Exercícios resolvidos recomendados para consolidação do estudo:

Posição (m) Exercícios resolvidos recomendados para consolidação do estudo: 1. Um automóvel está percorrendo uma estrada retilínea de 460 km. Os primeiros 100 km são realizados em 1 hora. Logo após, o automóvel para por 60 min. Os últimos 360 km são feitos com uma velocidade constante de 120 km/h. Pede-se: a) A velocidade média em todos os trechos b) O tempo gasto em todo percurso c) A velocidade média de todo percurso d) O gráfico da posição em função do tempo 2. Analise os gráficos e calcule os coeficientes angulares identificando-os como velocidade ou aceleração. a) 700 600 500 400 300 200 100 0 Posição de uma partícula em função do tempo 0 10 20 30 40 50 tempo (s) 1

Velocidade (m/s) b) 120 Velocidade de uma partícula em função do tempo 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 tempo (s) 3 - A posição de uma partícula que se move sobre o eixo x é dada, no SI, por: a) Sua velocidade em t = 3,5 s é: b) Sua velocidade é constante ou variável no tempo? Justifique sua resposta. Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008.v.1. (Adaptado). 4 - A posição de uma partícula que se move sobre o eixo x é dada, no SI, por: Suas funções da velocidade e da aceleração no tempo, são, respectivamente: Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008.v.1. (Adaptado). 2

5 - A posição de uma partícula que se move sobre o eixo x é dada, no SI, por: a) Sua velocidade em t = 1 s é: b) O sentido do eixo x em que a partícula está se deslocando é: (positivo ou negativo). Justifique sua resposta. c) O módulo de sua velocidade em t = 1 s é: Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008.v.1. (Adaptado). 6 - A posição de uma partícula que se move sobre o eixo x é dada, no SI, por: a) Sua velocidade média durante o intervalo de t = 2,00 s e t = 3,00 s é: b) As velocidades instantâneas em t = 2,00 s e t = 3,00 s são, respectivamente: c) Sua velocidade instantânea em t = 2,50 s é: d) A velocidade instantânea quando a partícula estiver no meio do caminho entre suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s é: Exercício retirado do livro, HALLIDAY, David; RESNICK, Robert; WALKER, Jearl. Fundamentos de física. Rio de Janeiro: LTC, 6a. edição, 2008.v.1. (Adaptado). 7 - (UFC) Uma partícula desloca-se sobre uma reta na direção x. No instante ta = 1,0 s, a partícula encontra-se na posição A e no instante tb = 6,0 s encontra-se na posição B, como indicadas na figura a seguir. Determine a velocidade média da partícula no intervalo de tempo entre os instantes ta e tb. 8 - (FGV-SP) Uma equipe de reportagem parte em um carro em direção a Santos, para cobrir o evento "Música Boa Só na Praia". Partindo da cidade de São Paulo, o veículo deslocou-se com uma velocidade constante de 54 km/h, durante 1 hora. Parou em um mirante, por 30 minutos, para gravar imagens 3

da serra e do movimento de automóveis. A seguir, continuaram a viagem para o local do evento, com o veículo deslocando-se a uma velocidade constante de 36 km/h durante mais 30 minutos. A velocidade escalar média durante todo o percurso foi, em m/s, de: a) 10 m/s. b) 12 m/s. c) 25 m/s. d) 36 m/s. e) 42 m/s. 9 - (CTPS) Após uma chuva torrencial as águas da chuva desceram o rio A até o rio B, percorrendo cerca de 1.000 km. Sendo de 4 km/h a velocidade média das águas, o percurso mencionado será cumprido pelas águas da chuva em aproximadamente: a) 20 dias. b) 10 dias. c) 28 dias. d) 12 dias. e) 4 dias. 10 - (UNESP-SP) Ao passar pelo marco km 200 de uma rodovia, um motorista vê um anuncio com a inscrição: ABASTECIMENTO E RESTAURANTE A 30 MINUTOS. Considerando que esse posto de serviço se encontra junto ao marco km 245 dessa rodovia, pode-se concluir que o anunciante prevê, para os carros que trafegam nesse trecho, uma velocidade média, em km/h, de: a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120 11 - (UNESP-SP) No primeiro trecho de uma viagem, um carro percorre uma distância de 500m, com velocidade escalar média de 90km/h. O trecho seguinte, de 100m, foi percorrido com velocidade escalar média de 72km/h. A sua velocidade escalar média no percurso total foi, em m/s, de: a) 20 b) 22 c) 24 d) 25 e) 30 4

12 - (UNESP-SP) O motorista de um automóvel deseja percorrer 40km com velocidade média de 80km/h. Nos primeiros 15 minutos, ele manteve a velocidade média de 40km/h.Para cumprir seu objetivo, ele deve fazer o restante do percurso com velocidade média, em km/h, de: a) 160 b) 150 c) 120 d) 100 e) 90 13 - (UFRJ) Nas Olimpíadas de 2004, em Atenas, o maratonista brasileiro Vanderlei Cordeiro de Lima liderava a prova quando foi interceptado por um fanático. A gravação cronometrada do episódio indica que ele perdeu 20 segundos desde o instante em que foi interceptado até o momento em que retomou o curso normal da prova. Suponha que, na ocasião do incidente, Vanderlei corresse a 5,0 m/s e que, sem ser interrompido, mantivesse constante sua velocidade. Calcule a distância que nosso atleta teria percorrido durante o tempo perdido. 14 - (UFFRJ) Inaugurada em 1974, a Ponte Presidente Costa e Silva, mais conhecida como Ponte Rio-Niterói, foi projetada para receber pouco mais de 50 mil veículos por dia. 5

Hoje, recebe cerca de 120 mil, de modo que na hora de maior movimento, sempre ocorre grande congestionamento. Considere que um estudante do Rio, vindo para a UFF, percorra os primeiros 7 km da ponte com uma velocidade constante de 70 km/h e gaste 20 minutos para atravessar os 6 km restantes. Supondo que na volta ele gaste 10 minutos para atravessar toda a ponte, é correto afirmar que a velocidade média na vinda e a velocidade média na volta são, em km/h, respectivamente, iguais a: a) 30 e 78 b) 44 e 78 c) 30 e 130 d) 44 e 130 e) 88 e 78 15 - (UNIRIO) Caçador nato, o guepardo é uma espécie de mamífero que reforça a tese de que os animais predadores estão entre os bichos mais velozes da natureza. Afinal, a velocidade é essencial para os que caçam outras espécies em busca de alimentação. O guepardo é capaz de, saindo do repouso e correndo em linha reta, chegar à velocidade de 72km/h em apenas 2,0 segundos. Determine a aceleração escalar média deste mamífero. 16 - (FMTM-MG) Um cientista, estudando a aceleração média de três diferentes carros, obteve os seguintes resultados: I. O carro I variou sua velocidade de v para 2v em um intervalo de tempo igual a t; II. O carro II variou sua velocidade de v para 3v em um intervalo de tempo igual a 2t; III. O carro III variou sua velocidade de v para 5v em um intervalo de tempo igual a 5t. 6

Sendo, respectivamente, a1, a2 e a3 as acelerações dos carros I, II e III, pode-se afirmar que: a) a1=a2=a3 b) a1>a2>a3 c) a1<a2<a3 d) a1=a2>a3 e) a1=a2<a3 17 - (FGV-SP) Um trem desloca-se com velocidade de 72 km/h, quando o maquinista vê um obstáculo a sua frente. Aciona os freios e para em 4s. A aceleração média imprimida ao trem pelos freios foi, em módulo, igual a: a) 18 m/s2 b) 10 m/s2 c) 5 m/s2 d) 4 m/s2 e) zero 18 - (PUC-SP) Qual o tempo necessário para que um corpo que acelera a 2 m/s2, partindo do repouso, atinja a velocidade de 108 km/h? 19- (PUC-RS) Uma jogadora de tênis recebe uma bola com velocidade de 20,0m/s e a rebate na mesma direção e em sentido contrário com velocidade de 30,0m/s. Se a bola permanecer 0,100s em contato com a raquete, o módulo da sua aceleração média será de: a) 100m/s2 b) 200m/s2 c) 300m/s2 d) 500m/s2 7

e) 600m/s2 20 - (PUC-RJ-2008) Um objeto em movimento uniformemente variado tem sua velocidade inicial v0 = 0,0 m/s e sua velocidade final vf = 2,0 m/s, em um intervalo de tempo de 4s. A aceleração do objeto, em m/s2, é: a) ¼ b) ½ c) 1 d) 2 e) 4 21- (UEPG-PR) Quando dizemos que a velocidade de uma bola é de 20m/s, horizontal e para a direita, estamos definindo a velocidade como uma grandeza: a) escalar b) algébrica c) linear d) vetorial e) n.d.a. Respostas Raciocínio da Resolução 1: a) Nos primeiros 100 km, a velocidade é igual: v 1 = ΔS/ Δt = 100/1 = 100km/h Nos últimos 360 km, a velocidade é 120 km/h 8

Posição (m) b) O tempo gasto nos últimos 360 km é Δt = ΔS/ v 1 = 360/120 = 3 h Logo o tempo gasto em todo percurso é 1 (primeiro trecho) + 1 (60 min parado = 1 h parado +3 = 5 h) c) Considerando todo o percurso: v 1 = ΔS/ Δt = 460 / (1+1+3) = 460 /5 = 92 km/h d) 500 450 400 350 300 250 200 150 100 50 0 Posição em função do tempo 0 1 2 3 4 5 tempo (s) 9

Posição (m) Raciocínio da Resolução 2: a) 700 600 500 400 300 200 100 0 Posição de uma partícula em função do tempo 0 10 20 30 40 50 tempo (s) Desenhe um triângulo entre 300 m e 100 m Calcule o coeficiente angular desta reta: ΔS = 300-100 = 200 m Δt = 30 0 = 30 s v= ΔS/Δt = 200/30 = 6,67 m/s velocidade 1 0

Velocidade (m/s) b) 120 Velocidade de uma partícula em função do tempo 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 tempo (s) Desenhe um triangulo entre 80 m e 40 m Calcule o coeficiente angular desta reta: Δv = 40 80 = 40 m/s Δt = 4 2 = 2 s a= Δv/Δt = -40/ 2 = 20 m/s 2 aceleração Raciocínio da Resolução 3: Sabemos que a velocidade instantânea é dada pela derivada da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja: Então, temos que derivar a equação horária da posição da partícula em relação ao tempo: 1 1

Sabemos que a derivada de uma constante é zero, Assim, a primeira derivada é: Sabemos que uma constante pode sair da derivada: Usando a regra da derivada:, temos: Logo, a segunda derivada é: A terceira derivada: Agrupando todas as derivadas, temos:. 1 2

a) Sua velocidade em t = 3,5 s é: Então: b) A velocidade é variável no tempo. Justificativa: Pela equação horária da velocidade:, vemos que a velocidade é uma função do tempo, ou seja, se o valor do tempo muda o valor da velocidade também se altera. Então, a velocidade é variável no tempo. Raciocínio da Resolução 4: Sabemos que a função velocidade é dada pela derivada da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja: Então, temos que derivar a equação horária da posição da partícula em relação ao tempo: Sabemos que a derivada de uma constante é zero, Assim, a primeira derivada é: Sabemos que uma constante pode sair da derivada: Usando a regra da derivada:, temos: 1 3

A terceira derivada: Agrupando todas as derivadas, temos:. Sabemos que a função aceleração é dada pela derivada segunda da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja: Também podemos obtê-la como a derivada da função velocidade em função do tempo: Como já calculamos v(t), podemos derivar a equação horária da velocidade da partícula em relação ao tempo: Sabemos que a derivada de uma constante é zero, Assim, a primeira derivada é: 1 4

Sabemos que uma constante pode sair da derivada: Usando a regra da derivada:, temos: Agrupando todas as derivadas, temos: Raciocínio da Resolução 5: Sabemos que a velocidade instantânea é dada pela derivada da função posição x(t) em relação ao tempo, ou seja: Então, temos que derivar a equação horária da posição da partícula em relação ao tempo: Sabemos que a derivada de uma constante é zero, Assim, a primeira derivada é: Sabemos que uma constante pode sair da derivada: 1 5

Usando a regra da derivada:, temos: A terceira derivada: Agrupando todas as derivadas, temos:. a) Sua velocidade em t = 1 s é: Então: b) O sentido do eixo x em que a partícula está se deslocando é: (positivo ou negativo). Justifique sua resposta. O sentido da velocidade é negativo em relação ao eixo de deslocamento da partícula. Como o valor da velocidade em t = 1 s é de 8 m/s, o sinal negativo da velocidade indica que a partícula está se movendo em sentido contrário do seu eixo de deslocamento. Se pensarmos em termos de velocidade média, o conceito fica muito claro. Vamos ver? 1 6

O tempo está sempre crescendo, uma vez que não conseguimos voltar ao passado, então: é sempre positivo, pois o tempo final é sempre maior que o tempo inicial. Dessa forma, o sinal da velocidade média (e também da velocidade instantânea) é dado pelo sinal de. Sabemos que a velocidade é negativa, então, ou seja, é negativo. O que nos diz que, isso é: que a posição final da partícula é menor que sua posição inicial. Dessa forma, o deslocamento da partícula se dá no sentido contrário do eixo x. Veja um exemplo numérico. Sentido da velocidade (- 8 m/s) 0 x f = 2 x i = 5 x(m) c) O módulo de sua velocidade em t = 1 s é: O módulo de um vetor é seu valor independente do sinal, uma vez que o sinal está associado ao seu sentido, como vimos no item b. Assim, o módulo de v(t) = 8 m/s. Raciocínio da Resolução 6: Sabemos que: A equação horária da posição da partícula em relação ao tempo: 1 7

a) Sua velocidade média durante o intervalo de t = 2,00 s e t = 3,00 s é: Para calcularmos a velocidade média entre os instantes t = 2,00 s e t = 3,00 s, temos que saber quais são os valores da posição da partícula em cada um desses tempos. Para isso, basta substituir o valor do tempo em x(t): t = 2,00 s t = 3,00 s Cálculo da velocidade média: b) As velocidades instantâneas em t = 2,00 s e t = 3,00 s são, respectivamente: Para calcular a velocidade instantânea vamos usar: Sabemos que a derivada de uma constante é zero, Assim, a primeira derivada é: Sabemos que uma constante pode sair da derivada: 1 8

Usando a regra da derivada:, temos: Agrupando todas as derivadas, temos:. Para t = 2,00 s Para t = 3,00 s c) Sua velocidade instantânea em t = 2,50 s é: Para t = 2,50 s d) A velocidade instantânea quando a partícula estiver no meio do caminho entre suas posições em t = 2,00 s e t = 3,00 s é: Já calculamos a variação da posição da partícula entre os instantes t = 2,00 s e t = 3,00 s quando fizemos o cálculo da velocidade média. O meio do caminho entre esses dois intervalos de tempo é: 1 9

Nós somamos a posição em t = 2,00, pois é a posição inicial da partícula. Então, a metade do caminho entre t = 2,00 s e t = 3,00 s, deve iniciar na posição t = 2,00 s e somarmos a metade do percurso total. Uma ilustração: 0 x i x m x f x(m) Tempo gasto para chegar a x i : De t = 0,00 s a t = 2,00 s 0 x i x m x f x(m) Tempo gasto para chegar a x f : De t = 0,00 s a t = 3,00 s 0 x i x m x f x(m) Tempo gasto para chegar a x m : 0 x i x m x f x(m) Na verdade, isso é bastante intuitivo, pois a metade do caminho entre t = 2,00 s e t = 3,00 s deve ficar entre os valores de x(2,00 s) e x (3,00 s). Para encontrarmos a velocidade instantânea nesse ponto, temos que achar o tempo referente a essa posição. Para isso, vamos substituir esse valor na equação de x(t). 2 0

Com este tempo, vamos encontrar a velocidade instantânea do meio do percurso. t = 2,60 s. Raciocínio da Resolução 7: Vm = m/s Raciocínio da Resolução 8: Como a resposta é pedida em m/s temos que fazer as devidas conversões de unidade. V = 54 km/h = 54/3,6 m/s = 15 m/s 1 h = 60 min x 60 s = 3600 s 30 min = 30 x 60 s = 1800 s V = 36 km/h = 36/3,6 m/s = 10 m/s Quando calculamos a velocidade média, só nos importa as posições iniciais e finais e os tempos iniciais e finais. Paradas, ir e voltar um determinado trecho, nada influenciará. Primeiro passo: encontrar as posições iniciais e finais. Posição inicial: vamos considerar que o veículo partiu de S0 = 0 m. 2 1

Agora, temos que calcular a distância percorrida no primeiro trecho da viagem. Sabemos que por um período de 3600 s, o veículo estava com uma velocidade média de 15 m/s. Nesse período, a distância percorrida foi de: Segundo passo: o veículo ficou parado por 1800 s. Terceiro passo: Sabemos que por um período de 1800 s, o veículo estava com uma velocidade média de 10 m/s. Nesse período, a distância percorrida foi de: Quarto passo: Calcular a velocidade média de todo o percurso. Estipulando t0 = 0 s. Calcular Sf: Sf = S0 + S1 + S2 + S3 = 0 + 54000 + 0 + 18000 = 72000 m. Calcular tf: tf = t0 + t1 + t2 + t3 = 0 + 3600 + 1800 + 1800 = 7200 s. Calcular a velocidade média de todo o percurso: s Resposta a. Raciocínio da Resolução 9:, então. Substituindo os valores: = 250 h. 2 2

As respostas estão em dias, então, temos que converter horas para dias: Sabemos que 1 dia tem 24 h. Logo, 250 h/24 h = 10,4 dias. Como a resposta é aproximada, temos que o percurso é percorrido em 10 dias. Resposta b. Raciocínio da Resolução 10: Sabemos que: S = Sf S0 S0 é a posição em que o motorista vê a placa, S0 = 200 km, Sf é a posição do restaurante, Sf = 245 km. S = Sf S0 = 245 200 = 45 km t é um dado do problema. O restaurante está a 30 min. Temos que converter min para hora, pois a velocidade média é expressa em km/h. 1 h 60 min x h 30 min Resolvendo a regra de três, temos: 60x = 30, x = 30/60 = 0,5 h. Calculando a velocidade média: Resposta b. Raciocínio da Resolução 11: Como sabemos: 2 3

O problema nos dá as velocidades médias e as distâncias percorridas em dois trechos de uma trajetória, e nos pede a velocidade média total na trajetória completa. Para solucionarmos o problema, precisamos encontrar o tempo gasto em cada trecho. Trecho 1: Vm1 = 90 km/h e S1 = 500 m Como a resposta é dada em m/s, temos que converter a velocidade. Vm1 = 90/3,6 = 25 m/s. Agora, podemos encontrar o tempo gasto nesse trecho. Trecho 2: Vm2 = 72 km/h e S2 = 100 m Convertendo a velocidade. Vm2 = 72/3,6 = 20 m/s. Agora, podemos encontrar o tempo gasto nesse trecho. Calculando a velocidade média total: Resposta c. = Raciocínio da Resolução 12: A velocidade média em todo percurso deve ser de 80 km/h, então, vamos calcular o tempo estimado pelo motorista para percorrer os 40 km. Porém, durante os 15 min iniciais a velocidade média executada pelo veículo foi de 40 km/h. Para saber qual será a velocidade média durante o resto do percurso, temos que saber quanto o motorista já percorreu dos 40 km totais. 2 4

Como a velocidade do segundo trecho é pedida em km/h, temos que converter minutos para horas. 1h x h 60 min 15 min Resolvendo a regra de três: 60x = 15, então: x = 15/60 = 0,25 h. Agora, vamos calcular o deslocamento do veículo no intervalo de tempo t1 = 0,25 h com a velocidade média de 40 km/h. Falta percorrer 30 km ( S2 = St - S1 = 40 10 = 30 km) no intervalo de tempo restante de 0,25 h ( t2 = tt - t1 = 0,5 0,25 = 0,25 h). Com esses dados vamos calcular a velocidade média para o restante do percurso. Resposta c. Raciocínio da Resolução 13: Como sabemos, a velocidade média apresentada pelo corredor foi estipulada em 5,0 m/s e o intervalo de tempo em que ele poderia ter corrido se não fosse atropelado por um fanático, foi de 20 s. O problema pede que calculemos a distância que Vanderlei poderia ter percorrido, vamos calculá-la? Raciocínio da Resolução 14: Primeiramente, vamos fazer as conversões de unidades necessárias: Tempo converter de minuto para hora Intervalos de tempo gastos na ida: 2 5

t2 = 20 min = 20/60 min = 20/60 = 0,33 h (1h = 60 min). Intervalos de tempo gastos na volta: t = 10 min = 10/60 min = 10/60 = 0,17 h Agora, vamos calcular a velocidade da volta, pois é mais fácil: Como usamos valores aproximados na conversão da unidade de tempo, podemos considerar, observando as respostas, que a velocidade média de volta é de 78 km/h. Vamos calcular a velocidade média da ida. Para isso, temos de calcular a distância percorrida e o intervalo de tempo para os dois trechos mencionados: Trecho 1: V1 = 70 km/h e S1 = 7 km Cálculo de t1: Sabemos os valores de S2 e da t2, então, podemos calcular a velocidade média de ida, que será: As velocidades de ida e volta são, respectivamente, 30 km/h e 78 km/h. Resposta a. Raciocínio da Resolução 15: Sabemos que a aceleração média é definida como: 2 6

Como a velocidade está expressa em km/h e o tempo em s, dois sistemas de unidades diferentes, vamos converter a velocidade para o SI, onde a unidade é m/s. V = 72 km/h = 72/3,6 m/s = 20 m/s. Agora, podemos calcular a aceleração média do guepardo.. Raciocínio da Resolução 16: Vamos calcular a aceleração dos três carros e compará-las. Para o carro I: sua velocidade variou de v para 2v em um intervalo de tempo igual a t. Para o carro II: sua velocidade variou de v para 3v em um intervalo de tempo igual a 2t. Para o carro III: sua velocidade variou de v para 5v em um intervalo de tempo igual a 5t. Comprando as acelerações, vemos que a1 = a2 > a3 Resposta e. Raciocínio da Resolução 17: Sabemos que: 2 7

A velocidade inicial é de 72 km/h e o intervalo de tempo gasto até parar é de 4 s. Como as grandezas estão em sistemas de unidades diferentes, vamos converter a velocidade para m/s. Vi = 72 km/h = 72/3,6 m/s = 20 m/s. Vf = 0 m/s (o trem para). Calculando o módulo da aceleração: Como o problema pede o módulo da aceleração, então am = 5 m/s2 Resposta c. Raciocínio da Resolução 18: Sabemos que: am = 2 m/s2, vf = 108 km/h e vi = 0 Vamos converter a velocidade final para m/s para podermos fazer os cálculos, uma vez, que as grandezas encontram-se em unidades de medida diferentes. Vf = 108 km/h = 108/3,6 m/s = 30 m/s Vi = 0 m/s Considerando que ti = 0 s, vamos encontrar o valor de tf, que é o objetivo do problema.. O tempo gasto para que o corpo atinja a velocidade de 108 km/h é de t = 15 s 2 8

Raciocínio da Resolução 19: A velocidade inicial com que a tenista recebe a bola é de vi = 20 m/s, quando ela rebate a bola o sentido da velocidade muda. Assim, o sinal da velocidade final terá o sinal contrário ao da velocidade inicial para representar essa mudança de sentido no movimento. Dessa forma, vf = - 30 m/s. Essa alteração na velocidade ocorre em um intervalo de tempo de 0,100 s. Vamos calcular a aceleração média? Como o problema pede o módulo da aceleração média, ela será de 500 m/s 2. Resposta d. Raciocínio da Resolução 20: V(3) = 12 m/s e V(9) = 0 m/s Resposta b. Raciocínio da Resolução 21: Como estamos informando o módulo, a direção e o sentido da velocidade da bola, estamos tratando-a como um vetor. Resposta d. 2 9