CÁLCULO I Aula 03: s, e. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará
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A Seja x > 0. Denimos a função logarítmica natural como sendo a função dada pela medida da área abaixo da hipérbole y = 1 t, entre t = 1 e t = x. Gracamente, essa área é dada como abaixo:
A Seja x > 0. Denimos a função logarítmica natural como sendo a função dada pela medida da área abaixo da hipérbole y = 1 t, entre t = 1 e t = x. Gracamente, essa área é dada como abaixo:
Então podemos escrever que f : R + R x f (x) = ln x = Área abaixo da função g(t) = 1 t entre as retas t = 1 e t = x
Durante nosso estudo, deniremos mais precisamente como calcular essa área, contudo a ideia que deve car presente em nossas mentes é que a relação que acabamos de denir é uma função, pois a cada x tomado, temos uma região correspondente a esse x; e a essa região temos um único número real que corresponde a sua área.
Por exemplo, para x = 2, temos que o valor de ln 2 é o valor da área da região
Para x = 1 2,
Observação Essa função está bem denida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0.
Observação Essa função está bem denida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0. Observação A princípio, deniremos que se x > 1 então f (x) > 0 e se 0 < x < 1 então f (x) < 0, contudo essa armação será provada nas aulas seguintes.
Observação Essa função está bem denida, pois a hipérbole existe em todos os pontos t = x, com x > 0. Observação A princípio, deniremos que se x > 1 então f (x) > 0 e se 0 < x < 1 então f (x) < 0, contudo essa armação será provada nas aulas seguintes. Denição Denimos o número e como sendo o número tal que f (e) = ln e = 1.
Proposição Sejam a, b > 0, então
Proposição Sejam a, b > 0, então (i) ln(a.b) = ln a + ln b;
Proposição Sejam a, b > 0, então (i) ln(a.b) = ln a + ln b; ( a ) = ln a ln b; b (ii) ln
Proposição Sejam a, b > 0, então (i) ln(a.b) = ln a + ln b; ( a ) = ln a ln b; b (ii) ln (iii) ln(a c ) = c ln a, c R
O Gráco de f (x) = ln x é:
A Observando o gráco de f (x) = ln x, podemos notar que f é injetora, uma vez que verica o teste da reta horizontal; e também é sobrejetora, pois Im f = R. Logo, a função logarítmica natural é bijetora e portanto, inversível. modo, podemos denir uma função g : R R +, denotada por tal que g(x) = f 1 (x). g(x) = exp(x) Desse
Utilizando as propriedades de função inversa e função composta, temos que f (g(x)) = x, x R e g(f (x)) = x, x R +
Utilizando as propriedades de função inversa e função composta, temos que f (g(x)) = x, x R e g(f (x)) = x, x R + Logo, exp(1) = exp(ln e) = e exp(0) = exp(ln 1) = 1
Se x for qualquer número real, então a propriedade do logaritmo da potência nos dá: ln(e x ) = x ln(e) = x.
Se x for qualquer número real, então a propriedade do logaritmo da potência nos dá: Portanto, ln(e x ) = x ln(e) = x. exp(x) = e x.
Se x for qualquer número real, então a propriedade do logaritmo da potência nos dá: Portanto, Logo, ln(e x ) = x ln(e) = x. exp(x) = e x. e x = exp(x)
Se x for qualquer número real, então a propriedade do logaritmo da potência nos dá: Portanto, Logo, ln(e x ) = x ln(e) = x. exp(x) = e x. e x = exp(x) Em outras palavras, denimos e x como a função inversa de ln x: e x = y ln y = x. (1)
Supondo que as propriedades dos logaritmos são verdadeiras, podemos mostrar o seguinte teorema
Supondo que as propriedades dos logaritmos são verdadeiras, podemos mostrar o seguinte teorema Teorema Se x e y forem números reais, então 1 e x+y = e x.e y
Supondo que as propriedades dos logaritmos são verdadeiras, podemos mostrar o seguinte teorema Teorema Se x e y forem números reais, então 1 e x+y = e x.e y 2 e x y = ex e y
Supondo que as propriedades dos logaritmos são verdadeiras, podemos mostrar o seguinte teorema Teorema Se x e y forem números reais, então 1 e x+y = e x.e y 2 e x y = ex e y 3 (e x ) y = e xy
Agora, utilizando a propriedade gráca da função inversa, obtemos que o gráco da função exponencial natural é
Agora, utilizando a propriedade gráca da função inversa, obtemos que o gráco da função exponencial natural é
Denição Se a > 0 e x são números reais, então: a x = (e ln a ) x = e x ln a.
Denição Se a > 0 e x são números reais, então: a x = (e ln a ) x = e x ln a. Portanto, denimos a x = e x ln a (2)
A função f (x) = a x é chamada função exponencial com base a. Observe que a x é positivo para todo x, pois e x é positivo para todo x.
A função f (x) = a x é chamada função exponencial com base a. Observe que a x é positivo para todo x, pois e x é positivo para todo x. A Denição 3.1 nos permite estender uma das propriedades de logaritmos. Já sabemos que ln(a x ) = x. ln a, logo: ln a x = ln(e x ln a ) = x. ln a x R
Teorema Se x e y forem números reais e a, b > 0, então: 1 a x+y = a x.a y
Teorema Se x e y forem números reais e a, b > 0, então: 1 a x+y = a x.a y 2 a x y = ax a y
Teorema Se x e y forem números reais e a, b > 0, então: 1 a x+y = a x.a y 2 a x y = ax a y 3 (a x ) y = a xy
Teorema Se x e y forem números reais e a, b > 0, então: 1 a x+y = a x.a y 2 a x y = ax a y 3 (a x ) y = a xy 4 (ab) x = a x.b y
Observação Se a > 1, então ln a > 0, logo a x. ln a > 0, o que mostra que y = a x é crescente. Analogamente, se 0 < a < 1, então ln a < 0 e, portanto, y = a x é decrescente.
Observação Se a > 1, então ln a > 0, logo a x. ln a > 0, o que mostra que y = a x é crescente. Analogamente, se 0 < a < 1, então ln a < 0 e, portanto, y = a x é decrescente. Deniremos agora a função logarítmica geral.
Observação Se a > 1, então ln a > 0, logo a x. ln a > 0, o que mostra que y = a x é crescente. Analogamente, se 0 < a < 1, então ln a < 0 e, portanto, y = a x é decrescente. Deniremos agora a função logarítmica geral. Se a > 0 e a 1, então f (x) = a x é uma função injetora. Sua função inversa é chamada função logarítmica de base a e é denotada por f (x) = log a x. Logo: log a x = y a y = x (3)
Observação Se a > 1, então ln a > 0, logo a x. ln a > 0, o que mostra que y = a x é crescente. Analogamente, se 0 < a < 1, então ln a < 0 e, portanto, y = a x é decrescente. Deniremos agora a função logarítmica geral. Se a > 0 e a 1, então f (x) = a x é uma função injetora. Sua função inversa é chamada função logarítmica de base a e é denotada por f (x) = log a x. Logo: log a x = y a y = x (3) Em particular: log e x = ln x.
Nessa seção apresentaremos as funções hiperbólicas, que são funções obtidas por combinação das funções e x e e x. Elas são:
Seno Hiperbólico. O seu gráco 2 é é a função f : R R dada por f (x) = senh (x) = ex e x
Seno Hiperbólico. O seu gráco 2 é é a função f : R R dada por f (x) = senh (x) = ex e x
Cosseno Hiperbólico, e seu gráco 2 é: é a função g : R R +, dada por g(x) = cosh(x) = ex + e x
Cosseno Hiperbólico, e seu gráco 2 é: é a função g : R R +, dada por g(x) = cosh(x) = ex + e x
Tangente Hiperbólica é a função f : R ( 1, 1) dada por f (x) = tgh (x) = senh x cosh x = ex e x e x + e x, o seu gráco é o seguinte:
Tangente Hiperbólica é a função f : R ( 1, 1) dada por f (x) = tgh (x) = senh x cosh x = ex e x e x + e x, o seu gráco é o seguinte:
Secante Hiperbólica é a função g(x) = 1 e cujo gráco é: cosh(x)
Secante Hiperbólica é a função g(x) = 1 cosh(x) e cujo gráco é: Figura: Gráco da f (x) = sech x
Cossecante Hiperbólica é a função f (x) = 1 e cujo gráco é: senh(x)
Cossecante Hiperbólica é a função f (x) = 1 senh(x) e cujo gráco é: Figura: Gráco da f (x) = cossech x
Cotangente Hiperbólica é a função g(x) = 1 tgh(x) = cosh(x) senh x e cujo gráco é:
Cotangente Hiperbólica é a função g(x) = 1 tgh(x) = cosh(x) senh x e cujo gráco é: Figura: Gráco da f (x) = cotgh x
Exemplo Calcule o valor de
Exemplo Calcule o valor de (a) senh 0
Exemplo Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0
Exemplo Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh 1
Exemplo Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh 1 (d) senh (ln 2)
Exemplo Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh 1 (d) senh (ln 2) (e) sech 0
Exemplo Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh 1 (d) senh (ln 2) (e) sech 0 (f) cotgh (ln 3)
Exemplo Calcule o valor de (a) senh 0 (b) cosh 0 (c) tgh 1 (d) senh (ln 2) (e) sech 0 (f) cotgh (ln 3) (g) cossech (ln 2)
A utilização das funções hiperbólicas na ciência e na engenharia ocorre sempre que uma entidade com a luz, a velocidade, a eletricidade ou a radioatividade, é gradualmente absorvida ou extinta, sendo esse decaimento representado por esse tipo de função. Uma outra aplicação é o uso do cosseno hiperbólico para descrever a forma de um o dependurado entre duas hastes, como por exemplo o o elétrico entre dois postes. Em geral, esse o assume a forma ). de uma catenária, que é uma curva cuja equação é y = c + a cosh ( x a
Também podemos utilizar as funções hiperbólicas na descrição das ondas do mar. A velocidade de uma onda aquática com comprimento L se movimentando por uma massa de água com profundidade d é modelada pela função: v = gl 2π tgh onde g é a aceleração da gravidade. ( ) 2πd L
Proposição Sejam x, R. Então:
Proposição Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x
Proposição Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x (ii) cosh( x) = cosh x
Proposição Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x (ii) cosh( x) = cosh x (iii) cosh 2 x senh 2 x = 1
Proposição Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x (ii) cosh( x) = cosh x (iii) cosh 2 x senh 2 x = 1 (iv) 1 tgh 2 x = sech 2 x
Proposição Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x (ii) cosh( x) = cosh x (iii) cosh 2 x senh 2 x = 1 (iv) 1 tgh 2 x = sech 2 x (v) senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x
Proposição Sejam x, R. Então: (i) senh ( x) = senh x (ii) cosh( x) = cosh x (iii) cosh 2 x senh 2 x = 1 (iv) 1 tgh 2 x = sech 2 x (v) senh(x + y) = senh x cosh y + senh y cosh x (vi) cosh(x + y) = cosh x cosh y + senh x senh y
Na próxima aula... Limites e Contínuas
Na próxima aula... Limites e Contínuas Limite e Continuidade de funções;
Na próxima aula... Limites e Contínuas Limite e Continuidade de funções; Propriedades dos limites.