função sen a está associada ao eixo y Relações importantes: A função cos a está associada ao eixo x 2 2 sen α cos α 1 tg α sen α cos α A função tg a está associada a uma reta t paralela ao eixo y 6
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Valores importantes de sen x, cos x e tg x Graus Radiano Não definido Não definido
Sinais
Importante
1- Determine o menor ângulo formado pelos ponteiros de um relógio quando está assinalado 1h 40 min. 2- Se um ponteiro menor de um relógio percorre um arco de π/12 rad, o ponteiro maior percorre um arco de? a) π/ 6 rad. b) π/ 4 rad. c) π/ 3 rad. d) π rad.
3- Em uma circunferência de raio 6 cm, um ângulo central de medida 15 determina um arco cujo comprimento, em centímetros, é aproximadamente: a) 1, 75. b) 1, 68. c) 1, 57. d) 1, 05.
4- Sobre duas circunferências concêntricas de raios r1 e r2, com r1>r2, e centro O, foram traçados os segmentos OC e OD, com C e D pertencentes à circunferência de raio r1, de maneira que o ângulo formado entre OC e OD fosse igual a 2π/3 rad. Sobre os segmentos OC e OD foram marcados os pontos A e B, respectivamente, de modo que A e B pertencessem à circunferência de raio r2. Sabendo que a distância entre A e C é igual a 3cm, resolva o que se pede. a) Sabendo também que o comprimento do menor arco AB é igual a 25,12 cm, determine a medida de r1 e r2. b) Qual é o comprimento do menor arco CD?
5- A professora de educação física pediu a certa turma que por votação escolhesse um esporte entre vôlei, basquete e futebol para praticar nas aulas da semana seguinte. O segmento AB que representa o diâmetro do gráfico de setores, mede 12 cm e o comprimento do menor arco AC é 3π/2 cm. Sabendo que o esporte basquete recebeu 4 votos responda; a) Qual foi o esporte mais votado? Quantos alunos optaram por esse esporte? b) Quantos alunos votaram em futebol? c)quantos alunos participaram da votação?
Desafio 1. O comprimento de uma curva No projeto de uma estrada, um engenheiro prevê que uma curva terá o formato de um arco de circunferência de raio 500 m. Desde o ponto A, início da curva, até o ponto B, final da curva, a estrada muda sua direção em 30º. Qual o comprimento que terá a curva calculada pelo engenheiro? Use π = 3,14.
Desafio 2 Duas rodas dentadas, a maior com sessenta dentes e a menor com vinte dentes, estão engrenadas entre si. Enquanto a maior gira 32π rad, quantas voltas dá a menor?
Desafio 3. A saliência que se enrola ao longo do corpo de um parafuso, na formação da rosca, é chamada de filete. A figura 1, abaixo, mostra um parafuso de corpo cilíndrico e rosca triangular; a figura 2 mostra um corte longitudinal do parafuso; que é um perfil plano que contém o eixo do parafuso; e a figura 3 mostra uma parte do corte longitudinal em uma escala maior. Como pode ser visto na figura 3, em qualquer corte longitudinal, os pontos que estão à maior distância do corpo cilíndrico do parafuso são chamados de cristas da rosca; a distância h entre uma crista e o corpo cilíndrico do parafuso é a altura do filete; a distância p entre duas cristas consecutivas é chamada de passo da rosca; e o ângulo de medida α é chamado de ângulo do perfil da rosca.
Continuação... OBS: QUESTÕES 5 e 6 DO LIVRO P. 48
11- Resolva as expressões trigonométricas: sen870º tg135º cos 420º 13 sen tg 6 cos( ) 9 4 12- Sabendo que tg x= 3/4 e π< x <3 π/2, determine o valor de: cos x sen x.
15- Ache o perímetro de um triângulo que possui lados de 5 cm e 7 cm, entre os quais se forma um ângulo α (0 < α < 90 ) cujo seno vale 3 5. OBS: QUESTÕES 3, 4, 5, 7 e 8 DO LIVRO P. 54.
15- Ache o perímetro de um triângulo que possui lados de 5 cm e 7 cm, entre os quais se forma um ângulo α (0 < α < 90 ) cujo seno vale 3 5. OBS: QUESTÕES 3, 4, 5, 7 e 8 DO LIVRO P. 54.
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Motivação... Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram que a população P de animais, de certa espécie presente na reserva, variava, durante o ano, segundo a fórmula onde t é o tempo medido em meses e t=1 corresponde ao mês de janeiro. Qual seria a população de animais dessa espécie na reserva no mês de novembro?
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Ao analisarmos a situação-problema, percebemos que a população depende do tempo,ou seja, está em função do tempo. Dessa forma, a resolução do problema se dá pela substituição de t (tempo), por um determinado valor, no caso t=11, uma vez que, necessitamos saber a população no mês de novembro e, como foi colocado em janeiro t=1, daí t=11 ser novembro.
Trigonometria do Ciclo Trigonométrico, 2º Ano Portanto: Ao substituirmos t=11, nos deparamos com outra situação: Como encontramos o cosseno de um ângulo cujo valor é maior que 360?
Função seno Obs: Valor Máximo 1 Valor Mínimo -1 Período 2π
Função cosseno Obs: Valor Máximo 1 Valor Mínimo -1 Período 2π
Função Tangente Obs: Não é limitada Período π
Exercícios 1- A profundidade da água de um porto pode ser modelada por uma função trigonométrica, devido às oscilações das marés oceânicas. Em um porto da costa brasileira, a profundidade da água é dada pela fórmula, onde D é a profundidade da água em metros e t é a medida em horas, após a primeira maré alta do dia. Um comandante deve decidir o horário de atracar seu navio nesse porto, optando entre atracar 7 ou 11 horas, após a primeira maré do dia. Em qual desses dois horários ele teria a maior profundidade da água?
2- A quantidade de energia consumida por uma cidade varia com as horas do dia, e os técnicos da companhia de energia conseguiram aproximar essa necessidade de energia pela função: Em que t é a hora do dia e P a quantidade de energia, em MW. a) Em qual horário se consome mais energia nessa cidade, às 6h00 ou às 15h00? b) Determine a quantidade de energia, em MW, consumida pela cidade ao meio dia.
3- Considere que as fases da lua sejam regidas aproximadamente pela função: onde f corresponde à fração da superfície lunar visível iluminada no "d-ésimo" dia de uma observação. Assinale e julgue as afirmativas seguintes, em relação à função dada. (1) No dia imediatamente anterior ao do início da observação a lua apresenta 50% de sua face visível iluminada. (2) No sétimo dia de observação teremos "lua cheia". (3) No 49 dia da observação teremos "lua nova".
4- Os biólogos de uma reserva ecológica descobriram que a população P de animais, de certa espécie presente na reserva, variava, durante o ano, segundo a fórmula: onde t é o tempo medido em meses e t=1 corresponde ao mês de janeiro. Qual seria a população de animais dessa espécie na reserva no mês de novembro?
5- Em um determinado ciclo predador presa, a população P de um predador no instante t (em meses) tem como modelo e a população p de sua fonte básica de alimento (sua presa) admite o modelo O gráfico a seguir representa ambos os modelos no mesmo sistema de eixos cartesianos: Em relação ao ciclo predador-presa acima, assinale a afirmativa incorreta. a) Os modelos P e p têm o mesmo período de 24 meses. b) A maior população de predadores, nesse ciclo, é 13.000. c) Em t = 48 meses, a população de predadores é igual à de presas. d) A média aritmética entre os valores da menor população de presas e a menor de predadores, nesse ciclo, é 8.500. e) No início do ciclo predador-presa (t = 0), existem 10.000 predadores e 20.000 presas.