As funções trigonométricas seno, coseno, tangente e cotangente não são funções injetivas, não sendo portanto invertíveis nos respetivos domínios. Para definir as respetivas funções inversas tem de se considerar restrições destas funções a intervalos nos quais sejam injetivas e onde as funções assumam todos os seus valores. A função seno no intervalo /, / é injetiva e tem contradomínio 1, 1, consequentemente admite inversa. f : /, / 1, 1 sen 15 y = sen = arcseny, /, / e y 1, 1 (lê-se é o arco cujo seno é y) Considera-se a restrição principal da função seno o intervalo /, /. A função inversa da função seno, considerando a restrição principal é a função arco do seno: arcsen : 1, 1 /, / tal que arcsen arcsen(sen) =, /, / sen(arcsen) =, 1, 1 16 1
A função arco do seno é estritamente crescente no seu domínio, ou seja,, y 1, 1, < y arcsen < arcseny Eemplo 1.5: Calcule: a) arcsen(0) b) arcsen(1) c) arcsen d) arcsen(sen /10) e) sen(arcsen 1/) f) arcsen(-1/) Eemplo 1.6: (E 1-1ª chamada da Comp. A - 01/1) Considere a função f arcsin1. a) Determine o domínio, o contradomínio e defina a epressão da função inversa de f. b) Averigue se f é crescente ou decrescente e calcule f(0). 17 A função coseno no intervalo 0, é injetiva e tem contradomínio 1, 1, consequentemente admite inversa. f : 0, 1, 1 cos y = cos = arccosy, 0, e y 1, 1 (lê-se é o arco cujo coseno é y) Considera-se a restrição principal da função coseno o intervalo 0,. 18
A função inversa da função coseno, considerando a restrição principal é a função arco do coseno: arccos : 1, 1 0, tal que arccos arccos(cos) =, 0, cos(arccos) =, 1, 1 A função arco do coseno é estritamente decrescente no seu domínio, ou seja,, y 1, 1, < y arccos > arccosy 19 Eemplo 1.7: Calcule: a) arccos(0) b) arccos(1) c) arccos d) arccos e) arccos 1 f) arccos(cos /7) g) cos(arccos 1/5) Eemplo 1.8: Considere a função f arccos 1. 6 a) Determine o domínio de f. b) Determine 7 D :. Que pode afirmar sobre a eistência da função inversa de f? f f 6 Justifique. c) Designemos por g() a função f restrita ao intervalo 0,. Sabendo que g é injetiva, defina a epressão da função inversa de g. (E. 1 - Eame da Época de Recurso da Comp. A - 01/1) 0
A função tangente no intervalo /, / é injetiva e tem contradomínio IR, consequentemente admite inversa. f : /, / IR tg y = tg = arctgy, /, / e y IR (lê-se é o arco cujo tangente é y) Considera-se a restrição principal da função tangente o intervalo /, /. 1 A função inversa da função tangente, considerando a restrição principal é a função arco da tangente: arctg : IR /, / tal que arctg arctg(tg) =, /, / tg(arctg) =, IR A função arco da tangente é estritamente crescente no seu domínio, ou seja,, y IR, < y arctg < arctgy 4
Eemplo 1.9: Calcule: a) arctg(0) b) arctg(1) c) arctg d) arctg(tg /10) e) tg(arctg 1/) Eemplo 1.10: (E 1 - Eame da Época Normal da Comp. A - 01/1) Dada a função real de variável real definida por f arctg, determine: a) o domínio de f. b) a função inversa de f e o respetivo domínio. A função cotangente no intervalo 0, é injetiva e tem contradomínio IR, consequentemente admite inversa. f : 0, IR cotg y = cotg = arccotgy, 0, e y IR (lê-se é o arco cujo cotangente é y) Considera-se a restrição principal da função cotangente o intervalo 0,. 4 5
A função inversa da função cotangente, considerando a restrição principal é a função arco da cotangente: arccotg : IR 0, tal que arccotg arccotg(cotg) =, 0, cotg(arccotg) =, IR A função arco da cotangente é estritamente decrescente no seu domínio, ou seja,, y IR, < y arccotg > arccotgy 5 Eemplo 1.11: Calcule: a) arccotg(0) b) arccotg(1) c) arcotg(1) d) arccotg e) arccotg(cotg /5) f) cotg(arccotg 10) 6 6
Fórmulas trigonométricas 7 Fórmulas trigonométricas (cont.) 8 7
Eemplo 1.1: (E 1-1ª chamada da Comp. A - 01/1) Considere a função f arcsin1. 1 cos f c) Calcule. 9 8