Geometria Analítica Estudo do Plano Prof Marcelo Maraschin de Souza
Plano Equação Geral do Plano Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = a, b, c, n 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano.
Plano Como n π, n é ortogonal a todo vetor em π. Então um ponto P(x,y,z) pertence a π se, e somente se, o vetor AP é ortogonal ao vetor n, isto é, ou Ou, ainda n P A = 0 (a, b, c) x x 1, y y 1, z z 1 = 0 ax + by + cz ax 1 by 1 cz 1 = 0 Segue a equação geral do plano ax + by + cz + d = 0
Plano
Equação Segmentária do Plano Se um plano π intercepta os eixos coordenados nos pontos (p,0,0), (0,q,0) e(0,0,r) com p,q,r 0, então π admite a equação x p + y q + z r = 1 Denominada a equação segmentária do plano. Para o exercício anterior a equação segmentária da reta é x 2 + y 3 + z 6 = 1
Exercícios Obs: o plano mediador de AB é o plano perpendicular a AB e que contém o seu ponto médio.
Plano Vimos que um plano é determinado por um de seus pontos e por um vetor normal a ele. Existem outras formas de determinação de um plano nas quais estes dois elementos ficam evidentes, mas não explícitos. Vamos aos exemplos.
Exercícios
Exercícios
Planos Paralelos aos Planos Coordenados Se duas das componentes do vetor normal n = (a, b, c) são nulas, n é colinear a um dos vetores i = (1,0,0) ou j = (0,1,0) ou k = (0,0,1), e, portanto, o plano π é paralelo ao plano dos outros dois vetores. Caso 1: se a=b=0, n = 0,0, c = c(0,0,1)=ck, ou seja, o vetor normal n é paralelo a k, assim o plano π é paralelo ao plano xoy. Ainda, a equação geral do plano π é dada por: cz + d = 0
Planos Paralelos aos Planos Coordenados Neste caso, n = 0,0,1 e um ponto pertencente ao plano A(x,y,4), assim 0. x + 0. y + 1.4 + d = 0 d = 4 Portanto, z 4 = 0 ou z = 4 é a eq. do plano π
Planos Paralelos aos Planos Coordenados Caso 2: se a=c=0, n = 0, b, 0 = b(0,1,0)=b j, ou seja, o vetor normal n é paralelo a j, assim o plano π é paralelo ao plano xoz. Ainda, a equação geral do plano π é dada por: by + d = 0 Caso 3: se b=c=0, n = a, 0,0 = a(1,0,0)=a i, ou seja, o vetor normal n é paralelo a i, assim o plano π é paralelo ao plano yoz. Ainda, a equação geral do plano π é dada por: ax + d = 0
Planos Paralelos aos Planos Coordenados Considere o ponto A(2,3,4) e as seguintes equações dos planos: π 1 : x = 2 π 2 : y = 3 π 3 : z = 4
Planos Paralelos aos Planos Coordenados Observe que, os planos cartesianos são casos particulares, onde π 1 : x = 0 (plano yoz) π 2 : y = 0 (plano xoz) π 3 : z = 0 (plano xoy)
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Tome como exemplo o plano 3x+4y+2z-12=0 Caso 1: se a=0, a equação seria 4y+2z-12=0 e representa um plano paralelo ao eixo x. Observe que nenhum ponto do tipo (x,0,0) satisfaz a equação.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Caso 1: se ainda tivéssemos d=0, a equação resultante 4y+2z=0 representa um plano que passa pela origem e portanto contém o eixo x, neste caso qualquer ponto do tipo (x,0,0) satisfaz a equação.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Caso 2: se b=0, a equação seria 3x+2z-12=0 e representa um plano paralelo ao eixo y.
Planos Paralelos aos Eixos Coordenados Caso 3: se c=0, a equação seria 3x+4y-12=0 e representa um plano paralelo ao eixo z.
Planos Se d=0, então o plano sempre irá passar pela origem. Por exemplo, 3x+4y+2z=0
Exercício
Exercício
Exercício
Equação Vetorial do Plano Seja A(x 0, y 0, z 0 ) um ponto pertencente a um plano π e u = (a 1, b 1, c 1 ) e v = (a 2, b 2, c 2 ) dois vetores paralelos a π, porém u e v não paralelos.
Equação Vetorial do Plano Para todo ponto P do plano, os vetores AP, u e v são coplanares. Um ponto P(x,y,z) pertence a π se, e somente se, existem números reais h e t tais que ou P A = hu + t v x, y, z = x 0, y 0, z 0 + h a 1, b 1, c 1 + t(a 2, b 2, c 2 ) Esta equação é denominada equação vetorial do plano.
Equações Paramétricas do Plano Da equação vetorial do plano, obtemos as equações paramétricas do plano, x = x 0 + a 1 h + a 2 t y = y 0 + b 1 h + b 2 t z = z 0 + c 1 h + c 2 t
Exercícios
Exercícios
Equação Vetorial de um Paralelogramo Dados os pontos A,B e C não em linha reta, os vetores AB e AC determinam um paralelogramo cuja equação vetorial é dada por P = A + h AB + t(ac) com h, t [0,1], Onde P representa um ponto qualquer deste paralelogramo.
Equação Vetorial de um Paralelogramo
Ângulos de Dois Planos Sejam os planos π 1 e π 2 com vetores normais n 1 e n 2, respectivamente.
Ângulos de Dois Planos Chama-se ângulo de dois planos o menor ângulo que um vetor normal a π 1 forma com um vetor normal π 2. Sendo θ este ângulo, temos com 0 θ π/2 cos θ = n 1 n 2 n 1 n 2,
Exemplo: Ângulos de Dois Planos
Paralelismo de dois Planos Sejam os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Então, n 1 π 1 e n 2 π 2. Logo, para dois planos serem paralelos, basta que seus vetores normais sejam paralelos, π 1 π 2 n 1 n 2 a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2
Paralelismo de dois Planos
Paralelismo de dois Planos Se além das igualdades anteriores tivermos os planos serão coincidentes. a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2 = d 1 d 2
Perpendicularidade de dois Planos Sejam os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 = 0 Então, n 1 π 1 e n 2 π 2. Logo, para dois planos serem perpendiculares, basta que seus vetores normais sejam ortogonais, π 1 π 2 n 1 n 2 n 1 n 2 = 0
Perpendicularidade de dois Planos
Exercícios
Exercícios
Ângulo entre reta e plano Seja uma reta r com direção do vetor v e um plano π, sendo n o vetor normal a π. O ângulo φ da reta r com o plano π é o complemento do ângulo θ que a reta r forma com uma reta normal ao plano.
Ângulo entre reta e plano Tendo em vista que φ + θ = π, e portanto, cos(θ)=sen(φ), 2 temos v n sen φ = v n, com 0 φ π/2
Paralelismo entre reta e plano Seja a reta r e o plano π, temos r π v n v n = 0
Perpendicularidade entre reta e plano Seja a reta r e o plano π, temos r π v n a 1 a 2 = b 1 b 2 = c 1 c 2
Exemplo
Exercícios
Reta contida no Plano Uma reta r está contida em um plano π se: Dois pontos A e B de r forem também de π ou v n = 0, onde v é um vetor diretor de r e n um vetor normal a π. E um ponto A π, sendo A r.
Exemplo
Interseção de dois Plano Sejam os planos não-paralelos π 1 : 5x y + z 5 = 0 e π 2 : x + y + 2z 7 = 0 A interseção de dois planos não-paralelos é uma reta r cujas equações se deseja determinar. Vamos apresentar duas formas de resolver:
Interseção de dois Plano Caso 1) Como r está contida nos dois planos, as coordenadas de qualquer ponto (x,y,z) de r devem satisfazer simultaneamente as equações dos dois planos. Logo, os pontos de r constituem a solução do sistema. 5x y + z 5 = 0 x + y + 2z 7 = 0 Que tem infinitas soluções e (em termos de x) é dado por y = 3x 1 r: z = 2x + 4
Interseção de dois Plano Caso 2) Outra maneira é determinar um de seus pontos e um vetor diretor. Seja o ponto A r que tem abcissa zero, então as equações ficam y + z 5 = 0 y + 2z 7 = 0 Logo, temos um ponto de r, A(0,-1,4).
Interseção de dois Plano Caso 2) Como o vetor diretor de r é simultaneamente ortogonal a n 1 = 5, 1,1 e n 2 = (1,1,2), normais aos planos, o vetor diretor pode ser dado por v = n 1 n 2
Interseção de dois Plano Caso 2) Escrevendo as equações paramétricas de r, temos r: x = t y = 1 + 3t z = 4 2t
Interseção de reta com plano Exemplos: Se I(x,y,z) é um ponto de interseção de r e π, suas coordenadas devem verificar as equações do sistema.
Exemplos: Interseção de reta com plano
Distância de Ponto e Plano Dado um ponto P e um plano π, queremos calcular a distância d(p, π). Seja A um ponto qualquer de π e n um vetor normal a π. A distância d(p, π) é o módulo da projeção de AP na direção de n.
Distância de Ponto e Plano d P, π = proj n AP = AP n n n n d P, π = AP n n Considerando P(x 0, y 0, z 0 ), π: ax + by + cz + d e A(x 1, y 1 z 1 ) π, temos d P, π = ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c²
Distância de Ponto e Plano
Distância entre dois Planos A distância entre dois planos é definida somente quando os planos forem paralelos. Dados dois planos paralelos, a distância entre eles é a distância de um ponto qualquer de um dos planos ao outro. Com P 1 π 1 e P 2 π 2. d π 1, π 2 = d P 1, π 2 = d π 1, P 2
Exemplo: Distância entre dois Planos
Distância entre reta e plano A distância entre reta e plano é definida somente quando forem paralelos. Dada uma reta r e um plano π, a distância entre eles é a distância de um ponto qualquer da reta ao plano, isto é d r, π = d P 0, π Com P 0 r.
Distância entre reta e plano