12 E 13 DE DEZEMBRO DE 2015

PROBLEMAS DO 1 o TORNEIO CARIOCA DE MATEMÁTICA 12 E 13 DE DEZEMBRO DE 2015 Conteúdo Notações 1 1 O suer-mdc 1 2 Os Reis do etróleo 2 3 Quadraturas de Triângulos 3 4 Um roblema bimodular 4 5 Sistemas de desigualdades 4 6 Polígonos simáticos 5 7 Funções bem-comortadas 5 8 Progressões bi-dimensionais 6 Palavras-chave: 1 divisibilidade 2 jogos, grafos 3 geometria, construções 4 congruências, gruos 5 desigualdades 6 vetores, grafos 7 análise, continuidade 8 aritmética Notações N = {1, 2, 3, } conjunto dos naturais estritamente ositivos Z, Q, R conjuntos dos números inteiros, racionais e reais #X número de elementos do conjunto X 1 O suer-mdc Seja k N um número inteiro maior do ue zero Comece cada uestão estudando valores euenos de k: 1, 2 e 3, or exemlo O suer-mdc de k inteiros ositivos 0 < a 1 < a 2 < < a k, será denotado or d(a 1, a 2, a k ), e é igual ao MDC de todos os números da forma n(n + a 1 )(n + a 2 ) (n + a k ), com n Z Ou seja, o inteiro x = d(a 1, a 2, a k ) divide todos os números n(n + a 1 )(n + a 2 ) (n + a k ), e nenhum outro inteiro maior do ue x divide todos eles 1 Calcule d(a 1, a 2, a k ) nos seguintes casos: (a) a i = i; (b) a i = b i, com b = 3, 10 ou 12; (c) a i = b i, com b N ualuer; (d) a i = i 2 2 Mostre ue, ara todos 0 < a 1 < a 2 < < a k, temos d(a 1, a 2, a k ) d(1, 2, k) 3 Determinar todos os valores ossíveis ara d(a 1, a 2, a k ) 4 O conjunto {a 1,, a k } é esecial uando d(a 1, a 2, a k ) = d(1, 2, k) Publicação: 14 de Outubro de 2015 1

2 12 E 13 DE DEZEMBRO DE 2015 (a) Dê exemlos de conjuntos eseciais (b) Encontre condições suficientes ara ue um conjunto seja esecial (c) Encontre condições necessárias ara ue um conjunto seja esecial 5 Determine (ou estime) o maior inteiro l tal ue, se {a 1,, a k } é um conjunto esecial, e 0 < a 1 < a 2 < < a k < l, então a i = i ara todo i 2 Os Reis do etróleo Duas emresas etrolíferas, Ali-Babá Petroleum e Bill Oil vão exlorar uma região no ré-sal A região em uestão será reresentada or um retângulo de tamanho n m Em cada uadradinho do reticulado ode ser feito um oço aenas, ue ermitirá ue cada emresa obtenha o euivalente de 1 bilhão de reais (1 BR$) Por um sorteio, Ali começa a erfuração, escolhendo um uadradinho Em seguida, Bill faz o mesmo Daí em diante, cada emresa só ode erfurar num uadrado vizinho de um onde ela já tenha feito um oço, à razão de um oço or mês (Um uadrado é vizinho de outro se há um lado em comum) Quando uma emresa não tem mais como continuar erfurando (or falta de vizinhos), então a outra emresa continuará erfurando sozinha 1 Suonhamos ue as emresas cooeram Também suomos ue os oços iniciais foram fixados elo governo Para uais valores de m e n, e ara uais osições iniciais dos oços é ossível ue as emresas tenham feito o mesmo número de oços? Daui em diante, suonha os valores de m e n fixos Comece com casos euenos 2 Agora, as emresas estão em concorrência Primeiro Ali escolhe o seu oço inicial, e em seguida Bill, e daí em diante fazem semre oços vizinhos aos ue já ossuem, alternadamente (a) Existe uma estratégia vencedora ara algum das emresas? (ou seja, ara ue ela consiga fazer estritamente mais oços do ue sua concorrente) (b) Se sim, ara ual delas? (c) Descreva a estratégia vencedora 3 Uma emresa ossui uma vantagem de n BR$ se: ela ode escolher oços de forma a semre obter elo menos n BR$ a mais do ue sua concorrente uando todos os oços tiverem sido exlorados; mas a emresa concorrente ode fazer seus oços ara imedir ue esta diferença seja de n + 1 BR$ Estude a vantagem de cada emresa 4 Agora, ara o rimeiro turno, cada emresa escolhe o uadrado inicial da concorrente Retome as uestões 2 e 3 com estas novas regras 5 Enfim, suonha ue o governo fixa os uadrados iniciais ara cada emresa

PROBLEMAS DO 1 o TORNEIO CARIOCA DE MATEMÁTICA 3 (a) Em ue situações ele garante ue os oços serão feitos no temo mais ráido ossível, suondo ue as emresas desejam fazer cada uma o maior número de oços? (b) Qual é a maior vantagem ue ele ode dar à rimeira emresa? E à segunda? 3 Quadraturas de Triângulos Seja ABC um triângulo euilátero Sejam P o onto médio do segmento AB, e Q o onto médio de BC 1 Considere o onto M corresondente à rojeção ortogonal de P na reta AQ, como na figura da esuerda Mostre como organizar os três olígonos AMP, MP BQ e QCA de forma a obter um retângulo C C Q Q M R M A P B A P B Figura 1 Cortando um triângulo euilátero de duas formas diferentes 2 Seja agora R um onto no segmento AC tal ue AR = xac, ara algum 0 < x < 1/2 Seja agora M a rojeção ortogonal de P na reta RQ Mostre ue há dois ontos N e S, resectivamente nas retas RQ e AC, tais ue os olígonos ARMP, MQBP, RSN e NSCQ odem ser rearranjados ara formar um retângulo 3 Mostre ue os ontos N e S estão unicamente determinados or R Diga como construir destes ontos com régua e comasso, a artir de A, B, C e R 4 Mostre ue existe um único valor de x tal ue o retângulo seja um uadrado 5 É ossível construir o onto R com régua e comasso? 6 Adate rocedimento ara um triângulo ualuer: isso dá uma forma de transformar ualuer triângulo num uadrado de área igual! 7 Como transformar um olígono com muitos lados num uadrado de mesma área? 8 É ossível fazer uma construção similar ue transforma um tetraedro em um araleleíedo? E num cubo?

4 12 E 13 DE DEZEMBRO DE 2015 4 Um roblema bimodular Seja N um inteiro ositivo, e um número rimo Para cada 0 r <, seja X N, (r) o conjunto dos inteiros em {1, 2,, N} ue são simultaneamente rimos com N e congruentes a r módulo Assim, os conjuntos X N, (r) dividem o conjunto de todos os números rimos com N A função ϕ de Euler associa a cada número inteiro N a uantidade de números entre 1 e N ue são rimos com N Assim, ϕ(10) = 4, ois aenas 1, 3, 7 e 9 são rimos com 10 1 Fixe N e, e suonha ue divide N, mas ue não divide ϕ(n) Quem é X N, (0)? 2 Nas condições acima, mostre ue os outros X N, (r) têm o mesmo número de elementos 3 Quais são os números N tais ue existe algum rimo ue divide N e ϕ(n)? 4 O ue acontece com os conjuntos X N, (r) neste caso? 5 Suomos agora ue divide ϕ(n) e não divide N Mostre ue todos os X N, (r) com r = 0 incluso têm o mesmo número de elementos 6 Suonha enfim ue não divide N nem ϕ(n) Existe um inteiro C > 0 tal ue a diferença ϕ(n) #X N, (r) seja semre inferior a C? 7 Seja S N, (r) a soma dos elementos de X N, (r) Estude os valores ossíveis ara S N, (r), em função de N, e r, nos diversos casos aresentados acima 5 Sistemas de desigualdades 1 Encontre todos os valores de e reais ara os uais existe um número real x > 0 tal ue x 2 < x < x3 2 Encontre todos os valores de R tal ue existem números reais ositivos x 1 e x 2 tais ue x 2 1 + x2 2 < x 1 + x 2 < x 3 1 + x 3 2 3 Encontre todos os valores de R tal ue existem números reais ositivos x 1 e x 2 tais ue x 2 1 + x 2 2 < x 1 + x 2 < x3 1 + x3 2 4 Encontre todos os valores de, R tais ue existem números reais ositivos x 1 e x 2 tais ue x 2 1 + x2 2 < x 1 + x 2 < x3 1 + x3 2

PROBLEMAS DO 1 o TORNEIO CARIOCA DE MATEMÁTICA 5 5 Encontre todos os valores de, R tais ue existem números reais ositivos x 1, x 2 e x 3 tais ue x 2 1 + x2 2 + x2 3 < x 1 + x 2 + x 3 < x3 1 + x3 2 + x3 3 6 Encontre todos os valores de, R tais ue existem números reais ositivos x 1, x 2 x n tais ue x 2 1 + x2 2 + + x2 n < x 1 + x 2 + + x n < x3 1 + x3 2 + + x3 n 7 Sejam x 1, x 2, x n números reais ositivos tais ue x 2 1 + x 2 2 + + x 2 n < x 1 + x 2 + + x n < x3 1 + x3 2 + + x3 n 2 4 (a) Prove ue n > 50 (b) Dê n números satisfazendo esta desigualdade (c) Qual é o menor n ara o ual você consegue uma solução? 8 Sejam e, α e β números reais Para uais valores de n o sistema x α 1 + xα 2 + + xα n < x 1 + x 2 + + x n < xβ 1 + xβ 2 + + xβ n tem uma solução com números reais ositivos? 6 Polígonos simáticos Um olígono convexo é dito simático se, ara cada lado e ara cada diagonal, é ossível fixar uma orientação de forma ue a soma dos vetores assim determinados seja igual a zero 1 Encontre um uadrilátero simático 2 Se n é ímar, existe algum n-ágono ue não é simático? 3 Em geral, será ue existe algum n-ágono ue não é simático? 4 Descreva todos os uadriláteros simáticos 5 Todos os olígonos regulares são simáticos? 6 Descreva tantos hexágonos não-simáticos uantos você conseguir 7 Determine condições necessárias e/ou suficientes ara um n-ágono ser simático 8 Estude este roblema em oliedros 7 Funções bem-comortadas Seja f : [0, 1] R e α > 0 um número real Dizemos ue f é α-comortada se existe uma constante M tal ue f(x) f(y) M x y α ara todos x, y [0, 1] O comortamento de uma função f é o maior valor de α tal ue ela seja α-comortada; mais recisamente, C(f) = su{ α f é α-comortada } O conjunto de todas as funções α-comortadas será denotado aui or C α 1 Mostre ue as funções constantes são α-comortadas ara todos os α 2 Mostre ue a função x não é α-comortada ara α > 1/2

6 12 E 13 DE DEZEMBRO DE 2015 3 Mostre ue uma função α-comortada é contínua 4 Existe alguma função contínua cujo comortamento é zero? 5 Seja α > 1 Determine todas as funções α-comortadas 6 Sejam f e g duas funções em C α É verdade ue f + g e f g estão em C α? 7 Suonha também ue g(x) 0 É verdade ue f/g está em C α? 8 Suonha agora ue g(x) [0, 1] É verdade ue f g está em C α? 9 Determine o comortamento das funções f a seguir: (a) f é um olinômio (b) f(x) = x β onde β R (c) f(x) = x sin(1/x) ara x 0, f(0) = 0 10 Estude este roblema no caso de funções de R em R 11 Generalize e estude este roblema ara funções de várias variáveis 8 Progressões bi-dimensionais Colocamos nm números numa tabela de tamanho m n Esta tabela será chamada uma Progressão Aritmética 2D (PA-2D) se os números em cada linha e cada coluna estão em rogressão aritmética ( 1D ) Exlore as roriedades das PA-2D começando com as seguintes uestões: 1 Seja a 11 o número no canto suerior esuerdo da tabela Sejam r a razão das PAs nas linhas, e s a razão das PAs nas colunas Determine uma fórmula fechada ara a ij, o número na i-ésima linha e j-ésima coluna 2 Nas condições da uestão anterior, determine uma fórmula ara a soma dos kl elementos em uma sub-tabela de tamanho k l 3 Determine condições necessárias e suficientes ara ue uma tabela seja uma PA-2D Em articular, é ossível ue as razões das PAs nas linhas e colunas sejam diferentes, mas ue a tabela ainda seja uma PA-2D? 4 Determine as roriedades das seuências formadas or números nas diagonais da tabela Aui, diagonal indica aenas casas consecutivas nas direções diagonais, não recisando começar e terminar nos cantos da tabela 5 Considere diagonais generalizadas, or exemlo movimentos (3, 2) na tabela 6 Suonha ue alguém já colocou k números na tabela Quais condições estes números (e suas casas) devem satisfazer ara ue seja ossível comletar as casas restantes da tabela de maneira a obter uma PA-2D? 7 Nas condições acima, descreva uais números serão colocados em cada casa 8 Estude rogressões geométricas 2D 9 Estude rogressões mistas 2D Deartamento de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro E-mail address: bernardofc@imufrjbr URL: htt://wwwimufrjbr/bernardofc/tcjmh