Capítulo 6: Escoamento Externo Hidrodinâmica Arrasto viscoso e de pressão Arrasto total
Campo de escoamento Linhas de corrente: definidas como a linha contínua que é tangente aos vetores velocidade ao longo do escoamento num dado instante t. As linhas de corrente são sempre paralelas ao escoamento.
Tensão de cisalhamento Existem fluidos em que a relação entre a tensão de cisalhamento e a taxa de deformação é linear e pode ser expressa por: Taxa de deformação τ x µ u y Viscosidade dinâmica
Gradiente de velocidade Devido o princípio da aderência o fluido em contato com uma superfície sólida possui a velocidade da superfície. Na medida em que afasta da parede, a velocidade do fluido relativa à parede aumenta, variando desde a velocidade da superfície (zero) até um valor máximo finito (U). Essa variação de velocidade é chamado de perfil de velocidade ou gradiente de velocidade. A tensão de cisalhamento age no sentido de resistir ao movimento do fluido, sendo máxima na superfície onde não existe movimento relativo.
Camada limite hidrodinâmica É uma camada relativamente fina onde os u 0,99U em y δ efeitos das tensões viscosas de cisalhamento δ são preponderantes (escoamento viscoso), u 0 em y 0 existindo o gradiente de velocidade. A espessura da camada limite, δ, corresponde a distância a partir da qual o valor da velocidade do fluido corresponde a uma fração da velocidade a montante U. Logo: u 0 em y 0 u 0,99 U em y δ
Escoamento de um fluido Escoamento incompressível e compressível; Escoamento externo e interno; Escoamento laminar e turbulento; Escoamento viscoso e não-viscoso; Escoamento em regime permanente e transiente; Escoamento natural e forçado.
Número de Reynolds ρul Re µ UL ν Efeito inercial Efeito viscoso Re << 1, efeitos viscosos preponderantes Re >> 1, efeitos inerciais preponderantes Existe um valor crítico de Re acima do qual o escoamento será turbulento e abaixo do qual será laminar. Este valor é conhecido como número de Reynolds de transição ou crítico (Re cr ).
Re cr em placas planas Experimentos realizados em uma placa plana lisa indicaram que o valor crítico de Re, baseado na distância ao longo da placa (a contar da borda do ataque) é aproximadamente 5 x 10 5. Caso a superfície da placa seja rugosa, o valor de Re cr estará no intervalo 8 x 10 3 5 x 10 5.
Escoamento externo A medida que um fluido escoa ao passar por uma placa plana, o atrito exerce seu efeito de duas maneiras: Uma é a aplicação direta de uma força de atrito (viscosa) causada pela tensão de cisalhamento atuando sobre esta placa associado ao chamado arrasto viscoso ou de atrito. A outra está relacionada ao fato de os efeitos do atrito no fluido que escoa poderem alterar drasticamente o percurso do fluido em torno da placa plana. Estes efeitos causam uma queda de pressão irreversível na direção do escoamento (a pressão na parte posterior da placa é menor que na parte frontal) associado ao arrasto de pressão ou de forma. O arrasto total sobre a fronteira do VC é a combinação do arrasto de atrito com o de pressão.
Arrasto viscoso ou de atrito É o resultado do efeito da camada limite: É originário dos efeitos viscosos, associados à tensão de cisalhamento, atuantes nas paredes sólidas. A tensão de cisalhamento age no sentido de resistir ao movimento do fluido, ou seja, no sentido oposto a deslocamento no eixo x, e quando multiplicada pela área apropriada, resulta na força viscosa. Assim, esta força viscosa agirá SEMPRE no sentido de se opor ao movimento Quando define-se o VC e a sua superfície coincide com a superfície sólida, surge uma reação à esta tensão sobre esta superfície sólida, na direção positiva do deslocamento no eixo x, e oposta à direção da força viscosa sobre o fluido. Essa força de reação é chamada de força de arrasto viscosa.
Arrasto viscoso ou de atrito A tensão de cisalhamento é determinada pela viscosidade e pelo gradiente de velocidades. Devido as dificuldades de se determinar o gradiente de velocidades, pode-se determinar a tensão por meio do coeficiente de atrito de Fanno (C f ): C f τ p (1/)ρU ext Onde τp é a tensão de cisalhamento na parede do objeto Existem Cf tabelados para alguns objetos e para a camada limite laminar e a camada limite turbulenta. Muitas vezes, o Cf se obtém a partir da relação com o Re. Tais relações são tabeladas para diversos tipos de objetos.
Arrasto viscoso ou de atrito A força de arrasto viscosa (D f ) é determinada considerando que a força de arrasto de pressão é nula. Logo, D F é obtida pela multiplicação da tensão pela área do objeto: D C (1/)ρU A F f ext Existe uma expressão que permite determinar o arrasto de atrito para uma placa plana lisa tanto para a camada limite laminar quanto para a turbulenta. Esta expressão utiliza o coeficiente médio de atrito: D F C f (1/)ρU ext A
Coeficientes de arrasto de atrito
Exemplo: Uma placa plana lisa tem comprimento L 0,75m. A placa deve ser testada em ar e água, ambos com velocidade U4,5 m/s. A temperatura do ar e da água é de 0 o C e a pressão igual a pressão atmosférica. Determine se o escoamento no final da placa é laminar ou turbulento para cada fluido e a velocidade do ar necessária para tornar os escoamentos semelhantes. Placa plana lisa: Re L < 5 x 10 5 Escoamento laminar Re L > 5 x 10 5 ρul Re L µ Escoamento turbulento UL ν As viscosidades cinemáticas do ar e da água na temperatura de 0 o C são obtidas nas Tabelas de propriedades A-8 e A-9: ν ar 15,09 10 6 m /s ν água 1,004 10 6 m /s
Exemplo: Uma placa plana lisa tem comprimento L 0,75m. A placa deve ser testada em ar e água, ambos com velocidade U4,5 m/s. A temperatura do ar e da água e de 0 o C e a pressão igual a pressão atmosférica. Determine se o escoamento no final da placa é laminar ou turbulento para cada fluido e a velocidade do ar necessária para tornar os escoamentos semelhantes. Logo: Re Re L L UL ν 4,5 0,75 0,37 10 6 15,09 10 ar UL ν 4,5 0,75 3,361 10 6 1,004 10 água Portanto o escoamento no final da placa é laminar com o ar e turbulento com a água. 6 6
Os escoamentos serão semelhantes quando o Re for igual para o ar e a água: U ν ar ar L U ν água água L ν U ar U água ν ar água 6 15,09 10 4,5 67,63 m/s 6 1,004 10 O caso do escoamento do ar requer uma velocidade U muito maior que o da água para que os escoamentos sejam semelhantes (Valores iguais de Re L significam que a relação entre a força de inércia e a viscosa é igual para ambos os casos). Esta diferença se deve às diferenças de viscosidade cinemática entre o ar e a água, mostrando a sua influência no escoamento de um fluido.
Exemplo: Determine o arrasto, por unidade de largura, devido ao atrito (D F ) na placa plana lisa descrita no exemplo anterior e a espessura da camada limite na extremidade final da placa quando for testada em ar e água. D F C f (1/)ρU ext A No caso do ar, o escoamento é laminar e pela Tabela 6.1 (pg 185) tem-se: C f (1/ ) 1,38 ReL 1,38 C f,808* 10 6 0,37*10-3 A área da placa plana (A): A b* L Logo o arrasto (por unidade de largura) de um lado da placa é: D F C (1/)ρ f U ext b L
Exemplo: Determine o arrasto, por unidade de largura, devido ao atrito (D F ) na placa plana lisa descrita no exemplo anterior; a espessura da camada limite na extremidade final da placa quando for testada em ar e água. O arrasto total por unidade de largura nos dois lados da placa plana lisa: Pela Tabela A-8 : ar D F C (1/)ρ f U ext b ρ 1,04 kg/ m 3 3 DF *,808*10 *1,04*(4,5) * 0,75 3 51,34*10 N/m b A espessura da camada limite laminar é definida através da Tab 6-1: δ (1/) 5,0Re 6 1/ x x δ 5,0* 0,75*(0,37*10 ) 7,99 mm L
Exemplo: Determine o arrasto, por unidade de largura, devido ao atrito (D F ) na placa plana lisa descrita no exemplo anterior; a espessura da camada limite na extremidade final da placa quando for testada em ar e água. No caso da água, o escoamento é turbulento na extremidade final da placa. Isto quer dizer que no início da placa (borda de ataque) o escoamento é laminar e passa por uma transição até se tornar turbulento. Para efeito de cálculo, admite-se que o escoamento é turbulento em toda a placa. A validade desta hipótese pode ser confirmada determinando-se o ponto de transição e somando-se as contribuições das camadas limites laminar e turbulenta.
Exemplo: Determine o arrasto, por unidade de largura, devido ao atrito (D F ) na placa plana lisa descrita no exemplo anterior; a espessura da camada limite na extremidade final da placa quando for testada em ar e água. (1/5) 3 Cf 0,074 ReL Cf 3,664* 10 6 1/5 Logo o arrasto total dos dois lados da placa (ρ água 998,3 kg/m 3 ) é: D F C (1/)ρ f U ext b Para o escoamento turbulento na água: L * 3,664*10 A espessura no escoamento turbulento: δ x 0,074 (3,361*10 3 ) * 998,3*(4,5) * 0,75 55,55 N/m (1/5) 6 1/5 δ 0, 371* 0,75*(3,361*10 ) 13,70 mm 0,371Re x
Exemplo: Determine o arrasto, por unidade de largura, devido ao atrito (D F ) na placa plana lisa descrita no exemplo anterior; a espessura da camada limite na extremidade final da placa quando for testada em ar e água. Para confirmar a hipótese de que o escoamento é turbulento é preciso inicialmente determinar o ponto de transição x cr para Re cr : x cr Recr *ν U x 0,5*10 *1,004*10 4,5 6-6 cr 0,1115 m O arrasto total é a soma do arrasto sobre a placa de 0,1115 m de comprimento com escoamento laminar e outra de (0,75-0,1115)m de comprimento de escoamento turbulento: D b F ρ U [{ C L} + { C L} ] f lam f turb
Exemplo: Determine o arrasto, por unidade de largura, devido ao atrito (D F ) na placa plana lisa descrita no exemplo anterior; a espessura da camada limite na extremidade final da placa quando for testada em ar e água. D 4,5 1,38(0,11 15) 0,074(0,63 85) F * 998,3 + 1/ 1/5 b 4,5(0,1115 ) 4,5(0,6385 ) -6-6 1,004 *10 1,004 *10 53,0 N/m O valor obtido considerando o escoamento turbulento em toda a placa levou a uma resposta aproximadamente 4% maior, estando dentro da precisão aceita. No entanto, a forma exata de se determinar o arrasto é o realizado calculando as porções laminar e turbulenta.
Arrasto de Pressão Em grande parte das situações existe um gradiente de pressão na direção do escoamento do fluido. Conhecendo-se a área, haverá uma força de arrasto associado ao gradiente de pressão. O arrasto devido à pressão apresenta uma total dependência do formato do corpo, sendo por isso denominado também de arrasto de forma. Isso se dá, porque seu valor é atribuído de acordo com as distribuições de pressão ao longo da geometria submetida ao escoamento.
Arrasto de Pressão O arrasto de pressão vai contribuir para a resistência total sofrida pelo fluido e resultará num fenômeno chamado de separação do escoamento ou deslocamento da camada limite. No descolamento existe um gradiente de pressão entre a região frontal de estagnação (alta pressão) e a região do descolamento (baixa pressão).
Descolamento
Separação do escoamento 1 dp ρ dx U Nos bocais: A velocidade U do fluido está crescendo na direção do escoamento, du/dx > 0; Isto significa que o gradiente de pressão na direção do escoamento é negativo, dp/dx <0; Assim a força de pressão resultante no fluido age de forma favorável, na direção do escoamento. Nos difusores: A velocidade U está decrescendo na direção do escoamento, du/dx < 0; O gradiente de pressão é positivo, dp/dx > 0; E a resultante força de pressão age retardando o escoamento. Este gradiente de pressão é chamado de gradiente de pressão adverso. Isto quer dizer que a quantidade de movimento do fluido está decrescendo e o fluido próximo à superfície pode ser levado ao repouso numa distância qualquer a partir da parede (u0, y>0). Quando isto ocorre, o escoamento se separa. du dx
Separação do escoamento Uma conseqüência da separação do escoamento é a formação de uma esteira oscilatória, região esta de baixa pressão. Na esteira o fluido movimenta-se em redemoinhos e de forma alternada. Esta separação representa uma perda de energia no fluido, reduzindo a eficiência do difusor. A existência da separação é função do número de Reynolds.
Força de sustentação Além da força de arrasto de pressão, que é a componente no eixo x do escoamento, existe uma força na componente no eixo y chamada de força de sustentação. Um exemplo desta força corresponde ao deslocamento em regime permanente de uma aeronave. Neste caso, a força de sustentação deve ser equilibrada pelo peso da aeronave.
Arrasto total O arrasto total é soma do arrasto de atrito e de pressão: D D + T É determinado pelo coeficiente de arrasto, definido por: C Este coeficiente apresenta-se definido para cada tipo de objeto. F D T D U ρ A D P
Arrasto de pressão É obtido por aproximação a partir do arrasto total e do arrasto de atrito. O arrasto de atrito é calculado conhecendose a área da superfície do objeto e o número de Reynolds do escoamento e considerando o arrasto de pressão nulo. A diferença entre o arrasto total e o arrasto de atrito fornece o arrasto de pressão.
Arrasto total em placas planas No caso do escoamento de um fluido ocorrer paralelo ao comprimento de uma placa plana, a contribuição do arrasto de pressão é nula pois somente os efeitos viscosos predominam. Logo, só há o arrasto de atrito. Quando o escoamento do fluido for normal à placa plana, o arrasto por unidade de largura refere-se apenas ao arrasto de pressão, pois a tensão de cisalhamento será normal ao escoamento. Logo não há arrasto de atrito.
Exemplo: Um letreiro quadrado de 3 m x 3 m está pregado no topo de um poste de 10 m de altura, que tem 0,3 m de diâmetro. Calcule o momento fletor aproximado ao qual a base deverá resistir para um vento com velocidade de 30 m/s. O momento fletor é o momento em que a peça tende a flexionar, neste caso o letreiro pregado no poste: Onde b é o comprimento (do letreiro e do poste) e F é a força máxima no letreiro e no poste. Considera-se que o ar encontra-se em condições atmosféricas com T 30º C: ρ 1,1644 kg/m M b * F + l ν 16,01*10 3 6 Para o letreiro utilizam-se as relações da Tabela 6-4 (p.198) para uma placa retangular, em que b/t 1 (t altura da placa): C D 1,18 l b p * F p m /s
Exemplo: Um letreiro quadrado de 3 m x 3 m está pregado no topo de um poste de 10 m de altura, que tem 0,3 m de diâmetro. Calcule o momento fletor aproximado ao qual a base deverá resistir para um vento com velocidade de 30 m/s. F l C D (1/)ρU A Fl 1,18(1/)1,1644(30) (3* 3) 5.564,7 N Para o poste, considera-se que seja um cilindro circular liso posicionado na direção normal ao escoamento e utiliza-se a Tab. 6.3 (p.197). 30* 0, 3 Ud 5 Re 5, 6* 10 C D 0, 3 6 ν 16, 01* 10 F p C D (1/)ρU A Fp 0,3(1/)1,1644(30) (10* 0,3) 471,6 N
Exemplo: Um letreiro quadrado de 3 m x 3 m está pregado no topo de um poste de 10 m de altura, que tem 0,3 m de diâmetro. Calcule o momento fletor aproximado ao qual a base deverá resistir para um vento com velocidade de 30 m/s. Assumindo que as forças atuam nos centros das suas respectivas áreas. M b * F + l l b p * F p M 11,5* 5564,7 + 5* 471,6 66.35 Nm
Força de arrasto A redução da força de arrasto é muito importante para o desenvolvimento de aviões, caminhões e automóveis mais econômicos. O arrasto total multiplicado pela velocidade de tráfego gera a potência necessária para vencer os efeitos viscosos e de pressão e equivale a uma parcela significativa da potência total que deve ser produzida pelo motor do veículo. Por isto, várias pesquisas vêm sendo desenvolvidas para determinar métodos de redução de arrasto para diferentes objetos em movimento.
Exemplo: A economia de combustível de um automóvel pode ser elevada pelo decréscimo do arrasto aerodinâmico sobre o veículo, especialmente em rodovias de alta velocidade. A partir de várias medidas, como no design do veículo, tem sido possível diminuir o C D de um valor típico de 0,55, no modelo de carro de 1940, para 0,30, no modelo de carro de 003. Para cada um destes modelos, determine o arrasto aerodinâmico e a potência necessária para superá-lo em uma rodovia de velocidade de 100km/h (7,8 m/s). Considere que o carro de 1940 tem largura e altura de 1,6 m e que o carro de 003 tem largura de 1,6 m e altura de 1,3 m. D T C D (1/)ρU Considerando que o ar está em condições atmosféricas, sendo T30º C: ρ 1,1644 kg/m ν A 16,01*10 3 6 m /s
Carro de 1940: Carro de 003: C D 0,55 b largura 1,6 m h altura 1,6 m Velocidade (U) 100 km/h 7,8 m/s A área frontal do carro é considerada como: C D 0,30 b largura 1,6 m h altura 1,3 m A b * h D1940 (1/)CDρU A (1/)0,55*1,1644*(7,8) *(1,6*1,6) 633,5 N D003 (1/)CDρU A (1/)0,30*1,1644*(7,8) *(1,6*1,3) A potência necessária para superar o arrasto total será: W& W& 1930 003 7,8* 633,5 7,8* 80,8 17,6 kw 7,8 kw 80,8 N W U* D T A redução no arrasto e na potência é devida à menor área frontal e a melhor forma aerodinâmica (menor C D ).
FIM!