UNIVERSIDADE DOS AÇORES CURSO DE SOCIOLOGIA INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA Ficha de Exercícios nº 3- Variáveis Aleatórias. Seja uma variável aleatória discreta cuja função massa de probabilidade é dada por x i 0 2 3 p (x i ) 0.3 0.25 0.2. Determine a P(=3) sabendo que se trata de uma função massa de probabilidade..2 Determine a função de distribuição da variável aleatória..3 Calcule o valor esperado de e a variância de. 2. Considere uma variável aleatória do tipo discreto com função de distribuição 0 6 ( x) = 4 2 2. Determine a função massa de probabilidade 2.2 Calcule: F x < 0 0 x < 2 2 x < 4 4 x < 6 x 6 i) P( ) ii) P(2 <6) iii)p(0< 2) iv) P(>5) 3. O número de esquentadores vendidos diariamente em certo estabelecimento é uma variável aleatória com a seguinte função massa de probabilidade x i 0 2 3 4 p (x i ) a b c b a Se em 0% dos dias as vendas diárias são inferiores a uma unidade e em 70% dos dias as vendas são superiores a uma unidade 3. Determine a b e c. Rita Brandão/Deptº. Matemática U.A.
3.2 Determine a probabilidade de que quando consideramos dois dias as vendas sejam superiores em cada um deles a duas unidades. 3.3 Se um esquentador é vendido a 75 euros determine a receita média ao fim de um dia. 3.4 Se num dia a receita for inferior a 250 euros determine a probabilidade de que seja superior a 00 euros. 4. Considere a variável aleatória Z=2+4+ 2. Determine E(Z) atendendo a que é uma variável aleatória com função massa de probabilidade dada por: p 2 4 ( x) = 4 0 x = x = 2 x = 4 x 24 5. O gerente de um restaurante verificou que o n.º de pessoas que compõem os grupos que pretendem mesa segue o seguinte modelo de probabilidade: n.º pessoas/grupo 2 3 4 5 6 7 8 probabilidade 0.0 0.30 0.0 0.20 0.08 0. 0.03 0.08 Determine o tamanho médio dos grupos. Existe muita variabilidade nos tamanhos dos grupos? 6. O João apostou com o seu amigo Pedro que no próximo jogo Benfica - Sporting o Benfica ganharia. O João recebe 5 euros se ganhar a aposta e paga 0 euros se perder. Para quem é favorável a aposta: 6. Se a probabilidade do Benfica ganhar ao Sporting for de 0.5? 6.2 Se a probabilidade anterior for de 0.3? 6.3 Se os montantes implicados na aposta forem respectivamente 0 euros e 5 euros e tendo em conta a alínea 6. o risco corrido pelo João é maior ou menor do que os montantes iniciais? 7. O número de pacotes de leite comprados no supermercado do bairro A numa segundafeira é uma variável aleatória com a seguinte distribuição de probabilidade. n.º pacotes de leite 0 2 4 5 2 f(x) 0.2 0.2 0.8 k 0.5 0.02 Rita Brandão/Deptº. Matemática U.A. 2
Determine: 7. O valor de k. 7.2 A probabilidade de um cliente comprar até 6 litros de leite. 7.3 A probabilidade de comprar mais do que dois mas menos do que seis litros de leite. 7.4 O valor médio e a variância de. (ª frequência de 2005/06-Teste B) 8. Seja uma variável aleatória que representa a duração (em minutos) de uma chamada telefónica e uma variável aleatória que representa o respectivo custo. Este custo tem duas componentes. Um custo fixo de 0.30 euros de estabelecimento da ligação inicial e um custo de 0.25 euros por minuto. A função massa de probabilidade de é: Interprete e calcule: 8. P( 0) 8.2 P(5 0 5) 8.3 Determine E() e Var() Duração (em minutos) de uma chamada telefónica 5 0 5 20 f(x) 0.2 0.5 0.2 0. 8.4 Determine a função massa de probabilidade de 8.5 Determine Var() (ª frequência de 2005/06-Teste A) 9. Seja () uma variável aleatória bidimensional com a seguinte função de probabilidade conjunta: -2-4 5 p (x) 0. 0.2 0.0 0.3 2 0.2 0. 0. 0.0 p (y) 9. Defina as funções de probabilidade marginais. 9.2 Defina a função de distribuição conjunta F (x y). 9.3 Determine P (=2 3). 9.4 Determine Cov (). Rita Brandão/Deptº. Matemática U.A. 3
0. Sejam e duas variáveis aleatórias com a seguinte função de probabilidade conjunta: p ( x + y) ( x y) = 30 0 ( x y) A B ( x y) A B com A={0 2 3} e B={0 2}. 0. Defina as funções de probabilidade marginais. 0.2 Defina a função de distribuição F (x y).. Considere a experiência aleatória lançamento de dois dados em que um dos dados é de cor azul e o outro de cor vermelho. Seja o número de pontos saídos no dado azul e o número de pontos saídos no dado vermelho.. Defina justificando a função de probabilidade conjunta..2 Determine a probabilidade de sair mais do que 7 pontos no lançamento dos dois dados..3 Considere a variável aleatória Z=5+0. Determine E(Z) e Var(Z)..4 Determine P(Z 40). 2. Considere duas linhas de montagem de um certo tipo de automóveis e admita que a capacidade diária seja de 3 automóveis na linha I e de 5 automóveis na linha II. Seja ( ) o número de automóveis montados respectivamente nas linhas I e II. A tabela abaixo indica os valores da função de probabilidade conjunta: 0 2 3 4 5 p (x) 0 0 0.0 0.03 0.05 0.07 0.09 0.0 0.02 0.04 0.05 0.06 0.08 2 0.0 0.03 0.05 0.05 0.05 0.06 3 0.0 0.02 0.04 0.06 0.06 0.05 p (y) Rita Brandão/Deptº. Matemática U.A. 4
2. Defina p (x) e p (y). 2.2 Verifique se e são v.a. independentes. 2.3 Defina F (x y). 2.4 Calcule a probabilidade da linha II produzir mais automóveis do que a linha I. 3. Uma perfumaria vende artigos da marca e da marca. A função de probabilidade conjunta do número de artigos vendidos diariamente é a seguinte: 0 2 0 0.2 0.25 0.3 0.05 0.30 0.0 2 0.03 0.0 0.0 3. Calcule as funções de probabilidade marginais de e. 3.2 Calcule a função de distribuição de 3.3 Determine P( - ). 3.4 Determine Cov() e ρ. 4.. Sejam e duas variáveis aleatórias tais que: assume os valores 0 ou conforme seja a máquina A ou a máquina B que produza um determinado artigo; assume os valores 0 2 ou 3 e representa o n.º de defeitos de um artigo produzido pela máquina A ou pela máquina B. A seguinte tabela apresenta a função de probabilidade conjunta das variáveis aleatórias e. 0 2 3 0 0.250 0.0625 0.875 0.250 0.0625 0.0625 0.250 0.2500 Rita Brandão/Deptº. Matemática U.A. 5
4. Verifica-se que um artigo não tem defeitos. Qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina A? 4.2 Sabe-se que um artigo foi produzido pela máquina A. Qual a probabilidade de não ter defeitos? 4.3 Sabe-se que um artigo tem dois ou mais defeitos. Qual a probabilidade de ter sido produzido pela máquina A? 4.4 O número de defeitos de um artigo é influenciado pela máquina que o produz? 5. Duas máquinas A e B operam independentemente uma da outra e podem ter um certo n.º de avarias durante a semana. O quadro seguinte fornece a distribuição de probabilidade de avaria: N.º Avarias 0 2 3 Máquina A 0.9 0.27 0.34 0.2 Máquina B 0.4 0.25 0.25 0. 5. Determine a função de probabilidade conjunta de e onde representa o n.º de avarias da máquina A e o n.º de avarias da máquina B. 5.2 Calcule a probabilidade das máquinas A e B terem o mesmo número de avarias. 5.3 Calcule a probabilidade da máquina A ter menos avarias do que a máquina B. 6. Sejam e variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta dada por: - 0-0 ¼ 0 0 ¼ 0 ¼ 0 ¼ 0 Mostre que Cov()=0 mas que e não são independentes. Rita Brandão/Deptº. Matemática U.A. 6
7. Sejam e variáveis aleatórias com função de probabilidade conjunta dada por: 2 c 2c 2 2c 4c 3 3c 6c 7. Determine o valor da constante c. 7.2 Determine P(=3 =2) e F (2 2). 7.3 Determine a covariância entre e. Rita Brandão/Deptº. Matemática U.A. 7