Mecânica I (FIS-14) Prof. Dr. Ronaldo Rodrigues Pelá Sala 2602A-1 Ramal 5785 rrpela@ita.br www.ief.ita.br/~rrpela
Onde estamos? Nosso roteiro ao longo deste capítulo Cinemática retilínea: movimento contínuo Cinemática retilínea: movimento irregular Movimento curvilíneo geral Movimento curvilíneo: componentes retangulares Movimento de um projétil Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento curvilíneo: componentes cilíndricas Análise do movimento absoluto dependente de duas partículas Movimento relativo de duas partículas usando eixos de translação Movimento relativo de duas partículas usando eixos de rotação
2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Ocasionalmente, o movimento de uma partícula pode ser mais bem descrito ao longo de uma trajetória que pode ser expressa em termos de suas coordenadas x, y, z. Se a partícula está em um ponto (x,y,z) sobre a trajetória curva, então sua posição é dada por:
Velocidade 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares A velocidade é sempre tangente à trajetória
Aceleração 2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Em geral, a aceleração não é tangente à trajetória
2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: em qualquer instante de tempo, a posição horizontal do balão meteorológico é definida por x = (9,00t) m, onde t é dado em s. Se a equação da trajetória é sendo x dado em m, determine a intensidade e a direção da velocidade e da aceleração quando t = 2,00 s.
2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: Para
2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: Para
2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Exemplo: por um curto período de tempo, a trajetória de um avião é descrita por se o avião está decolando com uma velocidade constante de 10,0 m/s (na vertical), determine as intensidades da velocidade e aceleração quando ele está em y=100 m
2.5 Movimento curvilíneo: componentes retangulares Para y=100 m Para y=100 m Para y=100 m
2.6 Movimento de um projétil O movimento de um projétil em voo livre é frequentemente estudado em termos das suas componentes retangulares.
2.6 Movimento de um projétil Visto que a x = 0, a aplicação das equações de aceleração constante, resulta em: A primeira e a última equação indicam que a componente horizontal da velocidade sempre permanece constante durante o movimento.
2.6 Movimento de um projétil Movimento vertical Visto que o eixo y positivo está direcionado para cima, então a y = g. Obtemos A última equação pode ser formulada com base na eliminação do tempo t das duas primeiras equações, e, portanto, apenas duas das três equações anteriormente apresentadas são mutuamente independentes.
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Quando a trajetória ao longo da qual uma partícula se move é conhecida, costuma ser conveniente descrever o movimento utilizando-se eixos de coordenadas n e t os quais atuam normal e tangente à trajetória, respectivamente, e no instante considerado tem sua origem localizada na partícula.
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento plano Considere a partícula mostrada na Figura acima, que se move em um plano ao longo de uma curva fixa tal que em dado instante ela está na posição s, medida a partir do ponto O.
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento plano A única escolha para o eixo normal pode ser feita observando-se que geometricamente a curva é construída a partir de uma série de segmentos do arco diferenciais ds, O plano que contém os eixos n e t é referido como o plano osculador, e nesse caso ele é fixo no plano do movimento.
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Velocidade A velocidade da partícula v tem uma direção que é sempre tangente à trajetória, Desse modo, onde:
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração A aceleração da partícula é a taxa de variação temporal da velocidade. Assim,
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração Como mostrado na Figura abaixo, precisamos u t = u t + du t.
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração a pode ser escrita como a soma de suas duas componentes, onde: e ou
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Aceleração Essas duas componentes mutuamente perpendiculares são mostradas na Figura abaixo. Portanto, a intensidade da aceleração é o valor positivo de:
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Movimento tridimensional Conhecendo u t e u n, podemos determinar o versor u b : u b = u t u n.
2.7 Movimento curvilíneo: componentes normal e tangencial Exercício Se a trajetória é expressa como y = f (x), o raio da curvatura ρ em qualquer ponto sobre a trajetória é determinado pela equação: