UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I. A regra a constante A Regra a Constante: Algumas Regras para Diferenciação A erivaa e uma função constante é zero; isto é, c c [ ] 0, constante Prof.: Rogério Dias Dalla Riva Algumas Regras para Diferenciação. A regra a constante.a regra a constante.a regra a potência.a regra o múltiplo constante 4.As regras a soma e a.uma aplicação: aumento e venas Demonstração: Seja f() c. Pela efinição e erivaa, poemos escrever f ( + ) f ( ) c c 0 f ( ) lim lim lim 0. 0 0 0 Portanto, [ c ] 0.. A regra a constante. A regra a constante Na aula anterior calculamos erivaas pelo processo e limite. Este processo, entretanto, é longo, mesmo para as funções mais simples; felizmente eistem regras que simplificam granemente a iferenciação. Essas regras permitem calcular erivaas sem utilizar limites iretamente. Note, na figura abaio, que a Regra a Constante equivale a izer que o coeficiente angular e uma reta horizontal é zero.
. A regra a constante. A regra a potência Eemplo : Cálculo e erivaas e funções constantes a. [ 7] 0 b. Se f ( ) 0, então f ( ) 0 y c. Se y, então 0. Se g( t) -, então g ( t) 0 n n f ( + ) f ( ) ( + ) f ( ) lim lim 0 0 n n n n( n ) n + n + ( ) + + ( ) lim 0 n n n( n ) n n + ( ) + + ( ) lim 0 n n n( n ) n lim n + ( ) + + ( ) 0 n n + 0 + + 0 n n n. A regra a potência. A regra a potência Utilizamos o esenvolvimento binomial para provar a Regra a Potência: ( + ) + + ( ) ( + ) + + ( ) + ( ) n( n ) n n n n ( + ) + n + ( ) + ( ) n Para a Regra a Potência, o caso em que n convém ser consierao como uma regra separaa e iferenciação; isto é, [ ] Esta regra é compatível com o fato e o coeficiente angular a reta aa por y ser, como se vê na figura seguinte.. A regra a potência. A regra a potência A Regra (Simples) a Potência: n n n, n real, arbitrário Demonstração: Provaremos apenas o caso em que n é um inteiro positivo. Seja f() n. Aplicano o esenvolvimento binomial, poemos escrever
. A regra a potência. A regra a potência Eemplo : Aplicano a regra a potência Função Derivaa a. f ( ) f ( ) y b. y ( ) - c. g( t) t g ( t) R. R 4 4 Valor e Inclinação o Gráfico e f a. ( ) ( ) 4 m f b. - ( ) ( ) m f c. 0 (0) (0) 0 m f. () () m f e. m f () () 4 A figura seguinte eibe o gráfico e f.. A regra a potência. A regra a potência No Eemplo b, note que, antes e iferenciar, evemos escrever / como -. Isto constitui o primeiro passo em muitos problemas e iferenciação. Função: y Reescreveno: y Diferenciano: Simplificano: y y ( ) Lembre que a erivaa e uma função f é outra função que á a inclinação o gráfico e f em um ponto arbitrário one f seja iferenciável.. A regra a potência. A regra o múltiplo constante Eemplo : Ache a inclinação o gráfico e f() para -, -, 0, e. Comecemos aplicano a Regra a Potência para achar a erivaa e f. f () Poemos aplicar a erivaa para achar a inclinação o gráfico e f, como segue. A Regra o Múltiplo Constante: Para provar a Regra o Múltiplo Constante, aplicamos a seguinte proprieae os limites. lim cg( ) c lim g( ) a a
. A regra o múltiplo constante. A regra o múltiplo constante A Regra o Múltiplo Constante: Se f é uma função iferenciável e e c é um número real, então [ cf ( )] cf ( ), c é uma constante. Eemplo 4: Diferencie as seguintes funções 4t a. y b. f ( t) Aplicano a Regra o Múltiplo Constante e a Regra a Potência, poemos escrever y a. Regra o múltiplo constante Regra a potência. A regra o múltiplo constante. A regra o múltiplo constante Demonstração: Aplicano a efinição e erivaa, obtemos cf ( + ) cf ( ) f ( + ) f ( ) [ cf ( ) ] lim lim c 0 0 f ( + ) f ( ) c lim cf ( ). 0 Informalmente, a Regra o Múltiplo Constante afirma que as constantes poem ficar fora o processo e iferenciação. A utiliae esta regra costuma ser esquecia quano a constante figura no enominaor. Eemplo 4: Diferencie as seguintes funções 4t a. y b. f ( t) Aplicano a Regra o Múltiplo Constante e a Regra a Potência, poemos escrever 4 4 4 8 ( ) ( ) t t b. f ( t) t t t t Regra o múltiplo constante Regra a potência. A regra o múltiplo constante. A regra o múltiplo constante Para utilizar eficientemente a Regra o Múltiplo Constante, evemos procurar constantes que possam ser fatoraas antes e iferenciar. Veja os eemplos seguintes. ( ) 0 e ( ) Poemos combinar a Regra o Múltiplo Constante e a Regra a Potência para formar uma regra única. c n cn n, n real, c constante Assim é que, no Eemplo 4b, aplicano esta regra combinaa, obtemos 4 4 8 t ()( t) t 4
. A regra o múltiplo constante. A regra o múltiplo constante Eemplo : Derive as funções abaio Eemplo 7: Ache a erivaa e caa função. Tenha em mente que c c [ ], c é uma constante. Função Original Derivaa a. y y - b. y π y π c. y y - Função Reescreveno Diferenciano Simplificano a. y y y y b. y y ( ) y y c. y y ( ) y y. A regra o múltiplo constante Eemplo 6: Ache a erivaa e caa função. Função Reescreveno Diferenciano Simplificano 4 a. y y ( ) y ( ) y 4 4 b. y y ( ) y ( ) y 4 8 8 8 ( ) 7 7 7 4 c. y y ( ) y ( ) y 7 y y y y ( ) ( ) ( ). 6 6 6 As Regras a Soma e a Diferença A erivaa a soma (ou ) e uas funções iferenciáveis é a soma (ou ) e suas erivaas. [ f g ] f g [ g ] f g ( ) + ( ) ( ) + ( ) Regra a Soma ( ) ( ) ( ) ( ) Regra a Diferença. A regra o múltiplo constante Ao iferenciar funções que envolvem raicais, é conveniente escrevê-las com epoentes racionais. Veja os eemplos abaio: y y y y y 4 4 4 h Demonstração: Seja h() f() + g() h( + ) h( ) f ( + ) + g( + ) f ( ) g( ) ( ) lim lim 0 0 f ( + ) f ( ) + g( + ) g( ) lim 0 f ( + ) f ( ) g( + ) g( ) lim 0 + f ( + ) f ( ) g( + ) g( ) lim + lim 0 0 f ( ) + g ( )
Assim, [ f ( ) + g ( )] f ( ) + g ( ) A Regra a Diferença se emonstra e maneira análoga. As Regras a Soma e a Diferença poem ser estenias para a soma ou a e um número finito arbitrário e funções. Por eemplo, se y f + g + h y f + g + h ( ) ( ) ( ), então ( ) ( ) ( ) O Eemplo 8 mostra como utilizar a erivaa para eterminar a forma e um gráfico. Um primeiro esboço o gráfico poe ar a impressão e que o ponto (-, ) seja um ponto mínimo o gráfico. Entretanto, após achar que a inclinação nesse ponto é -, concluímos que o ponto e mínimo (em que a inclinação é zero) está um pouco mais à ireita. Eemplo 8: Ache a inclinação a função abaio no ponto (, -). f ( ) 4 + A erivaa é: f ( ) 4 Assim, a inclinação e gráfico e f em (, -) é Inclinação f () () 4 Eemplo 9: Ache a equação a tangente ao gráfico a função abaio no ponto (-, -/). 4 g( ) + A erivaa é: g ( ) + 9 Assim, a inclinação e gráfico e g em (-, -/) é Inclinação g ( ) ( ) + 9( ) + 9 9 Aplicano a fórmula ponto-coeficiente angular, poemos escrever a equação a tangente em (-, -/) como: y y m( ) 0 0 y 9 ( ) y + 9 + 9 y 9 + [ ] (, y ) são as coorenaas o ponto 0 0 6
. Uma aplicação: aumento e venas Como R é meia em milhões e ólares e t é ao em anos, ecorre que a erivaa R/t é aa em milhões e ólares por ano. Assim, ao fim e 990, a receita a Microsoft estava aumentano à razão e $00 milhões por ano, como mostra a figura acima.. Uma aplicação: aumento e venas Eemplo 0: De 98 a 99, a receita R (em milhões e ólares) a Microsoft Corporation tem como moelo matemático a epressão abaio, one t correspone a 98. Qual a taa e variação a receita a Microsoft em 990? R t t + t t + 4 0,76 6,77,0 7,84 789,94 Uma forma e resposta a esta questão consiste em achar a erivaa o moelo e receita em relação ao tempo.. Uma aplicação: aumento e venas Uma forma e resposta a esta questão consiste em achar a erivaa o moelo e receita em relação ao tempo. R t t + t t,04 0, 06, 7,84 Em 990 (quano t 0), a taa e variação a receita em relação ao tempo é aa por R t +,04(0) 0,(0) 06,(0) 7,84 00 7