AULA 4 Prodto escalar Prodto escalar definição algébrica Sejam,, e,, escalar o número real:, chamamos de prodto Notação: o, e se lê: escalar. Eemplos: ) Dados os etores,,3 e 3,4,, calclar: a) =. (-3) +. 4 + 3. (-) = 3 + 8 3 = b) = = (-, 6, ) (-4,, -4) = (-). (-4) + 6. +. (-4) = 8 + 8 = ) Dados os etores 4,, e,, 3 e os pontos A(4, -, ) e (3,, -), determinar o alor de tal qe A 5. A A (, 3, 3) A = ( +, -, 6) A 5 4,, (,, 6) 5 4. ( + ) +. (-) + (-). 6 = 5 4 + 4 - - 6 = 5 3 = 7 7 3
Propriedades do prodto escalar: i) ii) w w iii) i) 0 se 0 e 0 se 0 ) Eemplos: ) Sendo,,, demonstre a propriedade ) Resolção:,,,, ) Mostrar qe Resolção: i ii Analogamente, Resola ocê...
3) Sendo 4, e 3, calclar 3 4. Resolção: 3 4 3 3 4 8 8 3 4 43 8 48 4 3 38 Eercício resolido: Determinar o etor, paralelo ao etor = (, -, 3), tal qe 4. Resolção: Seja,, o etor procrado., temos:,,,, 3 3 4 Como 4 (i) Como os etores são paralelos, temos: // O seja, mltiplicando em cr, temos: - = = - - = 3 = - 3 (ii) 3 Logo, sbstitindo as eqações obtidas em (ii) em (i), obtemos: (- ) + 3(- 3) = - 4-4 9 = - 4-4 = - 4 = 3 = -. 3 = - 6 = -3. 3 = - 9 Logo, 6, 3, 9
Prodto escalar definição geométrica Sejam e,etores não paralelos, e o ânglo formado por eles, então temos qe: C A cos; 0 80º Demonstração: Eemplo: Sendo, 3 e 0º o ânglo entre e, calcle. Resolção: cos 3cos0º 3 3
Propriedades: sen 90º 80º _ + 0º cos i) 0 cos 0 0º 90º, o seja, é m ânglo agdo. ii) 0 cos 0 90º 80º, o seja, é m ânglo obtso. iii) 0 cos 0 90º, o seja, é m ânglo reto: 0 : condição de ortogonalidade de dois etores Eemplo: Mostrar qe os segintes pares de etores são ortogonais: a),, 3 e 4, 5, =. 4 + (-). 5 + 3. = 4 0 + 6 = 0 são ortogonais. b) i e j, 0, 0 0,, 0 i j =. 0 + 0. + 0. 0 = 0 + 0 + 0 = 0 são ortogonais. Eercícios resolidos: ) Qal o alor de para qe os etores a i j 4k e b i ( ) j 3k sejam ortogonais?
Resolção: a b a b 0 (,, -4) (, -, 3) = 0 + - 4 - = 0 - = 0 = - 5 ) Dados os pontos A(m,, 0); (m, m, ) e C(, 3, -), determinar m de modo qe o triânglo C seja retânglo em A. Calclar a área do triânglo. Resolção: Para qe o triânglo C seja retânglo em A, precisamos qe o etor seja ortogonal ao etor : C 80º _ + 0º cos A 0 (-, m, ) ( m,, -) = 0 - + m + 4m = 0 5m = 5 m = Para calclar a área do triânglo, precisamos das medidas de sa base ( ) e de sa altra ( ):, m,,, ( ) 6 m,, 0,, 0 ( ) 5
Logo, b h A 6 5 30.a. 3) Determinar o etor, sabendo qe, é ortogonal ao eio, w 6 w i j. Resolção: Seja,, o etor procrado. Como é ortogonal ao eio, tomamos o etor, 0, 0 representante do eio. Portanto, temos: i como i i 0,,, 0, 0 0 0 0 0 0 Como w 6, temos: 0,,,, 0 6 0 0 6 3 Por ltimo, para determinarmos o alor de, samos o fato de qe : 0 3 5 9 5 6 4 Logo, 0, 3, 4 o 0, 3, 4
Cálclo do ânglo entre dois etores: De cos, temos: cos C A Eemplos: ) Calclar o ânglo entre os etores,,4 Resolção: e,, 8 9 6 8 3 4 4 9 3 cos 3 9 3 Logo, arccos 45º ) Seja o triânglo de értices A(,, 3); (, 0, -) e C(-,, ). Determinar o ânglo interno ao értice. Qal o ânglo eterno ao értice? Resolção: C - A ^ 80 - ^ sen
cos ˆ A A A A,, 4 A 6 8 3,, 4 4 4 3 A 8 8 cosˆ 3 8 3 8 6 6 6 6 8 6 36 6 9 6 Logo, ˆ arccos 57,0º 9 E, portanto, o ânglo eterno ao értice, é: 80º - 57,0º =,98º 3) Sabendo qe o etor = (,, - ) forma ânglo de 60º com o etor determinado pelos pontos A(3,, -) e (4, 0, m),calclar m. Resolção: cos 60º A,, m ( ) ( m ) m m m m 4m 4 m 4m 6 4 6 cos 60º m m 4m 6 6 Eleando ambos os membros da eqação ao qadrado, obtemos: 4 m 6. m 4 m m 4m 6 6m 4m 36 m
4m m m 8m 4 6m 6m 3 0 ( ) 8m 6 0 8 0 m m 4 4m 36 4) Um etor do espaço forma com os etores i e j ânglos de 60º e 0º respectiamente. Determinar o etor sabendo qe sa norma é. Resolção: Seja,, o etor procrado. Como forma ânglo de 60º com o etor i, 0, 0 cos 60º i i, 0, 0,,, temos: Como forma ânglo de 0º com o etor j 0,, 0 cos 0º j j 0,, 0,,, temos: Por ltimo, para determinarmos o alor de, samos o fato de qe : 4 Logo,,, o,, Obs.: Os ânglos formados entre m etor e os eios coordenados são chamados ânglos diretores.
5) Determinar o etor, tal qe: 4 ; é ortogonal ao eio O e forma ânglo de 60º com o etor i e ânglo obtso com j. Resolção: Seja,, o etor procrado. Como é ortogonal ao eio, tomamos o etor 0, 0, representante do eio. Portanto, temos: k como k k 0,, 0, 0, 0 0 0 0 0 Como forma ânglo de 60º com o etor i, 0, 0 cos 60º i i, 0, 0,, 4, temos: 4 Como forma ânglo obtso (maior qe 90º) com o etor 0,, 0 temos: 0,, 0,, 0 0 0 cos 0 j 0 () j, Por ltimo, para determinarmos o alor de, samos o fato de qe 4 : 0 4 4 6 3 De (), temos qe 3 Logo,, 3, 0
Projeção de m etor sobre otro Sejam e etores não nlos e o ânglo entre eles: A q Seja é a projeção ortogonal de sobre. Notação: proj proj Obseração: eja a demonstração dessa fórmla em WINTERLE (000). Eemplos: ) Dados os etores 3, 0, e,,, determinar proj e proj. Resolção: proj 5 3, 0,, 0, 6 5 ( ) 3 0 3 3 0 0 5 4 0 3, 0, 3, 0, proj 4 9 8 9,,,, 4 ( ) ( ) 4 9 8 9 4 9,,,,
) Sejam os pontos A(-, -, ); (,, ) e C(m, -5, 3). a) Para qe alor de m o triânglo C é retânglo em A? b) Determinar o ponto H, pé da altra relatia ao értice A. Resolção: A H C a) Para qe o triânglo C seja retânglo em A, precisamos qe o etor seja ortogonal ao etor : 0 (3,, -) (m +, - 4, ) = 0 3m + 3 8 = 0 3m = 6 m = b) Para determinarmos o ponto H, precisamos, em primeiro lgar, determinar o etor H qe é a projeção do etor A sobre o etor : A A ( 3,, ) C (0, 6, ) H proj 4 40 A A 7 0 4 0 0, 6, 0, 6, 0,, 0,, Como H = H, temos: H = H + 7 0,, 0 0 7,,,, 0 0 H = ( 3) 0 ( ) ( 6) 0, 6, 0 0 ( 6) ( 6) 4 0 0 7 0
3) Sejam A(,, 3); (m, 3, 5) e C(0, 4, ) értices de m triânglo. Determine: a) O alor de m para qe o triânglo C seja retânglo em A. b) Calclar a medida da projeção do cateto sobre a hipotensa. c) Determinar o ponto H, pé da altra relatia ao értice A. d) Mostrar qe AH. Resolção: A H C a) Para qe o triânglo C seja retânglo em A, precisamos qe o etor seja ortogonal ao etor : 0 (m -,, ) (-, 3, - ) = 0 - m + 4 + 6 4 = 0 - m = - 6 m = 3 b) A medida da projeção do cateto sobre a hipotensa é a norma do etor H qe é a projeção do etor A sobre o etor : A A (,, ) C ( 3,, 4) H proj 9 6 Logo, A A 3,, 4,, 7 6 9 6 36 6 ( ) ( 3) ( ) ( ) ( 4) 3,, 4 ( 3) ( 3) ( 4) ( 4)
7 9 36 79 896 06 H 6 6 6 6 6 9 6 6.c. c) Como H = H, temos: H = H + 7 9 36,, 6 6 6 5 87 94 3, 3, 5,, 6 6 6 H = d) AH AH 0 De fato: 6, 6 6 6, 6 3 6 6 6 64 6 3,, 4 0 REFERÊNCIAS CAMARGO, Ian de; OULOS, Palo. Geometria Analítica: m tratamento etorial. São Palo: Pearson, 00. STEINRUCHY, Alfredo; WINTERLE, Palo. Geometria Analítica. São Palo: Makron ooks, 987. WINTERLE, Palo. Vetores e Geometria Analítica. São Palo: Makron ooks, 000.